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MATURAARBEIT

Was sind Fraktale?Eine Einführung in die Geometrie des Irregulären

verfasst von

Giuliano Bassobegleitet durch

Kerstin Quatember

eingereicht am 5. Dezember 2008 an der wirtschafts- und rechtswissenschaftlichen Abteilung

des Gymnasiums Bern-Kirchenfeld

Wer besser in Geometrie und Algebra bewandert ist als ich undmeine Gedanken umständlich findet, möge bedenken, dass ich nichtfür ihn rede [· · ·] den Eingeweihten aber billige ich das Recht zu demVorwurf zu, ich hätte mich nicht auszudrücken verstanden [· · ·].

JAKOB NEUHAUS, 1795, (20)

Vorwort

Was um alles in der Welt sind Fraktale und wie kommt ein Schüler der wirtschafts-und rechtswissenschaftlichen Abteilung dazu ihnen seine Maturaarbeit zu widmen?Mit dieser und ähnlichen Fragen wurde mir innerhalb des letzten halben Jahres im-merfort entgegnet, wenn ich über mein Maturaarbeitsthema sprach. Anscheinend sindmathematische Themen auch heute noch in unserer technisierten Welt nicht geradesalonfähig und rufen bei den meisten Leuten im besten Fall Desinteresse oder schlimmernoch Abscheu hervor. Mathematik ist blosse Rechnerei, sagen sie, und erfordert keinkreatives Denken und neue revolutionäre Ideen. Ausserdem ist sie hochgradig lang-weilig und viel zu trocken. Kein normaler Mensch kann sich an diesen kalten von derWirklichkeit entfremdeten Konstrukten erfreuen! Das ich solche Reaktionen hervorriefzeigt die Notwendigkeit meiner Arbeit auf. Ich bestreite nicht, dass mancher dieserVorwürfe zumindest im Kern wahr ist. Es würde mich freuen, wenn ich mit dieserArbeit, einige Leute für die Mathematik begeistern kann oder zumindest weniger hassenlehre. Fraktale sind dafür ein dankbares Thema, weil es den sinnvollen Einsatz vonBildern ermöglicht und somit auf einer visuellen Ebene anspricht und für das Themasensibilisiert. Allerdings wählte ich mein Maturaarbeitsthema nicht aus diesem Grundaus. Vielmehr kam ich darauf, weil ich mich im Mathematikunterricht für Folgen undGrenzwerte begeistern konnte und in deren Rahmen mit der Koch’schen Schneeflocke,einem berühmten Fraktal, in Berührung kam. Ich wollte mein Wissen über Folgen undGrenzwerte erweitern und fasste den Entschluss einige Bücher über Fraktale zu lesen.Das hinter diesen obskuren Bildern anspruchsvolle und wichtige Mathematik steckt,hätte ich mir damals nicht gedacht. Wie man sich doch irren kann! Hinter Fraktalensteht Mathematik, die weit über Folgen und ihre Grenzwerte hinausgeht. Während derLektüre der einschlägigen Literatur für Laien kam ich mit Ähnlichkeitsabbildungen,metrischen Räumen und vielen Dimensionsbegriffen in Berührung. Alles Gebiete, wel-che die Schulmathematik übersteigen und dementsprechend bedeutend interessantersind. Ich versuchte möglichst viel von meinem erworbenen Wissen in diese Arbeit zupacken, aus diesem Grund auch der beachtliche Umfang. Der Schwierigkeitsgrad steigtwährend der Lektüre konstant an, ich gab mir aber Mühe möglichst verständlich zubleiben. So, nun genug der Worte, stürzen sie sich ins Abenteuer und erweitern Sie ihrenHorizont.

Giuliano BassoSchlosswil, November 2008.

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Inhalt

Vorwort 1

Übersicht 4

1 Einführung 51.1 Fraktal - Ein moderner Begriff mit tiefgehenden Wurzeln . . . . . . . . . 51.2 Dimension - Mehr als nur die Ausdehnung im Raum . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Die Dimension unserer Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Die Notwenigkeit einer neuen Dimension . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Selbstähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Exakte Selbstähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Statistische Selbstähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Selbstähnlichkeit am Beispiel der Koch-Kurve . . . . . . . . . . . 11

1.4 Definitionen und Erläuterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Mathematische Fraktale 172.1 Cantor-Staub - „Je le vois, mais je ne le crois pas“ . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Die Konstruktion des Cantor-Staubes . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Länge des Cantor-Staubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Welche Punkte bilden den Cantor-Staub? . . . . . . . . . . . . . . 222.1.4 Die Selbstähnlichkeit des Cantor-Staubes . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Der Sierpinski-Teppich und die Selbstähnlichkeitsdimension . . . . . . . 252.2.1 Die Konstruktion des Sierpinski-Teppichs . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Die Selbstähnlichkeitsdimension ds des Sierpinski-Teppichs . . . 26

3 Natürliche Fraktale 293.1 Küstenlinien - Fraktale Kurven unendlicher Länge . . . . . . . . . . . . . 29

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Inhalt

3.2 Weitere Fraktale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension 334.1 Die Idee hinter der Hausdorff-Besicovitch-Dimension . . . . . . . . . . . 334.2 Definitionen und Erläuterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Von Hd

e(Y) über Hd(Y) zu dhb(Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Die Hausdorff-Besicovitch Dimension des Sierpinski-Teppich . . . . . . 384.5 Sind dhb(G) und ds(G) gleichwertig? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fazit 44

A Die topologische Dimension 45

Literatur 47

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Übersicht

Das Ziel meiner Arbeit ist es Sie in die fraktale Geometrie soweit einzuführen, dass esihnen möglich sein wird, die Definition der fraktalen Menge nach MANDELBROT (sieheS. 8) zu verstehen. Mein Weg führt dabei über die selbstähnlichen Fraktale. Sie unter-stützen mich die grundlegenden Begriffe einzuführen und geben eine erste Vorstellungdavon was für Objekte unter MANDELBROTs Definition fallen. Im Gegensatz zu ande-ren Arbeiten erachte ich es allerdings als unnötig, unzählige Fraktale vorzustellen undan ihnen immerfort das Gleiche zu zeigen. Also beispielsweise die Länge ausrechnen,den Flächeninhalt bestimmen, die Selbstähnlichkeitsdimension ds und (was seltenergeschieht) den IFS-Code bestimmen. Ich konzentriere mich vielmehr auf wenige Fraktaleund behandle diese eingehender. Das erste Kapitel ist dazu da, eine Vorstellung davonzu geben was Fraktale sind und die für den späteren Verlauf unumgänglichen Definitio-nen zu liefern. Im zweiten Kapitel werden zwei mathematische Fraktale, sogenannteIFS-Fraktale, eingehend behandelt und an ihnen einige erstaunliche Eigenschaften aufge-zeigt, die Fraktalen oftmals innewohnen. Da ich es nicht unterlassen wollte auch Fraktaleaus der Natur zu thematisieren, wird im Kapitel drei als Beispiel für natürliche Kurvenunendlicher Länge die Küstenlinie behandelt. Das vierte Kapitel ist das technischste undauch schwierigste Kapitel dieser Maturaarbeit. In ihm wird die Hausdorff-Besicovitch-Dimension, welche für das Verständnis der Definition MANDELBROTs unumgänglichist, vorgestellt. Im Anhang wird die topologische Dimension kurz erklärt, weil manauch sie kennen muss um Fraktale zu quantifizieren. Weil die topologische Dimension,bei den meisten Objekten offensichtlich ist, und deren exakte Derfinition zu weit vomThema wegführen würde, habe ich deren Erklärung möglichst kurz gehalten und inden Anhang verbannt. Diese Arbeit erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und dieBeispiele sind nach meinen persönlichen Vorlieben ausgewählt. Das linke Fraktal aufder Titelseite wird Koch Surface genannt und das rechte Menger Schwamm. Alle Abbildun-gen ausser 2.5 und A.1 erstellte ich selbst. Wenn kein Programm explizit Erwähnungfindet, verwendete ich die Freeware GeoGebra. Ich verfasste diese Maturaarbeit zuerstin Microsoft Word, sah mich aber dazu veranlasst auf LATEX umzusteigen, weil die ma-thematischen Formeln in Word unglaublich mühsam zu erstellen und formatieren sind.Das Buch „Latex. Ein typographischer Einstieg“[3] von TOBIAS BERNDT half mir mit LATEXnicht zu verzweifeln und meine Maturaarbeit typographisch ansprechend zu setzten.

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1 Einführung

Die klassische Geometrie lieferte erste Näherungen an die Strukturphysikalischer Objekte. [· · ·]. Die fraktale Geometrie ist derenErweiterung: Physikalische Strukturen - von Farnen, Wolken bis hinzu Galaxien - können mit ihrer Hilfe exakt modelliert werden.

MICHEAL F. BARNSLEY, 1993, (2, S.1)

1.1 Fraktal - Ein moderner Begriff mit tiefgehenden Wurzeln

Was sind Fraktale? Vor ungefähr 35 Jahren hätte niemand eine Antwort auf diese Fragegeben können. Das Konzept existierte zwar, wurde aber noch nicht mit einem Namenversehen. Im Jahre 1975 führte der polnisch-französische Mathematiker BENOÎT B.MANDELBROT (1924∗), den Begriff Fraktale ein. Fraktale sind Objekte, die komplexerund irregulärer sind als die Standardobjekte der Schulgeometrie, wie beispielsweisedie Linie, das Quadrat und das Dreieck. Aus diesem Grund erstaunt es nicht, dassMANDELBROT den Begriff aus dem lateinischen Adjektiv fractus, das „in Stücke zer-brochen“und „irregulär“meint, ableitete.[9, S. 16-17]1 Viele sehen in MANDELBROT denVater der Fraktalforschung, die allerersten Fraktale wurden allerdings bereits vor seinerGeburt erfunden. Diese mathematischen Fraktale entstanden um 1900 beim Versuch dieGrenzen von grundlegenden Begriffen, wie Stetigkeit und Krümmung, aufzuzeigen.[11, S.81] In mathematischen Kreisen sah man in diesen Gebilden die Abweichung von derNorm und stempelte sie als Kuriositäten ab. Sie waren als „mathematische Monster“,bar jedes Realitätsbezuges, berüchtigt. Aus diesem Grund wurden keine Anstrengungenunternommen sie systematisch einer Klasse zuzuordnen. MANDELBROTs Verdienst wares sie streng zu definieren und zu erkennen, dass diese „Monster“in einem gewissenSinne die Regel und nicht die Ausnahme bilden. Der Ansatz MANDELBROTs wird auchheute noch unter den zahlreichen Definitionen des Begriffs Fraktal bevorzugt.[19, S. 166]Er ist allerdings sehr technischer Natur und erst einleuchtend, wenn man sich schonlange mit der Materie auseinandergesetzt hat. Um jetzt schon eine Vorstellung vonFraktalen geben zu können, zähle ich vier Eigenschaften auf, die meistens nicht bei einund demselben fraktalen Objekt anzutreffen sind.

1 Eckige Klammern wie diese verweisen auf die Literatur der Seiten 47-48.

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1 Einführung

Ein Fraktal ist:

das Ergebnis eines unendlich oft wiederholten rekursiven Erzeugungsprozesses.[13, S. 140]

ein Objekt dem als Dimension eine nichtganzzahlige Zahl zugeordnet wird.[4, S. 47]

eine Kurve die über keine charakteristische Länge verfügt, d. h. unendlich lang ist.[11, S.241]

ein Objekt, das auf jeder Grössenskala aus mehreren gleichgrossen Teilen, dieexakte Kopien des Ganzen sind, besteht. [11, S.163]

Drei dieser vier Eigenschaften werden im Verlauf der Einführung eingehend behandelt.Ich hoffe, damit dem Leser eine solide Grundausrüstung zu liefern, die das Verständnisder Fraktale in den folgenden Kapiteln erleichtern soll. In Kapitel 3 thematisiere ich amBeispiel natürlicher Fraktale die Tatsache, dass man ihnen keine charakteristische Längezuordnen kann.

