Verwendung der Differenzenrechnung zur Berechnung der laminaren Grenzschicht.

Herrn ERHAHD SCHMIDT zum 76. Geburtstag gewidmet.

Von KURT SCHRODER in Berlin.

(Eingegangen am 17.11.1950.)

I. Einleitung. Die Str6rnungavorgiinge in der laminaren Grenzschicht lassen sich durch die

prandtlsche Grenzschichtgleichung beschreiben. Beschrankt man sich auf den ebnen ststtionilren Fall und fuhrt man in einer geeigneten Umgebung der an-

tromten Profilkontur C ein krummliniges ( 8 , n)-Koordinatensystem ein, dessen gee Kmrdinatenlinien aus Parallelkurven und Normalen von C bestehen, so lau tet

wenn 11, , v, die Geschwindigkeitskomponenten im ( 8 , %)-System, R die Reynolds- s h e Zahl und p = p ( s ) den aus einer Messung oder einer Rechnung entnommeneu Mckverlrtuf langs C bedeutenl). Zu der Gleichung (1) kommt noch die Kon- tinuita tsgleivhung

(2) hinzu.

Die Transformation q = n d R , vrl = v,dR

liefert statt (1) und (2) das Gleichungssystem

(3)

(4)

in dem R niclit mehr explizit.vorkommt.

’) Einc bei Zugrundelegung physikalisch plausibler Annahmen mathewtisch vollstiindige HR1eh.g von (1) und (2) und einen uberblick uber das einschlilgige Schrifttum gibt die bb& H. SCHMIDT und K. SCHRODER, Laminare Grenzschichten, I. Teil. Luftfahrt-Forschung 18 (1942), 65 -97.

440 R. Schroder, Berechnung der laminaren Grenzschicht.

Als w i n physikalischen Standpunkt naturgemafle Randbedingungen b& ( Integration von (3) und (4) pflegt man in der Grenzschichttheorie die folgenc Z I ~ wahlen: Fur einen Anfangswert s = so ist ein Einlaufprofil

a ls Funktion von q gegeben (Einlaufbedingung). Langs C sollen ferner, dern Haf- ten der Fliissigkeit an der Kontur gemaB, die im Sinne von Grenzuberggngen zu verstehenden Relationen

'8 = '8 ('0 9

[vslc = 0, [C,lc = 0 gelten (Haftbedingung). Schliel3lich sol1 fur s-Werte, die grofier oder gleich a0 sind, die Geschwindigkeitskomponente v, bei q - 00 gegen die Geschwindig. keit U (s) konvergieren, die mit, der gegebenen Druckverteilung p ( s ) durch

(5) zusammenhiingt (ubergangsbedingung).

Zu diesen Randbedingungen sei hier nur soviel hemerkt, dalj die fur q -+ 00

formulierte ubergangsbedingung nicht mit einer Bedingung fur n -+ 00 ver. wechselt werden darf, bei welchern Grenzubergang ja die Geschwindigkeits, kornponenten gegen die der Grundstromu ng konvergierenz) . Der Grenzubergang

-+ 00 bedeutet vielmehr asymptotisch den ifbergang zu den sich langs C ergebenden Randwerten der fur R +'w erhaltenen aul3eren Potentialstromung. Das kann man sich an dem Beispiel der Staupunktsstromung an der ebenen Platte verdeutlichen, wie wir es gemeinsam mit H. SCHMIDT in der zitierten Arbeit behandelt haben. Wahrend die Grol3e 6 , die wir dort als Grenzschicht. dicke prazisiert haben, wie gegen Null geht, liil3t sich eine Grol3e d , die z. B.

wie C= gegen Null geht, so angeben, dal3 die Stromung aul3erhalb einer der

Kontur anliegenden Schicht von der Dicke d fur R -+ a? gegen die LuSere Potentialstromung konvergiert. Dcin asymptotischen Ubergang gegen die langs C angenommenen Randwerte dieser Potentialstromung entspricht aber alsdann

lim q d = lim d 1 / ~ = 00.

Ein einschlagiger Existenzsatz existiert bisher fur dieses Randwertproblem nicht. Dal3 die Fragestellung aber durchaus sinnvoll ist, zeigen die mit dein im folgenden zu schildernden neuen Verfahren erhaltenen Resultate. Ein Einzigkeitssatz wurde kiirzlich von H. GORTLER~) bewiesen.

Man hat hereits verschiedentlich in der Li teratur darauf hingewiesen4), daB formale Potenzreihenentwicklungen der Losungsfunktion nach q es plausibel rriachen, daB das Einlaufprofil nicht ganz willkiirlich gewalilt werden h i m , son- dern daB es a n die Druckverteilung p = p ( s ) gehunckn ist.

u ( 8 ) U'(8) = -p ' ( s )

1

1/R 1 1

I/R

der Grenzubergang -

R+a, R+w

2, Hierbei ist die Annahme gemacht, daB dieser Grenzubergang uberhaupt sinnvoll ist. ') H. GORTLER, Uber die Liisungen partieller Diffcrentialgleichungen vom Reibungs-

schichttypus. Z. aiigew. Math. hlech. 30 (195O), 265-267. 4, Vgl. hierzu: S. GOLDSTEIN, Concerning some solutions of the boundary layer equa-

tions in hydrodynamics. Proc. Cambridge pl!ilos. SOC. 26 (1030), 1-30; L. P~ANDTL, Zur. Berechnung der Grenzschichten. Z. angew. Math. Rlcch. 18 (1938), 77-82: H. G~RTLER, Weiterentwicklung eines Grenzschichtprofils bei gegebenem Druckverlauf. Z. angew. Math. hlwh. 19 (1939), 129-140.

441 K. Schriider, Berechnung der Irtmbren Grenzschicht.

Unger Verfahren zur Ermittlung der Geschwindigkeitsprofile, das dadurch vor &nderen Methoden ausgezeichnet ist, da13 keinerlei iiber die Gleichungen (3) und (4) und die Randbedingungen hinausgehende Annahmen gemacht werden, liefert eine numerische Liisung der angefuhrten Randwertaufgabe mit Hilfe der Differenzenrechnung. Die erwiihnten Grenzschichtbindungen des Einlauf- mfil8 treten bei uns nicht unmittelbar in Erscheinung und bedingen dadurch P hi der numerischen Rechnung keine Schwierigkeiten. Eine grebe Verletzung

dies r Bindungen wirkt sich bei uns in einem vollig ungeordneten Verlauf der auf- einanderfolgenden Grenzschichtprofile aus. Geringe Verletzungen dieser Bindungen f ibn dagegen auf die Weiterentwicklung des Pro fils keinen wesentlichen EinfluB aus '). Im A-nschlufi an das hier geschilderte Verfahrene), das spiiter noch etwas

vereinfacht wurde, hat H. Gortler ein Differenzenverfahren mitgeteilt6a), das ohne Iterationen arbeitet und daher einen geringen Rechenaufwand erfordert. Nach einer mundlichen Bemerkung von J. WEISSINGER kann man all& bei dem hier zu schildernden Verfahren ganz ohne Iterationen auskommen, worauf unkr 11 hingewiesen werde. Praktische Erfahrungen haben gezeigt, da13 das G(jrtlersche Verfahren besonders in der Niihe der Ablosestelle der laminaren Grenzschicht empfindlich ist. Solche Fiille traten auf bei der mit dem Diffe- renzenverfahron durchgefuhrten Berechnung des Einflusses einer Wandwellig- keit auf die laminare Grenzschicht, worauf an anderer Stelle zuruckgekommen werden SOL

11. Das Iterationsverfabren. Fiihrt man in (3) statt 8 die neue unabhiingige Verhnderliche

80

unter der Voraussetzung ein, da13 U(8) $r 0 fur 8 2 so ist, wobei also 1 d l -

ds U(s ) ---

gilt, und benutzt man die neuen Bezeichnungen

U ( W = W Y q ) , @ ( E ) = U ( 8 ( 8 ) , u*(b+ l ) = u ( t , q ) - Q E , , 80 folgt aus (3) und (4) iiber

1 v =--

0

rl

bei Beachtung von (5) unsere Ausgangsgleichung

& 1 %U diesem SchluB kommen mit einer anderen Begriindung ttuch L. PRANDTL und

I(. SCHRODER, Ein einfaches numerisches Verfahren zur Berechnung der laminaren

br ) H. C: ORTLER, Ein Differenzenverfahren zur Berechnung laminarer Grenzschichten.

H. GOI..TLER loc. cit. 4, S. 440.

Qwnmhicht. Deutsche Luftfahrtforschung, Formhungsber. 1741 (1943), 1-42.

