Vorl g l Interaktion Boden Bauwerk

Seite Interaktion Bauwerk - Baugrund L.1

Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik, Felsmechanik und Tunnelbau

Vo 27.03.2008 D:\Kh\Skript_Originale_einseitig_SS08\VorlG-L-Interaktion.doc

L Interaktion Bauwerk - Baugrund

L.1 Allgemeines

Jedes Bauwerk steht in Interaktion mit dem Baugrund. Bei statisch bestimmten Bauwerken und vertikaler Belastung be-schränkt sich die Interaktion auf Setzungen und Verkantungen, die keinen weiteren Einfluss auf die Bauwerksbeanspru-chung haben. Ebenso ist bei einer praktisch starren Lagerung, also beispielsweise einer Gründung im kompakten Fels, kein besonderer Einfluss des Baugrunds auf das Bauwerk gegeben. In der Regel wird jedoch die Bauwerksbeanspru-chung von den Verformungen des Baugrunds mitbestimmt und ohnehin sind die aus einem Bauwerk resultierenden Las-ten für die Verformungen und das Verhalten seines Baugrunds bestimmend. Die Interaktion zwischen Bauwerk und Baugrund ist bei Gründungen dadurch geprägt, dass die Lasten eines Bauwerks Verformungen des Untergrundes und die Verformungen des Untergrundes Umverteilungen von Lasten in einem Bauwerk bewirken. Dies gilt in gleicher Weise für ein einzelnes kleines Fundament, ein System von Einzel- und Streifenfundamen-ten mit darüber liegenden Stützen und Wandscheiben, ein auf einer Bodenplatte gegründetes Bauwerk, ein pfahlgegrün-detes System und nicht zuletzt auch für benachbarte Bauwerke, die über den Untergrund miteinander gekoppelt sind. Weitere Interaktionen zwischen Bauwerken und dem Baugrund sind außer bei Gründungen zum Abtrag vertikaler Lasten auch bei Erddruckproblemen gegeben. Hier sind die an vertikalen Bauteilen wirksamen Erddrücke in ausgeprägtem Maß von Verformungen abhängig. Auch die Einspannung von Pfählen, Spundwänden oder Schlitzwänden in den Untergrund sind Themen der Interaktion von Bauwerken und Baugrund. Wei-terhin sind die von Relativverschiebungen abhängigen Kraftüber-tragungen zwischen Pfählen oder Ankern in den Baugrund als Interaktionsprobleme aufzufassen. Die zuletzt aufgeführten Themen werden in eigenen Vorlesungs-einheiten behandelt.

L.2 Vertikale Spannungsverteilung als Funktion von Bau-werk und Baugrund

Bereits in der Vorlesungseinheit H, "Baugrundverformungen" wurde in Abschnitt 4.1.4 aufgezeigt, dass die Spannungsvertei-lung unter einem vertikal belasteten Fundament von der Steifig-keit des Fundamentes abhängig ist, da die Biegelinie des Grün-dungskörpers und die Setzungsmulde des Bauwerks zusammen-passen müssen. Für das starre Fundament, bei dem die Biege-form eine ebene Fläche ist, ergibt sich auf der Grundlage des elastisch-isotropen Halbraums die Sohlspannungsverteilung nach BOUSSINESQ, bei der die Fundamentlasten von innen nach außen umgelagert werden und Spannungsspitzen an den Fun-damenträndern auftreten. Eine schlaffe Gleichlast erzeugt dage-gen eine Setzungsmulde, der nur von einem sehr biegeweichen Fundament (z.B. Tank mit Stahlboden) gefolgt werden kann.

Bild L02.10: Sohlspannungsverteilung unter einem starren Fundament

Bild L02.20: Grenzfälle der Interaktion von Fundament und Boden: starres Fundament (a) und schlaffe Lastfläche (b) (z.B. Tank: σ = P/A = const)


In der herkömmlichen Bodenmechanik wird der elastisch-isotrope, homogene Halbraum bei der Berechnung von Flächen-gründungen als das Rechenmodell verwendet, mit dem das Verformungsverhalten des Baugrundes bei kleinen, bauwerks-verträglichen Lasten in der Praxis ausreichend genau beschrieben wird. Dies gilt vereinfachend auch bei geschichtetem Baugrund, da die Anwendung der Mehrschichtentheorie mit den unsicher formulierten Übergangsbedingungen an den Schichtgrenzen mit einem kaum vertretbaren mathematischen Aufwand verbunden ist und unter Berücksichtigung von Streuungen der Eingangsgrößen von Setzungsberechnungen mit ihr kaum eine Verbesserung der Ergebnisse zu erwarten wäre. Bei großen Verformungen und Lasten, die über große zusammenhängende Bereiche Baugrundbeanspruchungen in der Nähe seiner Scherfestigkeit erzeugen, erreichen Spannungs- und Verformungsberechnungen mit Hilfe des elastisch isotro-pen Halbraums ihre Grenze; hier werden Verfahren erforderlich, die das nichtlineare Spannungs-Dehnungsverhalten abbil-den können, z.B. Finite-Element-Berechnungen. Mit derartigen Verfahren lassen sich auch lokale Spannungsumverteilungen erfassen, die erforderlich sind, um die nach Elastizitätstheorie z.B. an den Rändern starrer Fundamente auftretenden Span-nungskonzentrationen derart abzubauen, dass die Scherfestigkeitsbedingung eingehalten wird. Bleiben wir zunächst beim elastisch isotropen Halbraum: Findet man eine Spannungsverteilung an der Unterseite eines Bauwerks, also unter einer belasteten Gründung (z.B. Bodenplatte, Fundamentrost), die sowohl - die Gleichgewichtsbedingungen für die eingeprägten Lasten erfüllt, - von oben nach unten auf den Halbraum wirkend eine Setzungsmulde erzeugt, - als auch von unten nach oben wirkend in der Gründung (unter Berücksichtigung der Steifigkeit des darüber liegenden

Gesamtbauwerks) zu einer Biegeform führt, und beide Verformungsverteilungen passen zusammen, dann beschreiben die Spannungs- und Verformungsverteilungen die Interaktion zwischen Baugrund und Bauwerk. Bei Modellen, die in der genannten Art passende Verteilungen errech-nen, spricht man von Halbraumverfahren. Gebräuchlicher ist der Begriff des Steifemodulverfahrens. Das Steifemodulverfahren ist nur mit Hilfe von EDV-Berechnungen anwendbar und im Zusammenhang mit komplexen Bauwerksstrukturen mit sehr hohem Rechenaufwand verbunden. Daher wird nach wie vor ein anderes Verfahren regel-mäßig angewandt, bei dem der Halbraum durch ein entkoppeltes Federsystem ersetzt wird: das Bettungsmodulverfahren. Als Bettungsmodul ist dabei das Verhältnis zwischen Sohlspannung und Verformung definiert, er repräsentiert daher eine Flächenfeder. Sehr zweckmäßig ist es, mit Hilfe des Steifemodulverfahrens und einer vereinfachten Erfassung der Bau-werksstruktur wesentliche Einflüsse der Interaktion zwischen Baugrund und Bauwerk zu ermitteln und aus den dabei gewonnenen Parametern Bettungsmoduln in ihrer Größe und Verteilung abzuleiten. Bei der detaillierten Berechnung der tatsächlichen Bauwerksstruktur wird dann die Wirkung des Baugrunds nur über derart ermittelte Bettungsmoduln (Flä-chenfedern) erfasst, die in den entsprechenden Programmsystemen in freier Verteilung berücksichtigt werden können.

L.3 Steifemodulverfahren (Halbraumverfahren)

L.3.1 Allgemeines

Eine Ermittlung von Spannungsverteilungen, welche die o.g. Bedingungen erfüllen, ist in geschlossener Form nicht mög-lich. Stattdessen kommen diskrete Verfahren und numerische Berechnungen zur Anwendung. Die Kopplung zwischen dem Halbraum und dem Bauwerk wird auf einzelne diskrete Koppelpunkte konzentriert. Die Kräfte und Verformungen an diesen Koppelpunkten sind zunächst unbekannt. Es bestehen jedoch Abhängigkeiten zwischen den Unbekannten, die in linearen Gleichungssystemen ausgedrückt werden können. Diese sind mit Hilfe der EDV zu lösen. Dabei entsteht das rechentechnische Problem, dass die Koeffizientenmatrix der dabei formulierten Gleichungssysteme voll besetzt ist, da eine Belastung an einer Stelle des Halbraums auch an jeder anderen Stelle eine Verformung bewirkt. Wenn nachstehend von einer Gründungsplatte gesprochen wird, dann sollen in ihrer Steifigkeit auch die Steifigkeitsantei-le aus dem darüber liegenden Bauwerk erfasst sein, wobei vor allem Wandscheiben - auch in höherliegenden Geschos-sen - erhebliche Einflüsse haben können. Bild L03.10 zeigt ein einfaches Beispiel, bei welchem die Steifigkeit der Über-baukonstruktion im Zusammenwirken mit der Steifigkeit der Bodenplatte die Interaktion Bauwerk - Baugrund deutlich beeinflusst.