1.2 Dimension - Mehr als nur die Ausdehnung im Raum

Über das Konzept unseres Dimensionsbegriffes machen sich die wenigsten Leute Ge-danken, es ist intuitiv einleuchtend und wirft gar nicht erst Fragen auf. Auch ich lebtejahrelang problemlos mit dieser Einstellung. Erst während dem recherchieren für meineMaturaarbeit fiel mir auf, dass der Begriff der Dimension einiges mehr an Spielraumfür Variationen zulässt, als ich es mir erträumt hätte. Ich stellte fest, dass es nicht eineUniversaldimension für alle denkbaren Situationen gibt. Tatsächlich arbeiten Mathe-matiker ungefähr mit zehn Dimensionsbegriffen, die in ihren Zahlenwerten für einund dasselbe Objekt voneinander abweichen können.[11, S.245] Diejenigen, die sicheignen um Fraktale sinnvoll zu beschreiben stelle ich in dieser Arbeit vor. Zwei weitereDimensionen werden im Anhang A behandelt sie fliessen mit ein, weil man sie kennensollte, um die Andersartigkeit fraktaler Objekte gegenüber Standardobjekten der Schul-geometrie, für deren Beschreibung nichtfraktale Dimensionen ausreichen, zu verstehen.In diesem Unterkapitel werde ich über übliche Dimensionsvorstellungen sprechen, aufdenen auch die topologische Dimension2 aufbaut. Anschliessend wird die Hausdorff-Besicovitch-Dimension als Grundlage der Definition des Fraktals nach MANDELBROT

thematisiert.

2 Mehr Informationen zur topologischen Dimension finden sich im Anhang A.

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1.2 Dimension - Mehr als nur die Ausdehnung im Raum

1.2.1 Die Dimension unserer Anschauung

Das Wort Dimension ist aus dem lateinischen Wort dimetiri, was auf deutsch „nach allenSeiten abmessen“heisst, abgeleitet.Umgangssprachlich meinen wir, wenn wir über dieDimension eines Objektes sprechen, dessen Ausdehnung im Raum.[13, S. 86] Dehnt sichdas Objekt in eine Richtung aus, ist das Objekt eindimensional. Die Anzahl der Aus-dehnungen bezeichnet die Dimension, die wir dem Objekt zuschreiben. Die Dimensioneines Objektes ist somit immer ganzzahlig, ein Objekt kann sich nicht in 1.5 Richtungenausdehnen. Der uns umgebende Raum dient bei der Feststellung der Ausdehnungenals Masstab, als Bezugsgrösse. Wir bezeichnen ihn gerne als dreidimensional3, im Sinnedavon, dass wir den Aufenthaltsort jedes Punktes im Raum anhand dreier Zahlen-werte in einem dreiachsigen rechtwinkligen Koordinatensystem beschreiben können.Von dieser Abstraktion ausgehend sagen wir, dass eine Fläche, ein Objekt ist, dessenPunkte durch einen Satz von zwei Zahlenwerten in einem zweiachsigen rechtwinkligenKoordinatensystem beschrieben werden können. Wir schliessen von unserer abstra-hierten Wahrnehmung auf niedrigere Dimensionen. Auch unsere Vorstellungen überhöherdimensionale Räume basieren auf verallgemeinerten Vorstellungen über den unsumgebenden Raum.[16, S. 74] Der euklidische Raum E, den ich gerne als den „Raumunserer Anschauung“bezeichne, ist das mathematische Konzept dieser Vorstellungen.Ein Punkt x in E ist definiert durch ein n-Tupel. Befinden wir uns in einem zweidimen-sionalen euklidischen Raum, wird jeder Punkt x durch ein Paar (2-Tupel), von Zahlendefiniert. Es gibt beispielsweise den Punkt x = (2 | 123) oder den Punkt x′ = (123 | 2).Man nennt den zweidimensionalen euklidischen Raum oft einfach die Ebene und be-zeichnet ihn formal mit R2.[24] Für einen beliebigdimensionalen euklidischen Raum Egilt:[11, S. 262]

E = Rn = { x | x = (x1, · · · , xn), xi ∈ R }wobei n eine natürliche Zahl ist . (1.1)

Alle Fraktale die in dieser Maturaarbeit thematisiert werden sind Teilmengen4[1, S. 10]5

des euklidischen RaumesE. Auf dem Begriff des Raumes, der in 4.2 eingehend behandeltwird, fusst eine weitere Definition des Fraktals.

Definition 1.1: Ein Fraktal ist eine hinreichend komplizierte Punktmenge in einem geometrischeinfachen Raum.[19, S. 166]

3 Ungeachtet der Tatsache, dass der uns umgebende Raum nicht dreidimensionalist. Wir leben in einer gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit.4 In 1.4 erfährt man mehr über diesen Begriff.5 Stehen die eckigen Klammern direkt nach einem Wort, bezieht sich die Quellenan-gabe nur auf ebendieses Wort.

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1 Einführung

1.2.2 Die Notwenigkeit einer neuen Dimension

Das Beschreiben von Objekten ausgehend von unserer abstrahierten Wahrnehmungkann durchaus effektiv und ausreichend sein. Anfangs des 19. Jahrhunderts stellte manfest, dass sich Objekte konstruieren lassen, die frühen Fraktale, die über Eigenschaftenverfügen, die der damaligen Dimensionsvorstellung nicht mehr gerecht wurden. Beson-ders die Peano-Kurve stellte die bis dahin übliche Definition der Dimension einer Menge6,als die minimalste Anzahl Variablen, die man zu ihrer eindeutigen Beschreibung braucht,in Frage. Die Peano-Kurve ist eine Kurve, die jeden Punkt auf einer vorgegebenen Flächetrifft, sie somit vollständig ausfüllt. Jeder Punkt auf dieser Fläche lässt sich durch seineLage auf der Kurve, also anhand einer Variablen, eindeutig lokalisieren. Allerdings istdiese Konstruktion nicht selbstmeidend[9, S. 51], es gibt voneinander unterscheidbarePunkte auf der Kurve, die denselben Punkt der Fläche treffen.[11, S. 131] Misst maneiner solchen Kurve die Dimension Eins bei, wird man ihrer ebenfüllenden Eigenschaftnicht gerecht. Um die Peano-Kurve effektiv zu Beschreiben ist eine neue Geometrieerforderlich und eine neue Vorstellung von Dimension. „Mehr Dimensionen“ist beidieser Dimension nicht mehr gleichbedeutend mit „mehr Richtungen“, sondern mit„den Raum besser ausfüllen“.[16, S. 99] Eine solche Dimension stellte FELIX HAUSDORFF

(1868-1942) im Jahre 1919 vor. Für Standardobjekte wie Punkt, Linie etc. stimmt sie mitder Dimension unserer Anschauung, also der Zahl, die wir diesen Objekten gefühls-mässig beimessen, überein.[9, S. 27] ABRAM SAMOILOVITCH BESICOVITCH (1891-1970)erweiterte die Überlegungen HAUSDORFFs für den Fall, dass man die Dimension vonNichtstandardobjekten berechnen will.[9, S. 377]

Mit der Hausdorff-Besicovitch-Dimension dhb erhielt MANDELBROT eine Möglichkeit die„Die“Defini-tion

„mathematischen Monster“, als eine neue Klasse von Objekten gegenüber den euklidi-schen Standardobjekten, also denjenigen der Schulgeometrie, abzugrenzen. MANDEL-BROTS einzige Definition des Begriffs Fraktale baut auf der Ungleichheit zwischen dhbund dtop eines fraktalen Objektes auf. Die topologische Dimension und die Hausdorff-Besicovitch-Dimension eines beliebigen Objektes7Fmüssen nicht übereinstimmen, siegenügen aber stets der Ungleichung: dhb(F ) ≥ dtop(F ). Für Fraktale Objekte gilt:

F ist ein Fraktal⇔ dhb(F ) > dtop(F )

Definition 1.2:„Ein Fraktal ist nach Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besicovitch-Dimension echt [ist nicht gleichgross] die topologische Dimension übersteigt.“

Liegt ein fraktales Objekt im euklidischen Raum, ist dhb grösser als Null und kleiner alsdie Dimension von E, also den Exponenten von R.[9, S. 27]

6 Der Schöpfer der Mengenlehre GEORG FERDINAND LUDWIG PHILIPP CANTOR(1845-1918) versteht unter einer Menge folgendes:„ Unter einer Menge verstehen wir jede ZusammenfassungM von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente vonM genannt werden) zu einem Ganzen. “ [6, S.1]7 Genaugenommen spräche man in diesem Zusammenhang von Mengen.

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1.3 Selbstähnlichkeit

1.3 Selbstähnlichkeit - Das Ganze besteht aus verkleinertenKopien seiner Selbst

In diesem Unterkapitel wird primär der für die Beschreibung fraktaler Mengen wichtigeBegriff der Selbstähnlichkeit behandelt. Die exakten Definitionen finden sich in 1.4. In1.3.1 und 1.3.2 nähere ich mich der Selbstähnlichkeit mit Worten und diversen Beispielen.Etwas vertiefter als in den vorangehenden Beispielen werde ich in 1.3.3, mit einigenAbschweifungen, die Selbstähnlichkeit anhand der Koch-Kurve besprechen.

1.3.1 Exakte Selbstähnlichkeit

Eine Figur nennt man exakt selbstähnlich, wenn sie sich aus mehreren gleichgrossen Teilen Schach-brettkleineren Masstabs, die exakte Kopien der ganzen Figur sind, zusammensetzten lässt.

Beim Schachbrett bilden 64 kleine Quadrate ein grosses Quadrat. Streckt man eines dieserQuadrate mit dem Faktor 8 erhält man das ganze Schachbrett. Die Farben sind dabei zuvernachlässigen. Wenn man ein Feld des Schachbrettes wie ein Schachbrett unterteilt,d.h ein Feld des Schachbrettes besteht aus 64 Quadraten, und eines dessen Felder mitdem Faktor 64 = 8 · 8 streckt erhält man wieder das Schachbrett. Dasselbe Spielchenkönnte man mit den Feldern der Schachfelder machen und mit deren Feldern usw.. Manversuche sich das mit der Abbildung 1.1 zu veranschaulichen. Das Schachbrett und dasQuadrat, was anderes ist das Schachbrett ja nicht, wenn man die Farben vernachlässigt,sind exakt selbstähnlich.

Abbildung 1.1: Schematische Darstellung eines Schachbrettes.

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1 Einführung

Abbildung 1.2: Eine idealisierter Zweiästebaum. Vom Endpunkt jedes Astes zweigenZwei halb solange Zweige in einem Winkel von 60 Grad ab. Diese Abbil-dung wurde mit der Freeware Fractal Grower erzeugt.

Ein idealisierter Baum besteht aus einem Stamm, der grosse Äste enthält, die kleinereZwei-äste-baum

Äste enthalten, die Zweige enthalten, die wiederum kleinere Zweige enthalten usw..[12,S. 2] Bei einem idealisierten Baum geht diese Folge unendlich lange weiter. Abbildung1.2 stellt eine Variante eines solchen idealisierten Baumes dar. Ist dieser Baum exaktselbstähnlich? Intuitiv scheint die Sache klar zu sein. Die Anzahl der Verzweigungenbeim Baumstamm entspricht der bei einem einzelnen Ast und Zweig. Äste sind eineMiniaturausgabe des ganzen Baumes, da sie sich genau gleich verzweigen wie derBaumstamm. Dasselbe gilt für Zweige jeder Grössenordnung, sie sind also vollwertigeKopien des Baumes, die sich nur durch ihre Grösse vom Original unterscheiden. Esgilt dasselbe wie beim Schachbrett dessen Quadrate verkleinerte Kopien des Ganzendarstellen. Das Schachbrett ist exakt selbstähnlich, folglich ist unser idealisierter Baumauch exakt selbstähnlich.