Ingenieur-Arch. 16 (1948), 173-187.

442 K. Schroder, Rererhnung der laininaren Grenzschicht.

Gemii13 der in der Einleitung angegebenen Problemstellung handelt es sich darum, eine Losung

u* = a * ( l , q)

von (7) fur alle Punkte (6, q) im rechten oberen Quadranten der Ebene der rechtwinklig kartesischen ( l , q)-Koordinaten7) zu 'finden, die bei Anniiherung an die Geraden

[ = O bzff. q = O

gegen vorgeschriebene Funktionen geht :

(9)

und die fur q --> 00 verschwindet :

limu*([, q) = 0 ( E 2 0). 1l+a

Der Grundansatz unseres Verfahrens besteht nun darin, die Punktionalrela. tion (7) im Sinne der bekannten Methode der sukzessiven Approximationen dazu zu benutzen, um aus einer vorgegehenen Naherungslosung, die bereits die an- gegebenen Randbedingungen erfiillt, eine Folge von verbesserten Losungsfunk- tionen zu errechnen, die gegen die eigentliche Losung des Problems konvergiert, indem man die jeweilig zuletzt erhaltene Naherungslosung auf der linken Seite von (7j einsetzt und die dann resultierende partielle Differentialgleichung voin Typ der inhomogenen Wiirmeleitungsgleichung integriert.

Auf die Konvergenz dieses Iterationsprozesses kommen wir in Abschnitt T V z u ruck.

Man kann das Verfahren dahin charakterisieren, da13 es sich darum hanclelt, eine gegebene Naherungslosung irn Sinne der Oseenschen Met hode der Linesri. sierung fortgesetzt zu verbessern. Denn diese Linearisierung der hydrodynami. schen Bewegungsgleichungen (die naturlich bei der Grenzschichtstromung fur sich genommen nicht zulassig ist) besteht darin, den Geschwindigkeitsverlust u* einzufiihren und alle nichtlinearen Glieder in us, v und ihren Ableitungen zu vernacldassigen. Aus (3) erhielte man dabei

dU ds also auf der linken Seite, abgesehen von dem Term u* - , der aber den Clisrakter

der Gleichung nicht iindert, gerade den Ausdruck, der auch nuf der linken Seite unserer Ausgangsgleichung '(7) auftritt.

Bei der Integration der Differentialgleichung

- ~~

7 ) Tretcn Ablosungserscheinungen auf, so wird die Ldsung im allgcnleinen nur bis zur Ablosestelle und evtl. ein Stuckchen daruber hinaus interessieren.

K. Schrijder, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 443

Differenzenrechnung herangezogen werden. Fur die homogene Gleichung ist das zugleich mit einem Konvergenzbeweis bei R. COURANT, R, FRIEDRICHS und H. LEWY 8) ausgefuhrt. Bei der hier in Frage kommenden inhomogenen Gleichung findet sich der Konvergenzbeweis cugleich mit einer Fehlerabschiitzungsformel

Uberdeckt man den rechten oberen Qua-

1. bi L. COLLATZ@).

onfer den Randbedingungen (8), (9) und (lo), in der zur Abkurzung die im Sinne uaserer Nliherungen als bekannt anzusehende Punktion

4b - - 1 - t

( b L . . (2.3) 4)

!

IF 4 )

(12)

&anten der ( I , r])-Ebene rnit einem Net2 von Gjtterpunkten rnit den Koordinaten

d

ein, so entsprioht der Differentialgleichung (1 1) die Differenzengleichung erster Anniiher ung

Wiihlt man dik SchrittgroSen k und I in & bzw. q-Richtung nicht unabhiingig vqneinander, sondern 80, da13

(14)

!at, 80 entsteht aus (13) die einfachere Differenzengleichung

von der sich zeigen lafit, dal3 ihre Losung der entsprechenden Randwertaufgabe fk 2 -+ 0 und damit auch k + 0 gegen die als existierend bekannte Losung der Radwertaufgabe von (1 1) konvergiert.

Da die Werte .- ue,o ( e s o ) , G,o ( ~ z O ) , f p , o ( e 2 0 , a a o )

'1 R. COURANT, K. FFUEDRICHS und H. LEWY, uber-die partiellen Differenzengleichuiigen d a mathematinchen Physik. Math, Ann., Berlin 100 (1928), 32-74, insbesondere 47-52.

'1 L. COLLATZ, Das Differenzenverfahren mit hoherer Approximation fiir liqare Diffe- remzengleichungen. Schr. math. Sem. Inat. angew. Math. Univ. Berlin 3 (1935), 1-34.

*

444 K. Schroder, Berechnung der laminaren Grenzschicht.

bekannt sind, so kann man nach (15) nacheinander, indem man schrittweise von Gitterpunktskolonne zu Gitterpunktskolonne fortschreitet, alle Werte

~ e + , ~ ( e r o , a Z O ) berechnen.

I n Wirklichkeit bringen wir jedoch bei jedem Schritt noch eine Korrektur an, die den systematischen Fehler ausgleichen soll, der dadurch entsteht, daI3 die in (11) auf der linken Seite auftretende Ableitung

durch den Differenzenquotienten erster Naherung

xsetzt wurde (vgl. hierzu den nachsten Abschnitt). Beachtet man, daD wegen der Ubergangsbedingung (10) fur das Einlaufprofil

notwendig die u& bei Q --+ 00 verschwinden mussen, und dafl auch die f e , . ebenfalls bei Q -+ 00 verachwinden, da die bei der Bildung von f e , o benutzte Naherungslosung bereits die Bedingung (10) erfullen sollte, so erkennt man, dall die mit Hilfe der Differenzenrechnung in der geschilderten Weise erhaltene ver- besserte Losung ebenfalls die Ubergangsbedingung (10) erfullt:

111. Die praktische Durchfuhrung. Bei der praktischen Durchfiihrung kann nun das Verfahren so gestaltet

werden, daD uberhaupt keine im ersten Quadranten der ( 5 , q)-Ebene von vorn. herein gegebene Naherungslosung benotigt wird, sondern daW man diese sich bei jedem Schritt erst herstellt und alsdann bis zur gewiinschten Genauigkeit ver- bessert, ehe man zum nachsten Schritt ubergeht, so daB man ein kombiniertes Fortsetzungs- und Verbesserungsverfahren hat.

Das Anfangsprofil an der Stelle a = so entnehmen wir, wenn'es sich urn die Umstromung einer Profilkontur handelt, zweckmafiig den bekannten Potenz- reihenentwicklungen von Blasius-Hiemenz, deren Koeffizienten fur die ersten drei Glieder tabellenmaflig von L. HOWARTH~O) angegeben wurden. Diese abgebrochenen Reihen werden aus Konvergenzgrunden eine gute Approximation der Losung der Grenzschichtg1.eichung nur in geringer Entfernung vom vorderen Staupuiikt (a = 0) der aul3eren Potentialstromung darstellen. Sie stellen in dem zulassigen Bereich gewissermaflen eine verbesserte Staupunktsstrijmung dar.

Es hat sich bei unseren bisherigen Rechriungen gezeigt, dal3 die Reihen bis zu solchen s-Werten gut brsuchbar sind, fur die die ,,erste Grenzschichthindung"

die eine unmittelbare Folge von (3) und (6) ist, hinreichend genau erfullt w i d .

lo) vgl. L. HOWARTH, On the calculation of steady flow in the boundary layer near tha surface of a cylinder in a stream. Rep. Mem. 1632 (1934).

K. Schr6der, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 445

Die R ~ h n b n g ist also prak'tisch so zu beginnen, daB man die Funktion U(8)

fiir kleinc: s-Werte moglichst gut durch ein Folynom der Gestalt

fiir den Fall eines in Aussiromrichtung symmetrischen Profils bzw.

fiir den Fall eines in Anstromrichtung unsymmetrischen Profils approximiert, wobei JlllL1l cvtl. auch schon mit zwei Gliedern auskommt.

