Vorl g h Baugrundverformung

Seite Baugrundverformung H.1

Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik, Felsmechanik und Tunnelbau

H Baugrundverformung

H.1 Verformungsverhalten des Bodens unter Last

Boden hat im Allgemeinen keine nennenswerte Zugfestigkeit und kann daher im Wesentlichen nur durch Druck bean-sprucht werden. Zugkräfte können nur dadurch in den Boden eingeleitet werden, dass zuvor in ihn eingeprägte Druck-spannungen (z. B. eine "Vorspannung" infolge des Bodeneigengewichtes) abgebaut werden. Wird ein Boden belastet, dann wirkt sich dies sowohl auf seine festen Bestandteile als auch auf seinen Porenraum aus. Bei einer Druckbeanspruchung müssen in (wassergesättigten) bindigen Böden nach Abströmen von zunächst mitwirken-dem Porenwasser die eingeleiteten Druckkräfte vom Korngerüst aufgenommen werden. Die Einzelkörner, bzw. die Ton-mineralstrukturen, werden dabei zusätzlichen Druckbeanspruchungen unterworfen, auf die sie mit Stauchungen reagie-ren. In den uns überwiegend interessierenden Spannungsbereichen werden die Körner, bzw. Tonmineralpartikel, dabei in der Regel weit unterhalb ihrer Bruchlasten beansprucht und sie verhalten sich elastisch. Soweit aber die zufällig verteilten Kontaktpunkte der Bodenpartikel nicht exakt in der Wirkungsrichtung der Kräfte liegen, also im Regelfall, kommt es gleichzeitig zu Rotations- und Translationsbewegungen der Partikel, bis sie in einer neuen Lage ein Gleichgewicht finden. Dabei wird der Porenraum verkleinert. Bei der Erstbelastung eines Bodens überwiegt die Änderung des Porenvolumens bei weitem gegenüber den elastischen Stauchungen der Körner. Genau betrachtet wird ein Boden durch eine Druckbelastung also verdichtet und erfährt dabei eine Volumenverringerung. Da die festen Bestandteile, für die ein elastisches Verhalten angesetzt werden kann, wenig kompressibel sind, ist die Volumenverringerung bei einem Lockergestein fast ausschließlich eine Verringerung des Porenanteils n, bei wasserge-sättigten Böden in Verbindung mit einem erzwungenen Abströmen des Wassers und entsprechender Abnahme des Wassergehalts w. Dieser Anteil ist bleibend und plastisch. Das Gegenteil der Verdichtung ist die Auflockerung. Der Oberbegriff Dilatation ist die Summe aus plastischer und elasti-scher Volumenänderung, die bei Vernachlässigung der Produkte von εik näherungsweise gleich der Summe der Dehnun-gen (1. Invariante des Tensors ε) ist:

332211)el()pl( εεεεεε ++=+=

Wenn also ein Volumenelement nach einer Belastung und dem damit verbundenen Verdichtungsvorgang wieder einen stationären Gleichgewichtszustand erreicht hat, ergibt sich eine elastische Volumenänderung der Körner und eine plastische des Porenraums. Die Änderung des Porenraums wird durch die Änderung des Porenanteils n oder der Porenzahl e be-schrieben.

H.2 Eindimensionale Kompression, Oedometerversuch

H.2.1 Versuchsdurchführung

Um die Reaktion eines Bodens auf die Änderung der Druckspan-nung zu messen, benutzt man im Allgemeinen den von TERZAGHI (1925) eingeführten Kompressionsapparat, Bild H02.10, und führt einen Oedometerversuch (= Eindimensionaler Kompressionsver-such) durch. Dazu wird aus einer Sonderprobe ein kreisplattenför-miger Versuchskörper von 7 cm bzw. 10 cm Durchmesser und 1,4 cm bzw. 2,0 cm Höhe ausgestochen und in einen Drucktopf mit starrer Wandung eingebaut. Daher wird im Versuch die Zusam-mendrückbarkeit bei verhinderter Seitendehnung ermittelt. Der Versuch ist in DIN 18135 genormt. Das Verhältnis von Durchmesser zu Höhe der Probe ist nach Ver-suchen von MUHS / KANY (1954), LEUSSINK (1954) und VAN ZELST (1948) ein Kompromiss, um die Fehler aus Wandreibung, unebenen Oberflächen und nicht sattem Anliegen der Probe an der Seitenwand zu minimieren. Die Probe liegt zwischen angefeuchteten Filtersteinen, damit sie entwässern kann. Die Last P wird vertikal über eine Kopfplatte mit der Quer-schnittsabmessung A in der Regel stufenweise in geometrischer Progression (z.B. 25, 50, 100, 200 ... kN/m2) aufge-

Bild H02.10: Oedometer mit festem Ring (SCHULTZE / MUHS,1967)

Messuhr

Filterstein

LastplatteKlemmringe Gummiring

Last fester Ring

Bodenprobe


bracht. In der Probe besteht dann näherungsweise ein im Mittel über die Querschnittsfläche eindimensionaler Span-nungszustand

σzz = P / A.

Gemessen wird bei jeder Laststufe i die Zusammendrückung s und

ihr Verlauf mit der Zeit s(t). Dabei wird jeweils abgewartet, bis die Zeitsetzungen (weitgehend) abgeklungen sind. Erst danach wird über ein Hebelsystem mit aufgelegten Lasten oder pneumatisch die nächste Laststufe aufgebracht. Durch Bezug auf die Ausgangshöhe h0 der Probe erhält man die bezogene Setzung s' oder besser:

bezogene Zusammendrückung ε* Wegen der verhinderten Seiten-

dehnung εxx = εyy = 0 gilt weiterhin: s' = ε* = s / h0 = Δh / h0 = ΔV/V = Δn = εzz. Die Änderung des Porenanteils n entspricht

also der Dehnung εzz. Mit der Zeit zunehmende, aber einem Endwert zustrebende Set-zungen stellt man vor allem bei bindigen Böden fest. Die Auswertung der Zeitsetzung wird unter 0behandelt. Nichtbindige Böden reagieren auf Spannungsänderungen im Wesentlichen sofort. Aus den entweder unmittelbar gemessenen oder unter Berücksichtigung einer eventuellen Sekundärsetzung graphisch

extrapolierten Endwerten der Zeitsetzung erhält man die Drucksetzungslinie, Bild H02.20, wobei die Druckspannung σ

gewöhnlich im logarithmischen Maßstab auf der Abszisse und die bezogene Zusammendrückung ε* = s/ h0 im linearen Maßstab auf der Ordinate aufgetragen werden. Zu jedem Versuch gehört die messtechnisch beobachtete Durchführung der Entlastung bzw. einer Entlastungs- / Wieder-belastungsschleife. Bei der Entlastung / Wiederbelastung werden neben Anteilen aus Rückstellungen von Körnern die elastischen Verformungsanteile des Korngerüstes erkennbar. Die plastischen Anteile aus der Änderung des Porenrau-mes sind nicht reversibel. Die Entlastungs- / Wiederbelastungsschleife wird etwa bei dem Spannungsniveau durchge-führt, welches der Entnahmetiefe der Probe entspricht (effektiver Überlagerungsdruck, effective overburden pressure). In der Regel lässt sich aus den Versuchsergebnissen auch die Vorbelastung erkennen, die eine Probe vor ihrem Einbau in den Versuchsstand erfahren hatte. Da bis zur Vorbelastungsspannung eine Wiederbelastung stattfindet, reagiert die Probe in diesem Spannungsbereich deutlich steifer. Trägt man die Versuchsergebnisse mit linearem Maßstab der Spannungen auf (Bild H02.30), so wird erkennbar, dass die Steifigkeit des Bodens mit steigender Spannung wächst. Auch hierin erkennt man, dass nicht das elastische Verhalten der Körner, welches eine lineare Arbeitslinie bewirken würde, sondern die Änderung des Porenraumes das Spannungs-Dehnungsverhalten bestimmt.

Bild H02.20: bezogene Zusammendrückung in Abhängigkeit von der Vertikalspannung (logarithmisch aufgetragen)

Bild H02.30: bezogene Zusammendrückung in Abhängig-keit von der Vertikalspannung (linear aufgetragen)

Bild H02.11: Änderung der Höhe einer Probe in Abhängigkeit von der Last


(vorhandene Auf-

Lastspannung)

(Vorbelastungs-

Spannung)

σzi σzc

σz

(überkonsolidiert) Erosion

(erstkonsolidiert) Bodenablagerungen, Eis

Por

enan

teil

n

Ein Oedometerversuch mit dem beschriebenen, in der Praxis üblichen Verfahren, benötigt etwa 2 Wochen Zeit. Daher sind alternative Verfahren entwickelt worden, bei denen das Ausklingen der Zeitsetzung in den einzelnen Laststufen nicht abgewartet wird, oder auch Verfahren mit konstantem Vorschub bei gleichzeitiger Messung des Porenwasserdrucks (STEINMANN, 1985).

H.2.2 Kompressions- und Schwellbeiwert

Da die im Oedometerversuch ermittelten Verformungen in erster Linie aus einer Änderung des Porenanteils resultieren, ist es vor allem im angelsächsischen Raum und zur Beschreibung bindiger Böden üblich, die Versuchsergebnisse in einem Druck-Porenzahl-Diagramm darzustellen. Zur Auftragung der Porenzahl e erfolgt eine Umrechnung mit Hilfe der

Trockendichte ρd bei Versuchsbeginn sowie der Korndichte ρs: e = ρs/ρd - 1. In diesem Diagramm besteht bereichs-

weise ein linearer Zusammenhang zwischen ln(σzz) und e. Der Kurvenverlauf lässt sich in der Regel, vom Bereich klei-ner Spannungen abgesehen, gut durch den Ansatz

e0 - e = Cc·ln(1 + Δσzz/σzz(e0)) (e ≤ e0) darstellen. Dabei sind (siehe Bild H02.40)

)e(ln))e(ln(

eeC0zzzz0zz

0c σ−σΔ+σ

−=

sowie e0 und σzz(e0) die Koordinatenwerte, von denen ab die

Linearität gilt. Cc heißt Kompressionsbeiwert (compressibility in-dex). Er entspricht der Porenzahländerung bei einer Änderung der Ausgangsspannung um den Faktor 2,718. Analog lässt sich auch die Entlastungslinie analytisch beschreiben. Der entsprechende Beiwert (siehe ebenfalls Bild H02.40) heißt Schwellbeiwert Cs (swelling index). Auf Grund einer statistischen

Auswertung geben SKEMPTON (1944) und andere Autoren die Abschätzung Cc = 0,009·(wL - 0,1) für ungestörte,

Cc = 0,007·(wL - 0,1) bzw. Cc nach Bild H02.60 für gestörte bindige Böden an. Man sieht daran, dass die Kurve für ungestörte Bodenproben steiler verläuft. Auch SCHULZ (2002) ermittelt aus Rückrechnungen von Setzungen sehr wei-cher Böden bei großflächigen Überschüttungen für Hafenbaumaß-nahmen in Norddeutschland eine signifikante Abhängigkeit des Kompressionsbeiwertes vom Wassergehalt an der Fließgrenze und gibt an: Cc = 0,346·wL

0,716. Auch bei einer Auftragung im Druck-Porenzahl-Diagramm deutet ein - wie in Bild H02.40 erkennbarer und für vorbelastete Böden typischer - Knick im Anfangsbereich auf die Auflösung einer Ver-spannung innerhalb des Gefüges hin. Diese ist häufig durch geolo-gische Vorbelastung bedingt. In diesem Fall spricht man von über-konsolidierten Böden. Das Verhältnis zwischen der (höheren) mitt-leren Normalspannung im Laufe der geologischen Vorgeschichte

σzc und der aktuell wirksamen Spannung σzi wird als Überkonsoli-dierungsverhältnis OCR (Over-Consolidation-Ratio) bezeichnet. (Bild H02.50). Eine ähnliche eingeprägte Vorverformung kann auch durch Verdichtung oder ebenso als scheinbare Vorbelastung durch einen Alterungsprozess zustande kommen. Der letztgenannte Vor-gang ist in Bild H02.70 schematisch für einen geologisch unvorbe-lasteten Ton dargestellt, Näheres siehe BJERRUM (1973).

Bild H02.40: Spannungs-Porenzahl-Diagramm

Bild H02.50: Natürliche Vorbelastung und Überkonsolidation


Bild H02.60: Kompressionsbeiwert Cc als Funktion des Wassergehaltes (nach LAMBE / WITTMANN, 1990)

Bild H02.70: Entstehung einer scheinbaren Vorbelastung durch sekundäre Setzung ("Alterung")

Böden heißen dagegen normalkonsolidiert, wenn der Boden vorher niemals größere Drücke erfahren hat, also eine Erstbelas-tung vorliegt. Für normalkonsolidierte, bindige Böden gibt es nach HVORSLEV (1939) zu jeder Porenzahl e eine äquivalente Spannung σe entsprechend der Beziehung (siehe auch Bild H02.70):

c

0

Cee

0e e−

⋅σ=σ

Dieser Zusammenhang gilt nicht für rollige Böden, deren Porenzahl im Wesentlichen von der Art der Sedimentation, also eingebrachter Verdichtungsenergie (optimale Kornlagerung), Kornform, Kornverteilung und nicht durch den Druck bestimmt wird. Typische Werte für Cc und Cs sowie Bezugsporenzahlen e0 für die

Beziehung nach HVORSLEV (1939) für σ0 = 10 kN/m2 sind in Tabelle H02.10 aufgeführt.

H.2.3 Steifemodul

Bei der Auftragung des Kompressionsversuchs in natürlichem Maßstab, siehe Bild H02.30, tritt der bezüglich der Setzung überli-neare Charakter der Drucksetzungslinie klar hervor. Der über

einen Spannungsbereich gemittelte Anstieg der Funktion εzz(σzz), im Bild als Sekantenmodul gezeichnet, heißt Steifemodul Es (oe-dometer modulus).

Es = Δσzz / Δεzz = Δσzz / Δs' bzw. bei Definition über die Steigung der Funktion:

Es = dσ /dε*·(1-ε*) Zur Berechnung von Setzungen infolge von Spannungsänderungen im Untergrund ist die Verwendung des Steifemoduls zweckmäßiger als die Verwendung des o.g. Kompressionsbeiwertes. Würde man in das Oedometer ein elastisches Material einbauen, dann würde sich eine vom Spannungsniveau unabhän-gige lineare Beziehung zwischen aufgebrachten Spannungsänderungen und resultierenden vertikalen Stauchungen bei verhinderter seitlicher Dehnung ergeben. Bei einer Entlastung würde die gespeicherte elastische Energie die Probe wie-der in die Ausgangsform zurückführen.

Boden Cc Cs e0 Kiessand 0,001 0,0001 0,3 Feinsand, dicht 0,005 0,0005 0,5 Feinsand, locker 0,01 0,001 0,7 Grobschluff 0,02 0,002 0,8 toniger Schluff 0,03 - 0,6 0,01 - 0,02 0,9 - 1,2 Kaolin-Ton 0,1 0,03 1,5 Klei 0,1 - 0,3 0,03 - 0,1 1,2 - 2,5 Montmorillonit- Ton

0,5 0,4 5

Torf 1 0,3 10

Tabelle H02.10: Typische Kompressions- und Schwellbeiwerte (GUDEHUS, 1981)

Cc

1 +

e a

(ea A

nfan

gspo

renz

ahl)

-15%

+15%

x

x

x x x x

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

10 20 30 40 50 60 70 80 100 200 300 400 natürlicher Wassergehalt in %

0

nach Korhonen 1963 Bereich

Druckspannung σzz in log. Maßstab

103 Jahre 104 Jahre

10-1 Jahre

100 Jahre

101 Jahre

102 Jahre

Porenzahl e Sedimentation

1

2

3

4 Normalkonsolidie-rung

σc

104 Jahre Sekundäre

Setzung

Proben-nahme und Oe-dometer-versuch

σ0


Obwohl das Verhalten eines Bodens, in dem sich im Wesentlichen der Porenraum irreversibel verändert, nicht durch elastische Eigenschaften bestimmt ist, ist es zulässig, die Stauchung einer Bodenprobe infolge einer Zusatzspannung mit der Stauchung eines elastischen Materials, dessen elastische Eigenschaften durch den Elastizitätsmodul E und die

Querkontraktionszahl ν bzw. den Kompressionsmodul K und den Schubmodul G festgelegt sind, zu vergleichen. So zog

schon TERZAGHI (1925) das HOOKEsche Gesetz heran, um den Zusammenhang zwischen Es und den Moduln der Festigkeitslehre aufzuzeigen. Danach erhielte man für die Arbeitslinie eines elastischen festen Körpers mit dem Elastizi-

tätsmodul E und der Querdehnzahl ν (0 ≤ ν ≤ 0,5) im Oedometerversuch:

εzz = )(EE yyxx

zz σσνσ

+⋅−

Für εxx = εyy = 0 und σxx = σyy = σzz · ν

ν−1

kann man umrechnen:

) 2 - 1 ( ) + 1 (

- 1 E = = Ezz

zzs

ννν

εσ

⋅⋅ (H02.10)

oder gleichwertig mit Hilfe des Kompressionsmoduls K (bulk modulus) )2-(13

E Kν⋅

=

νν + 1 - 1 K 3 = Es ⋅⋅ (H02.20).

Falls man in der genannten Art Vergleiche zwischen dem Steife-modul und Elastizitätsparametern verwendet, sollte man sich je-doch stets bewusst machen, dass Boden kein Werkstoff ist, des-sen Verhalten mit den Gesetzen der Elastizitätstheorie (nicht ein-mal näherungsweise) beschrieben werden kann. Nur ein sehr kleiner Anteil der Dehnungen ist elastisch, lässt damit die Speiche-rung von Energie zu und ist reversibel. Dennoch ist die Heranzie-hung der Elastizitätstheorie für die Lösung einiger Randwertprob-leme in der Bodenmechanik hilfreich. Die Umrechnung zwischen dem Steifemodul und dem o.g. Kom-pressionsbeiwert Cc ergibt sich im Spannungsintervall σa bis σb zu

Es = )/ln(C

e1

ab

ab

c

0

σσσ−σ

⋅+

.