Könnte man meinen! Tatsächlich ist dieser Zweiästebaum aus zwei verkleinerten Kopienseiner selbst und dem Stamm aufgebaut. Die Äste und deren Verzweigungen oberhalbder ersten Gabelung addieren sich nicht zum Ganzen, wenn nicht ein Stamm hinzu-gefügt wird. Man bezeichnet den Stamm als Residuum.[9, S. 164-165] Den Baum alsGanzes, also Stamm mit inbegriffen, bezeichnet man als selbstaffin.[11, S.174] Kurz Zu-sammengefasst: Eine Form ist selbstähnlich, wenn sie aus Kopien ihrer selbst aufgebautist. Exakt selbstähnliche Figuren, enthalten in jedem Teil, sei er auch noch so klein, einverkleinertes Ganzes. Im Kleinen wiederholt sich das Grosse, das Kleine ist im Grossen

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enthalten, das Ganze besteht aus vielen kleinen Kopien seiner selbst.[4, S. 24] Jede dieserKopien wird zum Ganzen, wenn man sie mit dem richtigen Faktor streckt.

Beim Schachbrett handelt es sich trotz seiner exakten Selbstähnlichkeit nicht um ein Frak- Fraktale?tal. Warum? Seine Hausdorff-Besicovitch-Dimension stimmt mit dessen topologischenDimension überein, sie sind beide gleich Zwei. Beim Baum liegt die Sache komplizierter,wenn die Dimension seiner Zweigspitzen, die einen fraktalen Staub bilden, grösser alsEins ist handelt es sich um ein Fraktal, falls sie gleich Eins oder kleiner sind, handelt essich nicht um ein Fraktal, sondern um ein Subfraktal[9, S.164-165].

1.3.2 Statistische Selbstähnlichkeit

In der Natur wimmelt es geradezu von selbstähnlichen Objekten. Eine Cumulus-Wolkebesteht aus Wirbeln, die wiederum aus Wirbeln bestehen. Eine Küstenlinie bestehtaus Buchten, die, wenn man genauer hinschaut, wiederum aus Buchten bestehen. Dieverzweigte Struktur eines Flussdeltas ähnelt den Verzweigungen eines Baumes oderden Verzweigungen des Blutgefässsystem der menschliche Lunge. Die Selbstähnlichkeitdieser natürlichen Objekte ist allerdings nie exakt, die Miniaturausgaben sehen demOriginal zwar sehr ähnlich, es sind aber immer kleine Abweichungen zu erkennen.Ein Baum verzweigt sich nicht immer exakt gleich und die Verzweigungen findennach ein paar Stufen ihr Ende. Auch trifft man bei einem natürlichen Objekt nicht aufjeder Grössenskala Miniaturausgaben des Ganzen an (spätestens auf atomarer Ebene istSchluss). Ein Farn verzweigt sich ungefähr 3-4 Mal, danach verwischen sich die Details.Eine solche Struktur nennt man statistisch selbstähnlich.[11, S. 172]

Kleine Buchten haben die gleiche Art zufälliger Struktur wie grosse Buchten, sie seheneinander in einem gewissen Sinne ähnlich. Dasselbe gilt für die Art der zufälligen Struk-tur von kleinen Felsbrocken & Felsen und die Art zufälliger Verteilung kleiner Krater& grosser Krater auf der Mondoberfläche. Anscheinend müssen die Prozesse, welchestatistisch selbstähnliche Objekte hervorbringen, auf vielen verschiedenen räumlichenMasstäben in gleicher Weise funktionieren. Die Prozesse verhalten sich auf allen Grös-senskalen gleich, sie bringen immer dieselbe Art zufälliger Strukturen hervor. Andersausgedrückt: sie sind skaleninvariant. Kennzeichnend für die Gleichungen, die solcheProzesse beschreiben, ist, dass sie dies tun, ohne eine Grössenskala festzulegen. Mansagt, dass ihnen ein innerer Masstab fehlt.[4, S. 24]

1.3.3 Selbstähnlichkeit am Beispiel der Koch-Kurve K

Der Hauptzweck dieses Unterkapitels besteht darin, die Selbstähnlichkeit am Beispielder Koch-Kurve eingehender zu erklären und dabei, unter anderen, die Begriffe Rück-koppelungsmaschine, Iteration und Attraktor einzuführen. Einige Abschweifungen vomeigentlichen Thema, die Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve, waren dabei unerlässlich, sie

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1 Einführung

tragen aber zum besseren Verständnis der Selbstähnlichkeit bei und ermöglichen es, sieim Kontext anderer Begriffe zu behandeln.

Die 1904 durch NIELS FABIAN HELGE HARTMUT VON KOCH (1870-1924) veröffentlich-te Koch-Kurve ist ein Fraktal, das aufgrund seiner einfachen Struktur oft als Beispielherangezogen wird. Sie ist exakt selbstähnlich, man findet auf jeder Grössenskala kleineMiniatur-Koch-Kurven. Siehe Abbildung 1.4 auf der nächsten Doppelseite. Um sicher-zugehen, dass wirklich auf jeder Grössenskala eine solche Miniaturausgabe vorkommt,ist es sinnvoll diese nach und nach einzubauen.[9, S. 46] Die Bildung der Koch-Kurveerfolgt über Konstruktionsschritte, die auf immer kleiner werdenden Skalen Kopien desGanzen hinzufügen. Jeder Konstruktionsschritt wendet die Konstruktionsvorschrift, aufdie wir noch zu sprechen kommen, auf das Gebilde an, das nach dem vorangehendenKosntruktionsschritt entstand. Das Ergebnis des Konstruktionsschrittes k, dient als Aus-gangsform für den Konstruktionsschritt k + 1. Dies wird schematisch folgendermassendargestellt:

Abbildung 1.3: Schematische Darstellung einer Rückkoppelungsmaschine.

Das wiederholte Anwenden derselben Konstruktionsvorschrift, bei dem das Ergeb-nis wieder als Eingabe Verwendung findet, wird als Rückkoppelungsschleife bezeichnet.Zur anschaulichen Beschreibung der Konstruktion der Koch-Kurve stellt man sich ei-MVKM

bzw.Barnsley-Maschine

ne abstrakte Maschine vor, die in einer Rückkoppelungsschleife läuft.[11, S. 277] DieseMaschine, in der Fachliteratur spricht man von einer MVKM (=Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine)[11, S. 30] oder je nach Autor von einer Barnsley-Maschine[19, S. 93],dient als Metapher für die Theorie der iterierten Funktionensysteme mit der alle mathe-matischen Fraktale mit wenigen Zahlenwerten erzeugt werden.[11, S.277] In diesemUnterkapitel nähern wir uns der Koch-Kurve über die MVKM bzw. Barnsley-Maschine.Deterministisch iterierte Funktionensysteme Γ (=IFS) werden im Abschnitt 1.4 behandelt.Jede abstrakte Rückkoppelungsmaschine, mein Synonym für die MVKM bzw. Barnsley-Maschine, verfügt über eine Eingabeeinheit (=Ausgangsform), eine Prozessoreinheit (=Konstruktionsschritt k) in der die Eingabe verarbeitet wird und eine Ausgabeeinheit(=Ergebnis), deren Inhalt wieder in die Eingabeeinheit überführt wird und der ganze

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Prozess von vorne beginnt, wiederholt wird.[11, S. 24] Die Anzahl Iterationen (lat. Wie-derholungen) ist dabei unbegrenzt, geht gegen unendlich. Wäre dem nicht so, würdedie Folge der Konstruktionsschritte einmal abbrechen, gäbe es eine Grenze unter derdie Koch-Kurve nicht mehr exakt selbstähnlich wäre. Unter dieser Grenze würde mankeine verkleinerten Kopien des Ganzen finden, da diese nicht hinzugefügt wurden.Als Hilfsmittel zur Realisation der abstrakten Rückkoppelungsmaschine eignet sichein Computerprogramm, ein Taschenrechners oder lediglich Papier und Bleistift. [11, S.25].

Wenn wir über die Koch-Kurve sprechen, ist immer das „Ergebnis“dieses endlos fortge- Grenz -objektsetzten Rückkoppelungs-Prozesses gemeint, und nicht irgendein Zwischenschritt. Sprä-

chen wir über das letzte Folgeglied einer endlichen Folge von Konstruktionsschritten,wäre die Koch-Kurve nicht exakt selbstähnlich, da man ab einer gewissen Grössenskalakeine Miniaturausgaben des Ganzen mehr antrifft, wie wir weiter oben gesehen haben.Die Koch-Kurve ist das Resultat eines unendlichen iterierten Rückkoppelungsprozes-ses, sie existiert nur als Idealisierung[11, S. 175].Man sagt, dass die Koch-Kurve, dasGrenzobjekt ist, welches nach unendlich vielen Konstruktionsschritten übrigbleibt. Es-senziell für das Betreiben einer Rückkoppelungsmaschine ist die Konstruktionsvorschrift.Ohne sie „weiss“die Maschine nicht, auf welche Art und Weise sie die Eingabe in derProzessoreinheit überhaupt verarbeiten soll. Die Konstruktionsvorschrift zur Bildungder Koch-Kurve lautet in Worten: „Ersetzte das mittlere Drittel jedes Streckenabschnit-tes durch ein gleichseitiges Dreieck und entferne dessen Basis.“. Um die Maschine inGang zu setzten fehlt uns jetzt nur noch eine einmalige Eingabe eines Startwertes indie Eingabeeinheit, auf die man die Konstruktionsvorschrift ein erstes Mal anwendet(= 1. Konstruktionsschritt). Im Falle der Koch Kurve wählt man eine Linie der Län-ge 1. Dies ist aber nicht zwingend, man kann, wie wir sehen werden, jede beliebigeForm/Figur wählen, das Grenzobjekt wird immer wie die Koch-Kurve aussehen, ge-nauer die Koch-Kurve sein. Wählt man die Koch-Kurve bereits als Startwert, erhältman nach dem ersten Konstruktionsschritt, wiederum die Koch-Kurve und zwar ohneeine kleinste Veränderung. Man bezeichnet K als den Attraktor der Rückkoppelungsma-schine, welche mit weiter oben erwähnter Konstruktionsvorschrift läuft. Jede abstrakteRückkoppelungsmaschine, die mit distanzkontrahierenden Abbildungen arbeitet, worunterman sich die Konstruktionsvorschrift vorstellen kann, hat genau einen Attraktor8.[19,S. 139] Wenden wir die obige Konstruktionsvorschrift auf eine Linie der Länge Eins an.Nach dem ersten Konstruktionsschritt entstand beim mittleren Drittel ein nach obengerichtetes Zelt, oder wenn man will ein nach oben orientiertes Dreieck, dessen Basisentfernt wurde. Aus einer Linie wurden vier Linien geschaffen. Lässt man die Maschineweiterlaufen, entstehen nach dem zweiten Konstruktionsschritt Zeltchen in der Mittevon jeder Linie. Aus ehemals vier Linien werden 16 = 4 · 4 Linien. Langsam wird einembewusst wie die Folge weitergehen muss, nach dem dritten Konstruktionschritt müss-te die Koch-Kurve aus 64 = 4 · 4 · 4 Linien bestehen. Zählt man die Linien der drittenKonstruktionsstufe, stellt man fest, dass es tatsächlich 64 sind. Die Anzahl Linien der

8 In 1.4 erfährt man mehr darüber.

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1 Einführung

Konstruktionsstufe k beträgt 4 hoch k, 4k. Wenn man Abbildung 1.4 eingehender be-trachtet erkennt man, dass die Figur jeder Konstruktionsstufe viermal mit dem Faktor1/3 verkleinert wird und dann auf eine jeweils andere von der Abbildung αi vorgeschrie-bene Weise angeordnet wird. Die Koch-Kurve der Generation k ist die Vereinigung dervier Abbildungen α, angewandt auf die Koch-Kurve der (k-1)-ten Generation.Formal:W (Kk−1) = α1(Kk−1) ∪ α2(Kk−1) ∪ α3(Kk−1) ∪ α4(Kk−1) = Kk

Abbildung 1.4: Die Konstruktion der Koch-Kurve schematisch dargestellt. Diese Abbil-dung wurde mit Hilfe des Adobe Illustrators CS3 und mathlab95 erstellt.

