Mitschwingen zweier Pendel. 1041

X LX. Vet*such.e iiber due Mitschwhgen xweder Yendel ’ ) ; von A. OberhecJc.

Urn die Grundgesetze des Mitschwingens oder der Reso- nanz aus einfachen Vorlesungsversuchen entwickeln zu konnen, habe ich die folgende Anordnung getroffen.

An einer rechteckigen eisernen Stange (8. die beistehende Figur), welche von zwei Eisenstaben getragen wird, sind zwei verschiebbare Messing- I hiilsen angebracht , wel- che Lager fur die Schnei- den der beiden Pendel tragen. Dieselben beste. hen aus Stahlstangen, an denen zwei linsenformige Messinggewichte festge- schraubt werden konnen.

DieGewichte konnen

7 i I

verstellt und dadurch die Schwingungszeiten der Pendel veriindert werden.

R

Urn nun das eine Pendel durch die Schwingungen deO anderen ehenfalls in periodische Bewegung zu versetzen, muss zwischen denselben eine mechanische Verbindung her- gestellt werden. Man kann hierzu sehr verschiedenartige Mittel benutzen. Es geniigt schon , einen halbkreisformig gebogonen Draht an den beiden Pendelstangen zu befestigen. Die Biegung dcsselben wird wahrend der Schwingungen der Pendel grosser und kleiner und bewirkt eine veranderte Spannung zwischen den beiden Punkten. Ebenso kann man Drahtspiralen zwischcn denselben anbringen. Noch zweck- massiger ist es, einen Eaden an don Pendeln zu befestigen, der, wie die Figur zeigt, durch ein kleines Gewicht gespannt wird. Endlich kann dafiir eine leichte Xetallkette angehangt werden.

1 j Mitthcilungen dcs naturwissenrJcliaftlichen Vereins fur Neiivorpom- ineru und Riigen. Jahrg. 19. 1851.

Ann. d. Phys. U. Cham. N. F. XXXIV. 66

1042 A. Oberbeck.

Um irgend eine dieser Vorrichtungen bequem anbringen zu konnen, befinden sich an den Pendelstangen zwei kleine Klemmschrauben , welche auf denselben verschoben werden konnen. I )

Die Intensitit der Wechselwirkung der beiden Pendel kann durch Verschiebung der Schrauben verandert werden, da das hier in Betracht kommende Drehungsmoment von der Ltinge der Hebelarme abhangt. Ferner kann man dasselbe bei Benutzung des Fadens durch Veranderung des Gewichtes variiren. Die Versuche verlaufen nun so, wie man es nach den Principien des Nitschwingens zu erwarten hat.

2. Beide Pendel mogen zunachst gleiche Schwingungs- dauer haben. Wird das eine Pendel in Schwingungen ver- setzt, wahrend das andere in der Ruhelage bleibt, und dann das System sich selbst uberlassen, so gerath das zweite Pen- del ebenfalls in Schwingungen, deren Amplituden fortdauernd zunehmen, wiihrend dieselben bei dem ersten Pendel kleiner werden. Nach einiger Zeit ist die ganze Schwingungsenergie auf das zwcite Pendel ubergegnngen. Hierauf kehrt sich der Vorgang urn u. 8. w. Man kann leicht eine grossere Anzahl (jedenfalls iiber zwanzig) solcher Uebertragungen beobachten. Die Zeit, welche von dem Stillstand des einen bis zum Still- stand des anderen Pendels vergeht, will ich als Uebertra- gungsdauer bezeichnen. Dieselbe hangt von der Intensitat des Uebertragungsmechanismus ab. Als z. B. die Schwin- gungsdauer der beiden Pendel 1 Secunde betrug, und ein Paden mit spannendem Gewicht benutzt wurde, botrug die U ebertragungszeit:

bei 20 40 60 g 110 60 40 Sec.

Es scheint mir nicht unwahrscheinlich, dass man die Be- obachtung der Uebertragungszeit zur Messung schwacher, elastischer Spannungen wird benutzen kBnnen.