Die allgemeine Form der überlinearen Arbeitslinie, also der Zu-nahme von Es mit zunehmender Spannung trifft für alle Bodenar-ten zu. Bild H02.80 zeigt die Abhängigkeit von Es von der Druckspannung und der Lagerungsdichte für holozäne und pleistozäne Sande nach SCHULTZE / MOUSSA (1961). Die Überlinearität wurde erstmals von OHDE (1939) in Form eines Potenzansatzes formuliert:

ew

at

zzates σ

σσ v = E ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅ (H02.30).

(σat Atmosphärendruck; ve und we Konstanten) Dieser wird zum Beispiel in numerischen EDV-Berechnungen in der Praxis oft angewendet. Werte für den Exponent we

und den Kompressionsbeiwert (zur Vermeidung von Verwechslungen besser: Verdichtungsbeiwert) ve sind in den Bildern H02.90 und H02.100 sowie in Tabelle H02.30 angegeben. Weiterhin sind in Tabelle H02.20 typische Steifemoduln einiger Bodenarten angegeben.

Bild H02.80: Zunahme des Steifemoduls mit dem Spannungsniveau und der Lagerungsdichte (SCHULTZE / MOUSSA, 1961)

0 500

D = 100%

80% 50%

Sande mit d = 0,06 – 4 mm

20%

200

σzz [kN/m²]

Es [MN/m²]

100

0


H.2.4 Auswertung der Zeitsetzung

Beim Oedometerversuch wird in jeder Laststufe die Zeitsetzung abgewartet und in ausgewählten Laststufen messtech-nisch verfolgt sowie als Funktion der Zeit t graphisch dargestellt. Der Zeitmaßstab zur Auftragung der Zeitsetzungen wird in der Regel logarithmisch und/oder als Wurzelmaßstab gewählt. Zeigt sich ein Versuchsabschnitt im logarithmischen Maßstab als Gerade, dann folgt das Material hier einem Exponentialgesetz, wie es z.B. für die Sekundärsetzung (Krie-chen) angewandt wird. Zeigt sich ein Abschnitt im Wurzelmaßstab als Gerade, dann folgt das Materialgesetz hier einem quadratischen Ansatz, wie ihm anfänglich die Kurvenverläufe entsprechend der Konsolidationstheorie näherungsweise folgen. Aus der Interpretation der Zeitsetzungskurve in diesen Maßstäben lassen sich bei bindigen Böden verschiedene Anteile: Sofortsetzung, Primärsetzung (= Konsolidation bedingt durch Auspressen von Porenwasser) und Sekundärset-zungen (Kriechen) ermitteln (Bild H02.110). Bild H02.130 zeigt die Auftragung des Zeitsetzungsverhaltens einer Probe im Wurzelmaßstab.

Bild H02.90: Exponent we als Funktion des Porenanteils n (GRUNDBAU-TASCHENBUCH TEIL1, 1990)

Bild H02.100: Verdichtungsbeiwert ve als Funktion des Porenanteils n (GRUNDBAU-TASCHENBUCH TEIL1, 1990)

Bodenart Steifemodul Es [MN/m2] Sand, locker, rund 20 - 50 Sand, locker, eckig 40 - 80 Sand, mitteldicht, rund 50 - 100 Sand, mitteldicht eckig 80 - 150 Kies ohne Sand 100 - 200 Ton, halbfest 5 - 10 Ton, steif 2,5 - 5 Ton, weich 1 - 2,5 Geschiebemergel, fest 30 - 100 Lehm, halbfest 5 - 20 Lehm, weich 4 - 8 Schluff 3 - 10 Torf 0,4 - 1

Bodenart ve we Organische Böden 3 - 15 0,85 - 1 Tone 5 - 20 0,85 - 1 Schluffe 20 - 80 0,80 - 0,95 Sand und kiesige Sande

100 - 750 0,55 - 0,70

Tabelle H02.20: Steifemodul für einige Bodenarten (EAU, 1990)

Tabelle H02.30: Beiwerte ve und we für Potenzansatz (OHDE, 1939)


Unmittelbar mit der Belastung tritt die Sofortsetzung auf. Ihr folgt die durch Konsolidation bedingte Primärsetzung. Unter Kon-solidation versteht man dabei den Vorgang, bei dem unter Last Wasser aus der Probe herausgedrückt wird, was aufgrund der geringen Durchlässigkeit bei einer Probe aus bindigem Material einige Zeit erfordert. Während der Konsolidationsphase tritt anfänglich theoretisch die Konsolidationssetzung s in der Zeit t und die doppelte Setzung 2·s in der vierfachen Zeit 4·t auf. Entsprechend dieser Regel lässt sich die Linie 0 % der primären Setzung ermitteln (Bild H02.110). Die Methode geht auf CASAGRANDE (1936) zurück. Die Grenze (100 % primäre Setzung) zwischen primärer Setzung und sekundärer Setzung findet man dadurch, dass man im logarithmischen Maßstab die Tangente an den S-förmigen Teil der Zeit-Setzungskurve mit der Verlängerung der während der sekundären Setzung vorhandenen Gerade zum Schnitt bringt. Eine zweite Methode (TAYLOR, 1948) macht sich zu Nutze, dass sich der Anfangsbereich der Primärsetzung bei Auftragung im Wurzelmaßstab als Gerade darstellen sollte. Durch Annäherung der Versuchspunkte im Anfangsbereich der Konsolidation mit einer Geraden ergibt sich der theoretische Nullpunkt (Verfestigungsgrad U = 0, siehe Bild H02.130) der Konsolidation, der das Ende der Sofortsetzung markiert. Zur Ermittlung des Endes der Konsolidationsphase wird folgende Konstruktion gewählt, die aus der theoretischen Konsolidationstheorie (siehe Abschnitt H.8.2) abgeleitet werden kann: In das Zeit-Setzungsdiagramm im Wurzelmaßstab wird eine zweite Gerade eingezeichnet, deren Steigung gegenüber der zuletzt ge-nannten Anfangsgeraden um 15 % erhöht ist. Die Stelle, an der diese Gerade die Versuchskurve schneidet, markiert einen Verfestigungsgrad von U = 90 %. Daraus lässt sich der Verfestigungsgrad 100 %, also das Ende der Konsolidierungsphase und der Beginn der Sekundärsetzung extrapolieren (Bild H02.130). Die zwei genannten Methoden führen nicht immer zum gleichen Ergebnis. Das Vorgehen zur Ermittlung des Konsolidierungsbeiwerts cv und des Durchlässigkeitsbeiwerts k aus der Zeit-Setzungslinie ist in Abschnitt H.8.2 angegeben. Die Sekundärsetzung, üblicherweise auch als Kriechen bezeichnet, findet theoretisch kein Ende. Sie verlangsamt sich jedoch logarithmisch. Im Zeitraum 10 Minuten bis 100 Minuten tritt also der gleiche Setzungszuwachs auf wie zwischen 10 Jah-ren und 100 Jahren. Sie wird mit dem Kriechmaß Cα beschrieben, welches die Steigung des linearen Abschnitts der Zeit-

Porenzahl-Linie im Bereich der Sekundärsetzung im logarithmischen Zeitmaßstab darstellt: Cα = -t ln

eΔΔ

.

Auf die Theorie der Konsolidation und des Kriechens wird in Abschnitt H.8 weiter eingegangen.

Bild H02.110: Aufteilung der Zeitsetzung in Sofortsetzung, Primärsetzung und Sekundärsetzung

Bild H02.120: Auftragung der Zeitsetzung bei einem Versuch: Zeit in logarithmischem Maßstab

Bild H02.130: Auftragung der Zeitsetzung bei ei-nem Versuch: Zeit in Wurzel-Maßstab

a a

b b

0% der primären Setzung Zeit log t

Tangente an den Wendepunkt des s – förmigen Teils der Zeitsetzungslinie

100% der primären Setzung

100% der Gesamtsetzung Verlängerung d. Geraden

Sofortsetzung

Primärsetzung

Sekundärsetzung

Bez

ogen

e Zu

sam

men

drüc

kung

Δh/

h 0

1/a ¼ t1 ¼ t2 t1 t2


.. . . . .

. . . .. ..

.

.

. . . . .

...

.... . .

. . . . ... . . ... . . .

Druckspannung im Oedometer 500 σzz [kN/m2]

0

0,5

Vol

umen

ände

rung

[%]

0

H.2.5 Wirkung mehrfach wiederholter Druckbelastung

Bei mehrfach wiederholter allseitiger Druckbelastung wie im Oedo-meterversuch nähert sich das Verhalten des Bodens nach vielen Zyklen einem Endzustand, bei nichtbindigen Böden nach weniger Lastwechseln als bei bindigen. Hierfür zeigt Bild H02.140 ein Bei-spiel (SEAMANN et al., 1963). Während der ersten Zyklen erfährt der Boden eine Verdichtung, die jedoch einem lastbezogenen Endwert zustrebt. Im Endzustand zeigt das Material eine stets wiederkehrende Hysteresis-Schleife. Der Flächeninhalt der Hyste-rese wächst überproportional mit wachsendem Spannungsintervall.

H.2.6 Wirkung stoßartiger Belastungen

Bei stoßartigen Belastungen reagiert ein Boden im Allgemeinen steifer als bei langsamer, sogenannter statischer Belastung, solan-ge die Belastung ausreichend weit von Grenzbeanspruchungen entfernt ist. Dabei sind Trägheitskräfte von Bedeutung und die Tatsache, dass Porenluft und Porenwasser abströmen müssen (was Zeit erfordert), bevor der Porenraum des Bodens, der am meisten zu Verformungen beiträgt, verändert werden kann.

H.3 Lastplattendruckversuch, Seitendruckversuche

Der Oedometerversuch ist geeignet, die Zusammendrückbarkeit eines Bodens bei verhinderter Seitendehnung an Bo-denproben zu ermitteln. Der Laborversuch entspricht hinsichtlich seiner Randbedingungen bei einer Übertragung auf in-situ-Verhältnisse einer unendlich weit ausgedehnten Last (Flächenlast), die eine kompressible Schicht begrenzter Dicke belastet. Er enthält den Nachteil der kleinen Probe und der unvermeidlichen Störungen bei Probenentnahme und Einbau in das Versuchsgerät. Um unter Vermeidung der letztgenannten Einflüsse unmittelbar im Feld Aussagen über die Ver-formungseigenschaften von Böden unter einfacher Druckbeanspruchung zu gewinnen, sind auch Plattendruckversuche auf einem Erdplanum und Seitendruckversuche in Bohrlöchern aussagekräftig. Hier ist jedoch die Seitendehnung nicht verhindert und die Lastausbreitung in benachbarte, unbelastete Bereiche hat Bedeutung. Daher sind Formfaktoren und Ansätze über die seitliche Lastausbreitung erforderlich, um die dort gewonnenen Last-Setzungs-Kurven mit Kurven im Oedometerversuch vergleichbar zu machen. Beim Plattendruckversuch (DIN 18134) wird der Boden durch eine kreisförmige Lastplatte mit Hilfe einer hydraulischen Presse, die sich gegen ein Widerlager abstützt (z.B. LKW), stufenweise belastet, entlastet und wiederbelastet. Die Span-nungsstufen werden auch bei diesem Versuch progressiv gesteigert. Als Plattendurchmesser sind 30 cm, 60 cm und 76,2 cm (30") üblich. Das Ergebnis dieses Versuchs ist eine Spannungs-Verformungskurve, aus der ein Verformungsmodul Ev abgeleitet wird:

Ev = 1,5 ⋅ r ⋅ (Δσzz / Δs) (H03.10)

mit r - Radius der Lastplatte, Δσzz - Differenz eingetragener Druckspannungen, Δs - Setzungsunterschied. Die Wirkung der Lastplatte reicht bis etwa zur Tiefe des 1,0- bis 2,0-fachen Plattendurchmessers, dementsprechend können in diesem (geringen) Tiefenbereich die Eigenschaften der Zusammendrückbarkeit aus dem Versuch abgeleitet werden. Für kreisrunde Lastplatten mit dem Radius r auf dem homogenen, linear-elastischen, isotropen Halbraum gilt nach

TIMOSHENKO und GOODIER (nach GOODMAN, 1980): s

rC1

E zz2

σ⋅⋅=

ν−.

C ist ein Beiwert, der die Steifigkeit der Lastplatte berücksichtigt. Für die vollkommen starre Lastplatte ergibt sich

C = π/2, bei einer flexiblen Platte ist C = 1,70. Mit der recht groben Annahme C = 1,5 ergibt sich dann aus Gl. H03.10

ein Zusammenhang zwischen dem Verformungsmodul Ev und den Elastizitätsparametern E und ν mit:

²)1(EE v ν−⋅= .

Bild H02.140: mehrfach wiederholte Druckbean-spruchung eines Bodens (SEAMANN et al., 1963)


1 Messuhr bzw. Wegaufnehmer 2 Tragegestell 3 Drehpunkt 4 Tastarm 5 Last 6 Linearlager 7 Auflager 8 Tastvorrichtung

Bild H03.10: Gerät des Plattendruckversuchs (DIN 18134)

Der Plattendruckversuch hat große Bedeutung als Kontrollversuch und für die Abnahme eines Planums im Erdbau (siehe Vorlesungseinheit "Boden als Baustoff"). In diesem Zusammenhang sind Gerät (Bild H03.10), Versuchsdurchführung und Auswertung in DIN 18134 genormt. Bei der Auswertung wird die Last-Setzungs-Linie durch ein Polynom 2. Grades s = a0 + a1 · σ0 + a2 · σ0

2

angenähert. Darin sind σ0 die aus der aufgebrachten Last ermittelte mittlere Bodendruckspannung und a0 bis a2 aus dem Diagrammverlauf zu ermittelnde Konstanten. Die gewählte Form der Anpassungskurve berücksichtigt, dass der Boden mit zunehmendem Spannungsniveau steifer wird. Mit Hilfe dieser Konstanten und für den Bereich zwischen den Punkten 0,3 · σmax und 0,7 · σmax wird der Verformungsmodul normgerecht ermittelt zu

Ev = 1,5 ⋅ r ⋅ max21 σaa

1⋅+

Beim Seitendruckversuch werden in einem Bohrloch mit etwa 20 cm Durchmesser zwei an die Bohrlochform angepasste Halbschalen-Lastplatten auseinandergedrückt, oder eine wassergefüllte Blase beansprucht den umgebenden Boden radial (Pressiometer, Bohrlochdurchmesser nur etwa 7 cm). Auch bei diesen Versuchen werden Spannungs-Verformungskurven gemessen, aus denen man Verformungsmoduln des Bodens in der Nähe des Versuchsgerätes bestimmen kann, indem man die geometrischen Randbedingungen in Formfaktoren erfasst. Bei den genannten Versuchen haben jedoch die Qualität der Bohrlochwandung und eine eventuelle Auflockerung des Bodens infolge des Bohrvorganges erheblichen Einfluss auf die Ergebnisse, die daher vorsichtig zu bewerten sind.

Bild H03.20: Prinzip des Pressiometers von Ménard: Randzellen Gasdruck, Mittelzelle Wasserdruck

Bild H03.30: Stuttgarter Seitendruck-sonde (SEEGER, 1980)

Bild H03.40: Auswertung einer Seiten-druckmessung nach Bild H03.30 (SEEGER, 1980)


Seitendrucksonden wurden zuerst von KÖGLER in Freiberg/Sachsen in den 1930-er Jahren entwickelt. Auf dieser Grundlage wurde in Frankreich von MENARD das Pressiometer (BAGUELIN et al., 1978) als Standard-Baugrund-erkundungsgerät eingeführt, vergleiche dazu Bild H03.20. Für Felsuntersuchungen sind hydraulisch bewegte Druckplat-ten geeigneter (GOODMAN et al., 1968; SEEGER, 1980), siehe Bild H03.30.

H.4 Spannungsausbreitung

Wenn man die Druckausbreitung in einem ebenen, regelmäßig geschichteten Haufen starrer Kugeln, Bild H04.10, rech-nerisch verfolgt, erhält man für die senkrecht erforderlichen Reaktions-Druckkräfte in jeder Schicht eine Binomial-Verteilung auf k+1 Kugeln, die für k → ∞ und eine Linienlast "1" in eine Gaußsche Normalverteilung übergeht:

e zh =

) - (

zzzxh 2

22⋅

⋅π⋅

σ (H04.10)

für eine Einzellast 1 gilt entsprechend:

) zy,x, = ki, ( e ) k i ( z

h = )

z2y2 + x2

h2- (

4

2

ik

⋅

⋅⋅⋅π

σ E1.02

(h - Häufigkeitsparameter zur Anpassung der Funktion an die Lastausbreitung). Bei wirklichen Schüttungen aus unregelmäßig geformten Körnern mit unterschiedlichen Durchmessern weichen die Druckverteilungen infolge der Schubkräfte zwischen den Par-tikeln zwar von der (statisch bestimmten) Normalverteilung ab, doch gelten unverändert folgende Aussagen: - Infolge einer senkrecht auf eine Schüttung wirkenden äußeren

Kraft stellt sich im Innern eine Druckverteilung ein, die über-wiegend durch die von Korn zu Korn weitergegebenen Druck-kräfte, zum geringeren Teil durch Schubkräfte zwischen den Körnern bestimmt ist.

- Die Druckausbreitung im Innern einer Schüttung ist auf einen kegelförmigen, nach der Tiefe sich ausbreitenden Teilbereich des Halbraums beschränkt.