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1.4 Definitionen und Erläuterungen


Die folgenden Definitionen können getrost überlesen werden. Ihre profunde Kenntniswird erst im vierten Kapitel unumgänglich.

Distanzkontrahierende Abbildungen α und β

Eine Abbildung β : Y → Y wobei Y eine kompakte9 Teilmenge10 des metrischenRaumes (X, d)11 ist, heisst distanzkontrahierend, falls es eine eine Konstante s ∈ R, 0 ≤ s <1 derart gibt, dass |β(x)− β(x′)| ≤ s|x− x′| für alle x, x′ ∈ Y gilt. Ich nenne eine solcheAbbildung β im folgenden distanzkontrahierende affine Abbildung. Wenn |β(x)− β(x′)| =s|x− x′| für alle x, x′ ∈ Y gilt, bildet s Mengen auf geometrisch ähnliche Mengen ab. Indiesem Fall schreibe ich α(Y ) statt β(Y ) und spreche von einer distanzkontrahierendenÄhnlichkeitsabbildung. s wird Skalierungsfaktor genannt.Sinngemäss nach [22] und [19, S.94].

Exakt Selbstähnliche Menge G

Gegeben sei eine kompakte Punktmenge G in einem metrischen Raum (X, d). Sie wer-de in N > 1, bis auf Randelemente paarweise disjunkte12, kongruente TeilmengenGi, i ∈ {1, 2, · · · , N } zerlegt, so dass G =

⋃Ni=1Gi gilt. Existiert für alle i eine Ähnlich-

keitsabbildung α mit α(G) = Gi, heisst G nach [19, S. 13] exakt selbstähnlich.

Deterministisch iteriertes Funktionensystem Γ

Eine endliche Familie von distanzkontrahierenden Abbildungen β also {β1, β2, · · · , βi} i ≥2, heisst nach [22] deterministisch iteriertes Funktionensystem Γ.

Hutchinson Operator W

Eine kompakte Punktmenge A0 wird mit distanzkontrahierenden Abbildungen β ver-kleinert. Die Vereinigung der erhaltenen Punktmengen führt zu A1. A1 =

⋃Ni=1 βi(A0) =

β1(A0) ∪ β2(A0) · · · ∪ βN (A0). Man schreibt oft verkürzt W (A0) = A1. W wird nach[19, S. 94]Hutchinson-Operator genannt und stellt wiederum eine distanzkontrahierendeAbbildung dar [11, S. 323].

9 Für den Moment gilt: Kompaktheit ist eine technische Voraussetzung, die für alleZeichnungen auf einem Blatt Papier als erfüllt angenommen werden darf. Mehr dazuweiter unten in 4.210 Die Formale Bezeichnung Y ⊂ X bedeuted, dass Y eine Teilmenge von X ist. Dasheisst dass aus x ∈ Y auch x ∈ X folgt.

11 Mehr dazu in 4.212 Zwei Mengen sind zueinander disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Elementhaben, ihr Durchschnitt ein leerer ist. Paarweise bedeuted dass alle Mengen diesesMengensystems zueinander disjunkt sind.

15

1 Einführung

Attraktor eines IFS

Eine kompakte Teilmenge F von Y heisst Attraktor eines IFS, falls gilt:F =

⋃Ni=1 βi(F ) oder W (F ) = F .[22]

Bemerkung

Falls ein IFS einzig mit Ähnlichkeitsabbidungen α arbeitet, gilt für den Skalierungsfaktors:∑N

i=1 sdi = 1, wobei d ≥ 0.

Beispiel eines IFS: der Barnsley Farn

Das folgende IFS wurde von MICHAEL BARNSLEY erfunden. Es zeigt die schier un-endliche Formenvielfalt auf, die man mit IFS erzeugen kann. Es gibt noch viele andereCodes, die ebenso ansprechende Farne erzeugen. Der folgende Code wurde [19, S. 124]entnommen.

Abbildung a b c d e fβ1 0 0 0 0.16 0.45 -0.09β2 0.85 0.04 -0.04 0.85 0.07 0.16β3 0.2 -0.23 0.23 0.2 0.36 0.04β4 -0.15 0.28 0.26 0.24 0.52 0.08

Abbildung 1.5: Grafikausgabe mit den Werten aus oberen Tabelle. Die Abbildung wurdemit der Freeware IFS-Lab erstellt und anschliessend um 180° gedreht.

16

2 Mathematische Fraktale

I am so in favour of the actual infinite that instead ofadmitting that Nature abhors it, as is commonlysaid, I hold that Nature makes frequent use of iteverywhere, in order to show more effectively theperfections of its Author.

GEORG CANTOR, (21)

Dieses Kapitel ist den mathematischen Fraktalen gewidmet. Die Schöpfer der erstenmathematischen Fraktale lebten im Glauben sich mit ihren „mathematischen Mons-tern“vollständig von der Natur und den sichtbaren Strukturen entfremdet zu haben.Die Geometrie der Anschauungen, so schien es, hatte ausgedient, um Geometrie richtigzu Betreiben muss man sie als das annehmen was sie ist, eine logische Konstruktionbar jedes Realitätsbezuges. Doch wie so viele Aussagen von grossen Mathematikern,betrachtet mit genügend zeitlichem Abstand, ist auch diese grundlegend falsch. DenMathematikern des ausgehenden 19. Jahrhunderts fehlte es vielleicht an Vorstellungs-kraft, der Natur jedenfalls nicht.[9, S. 15] Die „mathematischen Monster“, obschon nichterfunden, um die Natur zu beschreiben, besitzen Eigenschaften, die auch bei komplexennatürlichen Strukturen, wie einer Küstenlinie, anzutreffen sind. Mathematische Fraktaleund natürliche Strukturen sind Beispiele eines einheitlichen Ansatzes. Abstrakte ma-thematische Objekte, verkörpern oftmals idealisierte natürliche Fraktale, oder werdenzumindest als solche interpretiert.[11, S. 275] Die zerklüftete raue Struktur der französi-schen Côte d’Azur findet ihre Idealisierung in der systematisch aufgebauten Koch-Kurve.Eine streng deterministische Koch-Kurve erinnert allerdings nur andeutungsweise aneine Küstenlinie, dem wird abgeholfen wenn man bei der Bildung die Orientierung desgleichseitigen Dreiecks dem Zufall überlässt. So findet eine Annäherung an die Strukturder Côte d’Azur statt, da die grundlegende Gestalt erhalten bleibt, aber die exakteSelbstähnlichkeit verloren geht.[9, S. 47] Aufgrund der oben erwähnten Sachverhalteerachte ich es als sinnvoll die mathematischen Fraktale vor den Fraktalen aus der Natureingehender zu untersuchen. Diese Reihenfolge ist mit der Geschichte der Erforschungfraktaler Muster und Formen identisch. Im Folgenden werden der Cantor-Staub undder Sierpinski-Teppich eingehender behandelt und eine neue Dimension eingeführt.

17


2.1 Cantor-Staub - „Je le vois, mais je ne le crois pas“

Der Cantor-Staub, ursprünglich Cantor-Menge genannt, wurde erstmals 1883 veröf-fentlicht, und ist somit eines der frühesten Beispiele für mathematische Fraktale. SeinErfinder war GEORG CANTOR, der Vater der abstrakten Mengenlehre und der trans-finiten Mathematik.[11, S . 85] Er gilt als einer der wichtigsten Mathematiker des 19.Jahrhunderts. CANTOR sagte über seine Erfindung: „Je le vois, mais je ne le crois pas.“.[19,S. 4] Die Bezeichnung Staub anstatt Menge wurde von MANDELBROT vorgeschlagen, dafür unzusammenhängende Punktmengen mit der topologischen Dimension dtop = 0,wie die Cantor-Menge, ein umgangssprachlicher Term fehlte. Der Begriff Staub für un-zusammenhängende Mengen ist ein Gegenstück zu den Wörtern „Kurve“und „Fläche“,die zusammenhängende Mengen mit dtop = 1 bzw. dtop = 2 bezeichnen.[9, S. 90] Da derCantor-Staub neben den anderen mathematischen Fraktalen aufgrund seiner visuellenErscheinung verblasst und auch eine intuitive bildliche Interpretation wegen seinerStruktur schwierig ist, wird bei Erstkontakt oft angenommen, dass der Cantor-Staubin der Galerie der mathematischen Fraktale ein eher unwichtiges Mitglied darstellt.Diese oberflächliche Betrachtung wird während einer tiefergehenden Untersuchung derEigenschaften des Cantor-Staubs grundlegend zerstört. Tatsächlich ist man sich in derFachwelt einig, dass der Cantor-Staub das bei weitem wichtigste Objekt unter den mathe-matischen Fraktalen darstellt.[11, S. 86] Aus diesen Grund gehe ich auf die Eigenschaftendes Cantor-Staubes auch ausführlicher ein als beispielsweise auf den Sierpinki-Teppich.In den nächsten Abschnitten spreche ich über die Konstruktion des Cantor-Staubes,leite die „Staubgrösse“ her, stelle fest, dass zur Beschreibung des Cantor-Staubes einanders Zahlensystem als das Dezimalsystem vonnöten ist und, dass der Cantor-Staubeine überabzählbare Menge[2, S. 139] und somit gleichmächtig wie das Einheitsintervallist.[2, S. 51]

2.1.1 Die Konstruktion des Cantor-Staubes C

Die Ausgangsform zur Konstruktion des Cantor-Staubes bildet das Einheitsintervall[0, 1]. Auf dieser Ausgangsform, die wir von nun an Initiator[9, S. 47] nennen, wirddie Konstruktionsvorschrift: „Entferne das mittlere offene1 Drittel.“angewandt. Diesführt dazu, dass nach dem ersten Konstruktionsschritt, das offene Intervall ]1/3, 2/3[,aus dem Initiator entfernt wird, und die abgeschlossenen Intervalle [0, 1/3] und [2/3, 1]übrigbleiben. Die entstandene Lücke, das entfernte offene Intervall ]1/3, 2/3[ , wirdTrema-Generator[9, S. 88] genannt. Beim nächsten Konstruktionsschritt verkleinert manzuerst den Trema-Generator im Verhältnis 1:3, indem man ihn mit dem Skalierungs-faktor 0 < s < 1, s = 1/3, multipliziert, und tauscht anschliessend die mittlerenoffenen Drittel der Intervalle [0, 1/3] und [2/3, 1] mit ihm aus. Es bleiben die Intervalle

1 Der Begriff „offen “bedeutet, dass die Endpunkte des Intervalls nicht einbezogensind. Umgekehrte eckige Klammern kennzeichnen ein solches offenes Intervall.[5,Klappe 2] Beispiel: ]a, b[. Genaue Definitionen sind in 4.2 zu finden.

18


Abbildung 2.1: Die Konstruktion des Cantor-Staubes

[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9] und [8/9, 1] übrig, denen beim nächsten Konstruktions-schritt erneut das mittlere offene Drittel entfernt wird (siehe Abbildung 2.1). DieserProzess, Gerinnen[9, S. 88] genannt,wird fortgeführt, bis keine Intervalle mehr übrig-bleiben und nur noch eine Menge aus Punkten erhalten bleibt, die nicht miteinanderverbunden sind. Ein Kontinuum wird in ein Diskontinuum aufgelöst.