1) Nach der Mittheilung der hier beschriebcnen Versuclie machte mich Hr. Professor W. H o l t e auf eine Publikation voii I s e n k r a h e (Carl’s Repertorium der Physik 16. 99- 118. 1880) aufmerksnm. Die- selbe enthillt ebenfalls Versuche iiher das Mitschwingen isochroner Pendel, bei welchen die Uebertraguog durch die Erschiitterungen des Holagestells erfolgt, an mclchem die Pendel hlngen.

~- .-

Mitsch wing en z weier Pendel. 1043

3. Bisher waren zwei ganz gleiche Pendel benutzt wor- den. Die Messinggewichte derselben betrugen 800 g. Ein drittes ahnliches Pendel hatte eine diinnere Stahlstange und trug ein Gewicht von 350 g. Lhsst man dasselbe isochron mit einem der schweren Pendel zusammenschwingen, so er- folgt die Uebertragung in ganz derselben Weise. Die Ampli- tuden des leichteren Pendols sind aber jetzt grosser wie die- jenigen des schweren. Der Vorgang ist analog dem elasti- schen Stoss zweier Kugeln von ungleicher Masse.

4. Es seien ferner die Schwingungszeiten der beiden Pendel ungleich. Hierzu wurden wieder die beiden schweren Pendel benutzt; das Messinggewicht des einen lag aber haher, als dasjenige des anderen.

Wird Pendel I in Schwingungen versetzt, wahrend Pen- del I1 ruht, so gerath zwar letzteres auch in Schwingungen. Die Schwingungsamplituden nehmen aber nach kurzer Zeit wieder ab. Pendel I1 kommt wieder zur Ruhe. Die Schwin- gungsbewegung beginnt aufs neue u. s. w. Wahrend dessen haben die Schwingungsamplituden von Pendel I nur kleine GrGssenschwankungen erfahren. Es geht daher nur ein ge- ringer Theil der Schwingungsenergie an das zweite Pendel uber. Als z. B. die Schwingungsdauer des einen Pendels 1 Secunde, diejenige des anderen 0,87 Secunden betrug und das erste Pendel in Bewegung gesetzt wurde, nahrn das zweite Pendel zwar etwas an den Schwingungen Theil, aber es kam stets in Zeitraumen von 13 bis 16 Secunden wieder zur Ruhe.

5. Die beschriebenen Versuche unterscheiden sich von den akustischen Resonanzerscheinungen dsdurch, dass sie sehr langsam verlaufen und auf diese Weise alle Einzelheiten des Vorganges erkennen lassen; ferner dadurch, dass die Dampfung der Schwingungen sehr gering ist. Deutlich tre- ten die f'olgenden Hauptgesetze der beschriebenen Erschei- nungen hervor :

a) E i n e U e b e r t r a g u n g von Schwingungsene rg ie be i zwei mechan i sch ve rbundenen Sys temen f i n d e t s t c t s s t a t t .

b) D i e s e l b e i s t a b e r n u r d a n n e ine vol l s tandige 66 *

1044 A. Oberbeck,

( A u s t a u s c h d e r E n a r g i e e n i n b e s t i m m t e n h t e r v a l l e n ) , w e n n d i e S c h w i n g u n g s z e i t e n d e r b e i d e n P e n d e l i iber- e i n s t i m m e n .

c) J e mehr die Zeiten der beiden Einzelschwingungen voneinander verschieden sind, um so geringer ist die uber- tragene Energie.

Bei den akustischen Resonanzerscheinungen entziehen sich die Bewegungen in dem letzten Falle meist wegen der starken Dampfung der Beobachtung. Eine Reihe hemerkens- werther Beispiele und die allgemeinen Qesetze solcher Be- wegungen hat E. W a r b u r g in einer Abhandlung ,,Ueber tbnende Systeme" l) gegeben.