Die zweite Aussage folgt aus der ersten. Ein experimenteller Nachweis stammt von KÖGLER / SCHEIDIG (1927/1929). KÖGLER hatte schon 1926 darauf hingewiesen, dass ein elas-tisch isotroper Halbraum im Sinne der Festigkeitslehre im Boden erst in genügend großem Tiefenabstand von der freien Oberfläche erwartet werden kann. Mit Gleichung H04.10 lässt sich der räumliche Spannungszustand bei symmetrischen Randbedingungen recht bequem abschätzen, aber keine Verformungen berechnen (SMOLTCZYK, 1966/1967). Bei dem zuletzt genannten Modell der Lastausbreitung in einem Partikelhaufen werden nur die Gleichgewichtsbedingun-gen erfüllt. Wenn man berücksichtigt, dass sich die Körner unter Last zusammendrücken, muss sich die Lastausbreitung verändern, da sich dann auch Körner oberhalb des "Lastausbreitungskegels" bewegen müssen und dabei beansprucht werden. Die Berücksichtigung dieses Umstands gelingt bei Verwendung des elastisch isotropen Halbraums, der zur Be-rechnung der Ausbreitung von Spannungen unter Berücksichtigung von Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingun-gen geeignet ist und in der Bodenmechanik üblicherweise zur Berechnung von Spannungen und Verformungen herange-zogen wird. Dabei sind auch Erweiterungen des Modells auf einen geschichteten Halbraum mit elastischen Einzelschich-ten und die Berücksichtigung einer Anisotropie vorgenommen worden. Anders als beim Modell des Kugelhaufens wirkt sich im elastisch isotropen Halbraum die Beanspruchung des Halbraums an einer Stelle im gesamten Halbraum aus. In der Realität folgt die Spannungsausbreitung weder exakt dem einen, noch dem anderen Modell. Alle nachfolgend dargestellten Ansätze beziehen sich jedoch auf das Modell des elastisch isotropen Halbraums. Bei Berechnungen mit numerischen Methoden lassen sich heute auch unter Berücksichtigung der nicht-elastischen Ei-genschaften des Bodens Spannungen und Verformungen ermitteln. Für eine Vielzahl praktisch relevanter Randbedin-gungen reichen jedoch Berechnungen und Abschätzungen auf der Basis der nachfolgenden Ansätze aus.

Bild H04.10: Spannungsausbreitung einer Linien-last 1 im Kugelhaufen (Zahlenwerte für ν = 8)


H.4.1 Spannungsausbreitung und Verformungen im elastisch isotropen Halbraum

Die in der Bodenmechanik übliche Spannungsberechnung ersetzt den wirklichen Baugrund durch einen elastisch-isotropen Halbraum. Vor allem für analytische Spannungsberechnungen wird in der Regel das Modell des elastisch isotropen Halbraumes angewandt. Er entsteht, wenn man den dreidimensionalen Raum durch eine waagrechte, unendlich ausgedehnte Ebene in zwei Hälften unter-teilt. Die obere Hälfte ist leer, die untere mit einem homogenen Feststoff mit elastischen Eigenschaften gefüllt. Für ebene Berech-nungen kann man aus dem elastisch isotropen Halbraum eine vertikale Halbscheibe herausschneiden. Bei der Idealisierung werden folgende Eigenschaften vorausge-setzt, die teilweise nicht den natürlichen Eigenschaften entspre-chen: - Der Halbraum ist elastisch. Druck- und Zugkräfte können glei-

chermaßen aufgenommen werden. Es gilt das Superpositions-prinzip.

- Der Halbraum ist homogen. Der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν haben überall den gleichen Wert.

- Der Halbraum ist isotrop. Seine Eigenschaften sind nicht richtungsabhängig. - Das Eigengewicht des Halbraums bleibt unberücksichtigt. - Die Verformungen und ihre ersten Ableitungen sind klein. Alle Betrachtungen können am unverformten System vor-

genommen werden.

H.4.1.1 Senkrechte Einzellast auf elastisch-isotropem Halbraum

Von besonderer Bedeutung ist die Lösung von BOUSSINESQ (1885) für die Belastung des Halbraums durch eine senkrech-te Einzelkraft. Die nachstehend verkürzt dargestellte Ableitung findet sich beispielsweise bei SZABO (1956). Mit den Bezeichnungen nach Bild H04.20 und für den Fall, dass keine eingeprägten Kräfte (Eigengewicht, Strömungskraft, Erdbebenkraft) berücksichtigt werden sollen, lauten die Gleichgewichtsbedingungen für den achsensymmetrischen Span-nungszustand:

0 = r

z

r

und 0 = r -

+ z

+ r

zrzzrzrrzrrr σ+

∂σ∂

+∂σ∂σσ

∂σ∂

∂σ∂ ψψ (H04.20).

Die HOOKEschen Elastizitätsgleichungen (E - Elastizitätsmodul; 0 ≤ ν = ⏐1

3

εε

⏐ ≤ 0,5 - Poissonzahl) lauten:

E·εrr = σrr - ν·(σzz + σψψ) = E·(∂vr / ∂r) (H04.30) E·εrz = 2·(1+ν)·σrz = E·(∂vr / ∂z + ∂vz / ∂r)

Außerdem kann für die Volumendilatation geschrieben werden: ε = εrr + εzz + εψψ = (∂vr / ∂r) + (∂vz / ∂z) + vr / r (H04.40).

Verknüpft man die Gleichgewichtsbedingungen (H04.20) mit den Elastizitätsgleichungen (H04.30) und der Volumendilatation (H04.40), so ergibt sich

0 z2-1

1 + v und 0 = r2-1

1 + rv - v z2

rr =

∂ε∂

⋅ν

Δ∂

ε∂⋅

νΔ (H04.50).

Dabei ist Δ der Laplace-Operator.

Bild H04.20: Vertikale Einzellast, verwendete Be-zeichnungen

P = 1

R

r

vr

vz

z

ϑ

ψ


Um die Differentialgleichungen H04.50 zu lösen, führt man zwei Funktionen A (r ; z) und B (r ; z) so ein, dass die ge-suchten Verschiebungen aus ihnen durch partielle Ableitung gewonnen werden können:

r

) Br ( r1

2-1v)-1 ( 2 -

zA = v und

zB

2-1) -1 ( 2 +

rA = v zr ∂

⋅∂⋅⋅

ν∂∂

∂∂

⋅νν

∂∂ (H04.60).

Verknüpft man außerdem A und B durch die LOVEsche Verschiebungsfunktion θ

r

- = B und z

= A ∂θ∂

∂θ∂

dann ergibt sich die Bipotentialgleichung

0 = = r

r1 +

r +

z 2

2

2

2θΔΔ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

θ∂⋅

∂θ∂

∂θ∂Δ (H04.70).

Mit den Randbedingungen σrz (r ≠ 0 ; 0) = 0 und σzz (r ≠ 0 ; 0) = 0 und der Gleichgewichtsbedingung

1 = drr 2 zz0

σ⋅∫π∞

erhält man die Gleichungen von BOUSSINESQ:

mit R2 = z2 + r2 und G = )1(2

Eν+⋅

ergibt sich:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅ν⋅

⋅π ) R + z ( R

r ) 2-1 ( - R

zr G4

1 = v 3r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ν⋅⋅

π

Rz +

R1 ) -1 ( 2

G41 = v 3

2

z

) R + z ( R

1 ) 2 - 1 ( - R

rz 3 21 = 5

2

rr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

ν⋅

⋅⋅π

σ (H04.80)

ϑππ

⋅σ cos

z23 =

R2z 3 = 5

25

3

zz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅π

νσψψ

Rz -

) R + z ( R1

22 - 1 = 3

ϑ⋅ϑ⋅π

σ cos sin z2

3 = 42rz

An der Oberfläche ist

r1

G4 2 - 1 - = vr ⋅

πν

r1

G2 - 1 + = vz ⋅

πν

(H04.90)

2rr r22 - 1 - =

πν

σ 2r22 - 1 =

πν

σψψ

Die Verschiebungskomponenten haben also an der Oberfläche eine hyperbolische Verteilung und sind am Lasteinlei-tungspunkt nicht definiert. vz wird in der Bodenmechanik als Setzung bezeichnet. Der Spannungszustand hängt empfind-

lich von ν ab. Wie bei den Betrachtungen im Zusammenhang mit dem Kompressionsversuch gezeigt wurde, ist der Bo-

den nicht elastisch und lässt sich durch Elastizitätskonstanten E und ν allenfalls in sehr grober Näherung beschreiben. Bei näherer Betrachtung der Gleichungen von BOUSSINESQ werden Probleme bei der Anwendung der Elastizitätsge-


setze erkennbar: Da man beispielsweise bei nichtbindigem, also kohäsionslosem Baugrund fordern muss, dass an der Oberfläche alle Spannungskomponenten 0 sind, würde die Anwendung der HOOKEschen Stoffgesetze auf einen solchen

Baugrund bedingen, dass man ν = 0,5 wählen muss, also Volumenbeständigkeit unterstellen würde, die tatsächlich

nicht gegeben ist. Die Gleichungen H04.80 lauten für den Fall ν = 0,5:

ϑ⋅ϑ⋅π

cos sin RG41 = vr ) cos + 1 (

RG41 = v 2

z ϑ⋅π

ϑ⋅ϑ⋅π

σ sin cos z2

3 = 232rr ϑ⋅ϑ⋅

πσ sin cos

z23 = 4

2rz (H04.100).

ϑ⋅π

σ cos z2

3 = 52zz 0 = ψψσ

Durch eine Spannungstransformation lässt sich zeigen, dass die Normalspannung

ϑ⋅π

σ cos R23 = 2RR

in Richtung des Radiusvektors {R} die 1. Hauptspannung ist, wäh-rend die 2. Hauptspannung 0 ist. Dies ist nur dann kein Wider-spruch zur Bruchbedingung (siehe Abschnitt I.6) des Bodens, wenn der Spannungszustand aus äußerer Last durch eingeprägte Span-nungen aus z.B. dem Eigengewicht überdrückt wird oder der Bau-grund dank einer Kohäsion gewisse Zugspannungen aufnehmen kann.

Man beachte, dass die Komponenten σzz und σrz als einzige von den Materialkonstanten unabhängig sind. Bild H04.30 stellt den geometrischen Ort für die Punkte gleicher

Vertikalspannung σzz infolge einer Einzellast P=1 am Rand dar. Diese Kurven werden als Isobaren, das vollständige Isobaren-Bild wird oft anschaulich als Druckzwiebel bezeichnet.

H.4.1.2 Waagerechte Einzellast auf elastisch isotropem Halbraum

Auch für eine waagerechte Einzellast kann man auf dem in H.4.1.1 gezeigten Weg, aber unter Verwendung kartesischer Koordinaten x, y, z, eine Lösung für den Verschiebungs- und Spannungszustand im elastisch-isotropen Halbraum be-rechnen (CERRUTI, 1888), Bild H04.40: Auch bei den folgenden Gleichungen sind, wie bei Gleichung H04.80, die vertikalen Spannungskomponenten unabhängig von den elastischen Konstanten. Da der Spannungszustand antimetrisch in x-Richtung ist, sind für x < 0 alle Normal-spannungen Zugspannungen. Daher ist dieser Spannungszustand eher selten auf bodenmechanische Probleme an-wendbar.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

ν⋅π

)R + (z Rx - 1

R + z2 - 1 +

Rx +

R1 = v G4 2

2

3

2

x

) R + z ( R

xy) 2 - 1 ( - Rxy = v G4 23y

⋅ν⋅π

) R + z ( R

x ) 2 - 1 ( + Rxz = v G4 3z ⋅

ν⋅π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅ν⋅σ⋅π 3

2

2

2

3

3

xx2

)Rz(R)3 + (z x +

)R + z (R3 - 1

Rx ) 2 - 1 ( -

Rx 3 = R2

Bild H04.30: Isobaren, Druckzwiebel

Bild H04.40: Waagerechte Einzellast

P = 1 x

z y


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅ν⋅σ⋅π

)R + (zR)3 + (z y +

)R + (zR - 1

Rx ) 2 - 1 ( -

Rxy 3 = R2 3

2

2

2

3

2

yy2 (H04.110)

Rxz 3 = R2 3

2

zz2 ⋅σ⋅π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅

⋅⋅

⋅ν⋅σ⋅π 22

2

23

2

xy2

R)Rz() R3 + z ( x - 1

)R + (zRz ) 2 - 1 ( +

Rzx 3 = R2

Rxyz 3 = R2 3yz

2 ⋅σ⋅π

R

zx 3 = R2 3

2

xz2 ⋅σ⋅π

H.4.1.3 Senkrechte Linienlast

Mit den Bezeichnungen in Bild H04.50 ist eine Linienlast durch eine von y = - ∞ bis y = + ∞ reichende Folge unendlich dicht benachbar-ter Einzelkräfte definiert. Die Linienlast habe die konstante Größe 1 kN/m; sie erzeugt einen ebenen Verformungszustand. Die Berech-nung des Spannungszustands erfolgt am einfachsten mittels der AIRYschen Spannungsfunktion F (Bipotentialfunktion) durch Lösen der Differentialgleichung

0 = F R1 +

R

R1+

R = F 2

2

22

2 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϑ∂∂

∂∂

⋅∂∂ΔΔ

für den Zustand ohne eingeprägte Kräfte. Die Spannungen ergeben sich bei diesem Ansatz aus:

2

2

2RRF

R1 +

RF

R1 =

ϑ∂∂⋅

∂∂

⋅σ

RF = 2

2

∂∂σϑϑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ϑ∂∂⋅

∂∂

σ ϑF

R1

R - = R

Den Randspannungen genügt folgende Lösung: ϑ⋅ϑ⋅⋅= sinRCF

ϑ⋅⋅=σ cos)R/C2( RR 0=σϑϑ 0R =σ ϑ Wie im Fall der Einzellast, siehe Gleichung H04.100, ist σRR die 1.Hauptspannung. Die Konstante C ist aus der Gleich-gewichtsbedingung

1 = C = d R cos 2 RR2

0π⋅ϑ⋅⋅ϑ⋅σ∫⋅

π

nach Bild H04.50 zu bestimmen. Damit wird

cosR

2 = RR ϑ⋅⋅π

σ (H04.120).

In kartesischen Koordinaten lautet die Lösung

ϑ⋅π

σ cos R

2 = 3zz sin cos

R 2 = sin cos

R 2 = 2

xx2

xz ϑ⋅ϑ⋅π

σϑ⋅ϑ⋅π

σ (H04.130).

Bild H04.50: Senkrechte Linienlast, verwendete Bezeichnungen

y

x

z σRR

ϑ R

P = 1


Auf dieser Lösung beruht das sog. "Spiegelungsprinzip" von MINDLIN, bei dem der waagerechte Druck gegen eine starre

vertikale Wand im Boden durch Verdoppelung von σxx gewonnen wird, um die Bedingung "waagerechte Verschiebung = 0 an der Wand" zu erfüllen. Diese Art von Erddruckberechnung hat sich in der Praxis nicht bestätigen lassen.

H.4.1.4 Flächenlasten; allgemein

Einzelkräfte und Linienlasten sind irreal: in Wirklichkeit werden äußere Kräfte über Einzelfundamente, Balken oder Plat-ten in den Halbraum eingeleitet. Unbekannt sind zwei Spannungs- und Verschiebungszustände: der Zustand F in dem als Fundament dienenden Bauelement (Fundament, Bodenplatte, Untergeschoss) und der Zustand B im Halbraum. F und B sind durch die Bedingung miteinander verknüpft, dass in der Kontaktfläche die Verschiebungen vF = vB sein müssen (sog. Interaktionsproblem). Die Anzahl der unbekannten Zustände erhöht sich, wenn der Baugrund nicht homogen, son-dern geschichtet ist. Dann gilt die Bedingung nach Gleichheit der Verformungen an jeder Schichtgrenze. Analytische Lösungen gibt es nur für sehr spezielle Fälle wie z.B. die elastische Kreisplatte auf elastischem Halbraum (SZABO, 1959) oder die Einzelkraft auf mehrschichtigem Halbraum (BUFLER, 1961).

Bild H04.60: Grenzfälle der Interaktion von Fundament und Boden: starres Fundament und schlaffe Lastfläche

Nur bei den in Bild H04.60 skizzierten Grenzfällen der Fundamentsteifigkeit gibt es analytische Lösungen: - Starres Fundament (z.B. Stahlbetonfundamente): im Lastbereich ist die Randbedingung dvz / dx = 0 zu erfüllen;

außerhalb des Lastbereichs die Randbedingung σiz = 0 (i= x, y, z). Unbekannt ist die Sohldruckverteilung, aus der dann der Zustand B über die nachfolgend genannten Verfahren mittel-bar berechnet werden kann.

- Schlaffe Lastfläche (z.B. Erdschüttung, Tank): im Lastbereich ist eine Sohlspannung vorgegeben; außerhalb des Lastbereichs stimmt die Randbedingung mit der zuletzt genannten überein. Unbekannt ist die Verteilung der Ver-schiebungen {v}B. Da im Bereich der Fundamentmitte die größte Konzentration von aufintegrierten Wirkungen aller benachbarten Einzellasten besteht, sind hier die Verformungen am größten. Man spricht von einer Setzungsmulde unter einer schlaffen Last.

Der Spannungszustand infolge einer beliebigen Flächenlast wird durch Integration der Grundlösungen für Einzel- und Linienlasten entwickelt, da bei linear-elastischem Stoffverhalten das Superpositionsprinzip gilt. Anstelle einer analytischen Integration kann natürlich auch eine numerische Summation für bekannte Wirkungen von Teilflächen vorgenommen wer-den. Dabei können unregelmäßige Grundrissformen von Lastflächen durch zusammengesetzte einfache Formen ange-nähert werden. Nachfolgend werden Lösungen für einige einfache Fälle vorgestellt.

H.4.1.5 Starres Streifenfundament

Hier werden nur die Sohldruckverteilungen für ein lotrecht belastetes, starres Streifenfundament wiedergegeben (siehe auch Bild H04.70). Den dazu gehörigen Spannungszustand im Halbraum findet man bei HRUBAN (1944).