Nachdenl man alsdann in der oben angegebenen Weise den Wert a0 > 0 bestimrnt, an dem unser Fortsetzungsverfahren beginnen kann, stellt man sich zung~list den durch (6) gegebenen Zusammenhang

u(8) = Ui8 + U38' + U68'

u(8) = + U2a2 + %8'

8 0

her, jndem man das auf der rechteri Seite stehende Integral numerisch (etwa _ - - , nach der Trapezformel) auswertet. I n einem gemeinsamen Diagramm bringe man die Funktionen [ = t ( 8 ) und U = u(8) zur graphischen Darstellung, so daB

Die geman ,(14) verkniipften SchrittgroBen k und 1 sind nun so zu whhlen, dafi erstens uber die zu errechnenden Profile geniigend viele Teilpunkte verteilt sind und dal3 man zweitens in t-Richtung schnell genug fortschreiten kann. Jm allgerneinen diirften, wenn wir noch nicht zu stark S-formige Profile (in der Nahe tler Ablosefitelle) zu berechnen haben, acht bis zehn aquidistante Teil- punkte grniigen, urn das Profil festzulegen. Nach oben (also fur grofie q-Werte) wird rnan so viele Teilpunkte nehmen mussen, daB das Profil weich genug gegen den asyrriptotischen Wert 0 ausklingt. Dsmit ist schon ein erster Anhaltspunkt fur die Wahl von 2 und damit k gegeben. Hinsichtlich der Schrittgrone k ist noch zu bernerken, dal3 sie mindestens so groB sein muB, dal3 die in erster Naherung durch Uildung VOII Differenzenquotienten erhaltenen Ableitungen - bei festem [

und variablem q einen einigermaBen regelmaaigen Verlauf zeigen (vgl. die folgericlcil Ausfuhrungen). Hierdurch ist k und damit 1 nach unten beschrgnkt.

An Stellen 6 , an denen die Kurven u = u([, const) grol3e Kriimmungen aufweiscn, was besonders unmittelhar vor der Ablosestelle auftritt, wird man ad der anderen Seite gezwungen sein, die SchrittgroBe k moglichst klein zu wiihlen urn d k Profile hinreichend genau zu herechnen. Dort wird dann auch 1 zwangs laufig klein ausfallen. Da auf der anderen Seite an der Ablosestelle die Grenz schiclit~licke stark angewachsen ist, wird man dort also iiber das Profil hin seh vide I't*ilpunkte hahen. Das ist einerseits insofern angenehm, als sich die Lag der A1)liiYestelle besser erfassen 1aDt. Andererseits wird dadurch aber a n solche Stellen der Arbeitsaufwsnd vermehrt. Wir werden am SchluI3 dieses Abschnitf kdoch auf eine Moglichkeit hinweisen, die Schritte in E-Richtung zu verkleineri ohne notwendig auch eine Schrittverkleinerung in q-Richtung in Kauf nehme ZU Iniissen. Gleichzeitig werden wir alsdann ein Kriterium angeben konne an d m sich die Notwendigkeit einer Schrittverkleinerung in &Richtung e kennt :~ liiot.

- ihJ1l ohne weiteres u = c([) entnommen werden kann.

au 86

handelt es sich nun darum, um den ersten Schritt in [-Richtung ausfuhren zu konnen, eine erste Niiherung fur die in (15) vorkommenden Werte fo , ,, zu ge.

Werte von u fur Werte s < 80 aus den Reihenentwicklungen entnehmen konnen. Insbesondere kennen wir also die Werte u - ~ , ~ (d. h. das Profil einen Schritt vor dem Anfangsprofil).

Wir setzen alsdann fur eine erste Niiherung von dem in fo ,o vorkommenden

Uo,o - u - 1 , ~ [""I :

Damit laBt sich auch s"[zlo,u [$lo,u- k

J O - 0

dq numerisch auswerten. Es hat sich nach unseren

Rechenerfahrungen gezeigt, da13 diese Integration sich sehr bequem mit hin- reichender Genauigkeit ausfuhren liiBt, wenn man die Trapezformel an Hand der vorliegenden Unterteilung benutzt, was rein schematisch durch tabellenmaBige

0

Rechnung geschehen kann. Denn an den &Stellen, an denen die Ableitungen -%. n aE

sehr groB werden -und damit auch die Werte - dq bei der Berechnung der

Profile sehr ins Gewicht fallen und verhiiltnismiiSig genau bestimmt werden mussen, wie z. B. in der Nahe der Ablosestelle, wird es erforderlich sein, die SchrittgroBe k und damit auch 1 klein zu wahlen, so daI3 uber das Profil hin ge- nugend Teilpunkte verteilt sind, um die Trapezformel mit genugender Genauig- keit anzuwenden.

0 s

Setzt man weiterhin in guter Niiherung

so lassen sich in erster Naherung uysu und ul, ,, berechnen. Man bezeichne die so erhaltenen Werte mit u;!:) bzw. u\tL. Mit den er-

haltenen Werten u\!i bilde man verbess'erte Werte der Ableitungen nach den1 Schema

u(l) 1,o - U-1.0 ,

2k

worauf man eine zweite Naherung u\:)o fur die Werte erhalt. Wlihrend die in erster Naherung gebildeten Ableitungen - evtl. an einigen Stellen Q

einen unregelmaoigen Verlauf zeigen, wird das im allgemeinen bei den verbesserten

Dieses Vorgehen setzt man so lange fort, bis die in der drittletzten Kolonne der Tabelle erhaltenenwerte in der gewunschtenDezimalen sich nicht mehr andern. Bei den von uns berechneten Beispielen wurde die Iteration so weit getrieben, daB bei jedem Schritt Eo die Werte up,, bis auf einen Fehler von ungefahr a bis 3;% der jeweiligen Maximalgeschwindigkeit (tp) sich nicht mehr iinderten. Das war bei der gewahlten SchrittgroBe k nach zwei bis drei Iterationen bereits der Fall.

1 :; lo,.

nicht mehr der Fall sein. Ableitungen [$lo. c

K. Schroder, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 447

11 nd

ebell, so lassen sich die Profilwerte Ue+l , , u ~ + ~ , ~ , . . . ermitteln, indem man in geg

das auf der rechten auftretende in erster Naherung durch

[ $ ] e , O w UQ*a - U e - i , a

emetzt und das Integral j\-!$]@dq nach der Trapezformel auswertet. Aus der

k

0

*(l) + ue erhaltenen ersten Niiherung zc" 1 e l l = U e , a

errechnet inan in derselben Weise eine zweite Niiherung a:,(:), indem man jetzt verbesser t

setzt usw. Die in der geschilderten Weise errechneten Profile zeigen im allgemeinen

w e e n der gunstigen Fehlerlage einen sehr glatten Verlauf. Sind die Kurven = ~ ( 5 , const) gegen die &Achse konkav, wie es z. B. bei der Stromung urn

den Kreis- oder elliptischen Zylinder in der Nahe der Ablosestelle der Fall ist (vgl. Fig. 7 und Fig. 1 2 ) , so findet die Konvergenz einseitig in der Richtung von gol3eren zu kleineren Werten fur u statt. Das umgekehrte Verhalten liegt vor, wenn dieser Kurvenverlauf gegen die t-Achse konvex ist, wie es z. B. bei der Grenzwhichtstromung an der ebenen Platte der Fall ist.

Will man bei dem geschilderten Vorgehen eine moglichst genaue Berech- nung des u-Verlaufs erreichen, ohne die SchrittgroBe k allzu klein zu wahlen und damit den-Rechenaufwand zu sehr zu vergroflern, so erweist es sich als not- wendig, bei jedem Schritt noch, wie bereits erwahnt, eine Korrektur anzubringen, die dem Umstand Rechnung trligt, daB bei der Aufstellung der Grundgleichung (15)

durch den Differenzenquotienten lediglich erster NBherung die Ableitung

ersetzt wurde.

au* e, 0

Wiihlt man statt dessen die Darstellung hoherer Approximation

80 erhielte man unter Wahrung von (14) statt (15)

Da dime Relation aber, wie unmittelbar zu sehen ist, hinsichtlich der Fehler- fortpfhnzung sich bedeutend ungiinstiger verhalt als (15), so werden die damit emechneten Profile nicht mehr den oben erwahnten glatten Verlauf zeigei. Es

44 H R. Schrbder, Berechnung der laminaren Grenzschicht . Tabelle 1 .

hat sich nun in der Rechenyraxis gezeigt, dal3 man einen sehr ausgeglichenen Kurveriverlauf bekommt, wenn man statt (18)

schreiht und die darin vorkommende zweite Ableitung nach ueni Schema

Ce.o+i - Ce.0-i 21- N

(20) 21

aus der bereits nach (17) in guter Naherung errechneten ersten Ableit ung durch ,,uberspringen" bildet.