Die hier beschriebenen Versuche lassen sich mathematisch verfolgen. Man kann dabei sehr einfache Annahmen zu Grunde legen, sodass man im wesentlichen das folgende Problem zu behandeln hat.

Zwei Punkte A und B seien fahig, Schwingungen urn zwei bestimmte Qleichgewichtslagen ( A , und B,,) in der Rich- tung ihrer Verbindungslinie auszufuhren. Von A, und B, aus wirken demnach anziehende Krafte, proportional der Ent- fernung, auf A und B.

Ferner mogen sich die heiden Punkte A und B anziehen oder abstossen, j e nachdem ihre Entfernung grosser oder kleiner als eine gewisse mittlere Entfernung A,B, ist. Diese Kraftwirkung sei der Digerenz der Entfernungen A B - AoBo proportional. Hiernach sind die Beziehungen der Punkte zu einander ungefahr so gewahlt, wie man sie sich zwischen den M oleculen denken kann, urn das langsame Fortschreiten einer Schwingungsbewegung durch eine Punktreihe (wie z. B. bei der Wilrmeleitung) zu erklaren.

Nach den gemachten Annahmen sind die Bewegungs- gleichungen fur die beiden Punkte:

I ) Warburg , Pogg. Aim 136. p. 8'3. 1869.

Mitschuuhgen zweier Pendel. 1045

d2x dPY so erhalt man: dt2 + u2x - x2y = 0, T9 + P2y - A2z = 0.

Die allgemeinen Losungen dieser Gleichungen sind : o = Acos(o,t) + Bsin(o,t) + Ccos(o,t) + Dsin(cr,t). y = y1(~co~(a1 t )+Bs in ( s , t ) j+yZ~Ccos (a , t ) + D s i n ( a , t ) ) .

I n demselben ist:

_____._ -. __ us -

y = -. Jt V(a2 - /32)' + 4 % 2 l a

Der Indes 1 bei a und y entspricht dem oberen, der Index 2 dem unteren Vorzeichen. Um die allgemeinen Lo- sungen den angestellten Versuchen anzupassen, kann man an- nehmen, dass fiir:

2 2.

t = O , x = u , dw E = o , y = o , x = o . dY

Dann ist: 3 = -2- (Yz cos(a1t) -Y1 C o s ( ~ z t ) ) ,

y = 3V-- (cos (a, t ) - cos ( G Z t ) ) . YZ - rt

rt - rl Die Bewegungen der beiden Punkte bestehen daher aus

zwei Schwingungsbewegungen. Die Schwingungszeiten der- selben hangen von den Einzelschwingungen und von der Wir- kung des Mechanismus ab.

Von besonderem Interesse sind nun die folgenden beiden speciellen FHlle :

I. Die SchwingFngen der beiden Punkte ohne gegen- seitige Beeinflussung pogen gleiche Zeitdauer haben. Ferner sei diejenige Kraft, welche von der urspriinglichen Gleich- gewichtslage ausgeht, erheblich grosser als die von der Wech- selwirkung der Punkte herruhrende Kraft. Es sei also:

a=/?, ferner u gross im Vergleich zu x und b. 1. 1 Dann ist: y1 = ---, 7% = - -,

I(

Also : x 1. x 1. und angenahert,: cl = u - z u ' -- fl,=u+!r*.

, . = ~ ( C O S ( G l t ) + c o s ( G , t ) ) , y = y; lz 1. ( c o s ( o l l ) - c o s ( o z l ) ~ .