Normierung: ξ = 2·x / Bx (Bx – Streifenbreite). Mittige Belastung: (BOUSSINESQ, 1885)

- 1

1 BF2 = 0)z(

2x

vzz

ξ⋅

⋅π⋅

=σ (H04.140)


Ausmittige Belastung: (BOROWICKA, 1943)

Hierin bedeutet e4B2

e4Bx2

x

x1 −

−+=ξ

Aufgrund der Unstetigkeitsstelle der Verformungen an den Kanten des Fundamentes wachsen hier die Sohldruckspannungen theo-retisch unbegrenzt an. (In der Natur führen lokale Kornumlage-rungen zur Begrenzung der Spannung.) Unter der Voraussetzung der gleichmäßigen Verformungen entzieht sich der Boden in Fun-damentmitte seiner Last. Dort, wo wegen der Nachbarbeeinflus-sungen bei schlaffer Last die größte Verformung entsteht, herrscht analog bei gleichmäßiger Verformung die geringste Sohldruckspannung.

H.4.1.6 Starre Kreis- und Rechteckplatte

Kreisplatte, mittig mit P = Fv belastet (BOUSSINESQ, 1885):

r - R R2

F = (0) 22

vzz

πσ (H04.150)

(R-Plattenradius). Den dazu gehörigen Spannungszustand innerhalb des Halbraums findet man bei MUKI (1960). Elliptische Platte, ausmittige Last: (FISCHER, 1965)

- - 1

1 B

x e12 + 1 BB

F2 = 0) y, (x, 222

xyx

vzz

ηξ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅

π⋅

σ (H04.160)

wo Bx die größere Breite (doppelte Halbachse) der Ellipse ist und ξ = 2 · x / Bx; η = 2 · y / By.

e = Exzentrizität in x-Richtung ≤ 1/3 · Bx. Für Bx = By hat man die Lösung für eine Kreisplatte. Rechteckplatte, mittig belastet:

- 1 - 1

1 BB

F4 = 0) y, (x, 22yx

2v

zzη⋅ξ

⋅π

⋅σ (H04.170)

Rechteckplatte, ausmittig belastet: (BOROWICKA, 1943) Eine geschlossene analytische Lösung gibt es nicht. Als Näherung: (e = ex)

) 4B e ( )

Be 4 + 1 (

- 1 - 1

1 BB

F4 = 0) y, (x, x

x22yx2

vzz ≤⋅ξ⋅⋅

η⋅ξ⋅

π

⋅σ (H04.180)

SOVINC (1955) hat das Problem mit einem Differenzenverfahren gelöst. Heute empfiehlt sich die Anwendung der FEM.

- 1

B/e4 + 1 BF2 = 0)z(

2x

x

vzz

ξ

ξ⋅

π=σ

4B e für x≤

- 1

+ 1

BF2 = .bzw

21

1

x

v

ξ

ξ⋅

π

4B e für x≥

Bild H04.70: Sohldruckverteilung unter einem starren Streifenfundament (Lösungen von BOUSSINESQ und BOROWICKA)


H.4.1.7 Gleichmäßige (schlaffe) Streifenlast

Die Last xBp P ⋅= wird in Last-Elemente ⋅ dxp ⋅ aufgeteilt

gedacht. Auf jedes Last-Element wird dann die Lösung H04.130

angewendet und diese über x integriert. Mit ϑϑ= 2cos / d dx und den Abkürzungen (Bild H04.80)

210

21m

21

)(21

ϑ−ϑ⋅=ϑ

ϑ+ϑ⋅=ϑ ( ϑ im Bogenmaß )

ergibt sich nach der Integration zwischen den Grenzen 0m ϑ−ϑ

und 0m ϑ+ϑ

p

) 2 sin 2 ( = ) 2 sin 2 cos - 2 ( =

2 sin 2 sin = ) 2 sin 2 cos + 2 ( =

003 ,1

0m0xx

0mxz

0m0zz

π⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϑ±ϑσ

ϑ⋅ϑϑσϑ⋅ϑσ

ϑ⋅ϑϑσ

Aus der Gleichung für die Hauptspannungen folgt, dass der geometrische Ort für σ1 = const. bzw. σ3 = const. ein Kreis

durch die Kantenpunkte des Fundamentstreifens ist (Bild H04.80). Der größte Wert von σ1 und gleichzeitig von σ3 ent-

steht für π=ϑ02 . Das heißt, dass in der Fundamentsohle ein hydrostatischer Spannungszustand σ1 = σ3 = p herrscht.

H.4.1.8 Gleichmäßige (schlaffe) Last auf einer Rechteckfläche

Der allgemeine Spannungs- und Verschiebungszustand infolge einer mittigen Last Fv = p ⋅ bx ⋅ by wurde von LOVE

(1928) berechnet. In der Bodenmechanik wird nur die Vertikalspannung σzz verwendet:

mit (Ri² = (x+xi)² + (y+yi)² + z²) gilt:

) ⎟⎟⎠

⎞

⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞

+++⋅⋅⋅

⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅∑⋅

πσ

R z) y + y ( ) x+ x ( arctan +

z)yy(1

... + z + ) x + x (

1 R

z ) y + y ( ) x + x ( ) 1- (

2F =

i

ii22

i

22ii

iii4

1=i

vzz

(H04.200)

wobei für xi und yi einzusetzen ist im Fall von:

i = 1 2 3 4 xi= -bx/2 -bx/2 +bx/2 +bx/2 yi = -by/2 +by/2 +by/2 -by/2

Bild H04.80: Winkeldefinition und Haupt-spannungstrajektorien unter einem Streifen-fundament

(H04.190).


Ein ausgewertetes Beispiel im Hinblick auf die Isobaren (Druckzwiebel) mit dem Seitenverhältnis bx/by= 0,4 zeigt Bild H04.100. An diesem Bild kann man sich klarmachen, dass die "Druckzwiebel", also der infolge einer Fundamentlast von zusätzlichen Spannungen im Untergrund betroffene Bereich mit wachsender Fundamentgröße linear anwächst. Dies wird im Bild H04.90 anschaulich deutlich. Die Gleichung H04.200 eignet sich gut zur EDV-Programmierung, um den Spannungszuwachs an jedem beliebigen Punkt des Halbraums zu ermitteln. Um den Spannungszuwachs aus einer komplexen Belastung zu ermitteln, zerlegt man diese in Rechteckflächen mit jeweils konstanter Last, wendet die Gleichung auf alle Flächen einzeln an und summiert die Spannungen am zu untersuchenden Punkt.

Bild H04.110: Spannungen unter dem Eckpunkt einer gleichmäßig belasteten Rechteckfläche und Schemata zur Su-perposition bei beliebigen Punkten (STEINBRENNER, 1934)

Bild H04.90: "Druckzwiebeln" für zwei verschieden große quadratische Lastflächen

Bild H04.100: Isobaren (Druckzwiebel) für ein Rechteckfundament mit bx/by= 0,4


STEINBRENNER wertete die Gleichung H04.200 für beliebige Seitenverhältnisse und in Abhängig-keit von der Tiefe unter einer Ecke und unter dem charakteristischen Punkt eines Rechtecks aus, vergleiche dazu Bild H04.110 und Bild H04.111. Mit Hilfe der Auswertung unter dem Eckpunkt kann man den Spannungszustand unter einem beliebigen Punkt innerhalb und außerhalb einer belasteten Rechteckfläche ermitteln, indem man die Grundrissfläche so in Teil-Rechtecke zerlegt, dass der gewünschte Punkt jeweils Eckpunkt von Teil-Rechtecken ist, deren Wirkungen dann zu superponieren sind: - "P innen" (Lastfläche ACFH) ABDP +

DPFG + BPCE + PEGH (Bild H04.110) - "P außen" (Lastfläche DEFH) APFG +

PCGH - APDB - PCBE Die normierte Sohldruckordinate hat an der Last-flächen-Ecke den Wert 0,25, weil sich die Last hier unstetig ändert. Man denke sich den Punkt durch einen kleinen Kreis ersetzt, dessen Radius → 0 geht; dann ist diese Kreisfläche nur zu 1/4 belastet.

H.4.1.8.1 Einfluss der Einbindetiefe auf die Spannung σzz

Wenn man die aus dem Grundfall nach BOUSSINESQ (vgl. H.4.1.1 ) abgeleiteten Glei-

chungen für σzz auf in den Boden einbindende Fundamente anwendet, vernachlässigt man die mittragende Wirkung der im elastischen Halbraum neben dem Fundament vorhandenen Zugspan-nungen. Bei Belastung in sehr großer Tiefe wer-den von der aufgebrachten Spannung im Randbe-reich eines Fundamentes etwa 50 % als Druck-spannung unterhalb und etwa 50 % als Zugspan-nung (Abbau vorhandener Druckspannungen) oberhalb des Fundamentes abgetragen. Das Bild H04.120 nach KÉZDI zeigt die dadurch

bedingte Verringerung der Spannung σzz bei wachsender Einbindetiefe t für einen unendlich langen Fundamentstreifen von der Breite Bx bei konstanter Last p. Weitere Angaben finden sich bei SCHULTZE (1980).

Bild H04.111: Spannungen unter dem charakteristischen Punkt einer gleichmäßig belasteten Rechteckfläche (STEINBRENNER, 1934)

Bild H04.120: Spannungen unter der Mitte eines schlaffen Laststrei-fens bei Lasteinleitung unterhalb der Halbraumoberfläche (KÉZDI, 1958)


1 2 3 2 1

A B A

q = γ ·h

α1

α2

β

σz x

α = α°π 180°

-

0,5 1

0,1 0,2

0

0 0

1

2

3

4

5

Maßstab für

Maßstab für

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3,0

2,5

2,0

1,5 1

0,84

5 0,

75

0,5

0,25

0

Rq

z

1 6

10 9 8 7

r

10

6 54 3

2 1

7

z R

r R =

i =σzz q

-

-

H.4.1.9 Vertikalspannungen unter einer (schlaffen) Trapezlast

Für die Berechnung der durch eine (unendlich lange) Dammschüt-tung (Bild H04.130) verursachten zusätzlichen Vertikalspannungen empfiehlt sich die Verwendung der Gleichung (H04.210)

) )(x)()B/2(A A ( A

q = q I = 2121zz α−α⋅−α+α⋅++β⋅⋅⋅π

⋅σ

von TÜRKE, die sich ebenfalls durch eine Integration der Grund-gleichung von BOUSSINESQ ergibt.

H.4.1.10 Vertikalspannungen unter einer kreisförmigen (schlaffen) Lastfläche

Bild H04.140 stellt für 10 verschiedene Radialabstände vom Mittelpunkt einer gleichmäßig mit p belasteten Kreisplatte

(Radius R) die Vertikalspannung σzz als Funktion der auf R bezogenen Tiefe z dar (GRASSHOFF, 1959). Für eine linear von 0 auf p über den Durchmesser zunehmende Lastverteilung gibt Bild H04.150 - allerdings nur für r = R, und zwar sowohl (A) auf der unbelasteten wie (B) auf der unbelasteten Seite - die entsprechenden Werte (LORENZ / NEUMEUER, 1953). Damit ist es dann auch möglich, trapezförmige Lastverteilungen zu erfassen, nicht jedoch (anders als beim Rechteck) Lastverteilungen bei klaffender Fuge.

Bild H04.130: Ermittlung der Spannungen unter einer Trapezlast (TÜRKE, 1984)

Bild H04.140: Spannungen unterhalb einer gleichmäßig belasteten Kreisplatte (LORENZ / NEUMEUER, 1953)


0,06 0,04 0,02 0 0

2

4x y

Bx

By

p

z/By

Scharparameter : Bx/By

1,5

20 105 3

321

2 1,5 1

σzz /p

q

σzz i =

z R

10

5

2

1

0,5

0,1

0,2

0,01 0,001 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1

A

R

z

q

B

σzz

Punkt A Punkt B

Bild H04.150: Spannungen unter einer exzentrisch beanspruchten Kreisplatte (LORENZ / NEUMEUER, 1953)

H.4.1.11 Vertikalspannungen infolge Dreieck-Last unter der Ecke eines Rechteckfundaments

Bei linear veränderlicher Last müssen 4 Fälle unterschieden werden, je nachdem ob die Last über der kürzeren Seite oder der längeren Seite ansteigt und ob der Punkt unter der belasteten oder unter der unbelasteten Ecke untersucht werden soll. Die nachstehenden Diagramme wurden von JELINEK (1949) veröffentlicht (Bilder H04.160 bis H04.190). Mit diesen Diagrammen und zusätzlich der Verwendung des STEINBRENNER-Diagramms (Bild H04.110) ist es möglich, die Spannungsauswirkungen unterhalb beliebig exzentrisch belasteter Fundamente (bei Annahme einer linearen Sohl-druckverteilung) zu ermitteln. Mit diesen Diagrammen kann man durch Superponieren alle Sohldruckverteilungen mit linearer Variation gewinnen. Da-bei sind streng die wechselnden Seitenverhältnisse zu beachten (häufige Fehlerquelle!).

Bild H04.160: Last wächst über der längeren Seite; unbelastete Seite (JELINEK, 1949)


Bild H04.170: Last wächst über der kürzeren Seite; unbelastete Seite (JELINEK, 1949)

Bild H04.180: Last wächst über der kürzeren Seite; belastete Seite (JELINEK, 1949)

Bild H04.190: Last wächst über der längeren Seite; belastete Seite (JELINEK, 1949)

0 0

1

2

3

4

0,1 0,2σzz / p

z / By

xy

Bx

By

p

Bx / By = 1 1,5 2 3 5 10 20

Quadrat

0 0

1

2

3

4

0,10,05 σzz / p

Streifen

By / Bx =

z / Bx

1 2 5 10

Bx

p

By xy

σzz / p

z / Bx

By / Bx = 2

3

4

1

0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

1 2 5 ∞

p

By x y

Bx


H.4.2 Spannungsausbreitung im modifizierten Halbraum

Im Gegensatz zu den in H.4.1 vorgestellten Modellen zur Spannungsausbreitung geht FRÖHLICH (1934) nicht von einem linear elastischen Verformungsverhalten des Bodens aus, sondern stützt sich lediglich auf Gleichgewichtsbetrachtungen. Er geht dabei von einer geradlinigen Kraftausbreitung aus, so dass gilt:

ν

−ν

σ

σ

rz~und

r1~

2

r

2r

Der Parameter ν wird als Konzentrationsfaktor bezeichnet. Dieser gibt an, wie stark sich die Spannungen um die Lastachse konzent-rieren. Je stärker ein Boden in der Lage ist, Beanspruchungen über Reibung abzutragen, desto größer ist der Konzentrationsfak-

tor. Für einen Konzentrationsfaktor von ν = 3 ergibt sich die glei-che Spannungsverteilung wie bei der Lösung nach Boussinesq für den elastisch-isotropen Halbraum. Durch eine zusätzliche Betrach-tung der Formänderungsarbeit im Halbraum lässt sich zeigen, dass

durch einen Konzentrationsfaktor von ν = 3 die Spannungsausbrei-

tung in einem Boden mit konstantem Elastizitätsmodul, durch einen Konzentrationsfaktor von ν = 4 die Spannungsaus-breitung in einem Boden mit zur Tiefe hin linear steigendem Elastizitätsmodul beschrieben wird. Ausgehend von diesen Betrachtungen lassen sich die Vertikal- bzw. Horizontalspannungen in beliebigen Abständen vom Lasteinleitungspunkt berechnen. Dabei wird eine cosinusförmige Spannungsverteilung im Halbraum angenommen. Im Folgenden sind die Lösungen für eine vertikale bzw. horizontale Einzellast, sowie eine Streifenlast dargestellt. Darüber hinaus existieren noch Lösungen für vertikale bzw. horizontale Linienlasten (FRÖHLICH, 1934).

H.4.2.1 Vertikal- und Horizontalspannungen infolge einer vertikalen Einzellast P

Die Radialspannung σr ergibt sich hierbei zu

ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ −ν 2

2r cosr2

P (H04.220).

Mit ϑ⋅σ=σ 2

rz cos und ϑ⋅σ=σ 2rh sin ergeben sich die Vertikal- bzw. Horizontalspannungen zu

ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ νcos

r2P

2z (H04.230)

und ϑ⋅ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ −ν 22

2h sincosr2

P (H04.240).

H.4.2.2 Vertikal- und Horizontalspannungen infolge einer horizontalen Einzellast T

Es gilt

ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ −ν 2

2r sinr2

T (H04.250).

Damit ergeben sich die Vertikal- bzw. Horizontalspannungen zu

ϑ⋅ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ −ν 22

2z cossinr2

T (H04.260)

Bild H.04.200: Lotrechter Schnitt durch den Halb-raum (FRÖHLICH, 1934)

P 0

r2 r1

z1 z2

σr,1

σr,2

ϑ

T


und ϑ⋅⋅π⋅

⋅ν=σ νsin

r2T

2h (H04.270).

H.4.2.3 Vertikal- und Horizontalspannungen infolge einer Streifenlast

Die allgemeine Lösung für die Vertikal- bzw. Horizontalspannungen Infolge einer unendlich langen Streifenlast q = konst. lauten:

∫β

β

−ν ϑϑ⋅=σ2

1

dcosqf 1z (H04.280)

∫β

β

−ν ϑϑϑ⋅=σ2

1

dsincosqf 21h (H04.290)

Der Faktor f berechnet sich zu

∫π

−ν ϑϑ= 2/

0

1 dcos

1f .

Die Lösungen für einen Konzentrationsfaktor von ν = 3 bis ν = 6 ergeben sich somit zu:

Vertikalspannung σz Horizontalspannung σh

ν = 3 [ ] 2

1cossinq β

βϑ+ϑϑπ

[ ] 2

1cossinq β

βϑ+ϑϑ−π

ν = 4 2

1

3sin31sinq

43 β

β⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ−ϑ [ ] 2

1

3sinq41 β

βϑ

ν = 5 ( )2

1

cossin23cossinq

32 3

β

β⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ+ϑϑ+ϑϑ

π ( )

2

1

cossin21cossinq

32 3

β

β⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ+ϑϑ−ϑϑ

π−

ν = 6 2

1

53 sin51sin

23sinq

1615 β

β⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ+ϑ−ϑ

2

1

53 sin51sin

31q

1615 β

β⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ−ϑ

Anmerkung: σ( ϑ ) = σ(β2) − σ(β1). β1 und β2 sind hierbei die Integrationsgrenzen.