Gedanklich wird beim Steifemodulverfahren eine Gründungsplatte in einzelne Elemente zerlegt. Im Zentrum eines jeden Plattenele-mentes befindet sich ein Koppelpunkt, den man als kleine Stütze auffassen kann, der mit einem Einzelfundament auf dem Halbraum verknüpft ist. Bei der EDV-Berechnung müssen die an der Ober-seite der Platte angreifenden Kräfte derart verteilt werden, dass - die Biegeform der durch angreifende Lasten und tragende

Stützkräfte beanspruchten Platte, die auf vielen nachgiebigen Stützen (Koppelpunkten) gelagert ist, und

- die Setzungen aller Einzelfundamente unter ihrer Last entspre-chend der Halbraumtheorie

in Einklang miteinander stehen (Bild L03.20). Dabei ist es hilfreich, wenn die Biegedrillsteifigkeit der Platte vernachlässigt und sie in orthogonale Plattenstreifen zerlegt wird. Dann vereinfacht sich die Berechnung der Platte zu einer Berechnung eines (geschlossenen) Balkenrostes.

Zunächst wird die Plattenmatrix An,n mit den Elementen aij (aij = aji) [kN/m] ermittelt. Darin ist aij die Kraft in der Stütze (Koppelpunkt) j, wenn das Element i die Stützenverschiebung 1 erfährt und alle anderen Elemente festgehalten werden. Sie setzt sich zusammen aus Anteilen beider auf der Stütze j aufliegenden orthogonalen Balken (Bild L03.30). Wenn die Stützen i und j bei der vereinfachten Plattenberechnung als biegedrillweicher Trägerrost nicht über Balken miteinander verbunden sind, ist die Kraft aij = 0. Wird statt eines geschlosse-nen Balkenrostes eine biegedrillsteife Platte in die Berechnungen einbezogen, so sind für den Lastfall Stützensenkung um 1 an einer Stelle die Stützkräfte an allen Koppelpunkten zu ermitteln. Sie sind dann an allen Punkten von 0 verschieden. n ist die Gesamtzahl aller Plattenelemente. Bei der vereinfachten Betrachtung am Trägerrost können die an den Koppelpunkten wirkenden Stützkräfte der einzelnen Balken z.B. nach dem Kraft-größenverfahren ermittelt werden. Dazu werden die einzelnen Balken als Durchlaufträger berechnet, wobei die Stützmo-mente als primäre Unbekannte eingeführt werden.

Als nächstes wird die Bodenmatrix Bn,n mit den Elementen bij (bij = bji) [m/kN] ermittelt. Darin ist bij die Verschie-bung am Fundament (Intervallsegment) j, wenn das Fundament i mit der Last 1 belastet wird. Aufgrund der Eigenschaft des elastisch isotropen Halbraumes, dass bei Belastung an einer Stelle an der Oberfläche des gesamten Halbraumes Verformungen auftreten, ist die Bodenmatrix beim Steifemodulverfahren vollständig besetzt. Die Setzungsberechnungen werden konsistenterweise unter der Annahme konstanter Spannung unter dem belasteten "Fundament" jeweils im charakteristischen Punkt der einzelnen Plattenelemente durchgeführt. Dazu sind verschiedene Verfahren geeignet, wie sie im Kapitel H, "Baugrundverformung", erläutert sind, z.B. Gleichung H05.30.

Bild L03.10: Beispiel für ein Bauwerk, dessen Steifigkeit im Überbau die Interaktion zum Bau-grund beeinflusst.

Bild L03.20: Gedankenmodell für die Kopplung einer biegedrillweichen Platte mit dem Halbraum

Bild L03.30: Biegelinie und Stützkräfte eines Bal-kens bei Stützenverschiebung um 1 bei einer Stütze


Eine Schichtung des Untergrundes, auch mit unterhalb der Gründungsplatte variierenden Schichtmächtigkeiten und Stei-femoduln, kann dabei berücksichtigt werden. Da für das Verfahren das Superpositionsprinzip vorausgesetzt wird (Ein-heitszustände), können jedoch nichtlineare Einflüsse, also z.B. auch Ent- und Wiederbelastungen, nicht unmittelbar be-rücksichtigt werden. Die in Setzungsberechnungen eingehende Setzungseinflusstiefe (20-%-Kriterium), ebenso wie das Spannungsniveau für die zutreffende Ermittlung von Steifemoduln, muss über globale Betrachtungen (Gesamtgröße der Platte und Belastung) ermittelt werden. Alle äußeren Belastungen werden im Lastvektor qn zusammengefasst, dessen Elemente qi [kN] die angreifenden Be-lastungen auf dem Plattenelement i enthalten. Unbekannt sind der Vektor pn mit den Elementen pi [kN], der die Stützkräfte aller Koppelpunkte zwischen Platte und

Halbraum enthält, sowie der Vektor vn mit den Elementen vi [m] mit den Verschiebungen aller einzelnen Koppelpunk-te. Die Vorzeichen sind wie folgt definiert: vi: Setzungen positiv

pi: Druckkräfte in den Stützen (Koppelpunkten) positiv

qi: von oben nach unten wirkende Lasten positiv Es gilt die Gleichgewichtsbedingung bei einem Schnitt durch alle Koppelpunkte: p = q + A·v (L03.10). Außerdem sind die Verschiebungen der Koppelpunkte identisch mit der Setzungsmulde des Halbraums: v = B·p (L03.20). Durch Einsetzen von Gleichung L03.10 in L03.20 ergibt sich p = q + A·B • p , also (A·B - 1)·p = - q also ein lineares Gleichungssystem für die in den Koppelpunkten wirkenden Stützlasten p. Nach Auflösung lassen sich die Verschiebungen v über Gleichung L03.20 ermitteln. Mit den derart ermittelten Stützlasten, Sohldruckspannungen und Verschiebungen können die Beanspruchungen der Bodenplatte bzw. des Bauwerks nach den Regeln der Statik einfach ermittelt werden.

L.3.2 einfaches Beispiel

Platte 1 m auf 3 m, 0,3 m dick; hier (zu grob) unterteilt in 3 Felder je 1 m auf 1 m; Beton mit E = 30000 MN/m2; daraus: statisches System für die Platte: Balken mit 1 m Breite auf 3 Auflagern im Abstand von 1 m; mitten auf der Platte, also im mittleren Feld, wirkt eine äußere Last P von 100 kN; Boden hat Steifemodul Es = 10 MN/m2 bis zur Tiefe von 3 m, darunter Fels.

V = 100 kN

ES Boden = 10 MN/m²

E Beton = 30.000 MN/m²1,00 1,00 1,00

1,00

3,00

0,30

Bild L03.40: Berechnungsbeispiel


Plattenmatrix (gerundet, ohne weitere Ableitung / siehe Statik): A = 100200 100200 400200 100200 100

−−

−−−

Das bedeutet z.B. für die erste Zeile: Am linken äußeren Auflager (Koppelpunkt) muss eine Kraft von 100 kN nach unten angebracht werden, um die Platte um 1 mm nach unten zu verschieben; gleichzeitig entsteht am mittleren Auflager (Ver-schiebung 0) eine Auflagerdruckkraft von 100 kN und am rechten äußeren Koppelpunkt (ebenfalls Verschiebung 0) eine Zugkraft von 100 kN. Bodenmatrix: Sie ergibt sich aus Setzungsberechnungen für die Einheitslast 1. Im Beispiel sind die Berechnungen verein-facht, bei EDV-Berechnungen können die in der Vorlesung H, "Baugrundverformung" dargestellten Formeln angewandt werden. Für ein mit 1 kN belastetes Feld 1 m mal 1 m gilt: s = f·σ·b / Es

mit: σ = 1 / (1·1) = 1 kN/m2 f = Setzungsbeiwert, vgl. Vorlesung H, "Baugrundverformung": a/b = 1; z/b = 3/1 = 3 f = 0,7 (charakteristi-scher Punkt)

damit ist: s = 0,7·1·1,0 / 10 = 0,07 mm. Für ein dem belasteten Feld unmittelbar benachbartes unbelastetes Feld kann man z.B. mit Hilfe der Newmark-Spinne (Bild H5.90 in der Vorlesung H, "Baugrundverformung") eine Setzung (Setzungsmulde) von etwa 0,03 mm und für das nochmals um 1 m weiter entfernt liegende Feld von 0,01 mm abschätzen.