Die Gro13e CQ,o wird nalierungweise aus

(21)

ermit telt. Wir verwenden nun die Relation (19) nicht als Ersatz fur (15), indeiii wir

die gnnze Rechnung mit (19) durchfiiliren. Dexin es hat sicli hesonders in der Nnhe der Abl6sestelle, wo die Aldeitungen - sehr grol3 werden, gezeigt, daB

die Koiivrraeiizverh~ltnisse liier, weiin die Schrittweite k nicht besonders klein gen iihlt ist, verwisclit werden lio~iieii. insoferxi die duroli Iteration gewonnenen IVerte up, (I niclit fest bleiben, sonderri sthndig, um allerdings kleiiie Betrage, fortkrirchen (1-61. hierzu auch die Benier1;ungen i n Ahschnitt IV).

W i r heiiutzen vielmelir (19), uni a11 deli i n der obigeii Weiw iiricli cler letzten lteration erlidtenen Werten ZL,+~, eine Korrelctur anzul,riiigen. Die liorrigierteli Werte Ue

i) u d$

berechnen sich also a u a

* 1 - * ? b p + l , n - Up-l,a + ( c p , a + l - Cp.0 - 1 )

K. Schriider, Berechnung der laminaren Grenzschicht . 449

0 ... ...

I

- - T o - U e t l --u,+1 O - ue+l 0 0

... . . . ... ... ...

. . . . . . ... . . . ... I . . . * .- ..* . . .

0 ... ...

wobei der Ausdruck donsrechnung entn

Tabelle 2.

in der geschweiften Klammer der bereits gefiihrten ,nimen wird.

0 ... . . .

te-

Weichen die korrjgierten M’erte U e + l , a zu stark (d. h. urn mehr als 4 bis 4 % -

Von u) von ue+l,o a,b, so errechnen wir mit den Ableitungen

2 e f r . o - Ue--l ,o - 2k

nocll einmal vsrbesserte Werte gemiiJ3 (22), die dann die Endwerte fur das Profil an der Stelle tp+l darstellen. Der ganze RechenprozeB ist in den Tabellen I

worden, da13 zwei Iterationen und eine Korrekturrechnung erforderlich sind. Es Bind also zur Berechnung jedes Schrittes in 6-Richtung drei bis vier der

genannten Rechentabellen zu berechnen. Als Zeitdauer kann man ungefahr drei 111s vier Stunden pro Schritt vernnschlagen. Es sei noch hervorgehoben, darJ siimtliche Rechenoperationen rein schematischer Natur sind und also ohne weitervs von Hilfskraften ausgefiihrt werden konnen.

Die gefundenen Werte trage man sich auf Millimeterpspier auf mid ziehe die Kurve durch. Sollten sich an der einen oder anderen Stelle doch geringe Streu- ungen ergeben haben, so gleiche man diest: an Hand der Zeichnung aus, hevor man zum niichsten Schritt iihergeht.

Zrigt sich an den1 Bild des eben bereclineten Profils, dal3 die Kurve wegeii der Ziinahme der Grenzschiclitdicke am oberen Ende nicht mehr weich genug gegeri den asymptotisclien Wert v ausklingt, so fiige man bei der Berechnung des folgenden Schrittes nach oben hin einen q-Teilpunkt an.

Es werde noch folgender Umstand erwahnt, der sich bei der praktischen Rechriung gezeigt hat. War die SchrittgroDe nicht klein genug gewahlt, so kon- ]leu (hrcli Fehlerhiiufung zwei nufeinanderfolgende Profile Stellen aufweisen, an h i e n sie gegeniiber dem wahren Verlauf etwas zu dicht oder auch etwas zu w i t voneinander entfernt sind. Bei der Rechnung erkennt man das daran, dafl das mf die beiden Profile folgende dritte Profil gegeniiber dem zweiten hinsicht- lich der Lage an diesen Stellen ein entgegengesetztes Verhalten zeigt, wie das

I und 2 zueammengestellt. In den Tabellen ist der Fall zur Darstellung gebracht

M3t11. Ynchr. 1950/5 I , Bd. 4 , H. 1 - G . 29

450 K. Schrijdrr, Ucrec.h~~uiig der laininarcn Grenzscliicht .

erste gegeiiiiher dcin zweitrii. F i i r , I - \ \ ' t b r t t b , a 1 1 delien clir erste~i I)eideii zu c1icl1L benachbart waren, beinerkt man \lei den 1)riden Irtzteu ein etn.ss zii wcites Aus- einanderblaffen und iiingekelirt . Will 1iIi111 die Rechnung nicht init lrleinerell Schritten wicderliolen, so hat es sic11 a ls praktiscli brnuclihsr Iiernusgestellt, bier einnial hei den1 niichst en zu bereclinentleri Profil die friilier ern.iihiite Korrektur- rechnung ~uszulassen, wodurch das Hin- und Herschwankeii der Profile beseitigt wird, und alsdann in normaler Weise wei terzurechnen.

Dafi die SclirittgrOGe k in F-Richt ling verkleiiiert werden mun, kann nla11 11nc.h unseren Hechenerfnlirungen daran erkennen, dsB die beiden zu demselbell qo geliijrigen hei der Korrekturreclinung er'fialtener~ G-Werte (bei den1 vorhill betrachteten Beispiel also die Wkrte u\fi uncl $:b) uni wesentlicli mehr

his + % des zugeliiirigen 0-Wertes voneinander abu.eic.hen. jvijhlt man nun die neue SchrittgrijGe k, < k etwa k, I- in (-RiclituIIg, i 7 " /

so ist damit wegen (14) auch eine neiie Schrittgrofle __

I, = 12k1 i n PI-Richtung verbunclen. Will man e t w von [ = tr ab iiiit den kleineren Schrit- ten k, weiterrechnen, so braucht man als Ausgangswerte fiir die weitere Rech. nung die Znhlen

Die ersteren lese man direkt an der bereits erhaltenen Profilkurve fur [ = 5, ab. Urn die letzteren zu erhalten, nehme man eine doppelte graphkche Inter. polatioh vor. Man trage sich die an den Kurven der bereits berechneten Profile f ~ r = tp (e 5 T ) abgelesenen Werte u(E,, .Il) (a = 1 , 2 , . . .) uber 6 auf. ES genugt im allgemeinen, das fiir die Werte u( te , all) dreier aufeinanderfolgender Profile, also fur e = r - 2 , r - 1 , r zu tun. An den durchgezogenen KurveJi u = ~ ( t , 0Zl) (0 == 1 , 2 , . . .) lese nian alsdann die Werte u ( [ , - XI,, G I , ) (0 = 1 , 2 , . . .) ab.

Hat man eine Grenzschiclit bis zur Ablijsestelle h i zu Iierec.hnen, SO wird es in1 allgemeinen erforderlich sein, in der Niilie der Ahlijsestrlle recht, kleine Schritte k zii wahlen. Da hier die Profile aber wegen der starken Zunshme der Grenzschichtdicke sehr langgestreckt sind, SO wiirde man wegen der kleinen SchrittgrOOe I in 7-Riclitung sehr viele Teilpunkte iiber das Profil hin Iiekommen, wodurch nstiirlich der Zeitaufwand hei der Berechnung eines Schrittes ver. grijfiert wird. I l l an knnn sich jedoch vie1 Rechenarbeit erspnre~i, wenn inan statt (7 ) z . B.

u(Er, U ~ I ) ? u ( E ~ - k1, all) (0 = 1 , 2 , * . ) a

nls Ausgangsgleichung waihlt und die Integration in derselbeii \Veise vornimmt , wie das chen geschehen ist. Neiint nian wieder die SchrittgrijBen in der l- bzw ?I-Iiiclitung k hw. 1 , so hat man jetzt s ta t t (14) die T7erknupfung

X L Z I ~.

Zu demselben I wie in1 erstbetrachteten Full geliiirt also die lin1 tw iSclirittgr6Be ill E-Ric*litung.

1 2

-4

K. Schroder, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 45 1

In Jiescbr \Veise wurden bei den im folgenden angefiihrten Beispielen der G~eDzRclli[~~~tstromung am Kreis- und elliptischen Zylinder die Schrittverkleine- flngen ~~urchgc~fiihrt. Die Konvergenz der Iterationen erfolgte jetzt nicht mehr (Bt,gesehen VOH den bei kleinen qu angenomrnenen Werten) einseitig gegen den Limes, sonderri alternierend.