2.1.2 Länge d∞ des Cantor-Staubes C

Nach ein paar Konstruktionsstufen fällt auf, dass die Anzahl der Intervalle, bezeichnet ak

mit der Variablen ak, um den Faktor 2 ansteigt. Bei Stufe 0 ist ein einziges Intervall vor-handen, nach dem ersten Konstruktionsschritt sind bei Stufe 1 zwei Intervalle entstanden,bei Stufe 2 zählt man vier Intervalle usw. Die Anzahl der Intervalle pro Konstruktionsstu-fe ist eine geometrische Folge[13, S. 152] mit dem konstanten Faktor 2. Demnach entsprichtdie Anzahl der Intervalle bei Konstruktionsstufe k, dem Faktor 2 hoch k. ak = 2k.

Weil der Trema-Generator vor jedem Konstruktionsschritt im Verhältnis 1:3 verkleinert ek

wird, nimmt die Länge eines einzelnen Intervalls im Vergleich zur vorangehendenKonstruktionsstufe um den konstanten Faktor 1/3 ab. Die Existenz eines konstantenFaktors ermöglicht uns bei der Folge der Intervallslängen jedes Folgeglied explizit zuberechnen. Die Länge ek eines einzelnen Intervalls bei Konstruktionsstufe k ist ein Drittel

19


hoch k. ek = 3−k 2 . Man bezeichnet die Länge ek als innere Schranke[9, S. 89]. Die innereSchranke repräsentiert das grösste zusammenhängende Intervall der Stufe k .

Die innere Schranke ek gibt die Länge eines Intervalls der Konstruktionsstufe k an, wäh-dk

rend ak die Anzahl der Intervalle der Konstruktionsstufe k angibt. Um die gesamthafteLänge dk der verbleibenden Intervalle bei Stufe k zu berechnen muss man die beidenGrössen multiplizieren. Dies führt zu folgender Formel:

dk = ak · ek =(

13k

)· 2k =

(23

)k(2.1)

Aufgrund der Tatsache, dass der Cantor-Staub eine unzusammenhängende Punktmenge„Staub-grös-se“

ist, das Gerinnen solange fortgeführt wurde bis alle Intervalle vollständig aufgelöstwaren, ist ek beim Grenzobjekt gleich Null, weil ein Punkt per Definition[18, S. 28] keineAusdehnung hat. Die gesamthafte Länge der verbleibenden Intervalle d∞ ist folglichbeim Grenzobjekt auch gleich Null, da e∞ = 0, es sind keine Intervalle mehr vorhanden,deren gesamthafte Länge man angeben könnte. Diese Erklärung wird dadurch gestützt,dass die Folge 〈dk〉 beschränkt monoton fällt. Monoton fallen bedeutet, dass ein neuesFolgeglied einer Folge stets gleich gross oder kleiner als das vorhergehende ist, dieFolgeglieder genügen der Ungleichung an+1 ≤ an. Eine Folge heisst beschränkt[13, S.133], wenn es die reelle Zahl O gibt, welche die kleinste obere Schranke (=Supremum)[13, S. 392] verkörpert, so dass für alle Folgeglieder gilt an ≤ O und es die reelle ZahlU gibt, welche die grösste untere Schranke (=Infimum) [13, S. 190] verkörpert, so dassfür alle Folgeglieder gilt an ≥ U . Es existiert demnach eine obere Schranke O, die vonder Folge nicht überschritten wird, und eine untere Schranke U , die von der Folge nichtunterschritten wird. Eine Folge fällt beschränkt monoton[13, S. 137], wenn sie ihrerunteren Schranke U beliebig nahe kommt, sie jedoch nie unterschreitet. Man sagt siekonvergiert[13, S. 216] gegen U . Wenn k gegen unendlich läuft (k →∞), konvergiert dieFolge 〈dk〉 gegen Null. Dies wird formal so ausgedrückt:

limk→∞

〈dk〉 = limk→∞

(23

)k= 0 (2.2)

〈dk〉 bezeichnet man als Nullfolge[13, S. 305], da sie gegen Null konvergiert, der Grenz-wert der Folge gleich Null ist. Beim Grenzobjekt ist d∞ zwangsläufig gleich Null. Dieswird dadurch bestätigt, dass die Lückenlänge l∞( = Die Lückenlänge des Grenzobjektes)gleich Eins ist. Die Länge der Lücken lk der Konstruktionsstufe k lässt sich mit folgenderlk

Formel berechnen:

lk =13·k∑i=1

(23

)i−1

=13·

(1 +

(23

)+(

23

)2

+ · · ·+(

23

)k−1), k ∈ N∗3 (2.3)

Die Länge der neu entstandenen Lücken der Konstruktionstufe k, also diejenigen die beider vorangehenden Konstruktionsstufe noch nicht vorhanden waren, erhält man, wenn

2 ek = 3−k ist eine gleichwertige (und platzsparendere) Darstellung für ek =

(1

3

)k3 Nach DIN 5473. N wird für die nicht-negativen und N∗ für die positiven natürli-chen Zahlen, wobei die Null nicht dazuzählt, verwendet.[5, Klappe 2]

20


Abbildung 2.2: Verdeutlichung der Bildung der neu entstandenen Lückenlänge derKonstruktionsstufe k.

die gesamte Länge der verbleibenden Intervalle bei Stufe k − 1, also der vorangehendenStufe, mit dem Skalierungsfaktor s = 1/3 multipliziert wird. Abbildung 2.2 demonstriertdies. Man berechnet die Länge der neu entstandenen Lücken bei der Konstruktionsstufe

2 demnach so: d1 ·13

=(

23

)1

· 13

=29.

Die Summe der neu entstandenen Lückenlängen bis und mit Konstruktionsstufe k,

also die Reihe 1 · 13

+(

23

)1

· 13

+(

23

)2

· 13

+ · · · +(

23

)k−1

· 13

, stellt die gesamthafte

Lückenlänge lk der Stufe k dar.

Da bei dieser Reihe jedes Glied mit dem Faktor 1/3 multipliziert wird, ist es möglich,wie bei Gleichung (2.3) geschehen, 1/3 auszuklammern, so dass die geometrische Reihe13·

(1 +

(23

)+(

23

)2

+ · · ·+(

23

)k−1), k ∈ N∗ mit q =

23

ersichtlich wird. Wie

vielleicht bekannt wird der Grenzwert der geometrischen Reihe mit der Formelα1

1− qberechnet, wenn gilt |q| < 1.[5, S. 53] Bei unserer Reihe ist der Startwert α1 = 1. Es zeigtsich, dass l∞ = 1.

limk→∞

lk = limk→∞

(13·k∑i=1

(23

)i−1)

=13· 1

1− 23

=13· 1

13

=13· 3

1= 1 . (2.4)

21


Weiter oben behaupte ich, dass d∞ gleich Null ist und dies durch l∞ bestätigt wird. Dawir l∞ hergeleitet haben können wir aufgrund der Tatsache, dass die Summe der beidenGrössen lk und dk bei jeder Konstruktionsstufe k zwangsläufig Eins ergeben muss,weil nur die beiden Zustände Lücke oder Intervall möglich sind, diese Behauptungüberprüfen. Formelhaft ausgedrückt, sieht dieser Zusammenhang so aus: lk + dk = 1.Es ist mit dieser Formel kein Problem bei Kenntnis eines Grenzwertes den anderen auchauszurechnen.

limk→∞

lk + limk→∞

〈dk〉 = limk→∞

(13·k∑i=1

(23

)i−1)

+ limk→∞

(23

)k= 1 + 0 = 1 (2.5)

Hiermit ist gezeigt, dass der Cantor-Staub tatsächlich keine Ausdehnung hat, und derInitiator das Einheitsintervall, vollständig aufgelöst wird.

2.1.3 Welche Punkte bilden den Cantor-Staub C?

Man kann sich nun die Frage stellen welche Punkte des Einheitsintervalls eigentlich vordem Trema-Generator „verschont“werden und das Grenzobjekt bilden. Es ist intuitiveinleuchtend, dass die Endpunkte der Intervalle, die sogenannten Tremaendpunkte[9,S. 91], den Cantor-Staub bilden. Dieses Unterkapitel wird zeigen, dass diese intuiti-ve Auffassung nur teilweise der Wahrheit entspricht. Man kann sich sogar beinahesicher sein, dass wenn man einen Punkt aus dem Grenzobjekt herausgreift, dieser keinTremaendpunkt ist, da diese schon fast Exoten sind.[11, S. 92] Aufgrund dieser Tatsa-che wird auch ersichtlich, dass C keine abzählbare Menge4[13, S. 19] sein kann, wennnur Tremaendpunkte C bilden würden, könnte man ihre Anzahl tk mit der Formeltk = 2(k+1) klar bestimmen. Aber da Tremaendpunkte in C untervertreten sind, wirdes wohl nicht so einfach sein alle Elemente von C aufzuzählen. Der Cantor-Staub isteine überabzählbare Menge [2, S. 139], es ist nicht möglich eine vollständige Aufzählungseiner Elemente zu liefern, da bei jeder vermeintlich vollständigen Aufzählung in Formeiner Liste α1, α2, α3 · · ·mindestens ein Element von C konstruiert werden kann, dass indieser Liste nicht aufgeführt ist.[1, S. 15] Um die Frage zu beantworten, ob ein Punktdes Einheitsintervalls im Cantor-Staub enthalten ist, erweist sich unser Dezimalsystemals nicht besonders hilfreich. Mit den sogenannten triadischen Zahlen ist es allerdings einKinderspiel diese Frage zu beantworten.

Unser gebräuchlichstes Zahlensystem, das Dezimalsystem, basiert, wie man aus demTriad-ischeZahlen

Namen schliessen kann, auf der Basis Zehn. Die triadischen Zahlen basieren auf ei-nem anderen Zahlensystem, dem Ternärsystem[19, S.5]. Dieses System hat die drei alsGrundzahl und verfügt deshalb nur über die drei verschiedenen Ziffern 0, 1, 2. Eine

4 Eine Menge ist abzählbar, wenn man ihre Elemente bijektiv (siehe Fussnote 7),d.h 1:1, den natürlichen Zahlen N∗ (= ohne Null) zuordnen kann. Da Tremaenpunkteimmer rationale Zahlen sind, und diese abzählbar sind, ist auch die Menge allerEndpunkte ( = C1) abzählbar. Eine exaktere Definition findet sich in [6, S. 131].

22


Zahl z, die im Einheitsintervall liegt, wird triadisch, also im Bezug auf die Basis drei,folgendermassen dargestellt: [11, S. 90]

z = α1 · 3−1 + α2 · 3−2 + · · ·+ αi · 3−i (2.6)

Wobei i ∈ N∗ und α1, α2, α3 · · · Zahlen aus {0, 1, 2} sind. Die dezimale Zahl 2/3 stelltman beispielsweise triadisch als 0.23 dar. Im Ternärsystem, wie auch im Dezimalsystemund allen anderen Stellenwertsystemen zur Darstellung von Zahlen, ist die Darstellungeiner rationalen Zahl nicht eindeutig.[11, S. 90] Dies rührt daher, dass eine rationale Zahlzwei unterschiedliche Dezimalbruchentwicklungen besitzen kann. Die Zahl 2/5 wird 0.4 = 0.3999

dezimal meistens als 0.4 geschrieben, die Schreibweise 0.3999 für 2/5 ist allerdings auchkorrekt. Die Gleichwertigkeit der Dezimalschreibweisen 0.4 und 0.3999 für den Bruch2/5 leuchtet auf den ersten Blick nicht ein. Sie ergibt sich aus der Definition 2.1.

Definition 2.1: Zwei rationale Zahlen a und b sind nur dann verschieden, wenn es eine rationaleZahl z gibt, die zwischen ihnen liegt. Für die also a > z > b oder b > z > a gilt.