Damit ergibt sich die Bodenmatrix B zu B = 07,003,001,0 03,007,003,0 01,003,007,0

Dann ist A·B = 28 2 4 164 28 2

−−−

−− und (A·B - 1) =

38 24 174 28 3

−−

−−−

Dies führt zum linearen Gleichungssystem für die Auflagerlasten P und die in der Mitte angreifende Last von -100 kN:

38 2 4 174

28 3

−−−

−− ·

P P P

3

2

1

= 0

1000

−

Es lässt sich mit Hilfe von Determinanten lösen: D = -21 D1 = -800 P1 = 38,1 kN v1 = 3,76 mm D2 = -500 P2 = 23,8 kN v2 = 3,95 mm D3 = -800 P3 = 38,1 kN v3 = 3,76 mm Obwohl die Last in der Mitte der Platte angreift und die Durchbie-gung in der Plattenmitte mit 3,95 mm größer ist als die Randver-formung mit 3,76 mm, sind die Auflagerkräfte (und damit die Sohlspannungen σ = P / A) am Rand größer als in der Mitte. Hier wirkt sich der "Boussinesq-Effekt" aus: Der Boden entzieht sich in der Mitte der Platte aufgrund der Setzungsmulde infolge der Nachbarbelastung seiner Last. Dies äußert sich in Bettungsmo-duln ks,i = σi / vi , die nicht konstant sind und sich zu ks,1 = ks,3 = 10,1 MN/m3 und ks,2 = 6,0 MN/m3 ergeben.

Bild L03.50: Berechnungsergebnisse nach dem Steifemodulverfahren


L.3.3 Einfluss der Intervallteilung

Je feiner die Diskretisierung der beanspruchten Gründungsplatte ist, desto besser sind in der Regel die Ergebnisse, aber um so größer ist auch der Rechenaufwand. Für das in Bild L03.10 dar-gestellte System werden nachstehend einige quali-tative Zusammenhänge herausgestellt, wie sie sich aus einer Vielzahl durchgerechneter Beispiele ergeben haben. Der Einfluss der Intervallteilung kann dem Bild L03.60 (SMOLTCZYK / NETZEL, 1992) entnom-men werden. Für das hier untersuchte Beispiel ändern sich die Verteilungen ab einer Intervalltei-lung von etwa 8 bis 10 Elementen je Feld praktisch nicht mehr, während bei gröberer Unterteilung mit erheblichen Verfälschungen zu rechnen ist.

L.3.4 Auswirkungen von Plattendicke, Unter-grundsteifigkeit und Laststellung

Mit Hilfe eines EDV-Programms, welches auf dem in Abschnitt L.3.1 beschriebenen Verfahren beruht, wurden die folgenden Beispiele berech-net, die einige Einflüsse auf die Interaktion zwi-schen Baugrund und Bauwerk aufzeigen (Bild L03.61). Referenzbeispiel ist eine 5 m auf 5 m große, 30 cm dicke Stahlbetonplatte mit einem E-Modul von 30.000 MN/m2, die in 11 auf 11 Elemente einge-teilt ist. Sie ist im Zentrum auf einer Fläche von 1,36 m auf 1,36 m (9 Elemente) gleichmäßig mit 1000 kN/m2 belastet. Der Boden besteht aus einem halbfesten Lehm bis in 10 m Tiefe mit einem Steifemodul von 10 MN/m2.

Bild L03.60

Variation Plattendicke: d = 0,15 / 0,3 / 0,6 / 1 m

Variation Untergrund: Es = 1 / 5 / 10 / 50 MN/m2

Variation Laststellung: Belastung zentrisch / randlich







Bild L03.61


Bild L03.62 zeigt den Einfluss der Plattendicke auf die Biegelinie, die Sohldruckspannungen, den Bettungsmodul und die Momente in einem Schnitt durch die Plattenmitte für Plattendicken von 0,15 m, 0,3 m, 0,6 m und 1 m. Zwischen den Be-rechnungsergebnissen mit 0,15 m und 0,3 m Dicke zeigt sich dabei ein signifikanter qualitativer Unterschied. Die weiche-re Platte hebt an den Rändern und – im Bild nicht dargestellt – vor allem an den Ecken vom Untergrund ab. Bei den größeren Plattendicken ist die Plattensteifigkeit so groß, dass sich an den Plattenrändern der "Boussinesq-Effekt" zeigt, also deutliche Spannungskonzentrationen bei recht gleichmäßigen Setzungen errechnet werden. Dies hat signifi-kante Auswirkungen auf die Bettungsmodulverteilung, die auch nicht annähernd konstant ist. Das Moment in Feldmitte variiert infolge der durchgeführten Steifigkeitsvariation um mehr als 50 %.

Bild L03.62: Auswirkungen einer variierten Plattendicke auf Sohldruck, Verformungen, Biegemomente und Bettungsmo-dul bei einer 5 m auf 5 m großen, zentrisch belasteten Platte auf halbfestem Lehm


Bild L03.63 zeigt den Einfluss der Baugrundsteifigkeit, die mit Steifemoduln von 1 MN/m2 (z.B. Torf), 5 MN/m2 (z.B. wei-cher Lehm), 10 MN/m2 (z.B. halbfester Lehm) und 50 MN/m2 (z.B. mitteldicht gelagerter Sand) variiert wurde. Auch hier ist ein Qualitätssprung in den Ergebnissen zu erkennen, wenn die Steifigkeit des Baugrunds im Vergleich zur Steifigkeit der Platte deutlich ansteigt. Eine im Vergleich zum Untergrund weiche Platte hebt bei der hier betrachteten mittigen Be-lastung an den Rändern fast ab, was gleichzeitig erhebliche Einflüsse auf den Bettungsmodulverlauf hat. Bei noch deutli-cheren Steifigkeitsunterschieden kann es dabei auch zu rechnerischen Zugspannungen und in Teilbereichen auch zu rechnerisch negativen Bettungsmoduln kommen. Das ist dann der Fall, wenn sich aus der Gesamtsetzungsmulde noch Setzungen, also positive Verformungen ergeben, zur formtreuen Kopplung zwischen Platte und Baugrund jedoch Zug-spannungen erforderlich sind. Tatsächlich würde es in derartigen Fällen zu einem Klaffen zwischen Platte und Boden kommen.

Bild L03.63: Auswirkungen einer variierten Baugrundsteifigkeit auf Sohldruck, Verformungen, Biegemomente und Bet-tungsmodul bei einer 5 m auf 5 m großen, 30 cm dicken zentrisch belasteten Stahlbetonplatte


Bild L03.64 zeigt den Einfluss der Laststellung bei unveränderter Gesamtlast von 1000 kN, die im Referenzbeispiel im Zentrum (9 von 121 Elementen) wirkt. Zum Vergleich ist sie einmal gleichmäßig verteilt und in einem anderen Fall auf 40 Elemente entlang des Plattenrandes. Die Ergebnisse zeigen, dass der Bettungsmodul trotz unveränderter Steifigkeit der Platte und des Baugrunds deutlich von der Laststellung abhängig ist. Zwar tritt in allen Fällen eine Bettungserhöhung am Plattenrand auf, in Plattenmitte variiert das Verhältnis von Sohldruckspannungen zu Verformungen zwischen den verschiedenen Laststellungen aber etwa um den Faktor 2.

Grundsätzlich zeigt sich: Die Konzentration der Sohldrücke ist grundsätzlich unter Wänden und Stützen um so stärker - und damit die Biegebeanspruchung der Platte um so kleiner - je weicher die Platte im Verhältnis zum Baugrund ist, d.h. - je kleiner d ist; - je größer l ist; - je größer Es ist; - je dünner die zusammendrückbare Schicht ist. Die Plattenmomente werden bereits im Zustand I (ungerissener Beton) in günstigen Fällen auf einen Bruchteil derjenigen Werte abgemindert, die sich bei gleichförmiger Sohldruckverteilung ergäben.

Bild L03.64: Auswirkungen einer variierten Laststellung auf Sohldruck, Verformungen, Biegemomente und Bettungsmo-dul bei einer 5 m auf 5 m großen, 30 cm dicken Stahlbetonplatte auf einem halbfesten Lehmuntergrund


L.3.5 Einfluss der Überbausteifigkeit

Die Biegemomente der Gründungsplatte weichen für starren (z.B. Wandscheiben) und schlaffen (z.B. Fertigteilkonstruktion) Überbau um so mehr voneinander ab, je steifer die Platte im Verhältnis zum Baugrund ist. Vor allem die Dicke der zusammendrückbaren Schicht spielt hierbei eine große Rolle. Eine Momentenlinie mit nahezu glei-chem Vorzeichen über die ganze Bauwerkslänge ist nur bei großer Schichtdicke, kleinem Steifemodul und weichem Überbau zu erwar-ten: Fall "a" in Bild L03.70. Ein steifer Überbau schiebt die M-Linie nach oben, so dass qualitativ das für einen Durchlaufträger typische Momentenbild entsteht: Fall "b" in Bild L03.70. Ursache hierfür ist die bei starrem Überbau erzwungene gleich große Setzung unter den Wänden. Die günstige, den Gründungskörper entlastende Wirkung eines steifen Überbaus muss als belastende Wirkung von den aufgehen-den Wänden und vom Überbau selbst übernommen werden.