Die numerische Rechnung zeigte ferner, daI3 eine immer noch bei deniselben 1 OOrgefiO~~l~ll(:nc~ weitere Schrittverkleinerung in t-Richtung etwa unter Zuhilfe- oshme der Ausgangsrelation

rl 3 dc(t) .+- -+--

4 3 , a5 au 4 d t 1 (lu* as,* 1 au au U* _ - -- 1 3;' av2 - G K J X d q - (=

0

i& insofern :ds nicht empfehlensvyert erwies, als die in den obereii Profilteilen ad der rechtcbn Seite angenommenen Werte als Differenzen von zwei (annahernd &$&en) gro13en Zalden gegeben sind und infolgedessen stark strewn, wodurch die Konvergenzverhiiltnisse verdeckt werden konnen. 1st man also gezwungen, & SchrittgriiBe k noch weiter zu verkleinern, so wird man, falls man an dem Rinzip ei1ic.r starreri Verkniipfung von k und I festhalt, das zweckmaBigerweise in der vorhin beschriebenen Weise unter Benutzung der Relation (23) vornehmes. & zeigte sich, daB man selbst bei einem so extremen Beispiel wie dem Kreis- rylincler i l l clieser Weise auch bei den Schritten unmittelbar vor der Ablosestelle

einerii durchaus ertriiglichen Arbeitsaufwand kommt. I Bei dw Behandlung der inhomogenen Warmeleitungsgleichung mit Hilfe

&r Differenzenrechnung war der Sinn der starren Bindung der Schrit.$gtgroBen der, dd3 sich einmal die Gleichungen vereinfachen und daB sich zum anderen der Beweis fuhren lafit, daB die Losung der Differenzengleichung mit abnehmen- der Schri t tgroDe gegen die Losung der Differentialgleichung konvergiert. Man b n n sogiir Beispiele angeben, wo das letztere nicht der Fall ist, wenii man die Mrre Bitdung fallen l&Dt.

Rei uiwren Grenzschichtrechnungen hat sich nun gezeigt, da13 man sich hier prsktiuch nicht unbedingt an diese Bindung zu halten braucht, wodurch der Rechenaufwand namentlich in der Nahe der Ablosestelle bedeutend verringert wird.

Statt tlrr bisher benutzten Differenzengleichung (15) nimmt rnan jetzt

wobei 1i i ; i i i wieder, .um einen glatten Kurvenverlauf zu bekommen,

Mtzt. An den Konvergenzbetrnchtungen fur den zuerst geschilderten I ter n t ' 1011s-

WzeB, die in Abschnitt T.V mitgeteilt werden, iindert sich bei der vorgenom- menen Modifikation nichts. Auch hier wird man bei jedem Schritt die f~+her emihte Korrektur anbringen.

Die Ahlosestelle 6 = la (und damit s = 8,) findet man durcli grnphische Inter- Plation oder auch Extrapolation der in den Tabellen enthaltenen Werte

wk pol3 die bei dem Verfahren errechnete Genauigkeit ist, zeigt sehr deut-

29 *

452 K. Schroder, Berechnung der laininaren Grenzschicht.

lich das Beispiel der Blasiusschen Stromung an der ebenen Platte. Hier konntc das durch Fortsetzung erhaltene Profil mit dem exakten verglichen werden. Nach sechs gerechneten Schritten wichen die gerechnetcn Werte so wenig von den exakten ab, da13 man sie im Rahmen der Zeichengenauigkeit kaum van. einander unterecheiden konnte. Die Unterschiede betragen weniger als Q %, bezogen auf U .

Urn den Reclinungsgang im einzelnen verfolgen zu konnen, fiigen wir voll. standig durchgerechnet den ersten Schritt bei der Fortsetzung eines Blasius. Profils an der ebenen Plntte bei.

IV. Beinerkungen zur Konvergenz des Iterationsprozesses. Hinsichtlich der Konvergenzverlialtnisse des in Abschnitt 111 geschilderten

Iterationsprozesses konnen wir folgenden Sstz beweisen, der fur die Erforder. nisse der praktischen Rechnuiig schon ausreichend sein diirfte: Qilt fur das Profil an dtr Xtelle E = E p fur a& q I quo

tlnd 0 5 [u3te, q <

v(te) U(E,)

Cuke. 7 < 1 + - 7

l%Le,. SO konvergiert die Folge dtr durch den lterationspozep erhaltenen Qeschwindig. keitswerte u z l , (I (a

Man kann also jeweils bei der Berechnung eines neuen Schrittes voraussagen, ob der IterationsprozeB konvergiert. Die Voraussetzungen des Satzes sind sicher erfiillt, wenn fiir alle q S qua

a,) rnit wachseridem n .

gilt, wie es z. B. bei den Yrofilen vor dem Druckminimum der Fall ist; denn da,nn gilt

!a.lls q* so gewahlt ist, daB

ist. Die Voraussetzungen sind auch bei den S-formigen Profilen jenseits des

Druckmininiums erfiillt, wenn dabei - nicht zu grog wird. Bei den von uns ge-

rechneten Beispielen der Grenzschichtstromung beim Kreis- und elliptischen Zylinder sind die Voraussetzungen bis zur Ablosestelle erfullt.

Beweis d e s Sa tzes . Beachtet man,daB nach demVorgehenvonAbschnittI11

d U a7

R. SchrGder, Berechnung cler lnininaren Grenzsr.hic.ht. 453

@tztm ist, so folgt mit = max { I U ~ ~ ~ , ~ - u(n-1) f?+l , f l} (0 S o , )

r=1,2, .... u

bei B ~ ; I chtung der Vorau ssetzungen of fenbar

wohi 0 < a < 1 und a von n unabhiingig ist. Man uberzeugt sich ferner, da13 man a < 1 von n unnbhiingig) so wiihlen ltann, da13 gleichzeitig die Ahschiit- a (O(

. . . . . . . . . . . . . . Iu6"t-slfL - U e + r , n l (4 5 adpj,,a

bestehen, so daB such

win muB.

d(nt-1) s ad(") e + l . u - e + l , n

D&er existiert der Limes = lim u21, ,,

n + w

(0 5 0,) 3 (l) + ( ~ ~ $ 1 , u - ~ j ~ ~ , u ) + * * . + ( U % l , c r - U e + l , o ) + * * * (n-1) = u e + 1 , a

da die rechtsstehende Reihe durch eine konvergente geometrische Reihe majori- siert werden kann.

Man erkennt ferner, daB sich bei Benutzung von (18) oder (19) statt (15) die Konvergenz des Iterationsprozesses unter den Vorsuswtzungen beweisen liil3t, dal3 fur = te und alle r] 5 q,,

nnd

ist. Man findet namlich nlsdann die Abschiitzungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( p t u e + l , a OLdg+l,o7 (n)

wobei wieder 0 < a < 1 und OL von n unabhangig ist. Diese Voraussetzungen sind z. 0. hei den Profilen vor dem Druckmininium erfiillt. Die Konvergenz w i d

in der Nshe der Wand, falls dort die Profile annlihernd geradlinig verlaufen, nur sehr langsam erfolgen.

Jenseits des Druckminimums kann. man also hier keine allgemeine Aussage Uber die Konvergenz gewinnen. DaB dabei der Divergenzfall wirklich vorkom-

154 K. Schrijder, Berechnung der laminaren Grenzschicht.

men kann, lienen, wie bereits friiher erwahnt, unsere Rechnungen in der Nahe der Ablijsestelle erkennen. Damit erweist sich das von uns gewiihlte Vorgehen, die Relation (19) lediglich zur Korrekturrechnung zu benutzen, auch vnn dem jetzigen allgemeinen Standpunkt aus als durchaus sinnvoll.

Man erkennt entsprechend, daJ3 der a n Hand der Relation (22) vorgenommenc Iterationvprozefl sicherlich an der Stelle [ = [ , fur a 5 a, konvergent.ist,.falls dort fur alle q 5 q,,,

u nd 0 I "t,,s < Qt,)

gilt. Nimmt man nllgemein die Ausgmgsrelntion

so wiire die Konvergenz an der Stelle t -- 6, fur a 5 a, unter den folgenden liinreichenden Redingungen gesichert : Fur alle 7 qo, sol1 sein

f fir

f iir

Will man also auf der rechten Seite auch fur

eiiie positive Schranlw liaben, so mu13 m 5 3 sein.

V. Zeitsparende Vereinfachungen des Verfahrens. Eine crst.e Moglichkeit, den Rechenaufwand wesentlich zu verringern, be-

steht darin, die wandnahen Profilteile wie hisher mit Iterationen zu berechnen, den Rest aber ohm Iteration direkt zu ermitteln. Dam beachtc man, daB sich aus der Grenzschichtgleichung (1 ) in Verbindung mit der Kontinui tiltsgleichung (2) ii ber

die Rela.tion

K . Schrijder, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 455

0

er$ht. I k n t i t zt man noch einrnal die Kontinuitatsgleichung, so erhiilt man wegen

die

-an+ v8

7

0

die aucll clein Prandtl-Uiirtlerschen Verfahren zugrunde gelegt wurde. Die Uii:~nnelirnlichkeiten, die dieser Ausdruck wegen des auf der rechten

Spite in1 Nenner nuftretenden v, besitzt, lassen sich nun vermeiden, wenn man -das nuf (icr rechten Seite vorkommende Integral in

( I 0 71

zerlegt, VIJ bei n, e'ine Ordinate eines geeignet zu wahlenden Profilpunktes ist, und wenti i n m den ersten Bestandteil nach (25) durch den aus den wnndna.heii Profilteilcii bekairinten Ausdruck

t t .

ersetz t .