Diese Zahl z existiert in unserem Fall tatsächlich nicht, da die Folge der Neunen bei0.3999 endlos weitergeht, und somit kein „Zwischenraum“mehr für z übrigbleibt. Wennman den Grenzwert der geometrischen Reihe, welche die Neunen beim Ausdruck0.3999 bilden, berechnet, erhält man eine weitere Bestätigung für die Gleichwertigkeitder Dezimalschreibweisen 0.4 und 0.3999 für 2/5.[11, S. 176] Die triadischen Zahlenermöglichen nach [11, S. 90] folgende Definition für den Cantor Staub:

Definition 2.2: C ist die Menge der Punkte im Intervall [0, 1], für die es eine triadischeDarstellung ohne die Ziffer „1 “gibt. C = { x | x = 0.α1α2α3α4α5 . . . , αi ∈ {0, 2}}.

Da bei der Gerinnung immer die mittleren Drittel der verbleibenden Intervalle ent- C1fernt werden, leuchtet diese Definition ein. Alle Zahlen im entfernten offenen Intervall]1/3, 2/3[, besitzen in ihrer triadischen Schreibweise eine „1“, wie alle Zahlen im ent-fernten offenen Intervall ]1/9, 2/9[ die Ziffer „1“enthalten. Die rechten Tremaendpunkteder Intervalle [0, 1/3] und [0, 1/9], die ja zu C gehören, weisen in ihrer triadischen Dar-stellung allerdings auch eine „1 “auf, wie alle rechten Endpunkte, des linksten Intervallsjeder Konstruktionsstufe. Diese Tremaendpunkte sind deswegen trotzdem Elementevon C und die obige Definition nicht falsch, da es möglich ist aufgrund der erwähntenZweideutigkeit in der Darstellung mancher rationaler Zahlen, die Zahl 1/3 triadischals 0.13 oder aber als 0.02223 zu schreiben. Die erste Darstellung enthält eine „1 “undist deshalb per Definition nicht Teil des Cantor-Staubes. Weil aber eine zweite gleich-wertige Darstellung möglich ist, welche die Bedingung der Definition 2.2 erfüllt, ist1/3 ein Element von C. Es fällt auf, dass alle Tremaendpunkte über eine periodischeDezimalbruchentwicklung verfügen, ihre triadische Darstellung mit einer unendlichenFolge von „0“oder „2“endet. Man bezeichnet die Menge der Elemente von C, die übereine periodische Dezimalbruchentwicklung verfügen, mit C1.[19, S. 8]

Alle anderen Zahlen die in ihrer triadischen Darstellung eine unendliche nichtperi- C2odische Folge von „0“oder „2“aufweisen, also keine Tremaendpunkte sind, sind per

23


Definition auch Elemente von C. Man bezeichnet die Menge dieser Elemente mit C2.C2 = C1 ∩ C.[19, S. 8] C2 ist überabzählbar, also mächtiger5 als die abzählbare MengeC1. Man sagt, die Mengen C1 und C2 sind ungleichmächtig, es gilt: |C2| > |C1|.6 C besitztdie Mächtigkeit des Kontinuums. |[0, 1]| = |C|.[11, S. 94-95] Die Zahlen des Einheitsin-tervalls lassen sich bijektiv7 den Elementen von C zuordnen. Das Einheitsintervall wirdvollständig aufgelöst, allerdings bleiben in C unendlich gleichviele Punkte übrig wie zuBeginn in [0, 1] erhalten waren.

2.1.4 Die Selbstähnlichkeit des Cantor-Staubes C

Der Cantor-Staub ist exakt selbstähnlich.[19, S. 15] Die Vergrösserung des Intervalls [0,1/3] mit dem Faktor p = s−1 = 3 liefert wieder den Gesamtstaub. In jedem Intervallder Länge 3−k , das während der Konstruktion des Cantor-Staubes entsteht, ist eineverkleinerte Version von C enthalten. Der Cantor-Staub kann als eine Vereinigung vonbeliebig kleinen Mengen angesehen werden, von denen jede durch eine Vergrösserungmit dem Faktor p > 1 in das Ganze überführt werden kann. Sei γ ∈ C, so lässt sich γfolgendermassen darstellen:[11, S. 95]

γ = α1 · 3−1 + α2 · 3−2 + · · ·+ αi · 3−i, αi ∈ {0, 2} (2.7)

Aufgrund der exakten Selbstähnlichkeit finden wir für jeden Punkt der Menge C einenentsprechenden im Intervall [0, 1/3]. Alle Punkte in diesem Intervall haben gemein, dassin ihrer Tenärschreibweise die erste Ziffer nach dem Komma eine Null ist, da keine Zahlgrösser als ein Drittel ist. Eine solche Darstellung erreichen wir, indem wir γ durch 3teilen, mit 0.13 multiplizieren. Das Komma verschiebt sich um eine Stelle nach links. [11,S. 95]

γ

3= 0 · 3−1 + α1 · 3−2 + · · ·+ αi · 3−(i+1), αi ∈ {0, 2}

Ist γ/3 ein Element von C ? Sei γ = (0.202020202 · · · )3, somit ist γ/3 = (0.0202020202 · · · )3.γ/3 ist per Definition immer noch ein Element von C. Nur das Komma hat sich umeine Stelle nach links verschoben. Jeder Punkt des Cantor-Staubes, der im Intervall[0, 1/3] liegt, lässt sich bijektiv einem Element von C, das im Einheitsintervall liegt,zuordnen. Das Intervall [0, 1/3] ist demzufolge gleichmächtig wie das Einheitsintervallund der Cantor-Staub C selbst. Was ziemlich erstaunlich ist. Ein Teil des Ganzen enthältgleichviele überabzählbare Punkte derselben Unendlichkeit wie das Ganze.

5 Es gibt keine Funktion f : C1 → C2 die bijektiv ist (siehe Fussnote 7).6 Ist ein Mengensymbol zwischen zwei senkrechten Strichen eingeschlossen nehmeich in diesem Unterkapitel stets auf die Mächtigkeit dieser Menge Bezug. Im 4. Kapitelbezeichen die senkrechten Striche den Durchmesser der Menge.7 Eine Funktion f : A → B ist bijektiv, wenn es für jedes x′ ∈ B genau ein x ∈ Agibt für das f(x) = x′ gilt. Sinngemäss nach [6, S. 57].

24

2.2 Der Sierpinski-Teppich und die Selbstähnlichkeitsdimension

2.2 Der Sierpinski-Teppich und dieSelbstähnlichkeitsdimension

Der Sierpinski-Teppich, auch triadischer Sierpinksi-Teppich genannt, wurde 1916 vonWACLAW SIERPINSKI ersonnen.[11, S. 98] Es handelt sich, wie beim Cantor-Staub, umein Trema-Fraktal, da der Generator wiederum eine Lücke ist. Im Gegensatz zum Cantor-Staub ist die Limesmenge allerdings zusammenhängend, man kann von jedem beliebi-gen Punkt ausgehend, jeden Punkt der Menge erreichen, ohne diese zu verlassen.[19, S.18] Die topologische Dimension des Sierpinski-Teppich ist gleich eins.

Abbildung 2.3: Schematische Konstruktionsdarstellung der Generationen 0 bis 3 desSierpinski-Teppichs

2.2.1 Die Konstruktion des Sierpinski-Teppich S

Das Einheitsquadrat [0, 1]× [0, 1] bildet den Initiator. Man wendet auf ihn die Konstruk-tionsvorschrift „Entferne in der Mitte ein Quadrat, dessen Fläche einen Neuntel desFlächeninhalt beträgt“an. Beim ersten Konstruktionsschritt entfernt man das mittlere

25


Quadrat [1/3, 2/3] × [1/3, 2/3]. Beim zweiten Konstruktionsschritt entfernt man beiden übriggebliebenen 8 Quadraten, mit der Fläche eines Neuntels des Initiators, wiederdie mittleren Quadrate. Abbildung 2.3 verdeutlicht den Konstruktionsvorgang. BeimLimesobjekt ist die Fläche des Einheitsquadrates verschwunden, und der Gesamtum-fang seiner Löcher ist unendlich gross.[11, S. 154] Der Sierpinski-Teppich S bildet daszweidimensionale Analogon des Cantor-Staubes C. Die Diagonalen oder Mittelliniender Seiten des Sierpinski-Teppichs sind Cantor-Stäube.8 Die Punkte welche auf ihnenliegen sind genauso verteilt, also dieselben, wie in C.[11, S. 102]

2.2.2 Die Selbstähnlichkeitsdimension ds des Sierpinski-Teppichs S

Skaliert man ein Quadrat Q mit dem Faktor s, 0 < s < 1, s = 1/2, erhält man einStan-dard-objekte

Quadrat Q’ mit einer Fläche, die einem Viertel der Fläche AQ des ursprünglichen Qua-drates Q entspricht. Das neue Quadrat Q’ unterscheidet sich nur durch seine Grössevon Q, Streckenverhältnisse und Winkel sind dieselben. Q’ und Q sind demzufolgezueinander ähnlich. Q′ ∼ Q. Man benötigt vier solche kongruenter Quadrate um wie-der die Ausgangsfläche AQ zu erhalten. Diese Anzahl wird mit N, N > 1 bezeichnet.Verkleinert man einen Würfel W im Verhältnis 1:2, skaliert ihn mit dem Faktor s = 1/2,erhält man einen Würfel W’ mit einem Volumen, das einem Achtel des Volumens VWdes ursprünglichen Würfels W entspricht. Man benötigt N = 8 solcher kongruenterWürfel, die richtig angeordnet, den Ausgangswürfel W ergeben. Abbildung 2.4 illustriertdiesen Vorgang. Es existiert eine Ähnlichkeitsabbildung α, die es ermöglicht W’ in Wüberzuführen. α (W ′) = W . Die Umkehrung dieser Ähnlichkeitsabbildung, also α−1,ermöglicht es W in W’ überzuführen. Der Würfel W erfüllt demnach unsere Definitionder exakten Selbstähnlichkeit (siehe 1.3). Dasselbe gilt auch für das Quadrat. Fraktalesind demzufolge nicht die einzigen exakt selbstähnlichen Objekte. Über die topologischeDimension dtop eines exakt selbstähnlichen Standardobjektes lassen sich die Grössen Nund s verknüpfen. Mit dieser Beziehung, verfügen wir über eine einfache Möglichkeitdie Dimension eines Standardobjektes zu berechnen. [11, S. 247]

N =1

sdtop(2.8)

Die Selbstähnlichkeitsdimension ds ist ein Spezialfall der Hausdorff-Besicovitch-Dimension.Selbst-ähnlich-keits-dimen-sion ds

Sie ist nur für exakt selbstähnliche Objekte definiert und berechnet sich bedeutend schnel-ler als dhb.[19, S. 165] Hat man es mit einem exakt selbstähnlichen Objekt zu tun undmöchte man überprüfen, ob es sich bei besagtem Objekt um ein Fraktal handelt, kannman sich die mühselige Berechnung dhb’s ersparen und direkt ds ausrechnen. Verkleinertman den Sierpinski-Teppichim Verhältnis 1:3 erhält man einen verkleinerten aber voll-wertigen Sierpinski-Teppich, der einen Neuntel der Fläche des Originals abdeckt. Man

8 Die Verwandtschaft des Sierpinski-Teppichs und des Cantor-Staubes kommt nichtvon ungefähr. Analog zum Cantor-Staub ermöglichen die triadischen Zahlen folgendeDefinition: S = { x | x = ( 0.α1α2 . . . , 0.β1β2 . . . ) , αi, βi ∈ {0, 2}} .