L.3.6 Einfluss biegesteifer Wandanschlüsse

Beim Vergleich biegesteifer und gelenkiger Wandanschlüsse ergeben sich im Allgemeinen nur in den Endbereichen der Platte unterschiedliche Schnittgrößen. Biegesteife Wandanschlüsse sollten möglichst vermieden werden, weil die Entlastung der Platte in der Regel unerheblich ist, während die Wände erheblich auf Biegung beansprucht werden.

L.3.7 Vergleich mit dem Bettungsmodulverfahren

Rechnet man ein System mit dem Steifemodulverfahren, dann lässt sich aus den Ergebnissen ein variabler Bettungsmodulverlauf unter der Bodenplatte ermitteln, der für jedes diskretisierte Intervall dem Quotienten aus Sohlspannung und Setzung entspricht. Eine Berechnung des gleichen Systems unter der gleichen Last mit diesem derart ermittelten Bettungsmodulverlauf führt auch bei der Beanspruchung der Konstruktion zu identischen Größen. Es ist jedoch zu beachten, dass der derart ermittelte Bettungsmodulver-lauf nicht nur von der Geometrie des Systems, sondern auch von der Verteilung (relative Lage von Setzungsmulde und Bauwerk zueinander) und Größe (Setzungseinflusstiefe) der Lasten abhän-gig ist. Wählt man jedoch vereinfacht einen konstanten Bettungsmodul unter der gesamten Gründung, der sich dann aus der mittleren Sohlspannung und der mittleren Setzung ergibt und vergleicht die Ergebnisse einer derart nach dem Bettungsmodulverfahren berechneten Platte mit Ergebnissen einer Berechnung nach dem Steifemodulverfahren, so ergibt sich, dass die Biegemomente um so mehr voneinander abweichen, je steifer die Platte und je weicher der Baugrund ist. Bei Abweichungen ist typisch, dass die nach dem Bettungsmodulverfahren gerechneten M-Linien zu weit oben liegen, Bild L03.80. Damit wird in der Regel auch der Stahlverbrauch bei einer Bemessung nach dem Bettungsmodulverfahren unter Ansatz eines konstanten Bettungsmoduls größer, da die größeren Feldmomente mit der oben durchlaufenden, kaum abgestuften Bewehrung mehr Gewicht bringen als die höheren Stützmomente nach dem Halbraum-verfahren mit der dafür erforderlichen, stark abstufbaren Bewehrung. Das Bettungsmodulverfahren mit Ansatz eines konstanten Bettungsmoduls sollte daher nur dann angewendet werden, wenn genügend weiche Gründungskörper mit Einzellasten in großen Abständen und hinreichend steifer Baugrund gegeben sind. In anderen Fällen sollte der Bettungsmodul nicht als Konstante, sondern – als Ergebnis vereinfachter Berechnungen mit dem Steifemodulverfahren – als Verteilung unter der Bodenplatte ermittelt werden.

Bild L03.70

Bild L03.80: Verfahrensvergleich hinsichtlich von Momenten beim Steifemodulverfahren und Bet-tungsmodulverfahren


L.3.8 Elimination zu hoher Sohldruckwerte bzw. rechnerischer Sohlzugspannungen.

Wenn die elastische Berechnung unrealistische Sohldruckspitzen bzw. rechnerische Sohlzugspannungen ergibt, können diese durch Lastum-lagerung unter Wahrung der Gleichgewichtsbedingungen auf realisti-sche Werte (z.B. ermittelt mit Hilfe von Grundbruch-Nachweisen für Randstreifen kleiner Breite) begrenzt werden, NETZEL (1972; 1975). Häufig reicht es, derartige Abschätzungen nur qualitativ zu machen, wie es Bild L03.90 zeigt. Man erkennt, dass der Abbau zu hoher Sohldruckwerte durch Umla-gern zu einem "Auffüllen" der Sohldruckverteilung zwischen den Wän-den führt und damit die Biegemomente der Platte vergrößert. Beim Abbau von Sohlzugspannungen im Feld muss der Sohldruck unter den Wänden entsprechend kleiner werden, wodurch die Feldmomente "geglättet" und die Stützmomente betragsmäßig verkleinert werden.

L.3.9 Berücksichtigung von Steifigkeitsverminderungen

Die im Zustand II (Biegezugrisse in der Platte) verminderte Plattensteifigkeit reduziert die Biegemomente umso mehr, je steifer der Boden und je weicher die Platte ist. Qualitativ kommt es durch die reduzierte Plattensteifigkeit zu Sohldruckkon-zentrationen und damit zu verminderten Biegemomenten in der Platte. Ebenso werden Biegemomente abgebaut, wenn unter langfristiger Beanspruchung das Kriechen des Betons berücksich-tigt wird. Ganz allgemein gilt, dass durch eine Verringerung der Steifigkeit in der Gründungsplatte die Biegebeanspru-chungen reduziert werden, gleichzeitig aber größere Verformungen entstehen. Wenn Bodenplatten also nicht primär der Verteilung der Lasten aus einem Bauwerk mit dem Ziel der Minimierung von Verformungen dienen, sondern aus anderen Gründen (z.B. Wasserdichtigkeit) konstruiert werden und nur geringe Verformungen zu erwarten sind, kann die Beein-flussung der Steifigkeit wirtschaftliche Vorteile bieten. So kann unter Stützen und Wänden (Schubspannungsnachweis) eine Bodenplatte verstärkt und unter unbelasteten Flächen in minimaler Dicke ausgeführt werden (dabei mit Hilfe von Vouten stetige Übergänge schaffen!). Dennoch sollte die unvermeidbar mittragende Wirkung der Platte in den Feldern berücksichtigt werden, um die Beanspruchung im Hinblick auf Biegerisse und Wasserdichtigkeit richtig zu erfassen.

L.4 Bettungsmodulverfahren

L.4.1 Allgemeines

Ein gängiges Verfahren der Statik behandelt die Auflagerbedingung, dass ein Balken oder eine Platte flächig elastisch unterstützt wird, wobei die stützende Auflagerspannung proportional zur (Biege-)verformung ist. In der Lehre der Balken-statik sind die hierbei formulierten Differentialgleichungen für einfache Fälle geschlossen gelöst und ausgewertet, siehe unten. Die dabei eingeführte Flächenfeder, die das Verhältnis zwischen Auflagerspannungen σ und Verformungen v widerspiegelt, wird Bettungsmodul ks = σ / v genannt. Da der Bettungsmodul ein Quotient von Spannungen (z. B. in kN/m2) und Verformungen (z.B. in mm) ist, hat er als Dimension z.B. MN/m3. Mit Hilfe des Bettungsmodulverfahrens werden auch in der Grundbaustatik gerne Auflagerbedingungen erfasst. Dies gilt sowohl bei Plattengründungen (mit Biegung wirkende ebene Platten von Bauwerksgründungen) als auch für die Berech-nung von Tunnelschalen, gebetteten Rohren, eingespannten Verbauwänden, eingespannten Pfählen etc. Das Haupt-problem dabei ist, den richtigen Bettungsmodul (besser: die richtige Bettungsmodulverteilung) zu finden, der von vielen Faktoren: Baugrund, Geometrie, Last etc. abhängig ist und auch unter einer konkreten Gründungsplatte auf einem kon-kreten Baugrund mit gegebener Last zur zutreffenden Beschreibung der Interaktion von Bauwerk und Baugrund keine Konstante darstellt. Die Annahme eines konstanten Bettungsmoduls für die Berechnung einer Struktur stellt im Baugrund immer eine – meist sogar grobe – Vereinfachung dar. Eine im Rahmen üblicher Genauigkeiten und Anforderungen zutreffende Bettungsmodulverteilung kann z.B. mit Hilfe des Steifemodulverfahrens ermittelt werden. Die Verhältniswerte der verteilten Sohlspannungen und zugehörigen Setzungen zeigen eine verteilte Funktion des Bettungsmoduls auf.

Bild L03.90: Umlagerung unzulässiger Spannun-gen


Wenn dieser Aufwand nicht betrieben werden kann oder soll, schätzt man die erwartete Sohlspannungsverteilung unter der zu berechnenden Platte mit einfachen Annahmen ab und führt damit eine Setzungsberechnung durch, siehe Vorle-sung H, "Baugrundverformung". Bei der Bodenplatte eines durch Untergeschosswände ausgesteiften Gebäudes kann als erste Annahme eine gleichverteilte Sohldruckspannung zugrundegelegt werden. Bei einer Einzellast unter einer ausge-dehnten Platte verteilt sich dagegen die Spannung unter der Bodenplatte in Form eines Kegels mit der Spitze unter der Last und einem Durchmesser entsprechend der vierfachen elastischen Länge (siehe Abschnitt L.4.3.2). Bei Ansatz eines konstanten Bettungsmoduls ergibt sich dann die richtige Größenordnung aus dem Verhältnis der mittleren Sohldruck-spannung zur mittleren Setzung. Folgende Gedanken mögen zeigen, wie sehr der Bettungsmodul eine variable Größe ist: - Für ein kleines starres Fundament, im Grundriss etwa 1,5 m auf 1,5 m groß, mit einer Sohldruckspannung von 200

kN/m2 belastet, auf einem tragfähigen Sanduntergrund großer Mächtigkeit, der vereinfacht einen mittleren Steifemo-dul von 50 MN/m2 aufweist, errechnet sich eine Setzung von 4,1 mm. Aus dem Verhältnis der Sohldruckspannung zur Setzung, also 200 kN/m2 / 4,1 mm, ergibt sich ein Bettungsmodul von 49 MN/m3 (ks = σ / s = 0,2 / 0,0041 = 49 MN/m³).