Profilteiltb fiir gro13ere Werte v3n q gemaB Fiihri. m a n wieder die Bezeichnuiigeii voii S. 443 ein, so wird man also die

fortsetzen, wobei

456 K . Schroder, Bercchnung der lnminaren (irenzschicht.

Tabellen, die zur Rerechnung der wnndnalien Profilteile clienen, thnthnlten. Die in (27) auftretenden Integrale werden zweckmiiinig nnch der Trnpezfonnel aus- ge\vertet, wiihrend die Ableitungen in der vorhin heschriehenen Weise ermittelt w er de n .

Bei unseren bisherigen Rechnungen mit clem vereinfa vliten Verfahren ha ,be~~ wfir im allgemeinen zwei Profilpunkte durch Iteration gefunden und die iibrigefi gemail;l (26) und (27) direkt errechnet. Nur in der Nahe der Ablosestelle war es zweckni%Biger, drei Profilpunkte durch Iteration zu reclmen. Es hat sich gezeigt, daB die gemail3 (26) gefundenen Punkte nicht ganz so glatt liegen wie die durch Iteration gefundenen. Es ist sber stets miiglich, die Profilkurve sicher hindurc.11- zulegen und an Hand der Zeichnung die geringen Streuungen auszugleicheli. Es ist nicht zweckmaBig, eine allzu dichte Folge von in der n-Richtung aufein- mderfolgenden Punkten zu wiililen.

Nach einer Bemerkung von J. Weissinger kann inail die lterstioiien aucii dadurch vermeiden, dail3 man, iilinlich wie Gijrtler, von der der Gleicliung (24) fur n -t co entsprechenden Limesgleichung

Lzusgeht und hieraus gemal3

u e + l , 0

2 2 ue (3 V, direkt die Profilwerte u ~ + ~ , ~ bei gegebenem e der Reihe nsch fiir cr =-= 1 , 2 , 3 , . . . berec h ne t ll).

Nerinerschwierigkeiten in der Nahe der Ablosestelle treten hier nicht auf . Dn es aber bei jedem Schritt zweckmaI3ig ist, die friiher erwahnte Korrektur- technung anzuschlieBen, hei der doch eine Reihe der bei der Tterationsrechnung

11) Geht man statt von (7) ohne Einfuhrung der VerBnderlichen E direkt von n

K. Schrodcr, Berechnung der laminarcn Grenzschicht. 457

vorkoInmtldt.n GroBen berechnet werden mul3, so ist der Vorteil gegenuber der vollen 1 tt.rationsrechnung nicht so erheblich ins Gewicht fallend, faells nicht

ger ,?ds drci ocler mehr Jterntionen bereclinet werden miissen.

VI. Rechenbeispiele und Ergebnisse. I . Fortsetzring eines Blasiris-Profils a8n der ebenen Platte.

Der j'orderkante der Platte entspreclie der Wert s = 0. Die Grenzschicht - gleicl l~~~lg (31, die sich wegen p'(s) = o zu

,verrxinfi~cht, zusamiiien mit der Kontinuitlitsgleichung av, aztq - + - = o , as a7

besitxt alsdimn beknniitlicli nacli Prandtl.Blasius eine 'Lijsung &r Gestixlt

f i ir t l i r b

v,+o f i i l ?j - z o (s > 01,

v,. + U fur 9 . + O

v, -+ U fiir 11 + co

und alle 77 > 0 iiiid nlle s > 0

lltld

gilt. Die Fri ~ikt,ion cp = cp (5) geiiiigt der ge\vijhiilichen Differentialgleichung dritter

, cp(O) = 0, ~'(0) = 0, lim c p r ( [ ) = 2 . c+oo

Die Werte Y O J ~ ~ ' ( 5 ) a iad cler folgeiiden Tabelle zu eiitnelirnen:

Wir wiihlen U = 1 , so (In13 w i r

[ = S

setzeii I\rj~inen, und beginnen ii I iser Fr )r tse t zii ngsver f R 11 r en hei R = I . Als SclirittgrOBe i ii q-l< i c o l it 11 ng iieli ineii w i I' 1 = O , G , so dnR E = 0,15 wird. Day All~giiligsprofil k a m daiiii riniiiit tc\ll)ar der nebenstehen- den l';r Idle eritiioilltiieli wer- (h, \\ ~ I I I W I ~ C I dnseiiieii Scliritt

0 0,0664 0,1328 0,1959 0,2647 0,3298 0,3938 0,4563 0,5168 0,5748 0,6298

0,6813 0,7290 0,7725 0,8116 0,s 460 0,8761 0,901 8 0,9233 0,94 1 1 0,9555

0,9670 0,9759 0,9827 0,9878 0,9915 0,9942 0,9962 0,9975 0,9984 0,9990

1.58 E;. Schriider, Berechnung dcr laminaren Glrenzsc'hicht.

I<s i t urden nach dem geschilderten Yerfahren seclis Schritte g e r w h e t , (slsu ))is s = 2,08). Die Berechnung des ersten Schrittes ist vollstandig in den aln ,Cchlul3 der Arbeit (8. 467) nngefiigten Tabellen enthalten. Die Ergehnisse sind in Fig, 2 dargestellt.

' I

0 0,225 0,430 0,626 0,782 0,894 0,955 0,982 0,995 1

0 0,1989 0,3938 0,5748 0,7290 0,8460 0,9233 0,9670 0,9878 0,9962 0,9990 1

Fig. 2 . Fortsetzung eines Blasius-Profils a n der ebenen Platte.

2. Kreiszylinder nach Hiemenz. Von K. HIEMENZ'~) nurde die Druckverteilung an eineni in Wasser getauchten

Kreiszylinder vom Durchmesser 2 r = 9,75 cm, der mit der Geschwindigkeit 19,2 cm/sec angestronit wird, vermessen.

Fiihrt man, um die in den Grundgleichungen vorkonimenden Grol3en dimen- sionslos zu machen, die Bezugslange 2 = 1 cm und die Bezugsgeschwindigkeit Vo = 7,151 cm/sec ein, was bei Y = 0,Ol cm2/sec einer Reynoldsschen Zahl

fbntspriclit, so liil3t sich die gemessene C:eschwindigkeitsverteilurlg fur 0 s 5 7 , illso bis zur Ablosestelle, die kurz*vor 9 = 7 beobachtet wurde (das entspricht einem Winkel a vom vorderen Staupunkt von 80" bis82"), gut durcli das Polynoni

V(8) = s - 0,006289 s3 - 0,000046 s5 d ar s t el len .

Bis zum Werte s = 4,5 (a - 5 5 " ) lie13 sich auf Grund des friiheren Hinweises die Losung von Blnsius-Hiemenz benutzen, so da13 unsere Rechnung, mie iibrigens

12) K. HIEMENZ, Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussigkeitsstrom cingetauchten geraden Kreiszylinder. Diss. Gottingen 191 1, abgedruckt in Dinglers polytechn. J. 326 (1911), 321-342.

K. Schdder, Berechnung dcr laminaren Grenzarhicht. 459

such die Rechnung von GORTLERI~), bei s = 4,6 beginnt. A19 SclirittgroBen fur die emten Schritte wurden Z = 0,4 und also k = 0,08 gewahlt. Die Darstellung von

fiber's ist nus Big. 3 zu ersehen. Die den Howarthschen Tabellen entnonimenen Anfangsprofile bei E = -0,08

und € = 0 sind zugleich mit den sich aus denselben Tabellen ergebenden Werten

vOn 121 in der folgenden Tabelle zusammengestellt : e=.I,C,

0 1,282 2,229 2,87 1 3,269 3,tSH 3,596 3,649 3,667 3,072 3,674

(0 , d

0 1,289 2,2268 2,948 3,384 3,628 3,749 3,813 3,834 3,839 3,842

0 0,008 0,104 0,249 0,367 0,448 0,497 0,529 0,538 0,540

pig. 3. Dle Funktlonen r = a(#), 27 = V ( r ) belm k'relsz~llnder.