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2.2 Der Sierpinski-Teppich und die Selbstähnlichkeitsdimension

Abbildung 2.4: Drei Standardobjekte der euklidischen Geometrie werden mit dem Ska-lierungsfaktor s = 1/2 skaliert und anschliessend mit N skalierten Kopi-en wieder zusammengesetzt. Es fällt auf dass N genau dem Kehrwertvon s in der Potenz mit einem Exponenten, dessen Wert wir intuitiv alsDimension der Standardfigur interpretieren, entspricht.

benötigtN = 8 dieser Teppiche, die richtig zusammengefügt wieder den ursprünglichenTeppich ergeben. Es existiert also eine Ähnlichkeitsabbildung, welche es ermöglichteinen Neuntel des Originals, wieder in das Original zu überführen. Dieser Neuntel gehtdurch die Umkehrung dieser Ähnlichkeitsabbildung hervor. Der Sierpinki-Teppich istnach unserer Definition exakt selbstähnlich. Wenn man die Formel 2.8 umformt kannman d berechnen:

d =logN

log1s

. (2.9)

Man erhebt zur Definition, dass jede Punktmenge, die exakt selbstähnlich ist, über eineDimension ds verfügt, die Selbstähnlichkeitsdimension genannt wird. ds muss nichtganzzahlig sein. Als einziges gilt ds > 0, da N > 1 und 0 > s > 1. ds lässt sich mit der

27


Formel 2.9 berechnen.[19, S. 15] Da der Sierpinski-Teppich mit N = 8 und s = 1/3 exaktselbstähnlich ist, kann man für ihn eine Selbstähnlichkeitsdimension berechnen:

ds =log 8log 3

≈ 1.8928 .

Oder allgemeiner mit N = 8k und s = (1/3)k, wobei k die Konstruktionsstufe bezeich-net,

ds =k · log 8k · log 3

≈ 1.8928 .

Wendet man diese Formel auf exakt selbstähnliche Figuren wie Quadrat, Rechteck,Würfel etc. an, erhält man immer eine ganzzahlige Selbstähnlichkeitsdimension, welcheihren topologischen Dimensionen entsprechen.[11, S. 249] Man erinnere sich nun an dieDefinition der fraktalen Menge, die besagt, dass deren Hausdorff-Besicovitch-Dimensionderen topologische Dimension übersteigen muss, also gilt: dhb > dtop. Nach dieserDefinition sind die Standardobjekte Quadrat, Rechteck und Würfel keine Fraktale!Wenn die Selbstähnlichkeitsdimension eines exakt selbstähnlichen Objektes jedochnicht ganzzahlig ist und dessen topologische Dimension übersteigt, handelt es sich beibesagtem Objekt um ein Fraktal. Der umgekehrte Schluss, dass jedes Fraktal über einenichtganzzahlige Dimension verfügt, ist jedoch nicht korrekt. Die Spur der BrownschenBewegung (siehe Abbildung 2.5) ist ein Fraktal, obwohl ihre Selbstähnlichkeitsdimensionganzzahlig ist. Es gilt ds = 2, aber dtop = 1, da 2 > 1 handelt es sich um ein Fraktal.[9, S.27]

Abbildung 2.5: Man sieht die Spur der Brownschen Bewegung eines Teilchens, dessenPosition alle 30 Sekunden markiert und durch Linien verbunden wurde.Die Gesamtlänge der Spur würde unbegrenzt anwachsen, wenn siezunehmend genau, also in kürzeren Zeitabständen, erfasst würde. Dievergrösserten Teilabschnitte der Spur haben dieselbe komplizierte Formwie die Gesamtspur und sind ihr in einem gewissen Sinne ähnlich. DieAbbildung wurde [9, S. 25] entnommen

28

3 Natürliche Fraktale

Alles was zählte spielte sich auf der sich auflösenden Linie zwischen Land und Wasser ab,mit der Folge einer bis an die Grenzen des Fasslichen schwellenden wirklichen Länge.

VOLKER ERBES, (15, S.2)

3.1 Küstenlinien - Fraktale Kurven unendlicher Länge

In diesem Unterkapitel werden wir die Küstenlinie von Grossbritannien auf einer Kartemit einem Zirkel vermessen und sie somit mittels eines Polygonzuges approximieren.Es werden Messungen mit verschiedenen Zirkeleinstellungen durchgeführt und ansch-liessend die Längen der ermittelten Polygonzüge verglichen. Die Messwerte zu diesemBeispiel wurden „Fraktale - Bausteine des Chaos“[11, S. 234] entnommen. In 3.2 stelle icheinige weitere Anwendungen der fraktalen Geometrie auf die Natur und auch die Kunstvor.

Will man die Länge der Küstenlinie von Grossbritannien bestimmen, bleibt einem nichts Zirkel-metho-de

anderes übrig als sie zu Vermessen. Im Gegensatz zu mathematischen Objekten, wiebeispielsweise dem Kreis, existieren keine Formeln, die eine exakte Berechnung derLänge ermöglichen. Es gibt eine Vielfalt alternativer Messmethoden, deren gemesseneLängen voneinander abweichen.[9, S. 37] Ich entscheide mich für die Zirkelmethode zurVermessung. Man wählt eine konstante Zirkellänge λ, die Eichlänge[9, S. 37], und stichtmit ihr die Küstenlinie ab. Der Startpunkt auf der Küstenlinie ist frei, von ihm trägtman die Länge λ ab, und steckt den Zirkel beim Schnittpunkt der Küstenlinie undder abgetragenen Länge wieder ein und fährt mit der Prozedur fort bis der Startpunkterreicht wird. Bei mehreren Messungen mit verschiedenen Zirkellängen ist zu beachten,dass man immer denselben Startpunkt wählt und immer in derselben Richtung gegenoder mit dem Uhrzeigersinn misst. Die Länge des sich ergebenden Polygonzuges L(λ)entspricht der Anzahl Zirkellängen N multipliziert mit der Zirkellänge λ. L(λ) = λ ·N .In Tabelle 3.1 sind die Resultate von vier Messungen mit unterschiedlichen Zirkellängenverzeichnet.

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Abbildung 3.1: Vier gemmessene Küstenlängen L(λ) in Abhängigkeit der verwendetenEichlänge λ grafisch dargestellt. Die Linien deuten an wie die Funktion,die L(λ) über λ beschreiben würde, ungefähr aussehen müsste.

Eichlänge λ in Kilometern Länge des Polygonzuges L(λ) in Kilometern500 2600100 380054 577017 8640

Tabelle 3.1: Küstenlänge Grossbritanniens gemessen nach der Zirkelmethode mit vierverschiedenen Zirkellängen.

Es fällt auf, dass die gemessene Küstenlinie stark vom verwendeten λ abhängt. Umsokleiner λ wird, desto grössser wir L(λ) und die Zunahme wir immer stärker je näher λNull kommt. Stellt man die Funktion L(λ) über λ graphisch dar (siehe Abbildung 3.1),erkennt man, dass die Beziehung zwischen λ und L(λ) nicht linear ist.

Eine Gesetzmässigkeit zwischen L(λ)und λ auszumachen, erweist sich im ersten Mo-ment mit Abbildung 3.1 als schwierig. Es könnte sich um eine Potenzfunktion handeln.Träfe dies zu gäbe es eine gesetzmässige Verbindung in Form eines Potenzgesetzes.[11,S. 237-239]

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3.1 Küstenlinien - Fraktale Kurven unendlicher Länge

Vermuten Physiker zwischen dem Messergebnis y das in Abhängigkeit von x gemessen Potenz-gesetzwurde eine gesetzmässige Beziehung der Form

y = f · xm, (3.1)

schauen sie sich nicht das Schaubild y über x an, sondern betrachten den Graphenlog(y) über log(x).[19, S. 148] Falls sich eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt f ergibt, beschreibt die Gleichung 3.1 die Beziehung zwischen y und xkorrekt. Dies ist so, weil sich jede Gerade in einem doppeltlogarithmischen Graphen(log(y) über log(x)) als lineare Gleichung der Form

log(y) = log(f) +m · log(x) (3.2)

schreiben lässt. Die Gleichung 3.2 ist nichts anderes als eine auf beiden Seiten logarith-mierte Gleichung 3.1. Lässt sich die Funktion log(y) über log(x) als lineare Gleichung 3.2schreiben, beschreibt die Gleichung 3.1 die Funktion y über x. Man nennt ein solches Ge-setz Potenzgesetz, weil sich y wie eine Potenz von x verändert, die mit einem konstantenFaktor f multipliziert wird.[11, S. 237]

Um zu erkennen ob es sich bei L(λ) über λ um eine Potenzfunktion handelt, schauenwir uns das Schaubild log(L(λ)) über log(λ) an. Siehe Abbildung 3.2

Die Punkte fallen in etwa auf eine gerade Linie. Aufgrund der Eigenart der Messungen Zirkel-dimen-sion

kann man jedoch nicht erwarten, dass sie exakt auf einer Geraden zu liegen kommen.Man behilft sich mit einer Ausgleichsgeraden, die optimal zwischen die Punkte gelegtwird.[11, S.236] Die Beziehung zwischen log(L(λ)) und log(λ) ist linear. Die Punkte lie-gen auf einer Geraden, die durch die lineare Gleichung 3.2 beschrieben wird. m beträgtungefähr -0.36 und log(f) näherungsweise 4.3666.[11, S. 236] Kehrt man den Logarith-mus um, erhält man die Gleichung für die Potenzfunktion, welche L(λ) in Abhängigkeitvon λ beschreibt. Die Grösse des Exponenten m hängt von der gewählten Küstenlinie ab,ist jedoch unabhängig von der Methode die zur Bestimmung der Küstenlänge verwendetwurde.[9, S. 42] Bei exakt selbstähnlichen Kurven, wie z.B der Koch-Kurve, deren Längeman mit der „Zirkelmethode“bestimmt, gilt m = 1− ds.[9, S.45] Dieser Zusammenhangwird auf nichtselbstähnliche, irreguläre Mengen ausgeweitet und als Zirkeldimension dzdefiniert. Für die nach [19, S. 149] gilt:

dz = 1−m (3.3)

wobei m wie bisher die Steigung der Ausgleichsgeraden im doppeltlogarithmischen Dia-gramm der Gesamtlänge L(λ) über der Eichlänge λ ist und deshalb gilt, m ≤ 0. dz kannals Mass für die Zerknittertheit einer Kurve gedeutet werden. Ist dz nahe bei Eins, handeltes sich um eine fast gerade Kurve, die über keine Knicke verfügt. Umso näher dz Zweikommt, desto zerknitterter und rauer wird die Kurve, misst man ihr den Wert Zwei bei,handelt es sich um eine ebenfüllende Kurve[9, S.70-71].

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Abbildung 3.2: Unsere vier Messergebnisse L(λ) in einem doppeltlogarithmischen Dia-gramm dargestellt. Die Gerade wurde mit der Methode der kleinsten Qua-drate von GAUSS optimal zwischen die Punkte gelegt. Wie immer wirdaus Platzgründen nicht darauf eingegangen, da es zu sehr vom Haupt-thema wegführen würde.

3.2 Weitere Fraktale

Ist man einmal mit dem Konzept der Fraktale vertraut, entdeckt man überall fraktaleMuster und Formen. Sogar im Œuvre des abstrakten Expressionisten JACKSON POL-LOCK lässt sich anhand des Anstiegs der fraktalen Dimension (genauer: der Boxcounting-Dimension), die man seinen einzelnen Werken zuschreibt, feststellen, dass er im Laufeseines Schaffens seine Maltechnik immerfort verfeinerte und vom Linienhaften ins Eben-füllende überging. Betrug dbox 1943 zu Beginn seiner Karriere nahezu 1 stieg sie biszum Jahr 1952 auf 1.72 an.[17] Die Boxcounting-Dimension[11, S. 256-260] wird ähnlichberechnet wie die Zirkeldimension. Man überdeckt ein Objekt mit einem gleichmässigenRaster und zählt die Felder, welche das Objekt enthalten, schreibt deren Anzahl auf, ver-feinert das Raster, zählt wiederum die Felder, die vom Objekt getroffen werden, schreibtderen Anzahl auf usw. Schlussendlich überträgt man die Daten in ein doppeltlogarith-misches Diagramm und berechnet, falls sich ein linearer Graph ergibt, dessen Steigung.Doch nicht nur in der Kunst finden sich Fraktale, auch bei der Beschreibung der Durch-schlagsfestigkeit (engl. Dielectric Breakdown) von festen, flüssigen und sogar gasförmigenIsolatoren erweisen sich die Methoden der fraktale Geometrie als hilfreich.[10]

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4 Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension

To see a world in a grain of sand, and a heaven in a wild flower,hold infinity in the palm of your hand, and Eternity in an hour.