H.4.3 Berücksichtigung allgemeiner Randbedingungen

Die in Abschnitt H.4.1 dargestellten Lösungen zur Spannungsermittlung im Untergrund, mit denen anschließend Verfor-mungen ermitteln werden können, sind überwiegend analytisch gefunden worden und setzen einen elastisch isotropen Halbraum als Untergrundmodell voraus. Durch Superposition lassen sich mit ihnen viele Aufgaben der Praxis lösen. In erster Näherung kann man auch davon ausgehen, dass die Spannungsausbreitung im Untergrund von der Schichtung im Baugrund wenig beeinflusst wird. Mit Hilfe numerischer Berechnungen lassen sich auch für nicht-elastische Eigenschaften des Bodens – unter Berücksich-tigung von Nichtlinearität, Anisotropie, Schichtung und beliebiger Anordnung und Form von Lastflächen – Spannungen und daraus Verformungen ermitteln. Hierzu ist insbesondere die Methode der Finiten Elemente geeignet, bei der Lasten und Untergrund hinsichtlich ihrer Geometrie beliebig modelliert werden können und bei der geeignete Stoffgesetze, die

Bild H.04.210: Winkeldefinition unter einem Streifen-fundament (FRÖHLICH, 1934)

ν = 1 2 3 4 5 6 f = 1/π 1/2 2/ π 3/4 8/3 π 15/16

Bild H.04.220: Faktor f in Abhängigkeit des Konzent-

rationsfaktors ν (FRÖHLICH, 1934)

σz

β1

β2

ϑ

x dx r

z

q

Mτ σx

b

τ


den Boden hinsichtlich seiner wichtigsten Eigenschaften besser beschreiben als die Elastizitätstheorie, berücksichtigt werden können. Die Methode der Finiten Elemente wird gerne eingesetzt, um gleichzeitig die Interaktion zwischen Bau-werk und Untergrund zu erfassen. Ihre Anwendung ist allerdings mit einem erhöhten Aufwand verbunden. In Anbetracht der Tatsache, dass die Bodeneigenschaften häufig nur in recht weiten Grenzen bekannt sind, ist ein hoher Aufwand für die genaue Erfassung aller Randbedingungen aus Lasten und Geometrie oft nicht gerechtfertigt. Wichtiger als genaue Einzelberechnungen ist, die Auswirkungen von Spannungsänderungen eingrenzend zu erfassen, um trotz häufig begrenzter Kenntnisse über das Verformungsverhalten von Böden technische Lösungen zu finden, die die Gebrauchstauglichkeit der zu entwerfenden Systeme trotz unscharfer Eingangsparameter sicherstellen.

H.5 Setzungen

Infolge von Spannungsänderungen im Baugrund kommt es zu Verschiebungen. Der Verschiebungsvektor v = {vx;vy;vz} ist eine Orts- und Zeitfunktion. Die zeitliche Komponente ist vor allem durch Strömungsvorgänge des durch Belastung ausgepressten Porenwassers bedingt. Stabil ist ein neuer Spannungszustand, sobald zu einem auf die Spannungsände-

rung folgenden Zeitpunkt 0t/v =δδ wird. Die vertikalen Anteile der spannungsbedingten Verschiebungen werden Set-

zungen genannt. Außer diesen gibt es auch Verschiebungen, die lastunabhängig auftreten: Sackungen, Senkungen, Quellen, Schrumpfen etc., die in Abschnitt H.9 behandelt werden. In der Regel überwiegen bei Bauwerken die vertikalen Lasten gegenüber den horizontalen, wodurch die Berechnung von Setzungen im Vergleich zur Berechnung horizontaler Verformungen (Abschnitt H.7 ) eine herausragende Bedeutung hat. In der Regel geht man weiterhin davon aus, dass die horizontalen Verformungsanteile infolge einer vertikalen Last gering sind und z.B. unter Fundamenten die seitliche Ausdehnung der Volumenelemente vollständig verhindert ist. Bei den Setzungen unterscheidet man im Einzelnen: - Gleichmäßige bzw. ungleichmäßige Setzung je nachdem, ob sich benachbarte Punkte eines Bauwerks-Grundrisses

oder einer Fundamentfläche um das gleiche Maß setzen oder nicht. - Sofortsetzung und Nachsetzung, wobei in letzterer die Konsolidations- oder Primärsetzung und auch Kriech- oder

Sekundärsetzung enthalten sind. - Zeitsetzung s(t), der zeitliche Verlauf einer Setzung, der bei Erreichen eines stationären Zustands in die Endsetzung

mündet.

H.5.1 Setzungsberechnung, allgemein

Bei der Berechnung der Setzung eines Punktes, ganz gleich, ob er unter einem Fundament, unter einer anderen Lastflä-che oder an irgendeiner unbelasteten Stelle des Untergrundes liegt, werden die vertikalen Komponenten der Dehnungen unterhalb dieses Punktes aufintegriert.

dz = s zz0

ε∫∞

(H05.10)

Falls in Sonderfällen (einfache Geometrie, Ansatz des elastisch isotropen Halbraums) diese Integration analytisch mög-lich ist, spricht man von der direkten Setzungsberechnung. Mit ihr sind mit geringem Aufwand unter Zuhilfenahme von Tafeln schnell Angaben zur Größenordnung von Setzungen zu ermitteln. Bei komplexen Verhältnissen hinsichtlich Lastflächen und Schichtung des Untergrundes werden Setzungsberechnungen numerisch und heutzutage unter Benutzung von EDV-Programmen durchgeführt (indirekte Setzungsberechnung). Dazu wird an vielen Punkten im Untergrund unterhalb des Punktes, für den die Setzung ermittelt werden soll, die lastbedingte Zusatz-Vertikalspannung entsprechend der in Abschnitt 4 genannten Lösungen ermittelt. Dabei werden die Auswirkungen aller beteiligten Lastflächen und auch von Aushubentlastungen berücksichtigt. Jeder Spannungspunkt repräsentiert ein

Schicht-Element von der Dicke Δz, siehe Bild H05.10. Die vertikale Dehnung, die für diese Zusatzspannung unter zusätzli-cher Berücksichtigung des zuvor vorhandenen Spannungszustandes zu erwarten ist, lässt sich beispielsweise mit Hilfe des Steifemoduls oder besser aus einer direkten Auswertung von Oedometerversuchen zutreffend ermitteln. Dabei kann auch berücksichtigt werden, ob es sich um eine Entlastung oder eine Wiederbelastung handelt. Die Setzung ergibt sich

schließlich aus der Summation dieser Dehnungen, jeweils multipliziert mit dem zugehörigen Tiefenbereich Δz.

Bei dieser indirekten Methode wird hilfsweise angenommen, dass die Verteilung von σzz von den Materialeigenschaften des Bodens unabhängig ist und den Funktionen entspricht, wie sie die oben dargestellte lineare Elastizitätstheorie angibt. Diese Spannungsverteilungen spielen also nur die Rolle des "plausiblen Ansatzes".


In Wirklichkeit hängt der Spannungszustand vom nicht-linearen Stoffverhalten ab. Der Fehler, der in dieser Annahme enthal-

ten ist, ist jedoch vergleichsweise gering, da die Spannungskomponente σzz "fast statisch bestimmt" ist, also nur wenig vom Stoffgesetz abhängt (SMOLTCZYK, 1966). Bei der indirekten Setzungsberechnung wird also - in genauerer Annäherung an die Wirklichkeit als bei der direkten Set-zungsberechnung - das nicht-lineare Druck-Setzungs-Verhalten des Bodens näherungsweise erfasst, wobei die im Oedome-ter-Versuch gemessene Stauchung des Volumens bei vollständig behinderter Querverformung zugrunde gelegt wird. Die Setzungsberechnung kann also in dieser Form nur solange als zulässig angesehen werden, wie auch im Baugrund unter einem Fundament noch keine plastischen Horizontalverschiebungen auftreten. Die indirekte Setzungsberechnung ist in der europäischen Normung, im EC 7, standardisiert.

H.5.2 Setzungseinflusstiefe

Im Zusammenhang mit der erforderlichen Integration stellt sich die Frage, bis zu welcher Tiefe die Dehnungen aufzuin-tegrieren sind. So ist bei einer (theoretisch unendlich) ausgedehnten Lastfläche bis in beliebig große Tiefe ein konstanter Spannungszuwachs gegeben. Nach Division durch den Steifemodul Es oder durch Abgreifen der zu Spannung und Spannungszuwachs gehörigen Dehnung aus dem Oedometerversuch ergibt sich in jeder Tiefe eine endliche Dehnung. Ihre Integration würde zu unbegrenzt großen Verformungen führen. Tatsächlich sind aber auch sehr ausgedehnte Unter-grundbelastungen, z.B. im Zusammenhang mit Geländeauffüllungen, mit begrenzten Setzungen verbunden. Analytisch lässt sich dieses Problem nicht lösen. Die Lösung erfordert ein empirisch-pragmatisches Vorgehen. Sofern es in der Tiefe keine Schichten gibt (z.B. Festgesteinsoberfläche), aus denen keine Beiträge zu nennenswerten Setzungen mehr zu erwarten sind und die damit eine natürliche Integrationsgrenze darstellen, verwendet man die Tiefe, die sich aus dem so genannten 20 %-Kriterium ergibt. Das ist die Tiefe, ab der die Zusatzspannungen aus der Belastung kleiner sind als 20 % der effektiven Spannungen des Bodeneigengewichtes (Bild H05.10).

Bild H05.10: Zuordnung einer Stauchung (relative Setzung) zu einer Zusatzspannung in einer betrachteten Tiefe 20 % - Kriterium für die Integrationsgrenze der Dehnungen εzz infolge Zusatzlast σzz(P)

Einbindetiefe D

20% - Grenze der Integration

σzz (γ)

γ (z+D) σzz (P´)

σzz (P´)

P

z

Δz γ · D

Drucksetzungs - Diagramm

s´ = s h (relative Setzung)

ln σzz

σzz (γ) σzz (γ ; P´)

∆s´


H.5.3 Schlaffe Last, starres Fundament, charakteristischer Punkt

Schon im Zusammenhang mit den Spannungsberechnungen war der Unterschied zwischen einem starren Fundament (Spannungs-verteilung nach BOUSSINESQ) und einer schlaffen Last herausge-stellt worden. Auch im Zusammenhang mit Setzungsberechnungen spielt die Spannungsverteilung unter einem Fundament eine wichti-ge Rolle, schließlich sind Spannungsverteilung und Form der Set-zungsmulde unmittelbar miteinander verknüpft. Um bei Setzungsbe-rechnungen für (typischerweise weitgehend) starre Fundamente nicht jeweils den komplizierten Spannungsverlauf unter derartigen Funda-menten erfassen zu müssen, berechnet man die Setzung für eine schlaffe Last (Fundamentlast, dividiert durch die Fundamentfläche) allerdings an dem Punkt, an dem sich sowohl für ein starres Funda-ment wie für eine schlaffe Lastfläche die gleiche rechnerische Setzung s ergibt: Dieser derart ausgezeichnete Punkt wird als charakteristischer oder kennzeichnender Punkt bezeichnet. Beim Rechteck liegt dieser Punkt, Bild H05.20, bei 0,74 der halben Fundamentbreite von der Mitte entfernt, dabei wird eine gleichverteilte Last vorausgesetzt. Diese Überlegung geht auf van HAMME (1938) zurück. Alternativ kann man die Setzung wiederum für eine schlaffe Last (Setzungsmulde), einmal am Rand und einmal in Fun-damentmitte, errechnen und die zwei errechneten Werte mitteln.

H.5.4 Direkte Setzungsberechnung nach der linearen Elastizitätstheorie

Nähert man den in seinem Drucksetzungsverhalten nicht linearen Baugrund durch einen elastisch-isotropen Halbraum mit

konstanten Elastizitätsparametern E und ν an, dann lässt sich die Setzung s als Integral der vertikalen Dehnungskomponenten (Glei-chung H05.10) in Sonderfällen analytisch berechnen. Für ein gleichmäßig belastetes Rechteck mit den Seitenlängen Bx und

By ≥ Bx hat SCHLEICHER (1926) auf diesem Wege die Setzung einer Fundamentecke (Bild H05.30) ermittelt (Gleichung H05.20). Die Setzung in Fundamentmitte erhält man bei konstanter Last durch Addition der Setzungen der 4 hier zusammenstoßenden Teil-Rechtecke, d.h. nach dieser Berechnung ist die Setzung der Fun-damentmitte 2-mal so groß wie die Ecksetzung (Teil-Rechtecke haben nur die halbe Breite!).

B

B + B + B ln B + B

B + B + B ln B E

) - 1 ( = sy

2y

2xx

yx

2y

2xy

x02

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅

⋅πσ

⋅ν (H05.20)

Es zeigt sich, dass sich für den Laststreifen keine endliche Setzung ergibt. Für eine "unendlich dicke" kompressible Schicht wirkt der Laststreifen also wie eine Schneide. Dieses der Wirklichkeit widersprechende Ergebnis ist eine Folge des (ebenfalls der Wirklichkeit widersprechenden) Ansatzes E = const. bei gleichzeitig unbegrenzt tiefer Integrationsgren-ze. GIBSON (1967) konnte nachweisen, dass die Setzung eines Laststreifens einen endlichen Berechnungswert hat, wenn der Elastizitätsmodul als mit z linear zunehmende Funktion E = E'⋅z angesetzt wird. Mit derartigen, der Realität besser entsprechenden Ansätzen, kann also die Beobachtung, dass auch ausgedehnte Lastflächen zu endlichen Set-zungen führen, untermauert werden. Für begrenzte Lastflächen bleiben die Setzungen auch bei Ansatz konstanter Materialparameter und unbegrenzter Schichtmächtigkeit endlich. So ergibt sich für den kennzeichnenden Punkt eines Quadratfundamentes die Setzung zu

E - 1 b 88,0 = s

2

0ν⋅σ⋅⋅ und für ein Kreisfundament zu

E - 1 d 785,0 = s

2

0ν⋅σ⋅⋅ .

Bild H05.20: Lage des kennzeichnenden Punktes beim Rechteckfundament

Bild H05.30: Gleichmäßig belastete Rechteck-fläche auf dem Halbraum


min b

σ0

z Es

Es · s min b · σ0

= f

max b

min b 1 2 3 5 10 ∞

0,05

0,01

0,5

1

5

10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

z/min b

min b

σ0

Schicht 1

2

Es1

Es2

Esn n

zn

z2

z1

Von KANY wurden Berechnungen für den kennzeichnenden Punkt von Rechteckfundamenten auf dem elastisch isotro-pen Halbraum durchgeführt (Bild H05.40), wobei die Mächtigkeit der kompressiblen Schicht bis zur Tiefe z begrenzt wur-de. Darunter wird ein praktisch verformungsfreier Untergrund vorausgesetzt. Gleichzeitig wurde statt der Elastizitätspa-

rameter E und ν der Steifemodul Es verwendet. Ähnliche Berechnungen führte GRAßHOFF (1966) für die Kreisplatte aus. Allerdings kann man einen Kreis gut durch ein Quadrat ersetzen, weil der Einfluss der Grundrissform gering ist: bei gleicher Last und gleichem Flächeninhalt verhalten sich die Setzungen von Quadrat und Kreis wie 0,880 zu 0,886.

Damit ergibt sich die Setzung zu: s

0

Ebminf s σ

⋅⋅= .

Maßgebend für die Setzung eines Fundaments ist also das Pro-dukt aus der Sohlspannung und der Fundamentbreite. Dies ist ein Modellgesetz für den Vergleich verschieden großer Lastflächen. Will man also in homogenem Untergrund aus einem Lastplatten-versuch eine Setzungsprognose ableiten, so ist die Setzung der Lastplatte mit dem Verhältnis der Abmessungen von Fundament und Lastplatte zu multiplizieren. Mit Bild H05.40 und den Bezeichnungen aus Bild H05.50 lassen sich wie folgt auch Setzungen bei geschichtetem Baugrund be-rechnen:

Von TÖLKE (1969, zitiert von SCHULTZE / HORN, 1990) stammt eine durch Integration der Grundgleichung (H04.80) entstandene Lösung für die Vertikalverformung vz eines beliebigen Halbraum-Punktes unter der Wirkung einer Sohl-

spannung σ0 = const, verteilt über eine rechteckige Fläche bx·by (Bild H04.100):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅+⋅⋅ν−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅ν−⋅⋅−⋅

πσ

−==

4

1i i

ii

i

ii

i

ii

i0z Rz

yyxx arctan z21R

xx Artan yyR

yy Artanxx121G4

v

(H05.30)

Bild H05.40: Setzung eines gleichmäßig belasteten Rechteckfundamentes im charakteristischen Punkt bei begrenzter Schichtdicke z (KANY, 1974)

Bild H05.50: Bezeichnungen für Setzungsberech-nung bei geschichtetem Baugrund

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

−+⋅⋅σ= −

sn

1nn

2s

12

1s

10 E

ff ... E

ff Efbmin s


ΔsK

a b

q

Setzungsdifferenz im kennzeichn. Querschnitt

α

ΔsK = q · b Es

· ΔFK

0,1 0,2 0,3 0,5 1 1,5 2 3 5 10 ∞ = a/b

0,1

0,2

0,5

1

2

5

10

20

0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,700,30 0,35 0,40 0,20 0,25 0 0,05 0,10 0,15

ΔFK

z b

ζ = 0,74

a/2

mit den Abkürzungen Ri, xi, yi wie bei Gleichung H04.200. Bei geschichtetem Baugrund oder zur Berücksichtigung einer endlichen Setzungseinflusstiefe wird wie folgt verfahren: Infol-

ge Zusammendrückung einer beliebigen elastischen Teilschicht mit der Dicke Δz = zu - zo sowie mit

2G = Es·(1-2ν) / (1-ν) ergibt sich die Setzung dieser Schicht in der Form Δs = vz(x,y,z0) - vz(x,y,zu) = (σ0 / Es) Δfs (H05.40) mit Δfs = - [(1-ν) / 2 · π·(1-2ν)] · {Σ4...(z = zu) - Σ4...(z = zo)} und die Setzung der Schichtenfolge durch Summation der Anteile nach Gleichung H05.40.