Bei Beriu tzung der letztereii Werte erfordert die Bereclinung des eraten Schrittes nur ein Rechenblntt der friiher bescliriebenen Art. Mit den nngegebenen Pchrittgrdlen wurden zuniichst vier Schritte (bis 6 = 0,32) bereclinet. Die er- hdtenen Profile sind zusamineii mit den Ansgaiigsprofilen in Fig. 4 (zum Teil g egenei n n n d er verse t z t ) da rges t e 11 t .

c

!

2

1

0 6 . YIO. 4. Dle vler ersten nrch dem nlfferenzenverfohren errechnelkn Profile beini Krciszylinder.

Unter Zugrundelegung der Ausgrtiigsrelationen (23) wurclen bei demselben 2 = 0,4 und dem halben k = 0,oQ weitere funf Scliritte (bis ( = 0,52) gerechnet.

'0 H. G~RTLER, loc. cit. 4, S. 440 und e, S. 4.41. zs-___

460 K. SchrBder, Berachnung der laminaren Grenzschicht.

Die Profile s i d BUY Fig. 5 zu ersehen. Ebenfalls unter Benutzung von (23) wurden ein Schritt (t = 0,54) mit 1 = V O S = 0,283 und k = 0,02 und schlieBlich noell zwei Schritte mit 1 = 0,2, k = 0,Ol (bis [ = 0,56) gerechnet. Die Profile sind ebenfalls in Fig. 5 dargestellt.

Durch Auftrageri der

Fig. 5. Weitere Proflle liir den Kreiszylinder.

Werte au ('Q* O ) wurde die Ablijsestelle zu [ a = 0,5697,

d. h. s, = 6,87 bestimmt (vgl. Fig. 6). Tnsgesamt waren also zwolf Schritte zii berechnen. Fig. 7 zeigt die Kurven u = u(E, const). Auffallend ist ihr steil6;r Abfall in der Nahe der Ablosestelle.

I n Fig. 8 ist ein Vergleich einiger der von uns erhaltenen Profile (-- 8) mit. denen von Blasius-Hie- menz (--.--..- B-H), Pohlhausen (----- P) und Giirtler (--- G) dargestellt, die fur dieselbe

arl

Fig. 6. Die Bestimmung der Ablosestelle -beirn Kreisz ylinder.

Druckverteilurig gewonnen wurden14). Der Vergleich zeigt zuniichst, daB die Blasius-Hiemenzsche. Losung in der Niihe der Ablosestelle unzureichend wird, was offenbar darauf zuruckzufuhren ist, daB die benutzten Reihenentwicklungen fur g r o h 8 , wenn uberhaupt, nur langsam konvergieren und daher dort ledig- lich rnit den ersten drei Gliedern der richtige Verlauf nicht gut erfal3t .wird.

0 02 c 94 96 Fig. 7 . Iiie Kurven u =,u(€, const) bcim

Kreiszylinder.

Am besten und systematischsten stimmen unsere Werte mit den von Gortler erhaltenen uberein. Die Diffe- renzen machen sich gegen die Ablose- stelle hin verstarkt hemerkbar. Die Abweichungen von den von Pohlhsusen erhaltenen Werten bleiben bei diesem Beispiel im ganzen betrachtet in ertrag- lichen Grenzen, wenngleich systema- tisch verlaufende Unterschiede nicht festgestellt werden konnen. Auffallend ist, daB die Differenzen gerade in der Nahe des Geschwindigkeit~nittvirnums ( 4 - 0,36, s - 6 , u - 71 ") groI3ere Werte annehmen (vgl. die in Fig. 8

14) Vgl. K. HIEMENZ, loc. cit. l a ) S. 458, H. GORTLER, loc. cit. 4, S. 440, und K. POHL- HAUSEN, Zur niiherungsweisen Integration der Differentialgleichung der larninaren Grenz-. echicht. Z. angew. Math. Mech. 1 (1921), 252-268. - Man vergleiche hierzu auch die neuen von GORTLER in der unter 6, S. 411 zitierten Arbeit erhaltenen Werte, die recht befriedigend rnit den von une berechneten Werten iibereinstimmen.

461 K . Schrijder, Berechnung der laminaren Grenzschicht .

I = - lo und Vu = 4,3 U,, 10

gewalllt, \vo h i lo der halbe Ellipsenumfang und U, die Anstromgeschwindigkeit ist, I)ie (dinlmsionslose) Geschwindig- keit :mi Rimde der Grenzschicht konnte unmittelbar einer Tabelle von H. S m L i m 1 ’ i N G und A. uLRICHl5) ent-

- Fig. 9a. I,ie Fuliktionen €=((a) und u=u(8)

be i 111 e l l i p t isc hen 2 ylintler . Fig. 0 b. Die Funktionen e = t ( 8 ) und U = U ( 8 )

beim elllptischen Zylinder.

nomnlp~i wrden. Sie ist zusammen niit der Funktion 8

in Fig. ! l iL und 9 b dargestellt. O,? - - -

la) H. ~ ( I I L I C H ~ N G und A. ULRICH, Zur Berechnung des Umschlages laminar-turbulent. L W a h l t-l:t$r?rr.hung, Ber. S 10 (1940), 75-135.

K. Schriider, Berechnung der laminaren Grenzachicht. 462

I H ~ Interval1 O s 5 O , 2 lie13 sich U = U ( s ) befriedigerid durch .das PoIyuom

U ( S ) = s - 5,116 s3

clarstellen. Das Anfangsprofil wurde jedoch aus den friiher erwiihnten GrUnden bei 8 = 0,163 ( 5 = -0,25) gewahlt. Als SchrittgroBen fur die ersten sechs Schritte wurden I = 0,fj und k = 0,125 genommen. Die beiden Ausgangsprofile sind zusammen rnit den Werten in der folgenden Tabelle zusammen, av,

0 0,5 1,0 1,5 2,O

gestellt :

0 ' 0,0573 0,0951 0,1166 0,1268

9 u(-0.375;91

0 0,0589 0,0990 0,1226 0,1340 0,1389 0,1403 0,1408

. o 0,0949 0,2672 0,4235

I 0,5197 0,5703 0,5858

Von l = 0,5 ab lie13en'sich die Schritte zunachst vergroflern. Es wurden die fol- genden weiteren Schritte gerechnet : Sieben Schritte rnit I = 10,s = 0,7071 und k = .0,25 (bis 5 = 2,25),, drei Schritte mit 1 = 1 , k = 0,s (bis 6 = 3,751, vier Schritte rnit 2 = 1 2 = 1,414 und k = 1

~

- Fig. 10. Oeschwindigkeitsprofile fitr den

elliptlschen Zylinder.

(bis l = 7,75) und neun Schritte niit I = 2 und k.= 2 (bis An Hand der Ausgangsgleichung (22) wurde alsdann wieder eine Schritt-

verkleinerung vorgenommen. Die weiteren Schritte waren : Drei Schritte rnit

= 26,75).

Fig. 1 1 . Ermittlung der7Abliisestelle heim Fig. I!?. Die Kurven u = u ( t , const) beim ellipbischen elliptischen Zylinder. 2 ylinder.

I = 2 und Ic = 1 (bis [ = 28,75) urid schlieI3lich ein Schritt mit 1 = fz= 1,414 untl k == 0,5 (bis 5 = 29,25). Insgesamt wurden also 33 Schritte durchgerechnet.

Es zeigte s k h , da13 es inshwondere a n der Stelle des Umbiegens der Kurve

K. Schriider, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 46,3

~ ( 8 ) vom steilen Anstieg zum flacheren Verlauf nicht ratsam ist, groBere U s Schritte zii wiihlen (vgl. hierzu Fig. 12).

Auf dem ,,Hochplateau" der Geschwindigkeitsverteilung selbst hiitte man BUCh etwas grol3ere Schritte wiihleh konnen, die allerdings bei Annliherung an die Ablasestelle wieder verkleinert werden mufiten. Eine grol3e Reihe der von uns brechneterl Profile ist aus Fig. 10 zu ersehen. Die Ablosestelle wurde aus dein

Ver]auf von [e] zu S, = 8,475 bestimnit (vgl. Fig. 11). arj q=o

D~ V O I ~ Schlichting und Ulrich dasselbe Beispiel einmal nach dem gewohn- lichen ~%hlhauaen-Verfahren (P,-Verfahren) und sodann nach einem bei Zu-

Fig. 13. Vergleich der Profile beim elliptischen Zylinder.

qundel eg ung ein es Po 1 ynoms sechsten Grades mo di f iziert en Po hl hausen -Ver f a h- fen (P,-Verfahren) durchgerechnet wurdela), konnte der Vergleich bei einer h i h e von Profilen vorgenommen werden. Die Ergebnisse sind in Fig. 13 und fig. 14 zusammengestellt.