1046 A. Oberbeck.

Die Schwingungen der beiden Punkte setzen sich also aus zwei Einzelschwingungen zusammen, deren DLtuer bei der einen gr8sser, bei der anderen kleiner ist, als die den nicht miteinander verbundenen Punkten zukommende Schwin- gungszeit. Man kann auch schreiben:

.T = a cos --t cos(ot), (2": ) 1 y = a II sin (gt) sin (at). n xrl n T a - 3 '

a = -, -..- Setzt man noch:

so ist. 9 die zuvor als Uebertragungsdauer bezeichnete Zeit. Fasst man als Amplituden der Einzelschwingungen der bei- den Pendel die Ausdrticke:

nt z nt aces-- und a-sin- 2 4 x 2 8

auf, so sieht man, dass dieselben in Intervallen von 9. ihre grijssten und kleinsten Werthe annehmen. Bei dieser Auf- fassung des Vorgangs kann man sagen: die Punkte vollfuhren demnach ihre Schwingungen in der ihnen eigenthiimlichen Schwingungszeit T, die durchschnittliche lebendige Kraft ihrer Bewegungen verandert sich wie die Ausdriicke:

-- Wie oben bemerkt, ist ( Z / x ) = i m l / m z . Die Amplituden

des leichteren Pendels sind demnach grijsser als diejenigen des schwereren und verhalten sich wie die Quadratwurzeln der Massen. Sind die beiden Massen gleich, so ist 1 = x.

11. Die Eigenschwingungen der beiden Massenpunkte seien so sehr voneinander verschieden, dass: ( ~ ~ - - / 3 ~ ) ~ gross ist irn Verghich zu 4x2A? Dam ist in erster AnnBherung:

Die Schwingungsbewegung des zum Mitschwingen erregten Punktes ist:

u1 = p, 0, = a.

y = 1 x 2 - p a12 (cospt-cosflt I . Dieselbe besteht also aus zwei ubereinander gelagerten Be- wegungen mit den Schwingungszeiten der beiden Einzel- schwingungen. Die Amplitude derselben bleibt aber stets erheblich kleiner als die erste Amplitude a des erregenden

Mitachwingen zweier Pendeel. 1047

Punktes. Ferner stijren sich dieselben gegenseitig, sodass der erregte Punkt in kurzen Intervallen immer wieder zur Ruhe kommt.

Hiernach werden die beobachteten Erscheinungen in ihren Hauptziigen durch die mitgetheilte Rechnung wieder- gegebon.

G r e i f s w a l d , den 11. Mai 1888.

XX. D i e Bastimmung des Darnpfdrucks aus dek* Verdampsicngsgesch?uindig~e~t ;

won W. Mihller-l3r&aclt.

Durch die an einen Strom trockener Luft abgegebenen Wassermengen bestimmte (f. T a m m a n n l) den Dampfdruck wasserhaltiger Verbindungen und fand bei dieser der meini- gen ahnlichen Methode die Spannungswerthe fur gesattigte Losungen in Uebereinstimmung mit mir denen der baromet- rischen Methode gleich, wLhrend er die fur feste wasserhaltige Salze auch aus meinen Messungen abgeleiteten Resultate ohne eigene Versuche dariiber fur ungenau ansieht. Ich werde an anderer Stelle die gemachten Einwiirfe ausfiihr- licher besprechen und beschranke mich hier auf Folgendes:

1) Im Anschluss an S te fan ’ s bekannte Formel findet man die Dalnpfmenge dl des nicht gebundenen Wassers aus dl = c / Z logp/(p - p , ) , wenn c die Diffusionsconstante und I die Lange der offenen Rohre bedeutet. Anniihernd ergibt sbh also dl Z/c = 2 p , M / ( 2 p - p , ) und fur gebundenes Wasser

der Einheit nahezu gleich ist. Untcr der Voraussetzung ein- facher Abhangigkeit der Diffusion von dem Dampfdruck und dem Quadrate der absoluten Temperatur findet man die Glei- chung dl Id2 = p1 / p 2 noch unmittelbarer.

2) Meine Beobachtungen messen die wahrend der ganzen Zersetzung, selbst beim Schmelzen, unveriinderliche Disso- ciationsspannung, nach der statischen Nethode wird dagegen

d, 11 c= 2p2 MI ( 2 p -pz) oder 4 Id2 =PI IVa, da P P - P A /(2P--P,)

1) G. T a m m a n n , Wied. Ann. 33. p. 322. 1888.