H.5.5 Berechnung von Verkantungen

Aufgrund exzentrischer Lasten entstehen Schiefstellungen (Verkantungen), die bei hohen Gebäuden und Türmen beach-tenswerte horizontale Kopfverformungen zur Folge haben können. Bei vereinfachter Annahme über die Sohlspannungen liegen bei derartigen Beanspruchungen trapezförmige Sohlspannungsverteilungen vor. Entsprechend dem Superpositi-onsprinzip ist eine Zerlegung in konstante und dreiecksförmig verteilte Lasten möglich. Zur Berechnung der Verkantung derart belasteter Fundamente sind die Tafeln von SCHAAK (1972) geeignet, von denen Bild H05.60 für die Berechnung von Setzungsunterschieden Δs hier wiedergegeben ist. Hierbei wird analog zum charakteristischen Punkt ein charakte-ristischer Querschnitt verwendet, in dem das Berechnungsergebnis unter Annahme starrer und schlaffer Lasten identisch sein sollte und der näherungsweise bei 0,74 · a/2 (siehe Bild H05.60) angesetzt wird. Tatsächlich existiert ein derartiger geradliniger charakteristischer Querschnitt nicht, was zu ungenauen Ergebnissen führt (GUSSMANN / BUCHMAIER und VOGT in SMOLTCZYK, 1981).

Bild H05.60: Setzungsdifferenz eines Rechteckfundamentes bei Dreieckslast (SCHAAK, 1972)


Eine analytische Lösung des Beiwerts fα für die Verkantung

f E BB

M B

s tansy

2xx

α⋅⋅⋅

=Δ

=α

gibt es für den unendlich langen Streifen auf dem elastisch-isotropen Halbraum. Dort ist M das auf 1 m Länge bezogene

Moment und By = 1 m. Für den Streifen muss fα = 16/π = 5,09 sein (BOROWICKA, 1943). Zum Vergleich:

Bild H05.70: Verkantungsfaktor fα für das starre Rechteck (SHERIF / KÖNIG, 1975)

Bild H05.80: fα für den starren Streifen bei variabler Schichtdicke z (GUSSMANN, 1981)

Der Beiwert ΔFk nach SCHAAK ist über den Faktor 1/12 mit dem Beiwert fα verknüpft. Bei z/b = ∞ und a/b = ∞

ergibt sich nach SCHAAK ΔFk = 0,38 und daraus fα = 4,6 statt 5,09. Eine numerische Ermittlung für fα bei Rechteckfundamenten findet sich bei SHERIF / KÖNIG, Bild H05.70. Sie gilt für den

Halbraum (z unbegrenzt). Für den Streifen hat GUSSMANN eine Angabe von fα(z) bei begrenzter Schichtdicke z ange-

geben, Bild H05.80. Durch Kopplung der beiden Diagramme lässt sich dann näherungsweise fα auch für Rechteckfunda-mente und eine endliche Dicke der kompressiblen Schicht z ermitteln.

H.5.6 Berücksichtigung von Aushub: Entlastung, Wiederbelastung

Bei komplexen Setzungsberechnungen für Gründungen spielen Entlastungen, z.B. aus dem Aushub einer Baugrube, eine nicht zu vernachlässigende Rolle. Hier sollte bei der Setzungsberechnung nicht die Aushubentlastung von den neu wirksamen Spannungen abgezogen werden. Vielmehr sind die einwirkenden Spannungen zu zerlegen. Bis zur Vorbelas-tung, die durch die Aushubentlastung definiert ist, sollte mit dem Steifemodul für Wiederbelastung, für darüber hinausge-hende Lasten mit dem Steifemodul für die Erstbelastung gerechnet werden. Ein derartiges Vorgehen ist vor allem mit Hilfe von EDV-Berechnungen realisierbar.

H.5.7 Bettungsmodul, Interaktion Bauwerk - Baugrund

Das Verhältnis von Spannungen (z. B. in kN/m2) zu Verformungen (z.B. in mm) in der Kontaktfläche zwischen Bauwerk und Baugrund wird als Bettungsmodul ks (er hat dann die Einheit MN/m3) bezeichnet. Er beschreibt eine Flächenfeder und wird vom Tragwerksplaner gerne verwendet, um die Nachgiebigkeit des Baugrundes bei der Berechnung der Bau-konstruktion zu erfassen. Der Bettungsmodul ist jedoch keine Konstante! Er ist auch kein Bodenkennwert, sondern ein Hilfsrechenwert. Siehe hierzu Abschnitt L.4: Bettungsmodulverfahren in der Vorlesungseinheit L, "Interaktion Bauwerk - Baugrund".


H.5.8 Abschätzung der Auswirkung entfernter Lasten

Von NEWMARK (1935, 1942) stammt ein grafisches Verfahren zur Spannungsermittlung. Es wird ein Netz aus konzentri-schen Kreisen und radialen Linien konstruiert, welches über den Grundriss einer belasteten Geländeoberfläche gelegt wird. Bei gleicher Oberflächenbelastung trägt jede Masche den gleichen Beitrag zu einer Spannung σzz eines Punktes im Untergrund unterhalb der Netzmitte bei. Vereinfacht kann man dieses Netz (NEWMARK-Spinne) auch verwenden, um Setzungsauswir-kungen entfernter Lastflächen auf einen Punkt zu ermitteln. Dazu muss die Setzung eines Funda-mentes aufgrund seiner eigenen Last bekannt sein. Um abzuschätzen, wie sehr die Setzung durch benachbarte (mit gleicher Sohlspannung beanspruchte) Fundamente vergrößert wird, legt man die NEWMARK-Spinne über den Mittelpunkt des betrachteten Fundamentes und zählt aus, wie viele Maschen durch das betrachtete und wie viele durch benachbarte Fundamentflächen ab-gedeckt werden. Aus dem Verhältnis der Flächen zueinander kann der Setzungszuwachs aus Nachbarfundamenten schnell abgeschätzt wer-den.

H.5.9 Setzungsprognosen, Setzungsmessungen

Die genannten Setzungsberechnungen mit den dargestellten Methoden beruhen auf stichprobenartigen Ermittlungen des Kompressionsverhaltens in Oedometerversuchen an Proben, die durch Entnahme aus dem Baugrund und den Einbau in das Gerät gestört werden. Hinsichtlich der Spannungsausbreitung, der Setzungseinflusstiefe und der Linearisierung des Last-Verformungs-Verhaltens sind Näherungen und Vereinfachungen gemacht worden. Daher sind auch die errechneten Setzungen im Vergleich zu am Bauwerk tatsächlich gemessenen Setzungen nur als Näherung anzusehen. Bei Set-zungsprognosen sind daher entsprechende Vorbehalte zu machen und errechnete Setzungen sollten stets nur für die Größenordnung der zu erwartenden Setzungen herhalten. Weiterhin sind Korrekturen aufgrund von Erfahrungen, die man nur durch Setzungsmessungen mit genauer Zuordnung von Belastungen gewinnen kann, erforderlich. In DIN 4019 wird dementsprechend empfohlen, die berechneten Setzungen "cal s" mit Korrekturbeiwerten κ zu multipli-zieren. In der Norm sind Korrekturbeiwerte zwischen 0,5 und 1 angegeben, die sich auf Bodenarten beziehen. Besser ist, lokale Erfahrungen zu sammeln, sie nachvollziehbar zu dokumentieren und zur Anwendung zu bringen. Dies erfordert regelmäßig das Messen von Setzungen. An Bauwerken ist dies mit vergleichsweise geringem Aufwand mit Hilfe von Feinnivellements von Messpunkten an der Gründung möglich und sollte bei allen Bauwerken durchgeführt werden, bei denen Setzungen in einer Größenordnung erwartet werden, die für die Statik und Gebrauchstauglichkeit von Bedeutung ist. Häufig sind Setzungsmessungen während der Bauzeit hilfreich, wenn ihre Ergebnisse noch Einflussnahme auf Entwurfs-parameter zulassen. So kann die Hebung beim Aushub einer Baugrube gemessen werden (mit Extensometern) und Aufschluss über die Untergrundsteifigkeit geben, bevor die Gründung hergestellt wird. Bei benachbarten, unterschiedlich hoch belasteten Bauteilen kann die Verbindung zwischen den Bauteilen zur Reduzierung von Zwängungen zu einem späten, durch Messungen mitbestimmten Zeitpunkt vorgenommen werden. Auch zur Beweissicherung sind Setzungs-messungen vorteilhaft und können belegen, ob Auswirkungen von Verformungen (z.B. Risse) setzungs- und untergrund-abhängig oder durch andere Einflüsse (z.B. Temperaturverhalten, Schwinden von Baustoffen, Konstruktions- und Ausfüh-rungsfehler) bedingt sind. Zur Darstellung von Setzungsbeobachtungen siehe auch DIN 4107.

Bild H05.90: Einflusskarte (NEWMARK 1935,1942)


H.6 Zulässige Setzungen, Verkantungen, Mulden- und Sattelbildungen

Das zulässige Setzungsmaß hängt nicht nur von statischen Gesichtspunkten, sondern vor allem auch von der Nutzung eines Bauwerks ab. Zum Beispiel lässt sich für ein Turmfundament, das sich gleichmäßig setzt, keine statisch relevante Grenze angeben. Wenn der Turm aber Rohrverbindungen nach außen hat oder z.B. als Höhenfestpunkt dienen soll, bestimmen diese Umstände evtl. das Maß der zulässigen Setzung. Zu beachten ist, dass es eine große und gleichzeitig gleichmäßige Setzung in der Natur kaum gibt, selbst wenn man das aufgrund der Baugrundverhältnisse und der Setzungsberechnung annehmen müsste. Häufig wird angenommen, dass 50 Prozent der errechneten Setzungen auch als Setzungsunterschiede auftreten. Bei einer statistischen Untersuchung von NEUBER (1961) lag bei 10 Prozent von etwa 70 untersuchten Gebäuden mit einfachen Gründungen das Verhältnis der größten zur kleinsten gemessenen Setzung über 4,0. Auch Verkantungen eines Bauwerks als starres Ganzes sind in der Regel aus statischer Sicht unkritisch. Jedoch kann z.B. die Schiefstellung des Rohbaus eines Einfamilienhauses um 4 cm, die für das Auge nicht wahrnehmbar ist, beim Ausbau (Estrich, Dachrinne, rechte Winkel, vertikale Türlaibungen) schon erhebliche Probleme bereiten. Setzungsunterschiede wirken sich jedoch in der Beanspruchung eines Gebäudes deutlich aus, wenn sie zu Muldenlage-rungen (Zerrungen im Gründungsbereich) oder Sattellagerungen (Pressungen im Gründungsbereich, Horizontalspan-nungen im oberen Gebäudeteil) führen. Maßgebend wird die Winkelverdrehung zwischen einzelnen Gründungsteilen, die über eine Starrkörperverdrehung hinausgehen (Bild H06.10, darin maßgebend: Δs / Δl). Aus diesem Bild kann auch ein

Krümmungsradius abgeleitet werden: R = Δl2 / (s1 – 2 · s2 + s3). Eine Zusammenstellung der in der Literatur veröf-fentlichten Daten gibt SCHULTZE (1980), Bild H06.20. BURLAND und WROTH (1975) wiesen aber darauf hin, dass diese Kriterien nur für Setzungsmulden verwendbar sind, während bei "reitenden" Bauwerken, d.h. Sattellagerung, nur mit den halben zulässigen Werten gearbeitet werden darf. Die zugehörigen typischen Rissbilder zeigt Bild H06.30.

Gesamtsetzung s

relativer Setzungs-unterschied

δ

relative Winkelver-drehung l

δ

relative Durchbie-gung Δ

Biegungsverhältnis LΔ

Bild H06.10: Definition der Winkelverdrehung für Schadenskriterien

Bild H06.20: Schadenskriterien für Winkelverdre-hungen (GBT T1, 1990)

Bild H06.25: Definition der Winkelverdrehung für Schadenskriterien Bild H06.30: Rissbilder bei Mulden- und Sattel-lagerung

Muldenlagerung

Sattellagerung


Differenziertere Angaben finden sich bei SOMMER (1978) und FRANKE (1980), siehe Bild H06.40. Dort werden Mauer-werks- und Stahlbetonbauten, Mulden- und Sattellagen sowie die Schlankheit von Bauwerken unterschieden. Das dort angegebene Kriterium Δ/L entspricht dem Wert 0,5·Δs/Δl aus Bild H06.10.

Bild H06.40: Schadensgrenzen (SOMMER, 1978 und FRANKE, 1980) Ungleichmäßige Setzungen infolge von Inhomogenitäten des Baugrunds, auskeilenden kompressiblen Schichten, exzent-rischen Lasten usw. sind von einem Bauwerk nur in einem durch Geometrie und Werkstoff begrenzten Maß rissfrei zu ertragen. Im Übrigen ist das Schadensrisiko bei plötzlicher Lastaufbringung größer als bei langsamer Laststeigerung (Ausgleich durch Kriechen der Baustoffe möglich). Einmal aufgetretene Risse sollten bei Sanierungen stets kraftschlüssig verschlossen oder beweglich überbrückt werden. Werden sie nur zugespachtelt werden, kann das Baumaterial hier auch keine kleinen Spannungen mehr aufnehmen, die im Zusammenhang mit Temperaturbeanspruchungen überall auftreten und dann sehr schnell zum Wiederöffnen der Risse führen. Bei der Festlegung der Kriterien muss gegebenenfalls berücksichtigt werden, ob ein benachbartes Gebäude in Mitleiden-schaft gezogen werden kann (z. B. Festlegung der Breite von Fugen zwischen aneinander stoßenden Baukörpern). Aus dem gleichen Grund müssen Setzungsfugen dort angeordnet werden, wo die Baugrundbelastung sich sprunghaft und in größerem Umfang ändert (Beispiel: eingeschossige Bauwerksteile neben Hochhauskern). (Anmerkung: Würde sich die Setzungsmulde so ausbilden, wie die Theorie angibt, dann ergäbe sich trotzdem noch kein Setzungssprung. Tatsächlich stanzen aber hochbelastete Bauwerke um ein gewisses Maß in den Baugrund ein, dem eine leichtere Anschlussbebauung nicht folgen kann. Daher ist die Setzungsfuge zwingend.) Bei Brückengründungen sind die besonderen Forderungen der DIN 1072 zu beachten, nach der in wahrscheinliche und mögliche Baugrundbewegungen unterschieden wird. Die Unterscheidung von wahrscheinlichen und möglichen Verkantungen bzw. Setzungen soll unter anderem die Streu-breite der Bodenkennwerte, hier insbesondere des Steifemoduls Es, berücksichtigen. Die ungünstigste Beanspruchung

der Brücke ergibt sich dann, wenn die Es-Annahme bei einem Pfeiler A stimmt, bei A-1 und A+1 aber nicht. Man kann das erfassen, indem mit unteren und oberen charakteristischen Werten für den Steifemodul bei benachbarten Pfeilern gerechnet wird.

H.7 Horizontale Verformungen

Es ist zu beachten, dass vertikale Belastungen auch horizontale Verformungen des Untergrundes zur Folge haben. So erfahren Leitungen, die parallel zum Fuß einer geschütteten Böschung liegen, Horizontalbeanspruchungen. Grobe Be-rechnungen dieser Verformungen können mit Hilfe der unter H.4.1.2 genannten Gleichungen für eine horizontale Einzel-last vorgenommen werden, indem die Beanspruchungen, die aus der Spreizkraft an der Dammsohle resultieren, zu meh-reren Einzellasten konzentriert werden.


H.8 Zeitsetzungen

H.8.1 Allgemeines zur Zeitsetzung

Die Zeitsetzung s(t) kann sich in 3 Stufen vollziehen, siehe auch Abschnitt H.2.4 und dort Bild H02.110: Stufe 1 Nach der Lastaufbringung tritt innerhalb sehr kurzer Zeit eine Sofortsetzung s0 ein, die bei teilgesättigten Bodenarten auf einer Volumenverringerung, im übrigen aber und bei wassergesättigten Böden ausschließlich auf Gestaltänderungen durch Scherverformungen beruht. Die Spannungsänderungen werden nur zu einem kleinen Teil von der festen Phase übernom-men. Die Berechnung von s0 kann nach Abschnitt H.5.1 erfolgen, wobei für E der Elastizitätsmodul Eu für den undränierten Zu-

stand einzusetzen ist, der bei wassergesättigten bindigen Böden in einem festen Verhältnis zur totalen Scherfestigkeit cu steht:

Eu = (300...1000) ⋅ cu (H08.10) Der obere Wert geht auf HÖEG (1969) zurück und trifft bei behinderter Gleitung des Bodens zu (z.B. infolge einer Oberflä-chen-Sandlast); der untere bei unbehinderter Gleitung (Aufwölbung der Oberfläche). Die Anwendung eines Moduls Eu = const ist hier gerechtfertigt, wenn global eine 2-fache Grundbruchsicherheit vorhan-

den ist: Der Boden reagiert rein kohäsiv. Ferner ist bei der Berechnung von s0 anzusetzen: νu = 0,5 . Stufe 2 Der Druckanstieg verdrängt das nicht durch Van-der-Waals-Kräfte an die feste Phase gebundene Porenwasser. Wenn der

Durchlässigkeitsbeiwert k klein ist, entsteht ein Porenwasserüberdruck Δu(t), der mit der Zeit t abgebaut wird (Relaxation);

der Boden konsolidiert, und es tritt eine Konsolidations- oder Primärsetzung s1 ein. Die ebenfalls mitlaufenden zeitveränder-

lichen Verzerrungen der festen Phase (Kriechsetzung s2) sind auf dieser Stufe nur von untergeordneter Bedeutung. Stufe 3 Bei tonigen Bodenarten bewirkt der Druckanstieg auch im gebundenen Porenwasser Lageveränderungen der Bodenteilchen zur Verbesserung der inneren Kraftübertragung. Dies führt zur Kriechsetzung oder Sekundärsetzung s2, die solange anhält, bis die in den deformierten Wasserhüllen der Tonteilchen verursachten Schubspannungen genügend weit abgebaut sind (Relaxation). Hierbei tritt kein messbarer Porenwasserüberdruck mehr auf. In der Regel ist s2 linear vom Logarithmus der Zeit t abhängig und sehr langfristig (BUISMAN, 1936: "säkulare Setzung"). Es gibt Böden, die allein unter der Wirkung des Eigengewichts auch noch in der geologischen Gegenwart einen derartigen

Verfestigungsprozess durchlaufen ("unterkonsolidiert"). Dabei bleibt s1 / lnσzz = const.