- Auf dem gleichen Baugrund erfährt ein ebenso mit 200 kN/m2 belastetes größeres Fundament mit Grundrissabmes-sungen von 4 m auf 5 m eine rechnerische Setzung von 10,6 mm. Damit reduziert sich der Bettungsmodul auf 19 MN/m3. Er ist also von der Größe der Lastfläche abhängig.

- Entsprechend dem Kriterium, dass nur Zusatzspannungen, die 20 % der Bodeneigengewichtsspannungen über-schreiten, zu Setzungen beitragen und die Wichte des Sandes 18 kN/m3 beträgt, resultiert die Setzung im letzten Bei-spiel aus der Zusammendrückung der obersten 7,2 m. Wird die Fundamentlast auf 400 kN/m2 verdoppelt, so erhöht sich die rechnerische Setzung auf 23,2 mm, also auf mehr als das Doppelte, da die Setzungseinflusstiefe jetzt auf 9,6 m angewachsen ist. Der Bettungsmodul ergibt sich nunmehr zu 17 MN/m3, ist also auch von der Größe der Last ab-hängig.

- Zuletzt war die Abhängigkeit des Bettungsmoduls von der Lastgröße durch die Ausbreitung der Spannungen im Un-tergrund bedingt. Eine weitere Abhängigkeit ergibt sich, wenn plastische Verformungsanteile eine Rolle spielen: Nä-hert sich die Fundamentlast der Grundbruchlast, dann steigen die Verformungen überproportional an und der Bet-tungsmodul fällt ebenso rasch ab.

- Andererseits steigt mit zunehmendem Beanspruchungsniveau der Steifemodul des Bodens an, was unter bestimmten Randbedingungen (z. B. begrenzte Dicke der kompressiblen Schicht) auch zu einem Anstieg des Bettungsmoduls bei steigender Belastung führen kann. Unter Beachtung der letztgenannten Aspekte hat das Superpositionsprinzip keine Gültigkeit.

- Wird auf demselben Baugrund ein großer Tank mit 30 m Durchmesser gebaut und mit 20 m Wassersäule, also wie-derum mit 200 kN/m2 belastet, so führt diese schlaffe Last zu rechnerisch etwa 20 mm Setzung am Rand und etwa 50 mm Setzung in der Mitte der Lastfläche. Daraus ergeben sich Bettungsmoduln von nur noch 10 MN/m3 am Rand und gar nur 4 MN/m3 in der Mitte des Tanks. Der Bettungsmodul ist also auch noch ortsabhängig.

- Nicht einmal zeitliche Konstanz kann dem Bettungsmodul zugeordnet werden: Wenn unter den genannten Lastflä-chen ein wassergesättigter bindiger Boden ansteht, wird durch die Belastung das Porenwasser ausgepresst. Diese Konsolidation führt zu Zeitsetzungen, bei unveränderten Spannungen also zu zunehmenden Verformungen, gleichbe-deutend mit einem abnehmenden Bettungsmodul.

- Noch komplizierter wird es, wenn der Baugrund unter einer belasteten Fläche nachgibt, ohne dass die Belastung des Bauwerks dazu beiträgt. Dies kann z. B. durch Änderungen des Grundwasserspiegels, durch Eigensetzungen (Sa-ckungen) eines aufgefüllten Bodens, durch Verrottung von Torf, durch bergbauliche Aktionen, Auslaugung von Kal-ken, Salzen oder Sulfaten oder im Extremfall durch einen Erdfall (Einsturz einer Höhle = Entstehung einer Doline) be-gründet sein. In solchen Fällen ist ein Bettungsmodul gar nicht mehr geeignet, die Interaktion zwischen Bauwerk und Baugrund zu beschreiben.

- Dass ein konstanter Bettungsmodul die Interaktion zwischen Bauwerk und Baugrund nicht zutreffend beschreiben kann, ergibt sich auch aus der Überlegung, dass eine gleichmäßig belastete Lastfläche nach dem Bettungsmodulver-fahren eine gleichmäßige, konstante Setzung erfährt und eine Setzungsmulde nicht darstellbar ist.

Der berechtigte Wunsch des Ingenieurs, die Interaktion zwischen Baugrund und Bauwerk durch (möglichst auch noch linear elastische) Federn zu beschreiben, ist also entsprechend der einleitend genannten einfachen Beispiele nur sehr eingeschränkt erfüllbar. Die Angabe von Bettungsmoduln durch einen Grundbauingenieur bzw. ihre Nutzung durch den Tragwerksplaner muss daher unter genauer Kenntnis der einschränkenden Randbedingungen und des speziellen Gültig-keitsbereiches geschehen.


L.4.2 Numerische Anwendung

Im Hinblick auf diskretisierte EDV-Berechnungen kann das Bettungsmodulverfahren als eine Vereinfachung des zuletzt erläuterten Steifemodulverfahrens betrachtet werden, wobei die Vereinfachung in der Annahme besteht, dass bei Belas-tung eines "Fundamentes" (Intervallsegmentes) nur dieses Fundament eine Setzung erfährt und die Nachbarbereiche nicht von einer Setzungsmulde erfasst werden. Dies führt zu der numerisch bedeutsamen Tatsache, dass in der Boden-matrix nur die Hauptdiagonale besetzt ist. Für das einfache Beispiel aus Abschnitt L.3.2 ergab die Berechnung für die Last von 100 kN auf einer Fläche von 3 m2, also bei einer mittleren Spannung von 33 kN/m2, eine mittlere Setzung (gemittelt über die drei je für sich als starr ange-nommenen Felder) von etwa 3,8 mm. Dieser Wert ist übrigens größer als das Ergebnis einer Setzungsberechnung im charakteristischen Punkt für ein mit einer schlaffen Last von 33 kN/m2 belastetes Fundament mit 1 m mal 3 m, für das sich 3,2 mm errechnen. Der Bettungsmodul beträgt 33 / 3,8 = 8,7 MN/m3. In der Bodenmatrix wird jeweils die Setzung in mm für eine Last 1 kN auf dem Intervallelement (hier mit der Fläche A = 1 m2) eingetragen. Die Koeffizienten der Boden-matrix Bii betragen dann hier 3,8 / 33 = 0,12 oder allgemein auch A / ks.

Dann ist B = 12,000

012,000012,0

. A bleibt unverändert A = 100200 100200 400200 100200 100

−−

−−−

sowie A·B = 1224 12

24 4824 1224 12

−−−

−− und (A·B - 1) =

1324 12 24 4924

1224 13

−−−

−−

Dies führt wiederum zum linearen Gleichungssystem für die Auflagerlasten P:

1324 12

24 4924 1224 13

−−−

−−·

P P P

3

2

1

= 0

100 0

−

Es lässt sich wieder mit Hilfe von Determinanten lösen: D = -73 D1 = -2400 P1 = 32,9 kN v1 = 3,9 mm D2 = -2500 P2 = 34,3 kN v2 = 4,1 mm D3 = -2400 P3 = 32,9 kN v3 = 3,9 mm Hier ist die Auflagerlast in jedem Feld proportional zur Platten-biegung und es ergibt sich die größte Auflagerlast in Plattenmitte (Balkenmitte) zu 34,3 kN. Die zugehörige Verformung ist 34,3 kN · 0,12 mm/kN = 4,1 mm. Am Ende von Abschnitt 3.2 wurde gezeigt, dass aus der Berech-nung der kleinen Platte mit Hilfe des Steifemodulverfahrens vari-able Bettungsmoduln von 10,1 MN/m3 für die Außenfelder und

6,0 MN/m3 für das Mittelfeld resultieren. Führt man eine Berech-nung der Platte mit dem Bettungsmodulverfahren unter Verwen-dung dieser für die Felder verschiedenen Bettungsmoduln durch, so ergeben sich exakt die Stützkräfte und Verschiebungen wie beim Steifemodulverfahren. Allerdings muss man für einen Ver-gleich alle Berechnungen mit mindestens 4 gültigen Stellen durchführen, da die Determinanten aus Differenzen großer Zah-len gebildet werden und numerisch empfindlich sind.

