Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

Vortrag über Fraktale


Inhalt:

1. Was ist ein Fraktal?

2. Einige Dimensionsbegriffe

3. Iterierte Funktionensysteme

4. L-Systeme

5. Strange Attractors

6. Julia-Mengen

7. Die Mandelbrotmenge


Benoit Mandelbrot:

Ein fragmentiertes geometrisches Gebilde, das in Teile zerlegt werden kann, die (nahezu) eine kleine Kopie des ganzen Gebildes sind.

Oder:

Eine Menge von Punkten heißt Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension ihre topologische übertrifft.

1 – Was ist ein Fraktal?


Mathematischere Formulierung der Idee von Mandelbrot:

Ein Fraktal ist Attraktor eines iterierten Funktionensystems (IFS).

Beispiel:

1 – Was ist ein Fraktal?

1 2 3

200 1002 2 2; ;

100 3 100 32 2 2

x x xx x x

f f fy y y y y y

Sierpinski-Dreieck zeichnen

C:\Dokumente und Einstellungen\Erik M<FC>ller\Eigene Dateien\Uni\Seminare\ZEICHNE2.EXE


2.1 Minkowski-Dimension

2.2 Box-Dimension

2.3 Hausdorff-Dimension

2.4 Packing-Dimension

2.5 Selbstähnlichkeitsdimension

2 – Dimensionsbegriffe


Vorteile:

- leicht anschaulich zu verstehen

- Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs

Nachteile:

- Nicht immer eindeutige Dimensionszuweisung

- Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

2 – Dimensionsbegriffe – Minkowski-Dimension


Vorteile:

- leicht anschaulich zu verstehen


Nachteile:

- Keine eindeutige Dimensionszuweisung

- Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

2 – Dimensionsbegriffe – Box-Dimension


Vorteile:

- Eindeutige Dimensionszuweisung


- Abzählbare Stabilitätseigenschaft

Nachteile:

- I.A. sehr schwer zu berechnen

Bemerkung: Es gilt

2 – Dimensionsbegriffe – Hausdorff-Dimension

dim dimME E


Vorteile:



- Abzählbare Stabilitätseigenschaft

Nachteile:

- I.A. sehr schwer zu berechnen

Bemerkung: Es gilt

Weiterhin:

2 – Dimensionsbegriffe – Packing-Dimension

dim dim dimP ME E E

dim dim dim dim dimPA A A B A B


Vorteile:


- Verallgemeinerter normaler Dimensionsbegriff

- Einfachste Berechnung

Nachteile:

- I.A. keine sehr große Aussagekraft

2 – Dimensionsbegriffe – Selbstähnlichkeitsdimension


- Satz: Zu jedem IFS existiert genau ein nicht-leerer kompakter Attraktor.

- Dieser lässt sich sich durch folgende Algorithmen zeichnen:

- Der Mehrfachverkleinerungskopiermaschine

- Das Chaos Game

3 – Iterierte Funktionensysteme


Die Mehrfachverkleinerungskopiermaschine:

- Man starte mit beliebiger nicht-leerer Teilmenge V(0)

- .

- Bei hinreichender Genauigkeit stoppe man.

Nachteile:

- Nahezu nur rekursiv vernünftig programmierbar


1

1 :n

ii

V n V n


Das Chaos-Game:

- Man starte mit beliebigem Punkt

- Man wähle unter den Zahlen 1,..,n unter Gleichverteilung unabhängig von den bisherigen Wahlen eine Zahl aus.

- Man setze und zeichne:

- Man stoppe bei vorher festgelegter Schranke

Bemerkungen:

- Man sollte erst ab einer Schranke anfangen zu zeichnen

- Anstelle der Gleichverteilung kann man irgendeine Verteilung nehmen, die allerdings die ganze Menge als Träger haben muss


0y

1n ny y



Fazit:

- Attraktoren von IFS sind fraktale Strukturen, deren Informationen sämtlich in den Funktionen gespeichert sind

Bemerkung:

- Erfüllt das IFS die offene Menge Bedingung, dann gilt für den Attraktor C des IFS und für die Ähnlichkeitsdimension s: s = dim C.


4 – L-Systeme

- L-Systeme bestehen aus einem Urahn und Axiomen, was sich aus diesen im nächsten Zeitschritt entwickelt (siehe etwa die MVKM).

- Beispiel (Cantorsche Menge):

- Reduktion der Information auf Urahn und Axiome.

- Baumstruktur Baumfraktale

- Möglichkeit der stochastischen Auswahl der angewandten Vererbungsregeln

- Möglichkeit der sukzessiven Erschaffung von komplexen Gebilden: (Büschen, Landschaften)

Urahn: F

Axiome: F FfF, f fff


5 – Strange Attractors

Versuch einer Definition:

Eine beschränkte Menge A ist ein chaotischer und seltsamer Attraktor der Transformation T, wenn eine Menge R mit den folgenden Eigenschaften existiert:

- R ist eine Umgebung von A. R ist ein Gefangenenbereich. A ist in R attraktiv.

- Bahnen in R hängen sensitiv von den Daten ab

- A hat eine fraktale Struktur

- A kann nicht in zwei verschiedene Attraktoren aufgespalten werden, d.h. es gibt Anfangspunkte aus R, deren Bahnen jedem Punkt von A beliebig nahe kommen.

Probleme:

- Definition kaum beweisbar für spezielle Strukturen



Beispiele für diskretes Erzeugungsgesetz:

- Newton-Approximation der Nullstellen im Komplexen von

- Henon-Attraktor

3( ) 1f z z



Beispiel für stetiges Erzeugungsgesetz:

- Lorenz-Attraktor:

'

'

'

810, , 28

3

x x y

y Rx y xz

z Bz xy

B R


6 – Julia Mengen

Definition: Eine Julia-Menge J im weiteren Sinne zu einer Funktion

Ist definiert durch:

Definition: Eine Julia-Menge J(c) ist eine Julia-Menge i.w.S. für:

Man kann zeigen, dass es bei Julia-Mengen genügt zu zeigen, dass gilt:

:f

: : lim n

nJ z f z

2( ) :f z z c

( ) max , 2nf z c


6 – Julia Mengen

- Julia-Mengen sind entweder zusammenhängend oder Punktwolken

- Möglichkeit der schrittweisen Einkreisung der Gefangenenmenge

- Auch den Rand der Gefangenenmenge nennt man Julia-Menge

- Die Invertierung von f liefert für den Rand oft ein IFS, so dass der Attraktor des IFS eben die Julia-Menge darstellt

- Ist 0 in der Gefangenenmenge der Julia-Menge, dann ist J zusammenhängend


7 – Die Mandelbrotmenge

Definition: Mandelbrotmenge M

- Man kann die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis sehen, d.h. die Struktur der zugehörigen Juliamenge wird im gewissen Maße induziert von der Lage des Punktes in der Mandelbrotmenge

- Man kann Mandelbrotmengen natürlich im weiteren Sinne für andere f in Abhängigkeit von einem komplexen Parameter c definieren.

22 2: : ist zusammenhängend : 0, , , ist beschränktM c J c c c c c c c c

Starte Fractint

E:\fradev\FRACTINT.EXE


Quellen

-An introduction to fractals, Paul Bourke, 1991, http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro

-Fractal Geometry, Paul Mörters, Basierend auf Vorlesung WS 2000/2001, http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/fract.ps

-Bausteine des Chaos: Fraktale, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1992

-Chaos: Bausteine der Ordnung, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1994

http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro

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