H.8.2 Theorie der eindimensionalen Konsolidation

Eine kompressible, wenig wasserdurchlässige bindige Schicht von der Dicke H, Bild H08.10, wird zum Zeitpunkt t = 0 gleichmäßig mit der Last p belastet. Von einem eindimensionalen Problem kann man sprechen, wenn die seitliche Ausdehnung der Last groß ist im Vergleich zu H. Die bindige Schicht stehe unterhalb einer durchläs-sigen Sandschicht an. Zur Tiefe folge undurchlässi-ger Boden, so dass ausgepresstes Porenwasser aus dem bindigen Boden nur in die obere Sand-schicht hinein entwässern kann. Im Bild ist die verti-

kale Spannung σ (Indices "zz" hier überflüssig, da das Problem eindimensional ist) vor und unmittelbar nach dem Aufbringen der Last p dargestellt. Mit der Lastaufbringung entstehen in allen Schichten sofort zusätzliche (totale) Spannungen.

Bild H08.10: Belastung einer gering durchlässigen tiefliegenden Schicht


Diese Spannungen werden im Sand sofort vom Korngerüst übernommen, hier steigt also die effektive Spannung (Definition

siehe Vorlesung G, "Wasser im Boden") σ' sofort um p an. In der bindigen Schicht wird die Zusatzspannung dagegen zu-nächst nur vom Porenwasser übernommen, in dem dabei ein Porenwasserüberdruck (über den hydrostatischen Wasser-druck hinaus) entsteht. Erst mit dem langsamen Abströmen des Porenwassers übernimmt das Korngerüst die Spannungen. Die effektive Spannung ändert sich hier also nur allmählich in dem Maße, in dem der Porenwasserüberdruck u (z; t) ab-gebaut wird:

Änderung der totalen Spannung Δσ = p = const. Änderung des Porenwasserdrucks Δu = u (t) - u (0) Änderung der effektiven Spannung Δσ' = σ'(t) - σ'(0) u (0) ist der hydrostatische Wasserdruck, der für den Konsolidationsvorgang ohne Einfluss ist und daher im Folgenden au-ßer Acht gelassen wird. Das Abströmen des Porenwassers aus dem Poren-raum kann mit dem in Bild H08.20 dargestellten Kolbenmodell veranschaulicht werden. Darin muss das Wasser durch die kleine Bohrung im Kolben gegen Widerstand abfließen.

H.8.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung

Die mathematische Beschreibung des Konsolidationsvorganges geht auf Terzaghi (1923) zurück. Sie setzt u.a. voraus, dass der Boden vollständig wassergesättigt ist und die Kompressibilität des Wassers und der Kornsubstanz vernachlässigt wer-den kann. Es gelten:

Potentialgefälle: ) tz, ( u z

iw

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ∂∂

= (H08.20)

DARCY'sches Filtergesetz: zu k -ik = v

w ∂∂

⋅γ

=⋅ (H08.30)

(Anmerkung: Einem positiven Gefälle entspricht eine nach oben (negativ) gerichtete Strömung.) Da keine Quellen im Boden sind, nimmt der Wassergehalt w des bindigen Bodens bei diesem Dränagevorgang ab: Bei einem Volumenelement von der Dicke dz strömt nach oben die Menge dq ab (Querschnittsfläche A = 1):

dz zv = dv 1 = dv A = dq ⋅

∂∂

⋅⋅ (H08.40),

d.h. die Änderung der Filtergeschwindigkeit v über dz ist ein Maß für die verdrängte Wassermenge. Durch Hinzunahme des Filtergesetzes (H08.30) folgt aus H08.40:

dz zu k - = dq 2

2

w

⋅∂∂⋅

γ (H08.50).

Gleichzeitig vermindert sich das Volumen des Bodenelements um A · ds = 1 · ds. Wendet man näherungsweise die lineare Elastizitätstheorie an, dann hängt ds linear von der Änderung der effektiven Spannung ab. Aufgrund der verhinderten Sei-tendehnung ist dabei der Steifemodul Es zu verwenden.

Bild H08.20: Kolbenmodell für die eindimensionale Konsolidation (KOLYMBAS, 1998)


HOOKE'sches Gesetz: dz ) u - p ( E1 = ds

s⋅⋅ (H08.60).

Differenzieren nach t ergibt die zeitliche Änderung des Volumens:

dz tu

E1 - = ) ds (

t s⋅

∂∂

∂∂

(H08.60a)

und dies muss dq sein (Volumenabnahme = verdrängte Wassermenge), falls der Boden wassergesättigt ist. Aus den Glei-chungen H08.50 und H08.60a erhält man die Differentialgleichung

tu

c1 =

tu

Ek =

zu

vs

w2

2

∂∂

⋅∂∂

⋅⋅γ

∂∂

mit w

sv

Ekcγ⋅

= (H08.70).

cv heißt Konsolidierungsbeiwert (Dimension m2/s). Um zu einer dimensionslosen Gleichung zu kommen, werden die Längen z auf die Schichtdicke bezogen:

Hz= ζ ζ (zeta) ist die dimensionslose Tiefe.

Auch die Zeit wird normiert, indem sie auf H2 / cv bezogen wird:

tHcT 2

vv ⋅=

Tv wird als dimensionslose Zeit bezeichnet. Damit wird aus Gleichung H08.70:

Tu = u

v2

2

∂∂

ζ∂∂

(H08.70a).

Diese Differentialgleichung steuert in der Physik alle Ausbreitungsvorgänge, denen lineare Konstitutionsgleichungen zu Grunde liegen wie hier das Darcy'sche und das Hooke'sche Gesetz, sofern die Stoffparameter während des Vorgangs un-verändert bleiben (was bei der Konsolidation genau genommen nicht zutrifft). Ein Beispiel ist die Wärmeausbreitung in ei-nem festen Körper. Daher können die auf anderen physikalischen Gebieten entwickelten Lösungen für die Differentialglei-chung bei vergleichbaren Randbedingungen und Anfangsbedingungen auch für den Konsolidationsvorgang benutzt werden. Die auf dieser Basis entwickelte Konsolidationstheorie wurde von TERZAGHI (1925) und FRÖHLICH (TERZAGHI / FRÖHLICH, 1936) erarbeitet. An Hand der normierten Gleichung H08.70a ergibt sich als Modellgesetz der Zeitsetzung: (Index "M" - Modell; Index "N" - Natur )

2N

2M

N

M

HH

tt

= (H08.80).

Die Konsolidationszeiten wachsen danach mit dem Quadrat des Dränweges (d.h. hier der Schichtdicke H) an, was aber voraussetzungsgemäß nur in dem ungünstigen Sonderfall zutrifft, dass das Porenwasser nur eindimensional verdrängt wer-den kann. Eine Zeit von 10 Minuten im Oedometer mit 7 mm Dränweg (halbe Probenhöhe) entspricht in einer natürlichen Schicht von 3 m Mächtigkeit mit 1,5 m Dränweg dann einer Zeit von 10,6 Monaten.


H.8.2.2 Lösung der Differentialgleichung H08.70a

Produktansatz )T(G)(F)T,(u vv ⋅= ζζ (H08.90),

d.h. es muss GG

FF &

=′′

(H08.100)

sein. Beide Seiten der Gleichung H08.100 müssen gleich einer Konstanten sein, wenn F nur eine Funktion von ζ und G eine

Funktion nur von Tv sein soll. Das heißt:

0G AG

0F AF2

2

=+

=+′′&

(H08.110).

Daher lautet die allgemeine Lösung )TAexp())Asin(C)Acos(C()T,(u v

221v ⋅−⋅ζ⋅⋅+ζ⋅⋅=ζ (H08.120).

An der oberen Schichtgrenze ist u (0, Tv) = 0, s. Bild H08.10. Daher muss C1 = 0 sein. An der unteren Schichtgrenze

muss umgekehrt u seinen Maximalwert für alle Zeiten Tv haben. Die vollständige Lösung ist deswegen mit dem Eigenwert

A = n · π/2 die Summe

)T 4n - (exp )

2 n ( sin C = u v

22

n1

⋅π⋅⋅ζ⋅π

⋅⋅∑∞

(H08.130).

Die Anfangsbedingung ist u(ζ, 0) = p. Daraus folgt die Forderung, dass

p = ) 2

n ( sin C n1

ζ⋅π

⋅⋅∑∞

(H08.140)

sein muss, die mit Hilfe der Fourier-Transformation erfüllt werden kann. Dazu werden beide Seiten der Gleichung H08.140

mit H ⋅ sin(n ⋅ π/2 ⋅ ζ) ⋅ dζ multipliziert und in den Grenzen von 0 bis 2 gliedweise integriert:

ζ⋅πζ

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ⋅

πζ⋅

πζ⋅⋅ ∫∫∑

∞

d 2

n sin p H = d 2

m sin 2

n sin C H2

0n

2

01

Für die Zahlen m = 1,2,3...(n-1), also für m < n, verschwindet das linke Integral, d.h. von der Summe bleibt nur das n-te Glied übrig:

d 2

nsin p = d 2

n sin C2

0

22

0n ζ⋅

πζ⋅∫ζ

πζ∫⋅ (H08.150).

Damit lautet die Lösung

) T 4n - ( exp

2n sin d

2n sin p = ) T, ( u v

222

01v

π⋅πζ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ζ⋅

πζ⋅∫∑ζ

∞ (H08.160).

Im vorliegenden Fall ist p = const. Man kann also die Integration ausführen und erhält

) T 4n - ( exp

2n sin ) n cos - 1 (

np2 = )T,u( v

22

1nv

π⋅πζ

⋅ππ

∑ζ∞

= (H08.170).

Für gerade Zahlen n verschwindet 1 - cos πn, für ungerade Werte wird der Ausdruck = 2. Es ist deswegen zweckmäßig, die Summe über m = (n-1)/2 von 0 bis ∞ laufen zu lassen, wodurch sich Gleichung H08.170 zur Berechnung des Poren-wasserdrucks in Abhängigkeit von Tiefe und Zeit vereinfacht zu


T 2

1 + m2v

2

-

0mv e

21 + m2 sin

1) + m2 ( 4 p = )T,u(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πζ⋅

π∑⋅ζ∞

=

(H08.180).

Bei praktischen Berechnungen kann man die Summenbildung nach einigen Gliedern abbrechen.

H.8.3 Zur Anwendung

Als Konsolidierungsgrad Uz definiert man

u(z,0)

t)u(z, - 1 = ) tz, ( Uz (H08.190).

Er bezeichnet mit einem Wert zwischen 0 (gar nicht) und 1 (vollständig), in welchem Maß der Porenwasserüberdruck infolge einer Auflast in einer bestimmten Tiefe und an einer bestimmten Stelle abgebaut ist und dabei der Spannungszuwachs zu einer effektiven Spannung geworden ist.

Nützlich ist die Auftragung der Linien gleicher Konsolidierungszeit als Funktion der Tiefe ζ, wie es Bild H08.30 für den Fall p = const zeigt (Isochronen).

k = 0

k = ∞

c = 0 v

0,00,10,2

0,30,40,50,60,7

0,80,91,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Uz [-]

ζ

Tv = 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Tv = 0

Tv = 0

Tv = ∞

Bild H08.30: Konsolidierungsgrad Uz an Punkten verschiedener Tiefe ζ = z / H und zu verschiedenen Zeiten

Tv = t · cv / H2 in einer konsolidierenden Schicht.

In der Praxis interessiert eher das Verhältnis der Zeitsetzung s(t) zur Endsetzung s(∞), das als Verdichtungsgrad oder

besser Verfestigungsgrad U bezeichnet wird: U = s(t) / s(∞). Die Zeitsetzung ist

d H E1 = ) t ( s

1

0sζ⋅⋅σ′Δ∫

ζ⋅∫ d H ) u - p ( E1 = ) t ( s

1

0s

{ } ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ζ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πζ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πζ⋅

π∑∫⋅⋅∞

= d

21 + m2 - exp

21 + m2 sin

) 1 + m2 ( 4 - 1

EpH = ) t ( s

0m

1

0s


Nach Vertauschung der Operationen ∫ und Σ und Integration erhält man mit s(∞) = (p·H) / Es den Verfestigungsgrad U:

T 2

1 + m2

e 1) + m2 (

1 8 - 1)(s)t(s = )(T U

v

2

-

20m

2v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅

⋅⋅π

=∞ ∑

∞

=

(H08.200).

Der Bereich Tv < 0,4 lässt sich annähern durch U2 = (4 / π) ⋅Tv (H08.210). U = 1 wird theoretisch erst für t = ∞ erreicht. Für einen über die Schichtdicke anfangs konstanten Porenwasserdruck u = p zeigt Bild H08.40 (TAYLOR, 1948) den Verlauf der Funktion U (Tv). Falls die bindige Schicht nach oben und unten entwässern kann, rückt das Maximum von u(t) in die Schichtmitte, d.h. man benutzt die o.g. Lösung, indem man sie nach unten spiegelbildlich ergänzt und H durch H/2 ersetzt. Nach dem Modellgesetz H08.80 bedeutet das, dass die Konsolidationszeit auf 1/4 absinkt.

Die in Bild H08.40 dargestellte Funktion kann man benutzen, um aus einer im Oedometerversuch gemessenen Zeitset-zungskurve den Durchlässigkeitsbeiwert k und den Konsolidierungsbeiwert cv zu ermitteln. In Abschnitt H.2.4 ist dargestellt, wie die Konsolidierungsphase von der Phase der Sofortsetzung und der Sekundärsetzung abgetrennt wird. Damit sind die Zeiten t50 oder t90 ermittelbar, zu denen 50 % (U = 0,5) bzw 90 % (U = 0,9) der Konsolidierung abgeschlossen sind. Aus

dem Oedometerversuch kann man außerdem den zur Laststufe gehörigen Steifemodul Es ermitteln. Aus Bild H08.40 ermit-

telt man Tv,50 = 0,2 bzw. Tv,90 = 0,85.

Damit ist H

ct 0,85 T 2v90

v,90⋅

== und damit 902

v t/H85,0c ⋅= oder entsprechend 502

v t/H2,0c ⋅= . Darin ist

für H die halbe Probenhöhe der Oedometerprobe einzusetzen, da eine Entwässerung nach oben und unten stattfinden kann.

Anschließend ergibt sich der Durchlässigkeitsbeiwert zu k = cv · γw / Es.

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0,001 0,01 0,1 1 10

Tv [-]

U [-

]

Bild H08.40: Verfestigungsgrad U in Abhängigkeit der dimensionslosen Zeit Tv


km

k1 = 7 · k2

0

0,5

1

U

1 2 0,01 0,1 Tv

H.8.4 Eindimensionale Konsolidation mit mehreren Schichten

Wenn die Steifigkeit eines Bodens mit der Tiefe zunimmt, verkürzt sich die Zeitsetzung erheblich, weil der längere Sickerweg der tieferen Schichten, der bei konstantem Es die lange Konsolidierung verursacht, in seinem Einfluss teilweise kompensiert wird. Bei einem Baugrund aus mehreren bindigen Schichten unter-schiedlicher Durchlässigkeit führt eine Mittelbildung der Durchläs-sigkeitsbeiwerte km gemäß (2 Schichten)

kH +

kH =

kH2

2

2

1

1

m

⋅ (H08.220)

nach GUSSMANN / SPOTKA (1973) zu überhöhten Konsolidati-onszeiten. Bild H08.50 zeigt das an einem Beispiel. Eine Schicht mit der Dicke 2H wird in 2 Schichten mit (H1; k1) und (H2; k2) unterteilt (H1 + H2 = 2H). Würde man das Problem mit einem

nach Gleichung H08.220 gemitteltem Wert km durchrechnen, er-

hielte man die Kurve "km" bei senkrechter Durchströmung. In Wirk-

lichkeit entspricht dagegen, z.B. für k1 = 7⋅k2, der zeitliche Ablauf der gestrichelten Kurve. Eine Mittelbildung nach Glei-

chung H08.220 ist nur bis zu k1 / k2 = 5 vertretbar.

Bild H08.50: Verfestigungsgrad bei geschichtetem Baugrund


H.8.5 Räumliche Konsolidation, allgemein

Es gelte ∑ε=ε+ε+ε=ε3

1i321 . Ferner sei 3/m ε=ε sowie entsprechend

∑ σ=σ+σ+σ=σ3

1i321 und 3/m σ=σ (H08.230).

Das Potential ist u = u / γw, wenn mit u der Porenwasserüberdruck bezeichnet wird. HOOKEsches Gesetz für das Korngerüst:

σ'm = K ⋅ ε (H08.240)

)(G2 mimi ε−ε⋅⋅=σ′−σ′ mit i = 1,2,3 (H08.250).

bzw. in kartesischen Komponenten (δik - KRONECKER-Symbol):

2 - 1

3 + G2 = mikikik ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

νν

⋅ε⋅δε⋅σ (H08.260).

Als Dimensions-Anzeiger wird j = 1,2,3 eingeführt. Aus Gleichung H08.250 erhält man durch Summation

εε∑σ⋅ε⋅⋅⋅ε∑⋅⋅σ∑ = mit ' j + j G2 - G2 = ' i

j

1=immi

j

1=ii

j

1=i (H08.270).

Nach ε aufgelöst:

) - 1 ( G2 +K j

- ) z +u( j =

) - 1 ( G2 +K j

=

3j

i

j

1=iw

3j

i

j

1=i

⋅⋅⋅

σ∑⋅γ⋅

⋅⋅⋅

σ′∑ε (H08.280).