Bettungsmodul [MN/m³]

Verschiebung [mm]

Sohlspannung [kN/m²]

Last

8,5

3,9 4,1

34,332,9

V = 100 kN

Bild L04.10: Berechnungsergebnisse nach dem Bettungsmodulverfahren


L.4.3 Analytische Betrachtung, elastisch gebetteter Balken

Die Anwendung der Theorie des elastisch gebetteten Balkens auf Gründungen geht auf WINKLER (1867) zurück, der sie zur Berechnung von Eisenbahnschwellen verwendete. Obwohl in der Baupraxis alle entsprechenden Berechnungen heute wohl numerisch mit Hilfe der EDV durchgeführt wer-den, wird das Verfahren – eingeschränkt auf den Balken – hier vorgestellt, da es für Überschlagsberechnungen und zur qualitativen Beurteilung der Ergebnisse numerischer Berechnungen nach wie vor wichtig und hilfreich ist. Der Balken habe die Breite B quer zur betrachteten Ebene. Nach der Theorie der Balkenbiegung ist ∫ ∫ σ0·B·dx·dx = M (x) = - E·I·(d2vz / dx2) (L04.10), oder, nach zweimaliger Differentiation, (x - Koordinate in Balkenrichtung) B·σ0 = - E·I·(d4vz / dx4) (L04.20). Die Setzung des Fundamentbalkens besteht aus der mittleren Setzung im Sinne einer Starrkörperverschiebung (die keine Biegung verursacht) und einem ortsveränderlichen Anteil. Sie muss aus Gründen der Kontinuität gleich vz sein. Mit der Definition des (für den betrachteten Balken als konstant angesehenen) Bettungsmoduls ks: ks = σ0 / s = P / (A·s) (L04.30) ergibt sich: B·ks·vz + E·I· (d4vz / dx4) = 0 oder, mit der Abkürzung

L*4 = 4·EI / (B·ks) 4·vz(x) + L*4·(d4vz(x) / dx4) = 0 (L04.40). Da die zweite Ableitung der Verschiebung proportional dem Moment, die zweite Ableitung des Momentes proportional der Belastung und die Belastung beim gebetteten Balken wiederum proportional der Verschiebung ist, hat die Differentialglei-chung für das Moment die gleiche Form wie die für die Verschiebung, also 4·M(x) + L*4·(d4M(x) / dx4) = 0 (L04.40a). L* heißt elastische Länge. Sie wird benutzt, um x zu normieren und mit der dimensionslosen Koordinate ξ = x / L* zu rech-nen. Mit dieser Normierung lautet die Lösung der Differentialgleichung: M(ξ) = (A1·cosξ + A2·sinξ)·e-ξ + (A3·cosξ + A4·sinξ)·eξ (L4.50). Durch Differentiation erhält man die übrigen 3 statischen Schnittgrößen: Querkraft Q(ξ), Sohldruck σ0(ξ) (und damit die

Biegelinie vz(ξ)) und den Drehwinkel dvz(ξ)/dx: Q(ξ) = L*-1⋅{ [ (A2 - A1)·cosξ - (A2 + A1)·sinξ ]·e-ξ + [ (A3 + A4)·cosξ + (A4 - A3)·sinξ ]·eξ }

21 ·B·L*2·σ0(ξ) = (2·E·I / L*2)·vz = [ -A2·cosξ + A1·sinξ ]·e-ξ + [ A4·cosξ - A3·sinξ ]·eξ

(2·E·I / L*)·dvz(ξ) / dx = [ (A1 + A2)·cosξ - (A1 - A2)·sinξ ]·e-ξ + + [ (A4 - A3)·cosξ - (A4 + A3)·sinξ ]·eξ Die Integrationskonstanten A1 bis A4 ergeben sich aus den zu erfüllenden Randbedingungen. Die Gleichungen gelten für einen Balkenabschnitt ohne Unstetigkeitsstellen hinsichtlich Lasten, Geometrie oder Bettungsmodulvorgabe. Im Fall derartiger Unstetigkeitsstellen sind mehrere Bal-

ξ 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,50 2,00 2,36 π

f(ξ) 1,00 0,95 0,82 0,67 0,51 0,24 0,07 0 -0,04

Wertetabelle für f(ξ) = e-ξ·(cos ξ + sin ξ)


kenabschnitte mit weiteren Integrationskonstanten zu beachten, die dann aus zusätzlichen Übergangsbedingungen zu bestimmen sind. Bei Balken, die länger sind als etwa die π-fache elastische Länge, ergeben sich aufgrund der Winkelfunktionen in den o.g. Gleichungen alternierend schwingende Verläufe der statischen Schnittgrößen, siehe z.B. Bild L04.50. Nachfolgend werden einige Grundfälle betrachtet, aus denen sich allgemeine Fälle zusammensetzen lassen, sofern nicht ohnehin EDV-Berechnungen durchgeführt werden.

L.4.3.1 kurze Balken

Bild L04.20 zeigt einen Balken von der Länge l mit einer Einzellast

P = 1 an der Stelle xP mit ξP = xP / L*< 1; λ = l / L*). Wegen der Last-Unstetigkeit sind die Gleichungen des elastisch gebetteten Balkens für beide Balkenabschnitte getrennt anzuschreiben, wobei dann 2 · 4 = 8 Integrationskonstanten zu bestimmen sind. Da M und Q an beiden Balkenenden 0 sein müssen, hat man 4 Bestimmungsgleichungen. 4 weitere Gleichungen ergeben sich aus der Notwendigkeit, dass in xP alle 4 statischen Funktionen links und rechts denselben Wert haben müssen (Übergangsbedingungen). Bild L04.30 stellt vier Grundfälle für einen (im Vergleich zur elasti-schen Länge kurzen) Balken dar, aus denen sich alle übrigen Last-fälle entwickeln lassen (PASTERNAK, 1925). Insbesondere kann man aus dem Fall a die Berechnung einer elastisch gelagerten Gelenkkette ableiten.

Wie man sieht, können sich negative Sohldrücke, also Zugspannungen, ergeben, die physikalisch unmöglich sind, sofern sie nicht, z.B. durch das Eigengewicht des Balkens, überdrückt werden. Andernfalls müssen die Zugspannungen umgelagert werden, indem man z.B. einen Teil des Balkens ohne Bettung in die Berechnung einführt, was iterative Berechnungen erfor-dert.

L.4.3.2 unendlich langer Balken mit Einzellast

Wenn die Randabstände l einer Einzellast größer als etwa 2·L* ist, kann man die zwei zu betrachtenden Balkenabschnitte als halb-unendlich ansehen und die Integrationskonstanten A3 und A4 = 0 setzen. Für den in Bild L04.40 gezeichneten Lastfall, bei dem eine Last P zwischen zwei Plattenhälften steht, ist {dvz/dx}x=0 = 0 und

deswegen A2 = -A1. Ferner ist L*·Q(0) = -½·P·L* = -2·A1. Die statischen Gleichungen lauten somit hier:

Bild L04.20

Bild L04.30: Vier Grundfälle für einen kurzen Balken (PASTERNAK, 1925)

Bild L04.40

Qr = (-1/2) P Ql x = 0

Qr

P

M = 0Q = 0 Q = 0

M = 0

x xp

x‘

ξr = x‘ / L*ξl = x / L*

l P


M = ¼·P·L*·e-ξ·(cos ξ - sin ξ) Q = -½·P·e-ξ·cos ξ vz = ½·[ P / (L*·B·ks)]·e-ξ·(cos ξ + sin ξ) dvz / dx = -[ P / (B·ks·L*2) ]·e-ξ·sin ξ σ0 = ks ·vz = ½·[ (P / (B·L*) ]·f (ξ)

L.4.3.3 Halb-unendlicher Balken mit Randlast

Wenn die Last ½ · P am Balkenrand steht, ein Fall, der z.B. bei Kranbahnbalken an gelenkigen Fugen auftreten wird, gilt der

Grundfall "a" in Bild L04.30. Da M(0) = 0 ist, muss A1 = 0 sein. Aus der bekannten Querkraft Q(0) = - ½·P (Bild L04.40)

folgt dann A2 = -½·P·L* und weiter σ0 = ks ·vz = ½·[ (P / (B·L*) ]·e-ξ·cos ξ.

Bild L04.50: normierte Sohldruckverteilung für unendlich langen Balken mit Einzellast

Bild L04.60: Sohldruckverteilung für eine Querkraft ½·P am Rand ξ=0

L.5 Tragfähigkeit von Plattengründungen

L.5.1 Regelfall

Bei Plattengründungen spielen zulässige Sohldruckspannungen nach DIN 1054 oder aus Grundbruchnachweisen in der Regel keine Rolle, da die Lastverteilung auf große Flächen zu geringen mittleren Spannungen und die großen Abmes-

sungen bei Reibungswinkeln ϕ ≠ 0 zu hohen Grundbruchlasten führen. Nachweise gegen Versagen, also Nachweise im Hinblick auf den Grenzzustand 1, dürften nur in seltenen Ausnahmefällen (z.B. in kurzer Zeit hochbelastete Flächen (z.B. Flüssigkeitstanks oder Silos) in Böden mit geringer undränierter Scherfestigkeit) maßgebend werden. Werden in der statischen Berechnung in Randbereichen hohe Sohldruckspannungen oder lokal unter der Platte auch Zugbeanspru-chungen errechnet, mit denen die Scherfestigkeit überschritten wird, wird es an diesen Stellen in situ zu Spannungsum-lagerungen kommen. Die Effekte dieser Umlagerungen sollten rechnerisch oder konstruktiv berücksichtigt werden, es ist aber durchaus zulässig, dass lokal die Scherfestigkeit des Bodens vollständig in Anspruch genommen wird. Die Grenze der Tragfähigkeit von Plattengründungen ergibt sich eher aus Kriterien der Gebrauchstauglichkeit. Es wird auf Schadensfälle verwiesen, bei denen auf Gründungsplatten gegründete Häuser Schiefstellungen im Prozent-Bereich erfahren haben. Dabei sind keine Risse aufgetreten, aber nicht gängige Fenster und Türen, Umkehr des Gefälles in Ab-wasserleitungen stellen erhebliche Beeinträchtigungen dar.