Bis ziim Druckminimum hin sind die Ab- 32

weichungen zwischen unseren Kurven und den Po- und P,-Kurven nicht allzu grol3. In der NIhe der Ablosestelle zeigen sich aber stiirkere

1, Abweichilngen. Die Profile des urspriinglichen Pohlhausen-Verfahrens stimmen dort besonders 1

fur klcirie 7-Werte besser mit unseren iiberein als die des P,-Verfahrens. Als Ablosestelle er- a

gab sich nach dem P,-Verfahren 8, = 8,38 und nach dern P,-Verfahren s, = 8,26, so da13 diese Werte, insbesondere der des P,-Verfahrens, nicht itllzu stark von unscrem Wert abweichen.

8

Pig. 14. Vergleich der Profile beim elliptischen Zylinder. u

4. Berechnung der laminaren Grenzschicht bei dem von Schubauer vermessenen Zylinder.

Von G. B. SCHUBAUER?~) wurde ein elliptischer Zylinder mit der kleinen Achse 10,11 cm und der grol3en Achse 29,92 cm (vgl. Fig. 15a) mit einem Hitzdraht-

'0 H. SCHLICHTINU und A. ULRICH, loc. cit. 16) S. 461. - 1') G . B. SCHUBAUER,. Air flow in a separating laminar boundary layer. NACA Techn. Note 527 (1935).

--

' - 4 2 0

Fig. 1 5 . Gernessene ~ e c r h w i n d i g k e i t s i e r t e i l u n g (vordrrer Bereirh). Fig. 1 5 a . Der V O I I S r h u h a w r vrinieasrrie ell i l ltf i~che Zylinder.

c.liiing aus der gemeswneii Druckverteiluiig erniit telt e C:esc.Ii\\,iiicligktit an1 Randt. der Chenzschicht ist i\l1s Fig. 15 untl 16 ZII ersehen, in deneii gleichzritig die Variable ,f = ,f (s) eingetragen ist. -41s Ap~~~o-~iin;ltioiispolgnom fiir die Um- gebiing des Stnupunl<tw wiirde

Fig. 16. Qemeseene Geechwindlgkeitsverteilung im ganeen Berelch.

465

Es wurden bis zur Ablose- stelle 37 Schritte gerechnet. Einen 'Oberblick iiber die meisten der von uns gerechneten Profile gibt Fig. 17. Die Ablosestelle wurde gemal3 Fig. 18 zu la = 19,43, d. h. 8, = 21,43 gefunden, wlihrend von Schubauer 8 = 19,9 0,2 ange- geben wird. Die Figuren 19-23 zeigen einen Vergleich zwischen den gemessenenGeschwindigkeits-

"0 tlpr a04

a02

Fig. 18. Bestimmung der Ablliseetelle.

profilen und den gerechneten. Gleichzeitig sind die Profile nach der RechnungvonPohlhausen ein- getragen. Bis zur Stelle 8 = 18,32 haben wir eine gute ubereinstim- mung. Alsdann machen sich aber gewisse Unterschiede bemerkbar. Die gemessenen Werto sind von dieser Stelle ab systematisch klei- ner als die von uns gerechneten, was auch dem entspricht, daB die experimentell bestimmte Ab- losestelle etwas vor der von uns gerechneten liegt. Interessant ist der in Fig. 23 gezeigte Vergleich zwischen dem von uns an der Stelle 8'= 21,20 gerechneten Pro- fil und dem bei 8 = 20,29 gemes- senen Profil. Beide decken sich sehr gut. Unsere Profile liegen also systematisch etwas nach gro- I3eren Werten. Die Gestalt der Profile selbst wird aber gut durch die berechneten wiedergegebenen .

Fig. 17. uberslcht tiber die gerechieten Qeschwindlgkeitsproflle.

30

466 li. Schrbder, Bcrechnung dcr laminaren Grcnzschicht.

h- C

h

Bei den Figuren I 9 u . 20 fallen die Profile von Pohlhausen anniihernd mit unseren zusammen. Rei den mi t einern x eekennzeichneten MeOpunkten wurde der Wiirmeverlust, des Hitzdralltes durch die Kiirper- oberflitche beriicksichtigt, allerdings unter Zugruodelegung der Yerhiltnisse i n ruhender Luft. Wie die Figuren 19 u. 20 zeiyen. ist diese Korrektur wegen der dort in WandnHhe vorhandenen groOen Gescllwin- digkeit nicht, als zuverllssig anzusehen. Bei den Profilen der Figurcn 21-23 gibt die Korrektur die Ver-

hiiltnisse offensichtlich besser wieder.

K. Schroder, Berechnung der laminaren Grenzschicht. 467

Tabelle 1. - @ ---

I

@ * l!aw

-7

W

II

- 0

-0,0261 -0,0362 -0,051 2 -0,0530 -0,0480 -0,031 7 -0,0160 -0,0072 -0,0038 -0,0010 0,0000 0,0000

- (3

c I+ [ E

b

II

s -3

0

- 0,3315 0,3282 0,3132 0,2793 0,2260 0,1619 0,1008 0,0637 0,0243 0,0093 0 0 0

I d l 8 + +

b” 11

r(

b

-7 !2w 8 -

0 0,1734 0,3566 0,6249 0,6770 0,8002 0,8902 0,9468 0,9776 0,9919 0,9981 0,9996 1’

_cc

UP, IY - 0

0,3938 0,6748 0,7290 0,8460 0,9233 0,9670 0,987 8 0,9962

1 1

0,1989

0,9990

- Ug-l,f

0 - 0326 0,430 0,826 0,782 0,894 0,966 0,982

1 1 1 1

0,995

0 - 0,007 8 -0,0265 -0,0527 -0,0840 -0,1143 -0,1382 -0,1522 -0,1689 -0,1622 - 0 , 1636 -0,1639 -0,1639

0 -0,0026 I0,0083 -0,0147, -0,0180 - 0,Ol 85 -0,0139 - O,Oo82 -0,0039 - 0,001 5 0 0 0

-1 -0,8011 -0,6062 -0,4262 -0,2710 -0,1640 - 0,07 67 -0,0330

-0,0038 -0,0122

- 0,0010 -0,oOoo -0,0000

0 -0,0209 - 0,02 1 9 -0,0218 -0,0144 -0,0074 -0,0024 - 0,0005 -0,0001 0 0 0 0

-1,ooco -0,8266 -0,6434 -0,4751 -0,3230 -0,1998 -0,1098 -0,0532 -0,0224 - 0,008 1 - 0,001 9 -0,0005 0

-0,8031 -0,6132 - 0,4386 -0,2896 -0,1739 -0,0936 -0,0446 -0,0184 -0,0066 -0,0019 -0,0006

0

Tabelle 11.

@ . Korrektur @

@

@

0

+ +

-7

b

T i

4- 3”

- 0 0,1731 0,3543 0,5274 0,6806 0,8052 0,8899 O,!M14 0,9737 0,9897 0,9972 1 1

-8 % + g @) - r v l c u w

> I 1 :

- 1 ,oOOo -0,8269 -0,6457 -0,4726 -0,3194 -0,1948 -0,1101 - 0,0686 -0,0263 - 0 ,O 1 03 -0,0028

+ + n

m

u . I

0 0

@ @ X

I

0 -0,0258 - 0,0367 -0,0606 -0,0626 - 0,0469 -0,0324 -0,0176 -0,0087 - O,OO40 -0,0010 -0,0002

0,ooOo

0 -0,0077 -0,0265 -0,0527 -0,0836 -0,1134 -0,1372 -0,1522 -0,1601 -0,1639 -0,166.4 -0,1658 -0,1668

0 -0,0026 -0,0083 -0,0147 -0,0189 - 0,0184

-0,0082 - 0,0039 -0,0015

-0,Oi 3 8

0 0 0

0 - 0,0207

-0,0216 -0,0142 -0,0072 -0,0025

-0,0222

-0,0006 -0,0001

0 0 0 0

- 1,0000 -0,8263 - 0,643 7 -0,4748 - Oi3227 -0,1996 -0,1098 - 0,0633 -0,0224 -0,0081 - 0,001 9 -0,0005 0

0 0,1737 0,3663 0,6262 0,6773 0,8006 0,8902 0,9467 0,9776 0,9919 0,9981 0,9995 1

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