Das DARCY'sche Gesetz für den räumlichen Fall lautet

( )ugradkv ⋅−= (H08.290). Die Kontinuitätsgleichung ist

( ) t/vdiv δδε= (H08.300). Wenn man wie im ebenen Fall die zeitliche Änderung der Wassermenge gleich der Volumenänderung ε& (Wassersättigung!) setzt, d.h. die Gleichungen H08.280 und H08.290 in die Kontinuitätsgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine Differenti-algleichung für den j-dimensionalen Fall:

) j1 - (u

t

K k = u i

j

1=ij

w σ∑⋅∂∂

⋅⋅γ

∇∇ (H08.310),

worin Kj = K + 2·G·(1 / j - 1 / 3) ein verallgemeinerter Modul ist. Auch für den Konsolidierungsbeiwert lässt sich eine

solche Verallgemeinerung schreiben: cvj = k · Kj / γw (H08.320). Anmerkung: Die Differentialgleichung H08.310 reicht ohne Hinzunahme einer Aussage über σi nicht zur Lösung aus. Wenn

man aber näherungsweise die zeitliche Ableitung der totalen Spannungen σi vernachlässigt, lässt sich das zeitliche Abklin-gen von u als reiner Diffusionsvorgang genügend genau berechnen (SCHIFFMAN et al., 1967), während sich die Größe von u nicht zutreffend berechnen lässt. Es gibt unter dem Fundament im mehrdimensionalen Fall Punkte, wo u zunächst an-steigt, ehe die eigentliche Konsolidation einsetzt ("Mandel-Cryer-Effekt", auch bei GUSSMANN, 1990).


H.8.6 Räumliche Konsolidation unter Streifen- und Einzelfundamenten

Da die Lasten meist räumlich begrenzt in den Boden eingeleitet werden, ist es oft unwirtschaftlich, von den stark auf der sicheren Seite liegenden Konsolidationszeiten nach der eindimensionalen Theorie auszugehen. Für die einfachen Fälle eines Streifenfundamentes und eines kreisförmigen Fundamentes haben DAVIS / POULOS (1972) Lösungen veröffentlicht, die den Verfestigungsgrad U in Abhängigkeit der dimensionslosen Zeit (dort T) darstellen (Bilder H08.60 und H08.70).

Bild H08.60: Verfestigungsgrad U für ein Streifenfundament und verschiedene Drän-Randbedingungen (DAVIS / POULOS, 1972)


Bild H08.70: Verfestigungsgrad U für ein Kreisfundament (ggf. auch für ein flächengleiches gedrungenes Rechteck-fundament) und verschiedene Drän-Randbedingungen (DAVIS / POULOS, 1972)

H.8.7 Kriechen und viskoses Verhalten

In Abschnitt H.2.4 ist dargestellt, wie eine Unterscheidung zwischen Sofort-, Primärsetzungen = Konsolidationssetzungen und Sekundärsetzungen vorgenommen wird. Die Konsolidationssetzung findet theoretisch hinsichtlich des Setzungsmaßes ein Ende, allerdings nicht zu einem endlichen Zeitpunkt. Die Sekundärsetzung, üblicherweise auch als Kriechen bezeichnet, findet dagegen weder hinsichtlich der Zeit noch hinsichtlich des Setzungsmaßes ein Ende. Sie verlangsamt sich allerdings logarithmisch. Im Zeitraum 10 Minuten bis 100 Minuten tritt der gleiche Zuwachs an Sekundärsetzungen auf wie zwischen 10

Jahren und 100 Jahren. Sie wird mit dem Kriechmaß Cα beschrieben, welches die Steigung des linearen Abschnitts der Zeit-Porenzahl-Linie im Bereich der Sekundärsetzung im logarithmischen Zeitmaßstab darstellt:

)tln()tln(

eet ln

eC12

21

−−

=ΔΔ

=α

Als Erfahrungswerte im Hinblick auf Sekundärsetzungen können Cα < 0,005 für überkonsolidierten Ton, 0,005 < Cα < 0,05 für

normal konsolidierten Ton und 0,05 < Cα < 0,5 für organische und humose Böden angesetzt werden.


Rheologisch wird das Kriechen des Bodens als viskoses Verhalten beschrieben. Sollen anstelle der Änderung der Porenzahlen Änderungen der bezogenen Setzungen oder der vertikalen Dehnungen ε be-

schrieben werden, wird anstelle des Kriechfaktors Cα der Buisman-Faktor CB (BUISMAN, 1936) verwendet. Hier gilt:

)tln()tln(t ln

C12

21B −

ε−ε=

ΔεΔ

= und Cα = CB · (1 + e0) .

Zwischen der Buisman-Konstanten CB und dem Kompressionsbeiwert Cc für die Primärsetzung besteht ein Zusammenhang

über den Zähigkeitsindex Iv mit CB = Cc ·Iv / (1+ e).

Der Zähigkeitsindex Iv korreliert gut mit dem Wassergehalt an der Fließgrenze wL: Iv [%] = -7,02 + 2,55·ln (wL [%]).

Weiterhin besteht ein Zusammenhang zwischen Kriechgeschwindigkeiten (Stauchungsraten) ε& , Referenzzeiten t (theoreti-

sche Zeit seit Lastaufbringung), Zähigkeitsindex Iv und wirksamen effektiven Spannungen σ' (KRIEG, 2000):

vvv I

0

0I

0

i

I

i

0

i

0

ttt

tt

''

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε

ε=

σσ

&

&

Aus diesen Zusammenhängen wird erkenntlich, dass mit einer Reduzierung wirksamer Lasten die Kriechgeschwindigkeit reduziert werden kann und dass Stauchungsraten vom Spannungsniveau sowie von der Wirkungsdauer seit Aufbringen einer Last abhängig sind. Kriechen findet bei konstanter Last statt. Wird dagegen eine Verformung "eingefroren", kommt es zum Abbau der Spannun-gen, zur Relaxation. Wird ein Boden (zum Beispiel in einem speziellen, weggesteuerten Oedometerversuch) mit konstanter Vorschubgeschwindigkeit beansprucht, führt eine Änderung der Vorschubgeschwindigkeit zu einer Änderung der Spannun-gen.

H.9 Lastunabhängige Verformungen

H.9.1 Sackungen

Hinweise zu Sackungen finden sich in der Vorlesungseinheit F, "Boden als Baustoff".

H.9.2 Auslaugung, Senkungen, Erdfälle, Verrottung

Eine mögliche Ursache für Baugrundverformungen sind Erosion, Subrosion und Suffosion. Diese Phänomene sind in Kapitel G, "Wasser im Baugrund" behandelt. Die Subrosion (z.B. Auslaugung von Gips) kann zu Senkungen und Erdfäl-len führen. Torfböden können zu starken Verformungen des Untergrundes führen. Hier spielen drei Faktoren eine Rolle: erstens ist das Korngerüst mit seiner geringen Dichte und lockeren Struktur von vornherein sehr stark kompressibel, zweitens ist bei Wassergehaltsänderungen der unten genannten Schrumpfprozess zu erwarten und drittens werden durch Mikroorganis-men die im Torf enthaltenen organischen Bestandteile zersetzt. Bei der Zersetzung / Verrottung entsteht ein gasförmiger Massenaustrag, es kommt zu deutlichen Verformungen. Im Zusammenhang mit Grundwasserabsenkungen in torfhaltigen Böden kommen alle drei Effekte zusammen: Die Auftriebsverminderung führt zu einer effektiven Spannungserhöhung, der Boden schrumpft und durch Sauerstoffzufuhr wird die Zersetzung verstärkt.

H.9.3 Schwellen, Quellen, Quellvermögen

Der Begriff Schwellen wird nach DIN 18135 für Dehnungen / Hebungen verwendet, die durch Abnahme der wirksamen Spannung im Korngerüst bei gleichzeitiger Wasseraufnahme entstehen. Das Schwellen kann daher auch als Umkehrung des Konsolidationsvorganges angesehen werden. Dagegen wird der Begriff Quellen dann angewendet, wenn eine Volumenvergrößerung durch Einlagerung (in der Regel) von Wasser in die Tonminerale (Ton-Quellen) oder durch zum Beispiel Umwandlung von Anhydrit in Gips (Anhydrit-Quellen) stattfindet. Schwellen und Quellen lassen sich häufig nicht getrennt voneinander erfassen, da oft erst bei einer spannungsbedingten Entlastung (Schwellen) der Zutritt von Wassermolekülen zu den Tonmineralen bzw. zum Anhydrit ermöglicht wird. Daher werden auch in der Fachliteratur die Begriffe Schwellen und Quellen nicht einheitlich verwendet und in der oben genannten Weise unterschieden.


Das für das Quellen erforderliche Wasser kann in der Regel durch den Kapillareffekt angesaugt werden. Die kapillare Sättigung des Porenraumes an sich geschieht ohne Volumenänderung. Die Quellung der Tone beruht auf der Schichtstruktur der Tonminerale, ihrer Ladung und den zum Ladungsausgleich angelagerten Kationen (positive Ionen). Dabei lassen sich zwei Vorgänge der Quellung beobachten. Ausgehend vom trockenen Ton wird Wasser zunächst durch die Hydratation der austauschbaren Kationen aufgenommen und in das Kris-tallgitter eingelagert. Dabei vergrößert sich der Abstand der Kristallgitter, das Volumen vergrößert sich. Dies wird als interkristalline Quellung bezeichnet. Der 2. Vorgang der Quellung ist die sogenannte osmotische Quellung, die bei Entlas-tungsvorgängen auftritt. Verursacht wird dies durch den Unterschied in der Kationenkonzentration an der Tonmineral-oberfläche und in der Porenlösung, so dass zum Ausgleich Wasser in den Raum zwischen den Tonmineraloberflächen eindringt. Ohne Entlastung herrscht in der Regel im Boden Gleichgewicht, nach Entlastung wird so viel Wasser aufge-nommen, bis sich wieder ein Gleichgewichtszustand eingestellt hat (JASMUND, 1993). Um einen Quellvorgang zu verhindern, muss eine Druckspannung (Quelldruck) aufgebracht werden. Bei der interkristallinen Quellung können Quelldrücke von mehr als 100 N/mm² auftreten. Bei der osmotischen Quellung sind Quelldrücke bis ca. 2 N/mm² möglich. Die Größe des Quelldruckes hängt von vielen Faktoren ab, so dass er experimentell bestimmt werden sollte. Zur Untersuchung des Quellverhaltens werden Quelldruckversuche zur Bestimmung der maximalen Quelldrücke ohne Volumenzunah-me oder auch Quellhebeversuche zur Bestimmung der maximalen Hebung bei konstanter Auflastspannung durchgeführt werden. Bild H09.10 zeigt den Quellversuch nach HUDER / AMBERG (1970). Um einen Einfluss der Auflockerung der Probekörper bei der Her-stellung zu vermeiden, wird die Probe erst bis zum ursprünglichen Spannungszustand ohne Wasserzugabe belastet (1), anschließend entlastet (2) und wieder belastet (3). Zu diesem Zeitpunkt wird das Dränsystem geöffnet, so dass die Probe Wasser aufnehmen und quellen kann (4). Der Quellvorgang wird bis zur Volumenkonstanz durchgeführt. Anschließend wird stufenweise entlastet und jeweils wieder bis zur Volumenkonstanz abgewartet. In jeder Entlastungsstufe wird die Quellhebung abgewartet (Bild H09.11). Die Endquellmaße werden über den Druck aufgetragen (Bild H09.12). Dabei ergibt sich im logarithmischen Spannungsmaßstab etwa eine Gerade, die GROB (1972) als eindimensionales Quellgesetz beschrieben hat.

Bild H09.11: Quellversuch: Quellhebungen in Zwischenstu-fen der Entlastung (WITTKE, 1984)

Bild H09.12: Auftragung der Endquellmaße über der Spannung bei Entlastung (GROB, 1972)

Bild H09.10: Quellversuch: gemessen an Proben aus anhydrithaltigem Tonstein; Baustelle S-Bahn Stuttgart, Wendeschleife (WITTKE, 1984)


proz. Volumenzunahme

Druckspannung

1

00 200 [kN/m²]

In der Regel ist der Quelldruck umso größer, je größer die Entlastung ist, also je größer die ursprüngliche Vorbelastung war. Umgekehrt kann die Volumenzunahme als Funktion der entgegenwirkenden Druckspannung dargestellt werden, wie Bild H09.20 am Beispiel des Opalinustons zeigt (SCHWEIGART, 1982). Die Volumenzunahme eines Materials unter atmosphärischen Bedingungen heißt Wasseraufnahmefähigkeit: wA = mwg / md wA: Wasseraufnahmevermögen mwg: Masse aufgesogenes Wasser Sie wird in dem Gerät von ENSLIN / NEFF (DIN 18132, siehe Bild H09.30) bestimmt, indem man eine trockene Probe Wasser an-saugen lässt. Da der Versuch an einem Material ohne definierte Dichte angestellt wird, hat er nur qualitative Bedeutung, indem er auf den Bestand an quellfähigen Mineralien in der Probe hinweist. max w steigt mit IA (Aktivitätszahl, siehe Abschnitt E.5) an. Nach

von SOOS lässt IA ≥ 1,25 auf quellfähige Tonmineralien schlie-ßen.

Bei der Umwandlung von Anhydrit (CaSO4) in Gips (CaSO4 • 2·H2O) werden Wassermoleküle ins Kristallgitter des Anhydrits eingegliedert, was theoretisch zu Volumenvergrößerungen von bis zu 60 % des Gesteins führen und was nur durch sehr hohen Gegendruck verhindert werden kann. Weitere Informationen zum Anhydrit-Quellen werden in der Fels-mechanik-Vorlesung behandelt. Diese Probleme des Quellens gibt es außer im Anhydrit (z.B. in den Grundgipsschichten des Gipskeupers) beispielsweise auch im Tonschiefer des Lias epsilon. Dort trägt fein verteiltes Pyrit (FeS2) zur Bildung von Gips bei.

H.9.4 Schrumpfen

Mit abnehmendem Wassergehalt nimmt das Volumen einer bindigen Bodenprobe ab. Die Probe schrumpft dabei linear etwa im gleichen Umfang wie die Wassergehaltsabnahme durch die Kapillarkraft des eingeschlossenen Wassers. Ab einem bestimmten Wassergehalt, der Schrumpfgrenze ws, findet keine Volumenabnahme mehr statt (siehe Bild E05.20 in

der Vorlesungseinheit E, "Klassifikation"). Nach KRABBE (1958) kann die Schrumpfgrenze mit ws = wL - 1,25 · IP

abgeschätzt werden. Sehr viele Schäden an auch nur gering belasteten Gebäuden sind durch Schrumpfen bedingt. Vorsicht ist vor allem bei ausgeprägt plastischen Böden (stark tonige Böden) geboten, deren Wassergehalt in starkem Umfang schwanken kann. Ein fetter Ton mit einem Wassergehalt an der Fließgrenze von wL = 60 % und einem Wassergehalt an der Ausrollgrenze von wP = 20 % hat mit natürlichen Wassergehalten wn zwischen 30 % und 20 % steife Konsistenz. Der Unterschied zwi-schen diesen beiden Wassergehalten ist bei manueller Bodenansprache verhältnismäßig gering. Ein steifer Boden wird entsprechend DIN 1054 durchaus als tragfähig und geeignet für Gründungen angesehen. Ein solcher Boden kann aber durch Austrocknen unter einem Kellergeschoss (Heizung, Bäume) erhebliche Volumenverminderungen erfahren: Jedes Prozent Wassergehaltsverminderung führt auch zu etwa einem Prozent Volumenverminderung. Trocknet eine Schicht

Bild H09.20: Quellen kann durch Gegendruck minimiert werden (SCHWEIGART, 1982)

Bereich wA [%] sehr gering ≤ 40 niedrig über 40 bis 60 mittel über 60 bis 85 hoch über 85 bis 130 sehr hoch > 130

Bild H09.30: Wasseraufnahmeversuch (DIN 18132)

Bild H09.40: Bereiche des Wasseraufnahme-vermögens wA (DIN 18132)


unter einer Gründung von im Mittel einem Meter Mächtigkeit aus und ändert sich der Wassergehalt dabei (kaum manuell feststellbar) von 27 % auf 23 %, so führt dies zu Schrumpfsetzungen von 4 cm! Bei Gebäuden mit Setzungsschäden ist es daher durchaus sinnvoll, nach Wasser entziehenden Pflanzen zu schauen und zu prüfen, welches Schrumpfvermögen der anstehende Boden aufweist.

H.9.5 Bergsenkungen

Beim unterirdischen Abbau von Kohle, Erzen oder Salz, auch beim Abpumpen von Wasser, Öl und Gas werden Hohlräume erzeugt, die kurz- oder langfristig einstürzen können. Auch bei Abbau in sehr großer Tiefe (im Ruhrgebiet bis zu 1000 m) können sie sich durchaus mit 30 % bis 100 % der Abbaumächtigkeit an der Geländeoberfläche auswirken. Dabei sind weni-ger die Gesamtverformungen für Bauwerke in Bergsenkungsgebieten maßgebend als vielmehr die Zerrungen und Pressun-gen am Rand großer Setzungsmulden sowie lokale Versätze im Bereich von Störungen. Für die Quantifizierung der maßge-benden Größen sollten Bauingenieure auf die in den Bergbaugebieten von den Markscheidern langjährig beobachteten und gemessenen Daten zurückgreifen. Literatur zu diesem Thema: KRATZSCH (1974) und NENDZA (1992).

H.9.6 Massenbewegungen

Verformungen an Bauwerken können auch entstehen, wenn der Baugrund durch Hangrutsche, Muren, Kolk, Baugrund-verflüssigung etc. in großem Umfang bewegt wird. Hier kann Aufgabe der Geotechnik nur sein, derartige Bewegungen nicht auf ein Bauwerk einwirken zu lassen.

H.10 Schrifttum

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