L.5.2 Interaktion bei Bodenplatten, die Hohlräume überbrücken und Spannungsbegrenzung am Rand von Bodenplatten

Bodenplatten – möglichst gekoppelt mit schubfest verbundenen steifen Untergeschosswänden – sind ein geeignetes Gründungselement bei Untergrundsituationen, die wechselnde Steifigkeitseigenschaften aufweisen. Sie dienen dann der Überbrückung von Schwachstellen oder sogar von vorhandenen oder sich bildenden Hohlformen. Als Beispiele seien genannt: Bauwerke oberhalb nicht exakt lokalisierbarer möglicherweise einsturzgefährdeter Hohlräume im Untergrund wie Bergbaustollen, Karsthohlräume oder Luftschutzstollen; Schleppplatten über hinterfüllten Arbeitsräumen; Bauwerke auf verfüllten Tagebaukippen, für die ungleichmäßige Eigensetzungen zu erwarten sind.


Nach Definition der Größe möglicherweise oder konkret zu überbrückender Hohlformen ist die Bodenplatte so zu dimen-sionieren, dass sie den Hohlraum zu überbrücken vermag. Dabei stellt sich das Problem, dass die Bodenauflager am Rand des Hohlraums nur begrenzt tragfähig sind, was gegenüber der Grundrissabmessung des Hohlraums zu einer Vergrößerung der Spannweiten führt. Die genannte Begrenzung der Tragfähigkeit ergibt sich aus einem Böschungsbruch in die Hohlform hinein (Bild L05.10), wenn der Boden am seitlichen Rand des Hohlraums zu hoch belastet wird. In der Realität wird sich an einem derartigen Rand gerade die Spannung einstellen, die zur Plastifizierung des Bodens führt. Dann gibt der Boden so weit nach, dass er sich einer weiteren Belastung entzieht. Auch am Rand von Bodenplatten können nicht beliebig hohe Spannungen auftreten. Hier ergibt sich eine Begrenzung der Spannungen aus lokalen Grundbrucherscheinungen.

Bei praktischen Berechnungen – sofern dazu keine Finite-Element-Berechnung zur unmittelbaren Erfassung aller Einflüs-se durchgeführt wird – wird man in derartigen Fällen in ausreichender Näherung wie folgt vorgehen: - Mit Hilfe des Steifemodulverfahrens wird ohne Berücksichtigung der Hohlform bzw. des Randeinflusses eine Bet-

tungsmodulverteilung ermittelt, die die Verhältnisse der Laststellung, Lastgrößen, Plattensteifigkeit und Baugrundstei-figkeit berücksichtigt.

- Im Bereich der Hohlform wird ein Bettungsmodul von ks = 0 angesetzt. - Die Grenzspannungen am Plattenrand bzw. am Rand des Hohlraums werden ermittelt. Das sind die vertikalen Span-

nungen an der Oberfläche des Bodens, die gerade noch aufgenommen werden können, ohne dass der Boden in den Hohlraum hinein einbricht. Sie nehmen mit steigendem Randabstand zu. Zur Berechnung werden die charakteristi-schen Bodenkennwerte verwendet. Teilsicherheitswerte sind nicht zur Anwendung zu bringen. Man kann beispiels-weise wie folgt vorgehen: • Es wird die Grenzspannung σ20 für einen 20 cm breiten Randstreifen ermittelt. • Es wird die Grenzspannung σ40 für einen 40 cm breiten Randstreifen ermittelt.

Die Grenzspannung für den Bereich zwischen 20 cm und 40 cm ergibt sich dann zu σ20-40 = (σ40·0,4 - σ20·0,2) / 0,2

• Mit entsprechenden Grenzspannungen σ60 , σ80 , σ100 für Randstreifen von 60, 80 bzw. 100 cm etc. ergeben sich entsprechend Grenzspannungen für den Streifen zwischen 40 cm und 60 cm σ40-60 = (σ60·0,6 - σ40·0,4) / 0,2 usw.

- Es werden iterativ Berechnungen mit dem Bettungsmodulverfahren durchgeführt. Dabei wird der Bettungsmodul in zunehmend breiten Randbereichen auf Null gesetzt und stattdessen von unten wirkend die ermittelte Grenzspannung als plastische Reaktionsspannung eingesetzt. Die Iteration mit zunehmend breiten plastifizierten Randbereichen wird so lange fortgesetzt, bis unter dem äußersten elastisch gebetteten Randelement eine Spannung errechnet wird, die geringer ist als die für diesen Bereich geltende Grenzspannung.

Plastifizierungen am Plattenrand oder am Rand von Hohlformen stellen kein Standsicherheitsproblem dar. Ihre empfoh-lene Berücksichtigung mit Grenzwerten dient allein einer zutreffenden Erfassung von Umlagerungen aus der Interaktion in derartigen Bereichen. Im Übrigen ist bei größeren Einbindetiefen die Grundbruchspannung für streifenförmige Bereiche am Plattenrand im Vergleich zu typischen Sohlspannungen unter Bodenplatten ausreichend hoch.

belastete Bodenplatte

zugehörige Grenzbeanspruchung zu lokalem Grundbruch begrenzt Kontaktspannungen

zugehörige Grenz-beanspruchung zu lokalem Böschungs-bruch begrenzt Kontaktspannungen

Platten-rand

Hohlform

Bild L05.10: Begrenzung von Kontaktspannungen zwischen Bodenplatte und Baugrund neben Hohlräumen unter der Platte und am Plattenrand


L.5.3 Stabilität von Türmen auf weichem Baugrund

Bei Türmen kann eine nachgiebige Flächengründung zu einer Instabilität führen, ohne dass es zum Grundbruch kommt, eben-so wie bei schwimmenden Körpern ein zu hoch liegender Schwerpunkt zum Kentern führen kann. Die nachfolgende Dar-stellung geht auf KOLYMBAS (1998) zurück. Wir betrachten eine infolge einer am Kopf des Turmes angrei-fende Horizontallast leicht ausgelenkte Lage des Turms (Bild L05.20), dessen Interaktion mit dem Untergrund durch eine elas-tische Bettung mit dem Bettungsmodul ks charakterisiert wird. Sei

ϑ der (kleine!) Kippwinkel und hs die Schwerpunkthöhe. Das Gewicht G erzeugt bei dieser ausgelenkten Lage das destabili-sierende Moment M1 = G·hs·sin ϑ ; näherungsweise M1 = G·hs·ϑ, welches das Lastmoment M2 = H·h erhöht. Die Sohlreaktion unter dem Turmfundament mit der Sohlfläche A und dem Trägheitsmoment I verändert sich am Rand

mit der Koordinate xr gegenüber den Spannungen aus dem Eigengewicht um Δσ = ± (M1 + M2)·xr / I. Spannungsänderungen und Verformungen sind über den Bettungsmodul miteinander verknüpft. Daher gilt auch: Δσ = ± ks·xr·tan ϑ ; näherungsweise Δσ = ± ks·xr·ϑ. Durch Gleichsetzen ergibt sich: (G·hs·ϑ + H·h)·xr / I = ks·xr·ϑ und durch Umstellen H·h = (ks·I - G·hs)·ϑ. Dieser Zustand ist stabil, wenn für eine zusätzliche Auslenkung dϑ eine Arbeit aufgebracht werden muss, und instabil, wenn ohne Arbeitsleistung die Auslenkung vergrößert werden kann. Die Arbeit der äußeren Kraft H beträgt dazu H·dx = H·h·dϑ = (ks·I - G·hs)·ϑ·dϑ. Sie verschwindet für ks·I = G·hs. Drückt man den Bettungsmodul ks durch die Setzung s aus, die vom Gewicht G auf der Grundfläche A erzeugt wird, so erhält man die kritische Schwerpunktshöhe zu: hs = I / (s·A). Beim schiefen Turm von Pisa hat die Gründung einen Durchmesser von 19,4 m. Er hat sich um 2 m bis 3 m gesetzt. Damit ergibt sich die kritische Schwerpunktshöhe zu hs = π·19,44 / 64 / (2,5·π·19,42/4) = 9,4 m. Bei seiner Gesamthöhe von 58 m ist die vorhandene Schwerpunktshöhe bereits als sehr kritisch anzusehen. Anderseits sind die getroffenen Annahmen zur elastischen Bettung beim kriechenden Setzungsvorgang dieses Bauwerks in Frage zu stellen.

Bild L05.20: elastisch gebettete Gründung eines Turms


L.6 Kombinierte Pfahl-Platten-Gründungen

Früher galt die Regel, dass Gründungen hinsichtlich ihrer Tragwirkung entweder als reine Pfahlgründungen oder als reine Flächengründungen geplant wurden. Wenn Pfähle zum Einsatz kamen, wies man ihnen als steifere Elemente alle Bau-werkslasten zu, die sie im Rahmen zulässiger Pfahllasten aufzunehmen hatten. Das mitwirkende Tragvermögen der mit dem Untergrund im Kontakt stehenden Pfahlkopfplatten wurde vernachlässigt. Bei sehr hoch beanspruchten Gründungen hat es sich zur Reduzierung von Setzungen und zur wirtschaftlichen Lastab-tragung inzwischen durchgesetzt, so genannte "Kombinierte Pfahl-Plattengründungen" auszuführen und in den Grün-dungsberechnungen die Tragwirkung beider Gründungselemente auszunutzen. Die Standsicherheit der Gründung wäre dabei in der Regel auch ohne Pfähle durch die Bodenplatte allein gewährleistet. Die Pfähle wirken dann als Setzungs-bremse und sichern die Gebrauchstauglichkeit. Es gibt aber auch Gründungen, bei denen Pfähle und Platte gemeinsam nicht nur für ein günstiges Verformungsverhalten sorgen, sondern auch für die ausreichende Standsicherheit erforderlich sind. Die neue Normung berücksichtigt diese Art der Mischgründung. Sie ist jedoch nur bei genauer Beachtung der Interaktio-nen zwischen Bauwerk/Bodenplatte, Pfählen und dem Baugrund zwischen und unter den Pfählen zulässig. Dies erfordert nachvollziehbare und eingrenzende Untersuchungen zum Steifigkeitsverhalten aller beteiligten Systeme. Für die zutreffende Berechnung derartiger Gründungen ist eine Kopplung - der Biegeform der Bodenplatte, - der gestauchten sowie ihre Lasten über Mantelreibung und Spitzendruck abtragenden Pfähle und - der Setzungsmulde des Halbraums, der darüber hinaus in Interaktion mit den Pfählen steht, erforderlich. In Bild L06.10 ist für zwei Fälle dargestellt, wie sich die Kopplung zwischen Bodenplatte, Pfählen und Baugrund auf das Spiel der Verformungen und Kräfte auswirkt. Im ersten Fall ist als Gedankenmodell angenommen, dass die Pfähle an ihrer Unterseite auf einer starren Unterlage auf-stehen. Hier sind die Interaktionen von Bodenplatte und Boden einerseits und von Bodenplatte und Pfählen andererseits voneinander entkoppelt. Infolge der durch die Belastung auftretenden Setzung s werden der Untergrund und die Pfähle in gleichem Maße gestaucht und tragen entsprechend ihrer Steifigkeiten und Flächenanteile die Bauwerkslasten. Da keine Relativverschiebung zwischen den Pfählen und dem Boden auftritt, wird auch keine Mantelreibung geweckt. Die Last im Pfahl bleibt bis zur Spitze konstant. Die Spannungsverteilung innerhalb des Bodens wird durch die Pfähle nicht beein-flusst. Im zweiten Fall wird das Modell realitätsnah dadurch erweitert, dass der Untergrund in Höhe der Pfahlsohlen nachgiebig ist. Damit stanzt sich der Pfahl relativ zum darüber liegenden Boden in den tieferen Untergrund ein. Es entstehen Relativ-verschiebungen zwischen Pfahl und Boden. Oben, wo die Verschiebungen von Pfahl und Boden mit der Bodenplatte gekoppelt sind, sind die Relativverschiebungen Null, zur Tiefe nehmen sie zu. Damit nehmen die Normalkräfte im Pfahl zur Tiefe hin ab und der Baugrund wird in der tieferen Pfahlumgebung zusätzlich durch die vom Pfahl abgegebenen Man-telreibungskräfte belastet. Das Modell macht mit dem zweiten dargestellten Fall deutlich, dass eine Kombinierte Pfahl-Platten-Gründung nicht als Zusammensetzung aus einem an der Oberfläche belasteten Halbraum und klassisch belasteten Pfählen wirkt. Der Halb-raum wird zusätzlich zur Belastung an der Oberfläche auch entlang des Pfahlschaftes beansprucht. Anders als bei klas-sisch belasteten Pfählen ist hier eine angepasste Verteilung der Relativverschiebungen zwischen Boden und Pfahl ent-lang des Pfahlmantels zu beachten.


Realitätsnahe Berechnungen einer Kombinierten Pfahl-Platte-Gründung erfordern eine Berücksichtigung dieser Einflüsse. Dies ist mit räumlichen Finite-Element-Berechnungen möglich, aber sehr aufwändig. Eine Alternative besteht darin, das Steifemodulverfahren, wie es im vergangenen Abschnitt behandelt wurde, derart zu erweitern, dass zusätzliche Lastein-leitungen im Untergrund erfasst werden können. Nachfolgend wird ein um ein grobes Pfahlmodell erweitertes Modell des Steifemodulverfahrens, wie es mit einer Vereinfachung für die Platte schon in Abschnitt L.3.1 vorgestellt wurde, vor-geschlagen (Bild L06.20). Dabei wird ein Pfahl durch mehrere übereinan-derliegende Lastflächen idealisiert. Sie tragen die Mantelreibungskräfte und den Spitzendruck in den Halbraum ab und sind über einen vertika-len Stab mit der Bodenplatte gekoppelt. Die Idealisierung eines Pfahls durch ein derartiges gekoppeltes Lastflächensystem setzt eine diffe-renzierte Auswertung von Pfahlprobebelastun-gen voraus, wobei die Pfähle mit mehreren Messquerschnitten bestückt sein sollten. Das Steifigkeitsverhalten kann dabei sowohl über die Steifigkeit des Bodens als auch über die Größe der den Pfahlkontakt mit dem Boden repräsen-tierenden Lastflächen angepasst werden. Das weitere Vorgehen nach Realisierung eines derartigen Modells entspricht dem Vorgehen bei Bodenplatten ohne Pfäh-le: Mit Hilfe der Vorberechnung am grob diskretisierten Modell wird eine Verteilung von Bettungsmoduln für die Abbildung des Halbraums und von Federwerten zur Abbildung der Pfähle ermittelt. Die im erforderlichen Umfang genauere Berech-nung der Gebäudestruktur erfolgt mit einem fein diskretisierten Modell der durch angepasste Federn (= Pfähle) gestützten und variabel elastisch gebetteten (= Halbraum) Bodenplatte. Entsprechende Verteilungen zeigen typischerweise erhöhte Bettungsmoduln am Plattenrand (auch hier Boussinesq-Effekt). Außerdem zeigen sie Federsteifigkeiten für die Pfähle, die geringer sind als die Steifigkeiten, wie sie sich aus entkoppelten Belastungen von Einzelpfählen ergeben. Weiterhin ist die Federsteifigkeit der Pfähle von der Lage der Pfäh-le im Plattengrundriss abhängig: Pfähle im Zentrum der Platte verhalten sich weicher als Pfähle an der Peripherie.

Bild L06.10: Modellvorstellungen für die Interaktion von Bodenplatte, Baugrund und Pfählen

Bild L06.20: Gedankenmodell für die Kopplung einer biegedrillwei-chen Platte mit dem Halbraum und mit Pfählen


L.7 Schrifttum

KOLYMBAS, D. (1998): Geotechnik - Bodenmechanik und Grundbau; Springer, Berlin, Heidelberg, New York. NETZEL, D. (1972): Beitrag zur wirklichkeitsnahen Berechnung und Bemessung einachsig ausgesteifter, schlanker

Gründungsplatten. Dissertation Universität Stuttgart. NETZEL, D. (1975): Beitrag zur wirklichkeitsnahen Berechnung und Bemessung einachsig ausgesteifter, schlanker

Gründungsplatten. Die Bautechnik 52, S.209-213 und 337-343. PASTERNAK, P. (1925): Die baustatische Theorie biegefester Balken und Platten auf elastischer Bettung. Beton und

Eisen, S.163 und 178. SMOLTCZYK, U. / NETZEL, D. (1992): Flachgründungen. In: Grundbautaschenbuch. 4. Aufl.,Teil 3, Kap. 3.1. Verlag

Ernst & Sohn Berlin. VOGT, N. (2003): Interaktion Bauwerk – Baugrund; Stahlbau Kalender 2003, S. 341 – 374; Verlag Ernst & Sohn, Berlin. WINKLER, E. (1867): Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Prag.

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