WILLIAM BLAKE, 1917, (26)

Manche mögen sich, trotz gelesener Übersicht immernoch fragen: „Ist die Hausdorff-Besicovitch-Dimension mit einem eigenen Kapitel nicht unverhältnismässig stark ge-wichtet? Passt sie überhaupt in eine Arbeit dieses Umfangs? Täte der Autor nicht besserdaran auf einige Eigenschaften spezifischer Fraktale mehr einzugehen?“

Ich bin fester Überzeugung, dass es sinnvoller ist, wenn ich die Hausdorff-Besicovitch-Dimension kurz thematisiere, anstatt wie schon hunderte vor mir an dieser Stelle dieLänge der Koch-Kurve zu berechnen. Ich versuche in diesem Kapitel eine exakte Defini-tion zu geben, verzichte allerdings aus Platzgründen darauf, jede Einzelheit ausführlichzu thematisieren. Für den geneigten Leser, der das Thema vertiefen möchte, verweiseich auf Kapitel X in H. ZEITLER, D. PAGON: Fraktale Geometrie: Eine Einführung. ZumAufbau: Zuerst steht eine kurze Zusammenfassung, wie man bei der Berechnung vondhb vorgeht. Sie vereinfacht stark und ist alles andere als mathematisch streng. Ich willdamit eine erste Ahnung geben, womit man es zu tun bekommt. Anschliessend werdeneinige Begriffe eingeführt, und schlussendlich definiere ich die Hausdorff-Besicovitch-Dimension. Ich empfehle nach erstmaligen Durchlesen, das Beispiel in 4.4 anzuschauen.Wenn man die ganze Sache angewendet sieht wird sicherlich vieles klarer werden.

4.1 Die Idee hinter der Hausdorff-Besicovitch-Dimension

dhb basiert auf einer Arbeit FELIX HAUSDORFFs des Jahres 1919 und einer Erweite-rung ABRAM SAMOILOVITCH BESICOVITCHs. Sie wurde mit der Absicht entwickelt, dieVorkenntnisse (a priori Wissen) über die Dimension einer Standardfigur überflüssig zumachen.[9, S. 377] Man überdeckt eine Standardfigur Y ⊂ Rn unbekannter Dimensionmit frei wählbaren Mengen Ui, sodass gilt: Y ⊆ ∪Ui. Erhebt den Durchmesser |Ui| jederMenge in die d-te Potenz und bildet die Summe

∑|Ui|d . Da die Mengen frei wählbar

sind, gibt es unendlich viele Überdeckungsmöglichkeiten, für die alle gilt: Y ⊆ ∪Ui.Es existieren also auch unendlich viele Summen

∑|Ui|d. Unter diesen wählt man die

kleinste aus. Formal schreibt man nach [19, S. 161]: min {∑|Ui|d}. Als nächstes berechnet

man den Grenzwert der Summe∑|Ui|d, wenn der Durchmesser |Ui| gegen Null geht,

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lim|Ui|→0

∑|Ui|d, mit verschiedenen ganzzahligen d’s. Falls bei d = 3, der Grenzwert

gleich Null ist und bei d = 1 der Grenzwert unendlich beträgt, kann es sich nur umeine zweidimensionale Standardfigur handeln. Weil einzig eine zweidimensionale Stan-dardfigur kein Volumen hat und über eine unendliche Länge verfügt. Die auf diese Artberechnete Dimension stimmt mit der topologischen Dimension der Standardfigur über-ein. ABRAM SAMOILOVITCH BESICOVITCH erweiterte die Überlegungen HAUSDORFFsfür den Fall, dass man keine Standardfigur überdecken will, auf nichtganzzahlige d’s.[9,S. 42, S. 377]


Im Folgenden werden die Begriffe Metrik, metrischer Raum, beschränkte Punktmenge, Durch-messer |U | und ε-Überdeckung definiert. All diese Definitionen sind zum Verständnis dhb’sunerlässlich. Die Definition des Häufungspunktes, der Abgeschlossenheit, der Perfektheitund der Kompaktheit stehen mit dhb nicht in direkten Zusammenhang. Sie wurden den-noch aufgenommen, weil sie weiter oben verwendet wurden ohne definiert zu sein undsie bei den folgenden Beispielen wiederum eine Rolle spielen werden.

Metrik

Eine Abbildung d : X × X → [0,∞), die für jedes Paar von Elementen x, x′ ∈ Xirgendeiner Menge X eine nichtnegative Zahl d (x, x′) berechnet, wird nach [1, S. 90]Metrik genannt, falls sie folgende Bedingungen erfüllt:

K Koinzidenz: d (x, x′) = 0⇔ x = x′ Die Zahl d (x, x′)ist dann und nur dann gleichNull, wenn x und x′ gleich sind. Mit anderen Worten: sie das gleiche Element derMenge X bezeichnen. Für allex, x′ ∈ X

L Symmetrie: d (x, x′) = d (x′, x) Die Zahl d (x, x′) ist gleichgross wie die Zahld (x′, x) für allex, x′ ∈ X .

M Dreiecksungleichung: d (x, x′) + d (x′, x′′) ≥ d (x, x′′) , für alle x, x′, x′′ ∈ X

Metrischer Raum (X, d)

Eine Menge X , die aus beliebig gewählten Elementen bestehen kann, zusammen miteiner darauf definierten Metrik d : X × X → [0,∞), welche den oben genanntenBedingungen genügt, bezeichnet man nach [1, S. 90] als metrischen Raum (X, d). DieElemente der Menge X werden Punkte genannt. Die nichtnegative Zahl d (x, x′) heisstDistanz[19, S. 12] zwischen den Punkten x und x′. Alle folgenden Definitionen gehenvon einem metrischen Raum (X, d) aus. Es gilt U ⊂ X und Y ⊂ X , wobei U immer

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eine beschränkte Menge bezeichnet, die eine Teilmenge der beschränkten Menge Y ist.U ⊂ Y . Der euklidische Raum (E, d) ist wohl der bekannteste metrische Raum. Fürdessen Metrik d gilt nach [11, S. 262]:

d(x, x′

):=

√√√√ n∑i=1

(xi − x′i)2 wobei n ∈ N . (4.1)

Beschränkte Punktmenge U

Die Menge U heisst nach [19, S. 12] beschränkt, wenn es p ∈ U mit einem 0 < r <∞ gibt,so dass für alle x ∈ U gilt: d(p, x) < r. U ist in eine Kugel mit Mittelpunkt p und Radiusr eingebettet.

Durchmesser |U| der beschränkten Menge U

Ist die Menge U beschränkt definiert man den Durchmessser |U | als des Maximum jezweier Punkte von U . max { d(x, x′) | für alle x, x′ ∈ U } . |U | ist die grösstmöglicheDistanz zweier Punkte in U .[19, S. 152]

Überdeckung einer Teilmenge Y des Metrischen Raumes (X, d)

Gegeben sei eine beschränkte Punktmenge Y in einem metrischen Raum (X, d). Sei{U1, U2, · · · , Ui} eine endliche Auswahl von Mengen, deren Durchmesser höchstens ε ∈R+ beträgt. Wenn Y von {U1, U2, · · · , Ui} überdeckt wird, also gilt: Y ⊆ ∪Ui, wobei |Ui| ≤ε, heisst {U1, U2, · · · , Ui} ε-Überdeckung von Y .[19, S. 161]. Falls gilt:|Ui|< ε spricht mannach [7, S. 52] von einer offenen ε-Überdeckung.

Häufungspunkt von Y

Ein Punkt x eines metrischen Raumes heisst nach [19, S. 15] Häufungspunkt einer MengeY ⊆ X , wenn in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes x ein Punkt x′ ∈Y mit x′ 6= x existiert. Das offene Einheitsintervall (0, 1) hat neben all den Punkten xfür die gilt: x ∈ (0, 1), die Punkte 1 und 0 als Häufungspunkte, weil in jeder beliebigkleinen Umgebung von 0 und 1 Punkte des offenen Einheitsintervalls liegen.

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Abgeschlossenheit von Y

Gehört jeder Häufungspunkt x der Menge Y zu Y , x ∈ Y , wird Y abgeschlossen ge-nannt. Das offene Einheitsintervall (0, 1) ist demzufolge nicht abgeschlosssen, dassEinheitsintervall [0, 1] hingegen schon. [19, S. 15]

Perfektheit und Kompaktheit von Y

Ist eine Menge Y abgeschlossen, und jeder Punkt x ∈ Y ausserdem noch ein Häu-fungspunkt von Y , wird Y als perfekt bezeichnet. Das abgeschlossene Einheitsintervall[0, 1] ist folglich eine perfekte Menge. Alle Häufungspunkte gehören dazu und jederPunkt ∈ [0, 1] ist ein Häufungspunkt . Wenn eine Menge Y perfekt und beschränkt istverwendet man den Begriff kompakt. [19, S. 15]

4.3 Von Hdε (Y ) über Hd (Y ) zu dhb (Y )

Sei Y eine beschränkte Menge in einem metrischen Raum (X, d). Diese Menge Y wirdHdε (Y )

mit einer ε-Überdeckung überdeckt. Die Mengen U können beliebig gewählt werden.Sie müssen nicht denselben Durchmesser |U | haben, auch nicht diesselbe „Form“oderanderweitige Gemeinsamkeiten sind von Nöten.[19, S. 161] Die Abbildung 4.1 zeigt einemögliche ε-Überdeckung der Menge Y . Es sind viele andere ε-Überdeckungen denkbar.Für jede ε-Überdeckung betrachtet man die Summe ihrer zur d-ten Potenz erhobenenDurchmesser. Formal:

∑|Ui|d, wobei d eine nichtnegative reele Zahl ist. Eine solche

Summe nennt man verallgemeinerte Überdeckungsfläche[19, S. 161]. Es gibt unendlich vieleε-Überdeckungen, folglich auch unendlich viele Zahlen

∑|Ui|d. Unter ihnen wählt man

die kleinste aus und bezeichnet sie mitHdε (Y ). Also gilt nach [19, S. 161]:

Hdε (Y ) := min {

∑|Ui|d | Y ⊆ ∪Ui und |Ui| ≤ ε }. (4.2)

Hdε (Y ) ist die minimalste Überdeckungsfläche einer gegebenen Menge Y . Falls es ein ε′

gibt das kleiner ist als ε gilt:Hdε′ (Y ) ≥ Hd

ε (Y ). Bei abnehmenden Durchmesser |Ui|, alsoauch bei kleinerwerdenden ε, wirdHd

ε (Y ) nicht mehr kleiner, da es schon minimal istund deshalb keine kleineren Zahlen

∑|Ui|d mehr möglich sind. [19, S. 161]

Lässt man ε gegen Null laufen vergrössert sichHdε und konvergiert gegen einen Grenz-Hd (Y )

wert für den gilt: Grenzwert ∈ [0, ∞]1. [11, S. 262-263]Hdε vergössert sich bei kleinerwer-

denden ε, weil früher oder später ein ε′ erreicht wird, für das gilt ε′ < ε . Wie wir weiter

1 Wenn ich über einen Grenzwert spreche der∞ beträgt ist dies eine Konventiondafür, dass kein Grenzwert exisitiert, der Limes über alle Grenzen wächst, also insunendliche driftet.

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4.3 Von Hde(Y) über Hd(Y) zu dhb(Y)

Abbildung 4.1: Eine mögliche ε-Überdeckung der hellblau dargestellten Menge Y . Es istbei weitem nicht die einzig Mögliche. Viel bizarrere und kompliziertereKonstrukte wären denkbar.

oben geshen haben hat ein ε′, welches kleiner ist als das ε der minimalsten Überdeckungs-fläche, zur Folge, dass gilt:Hd

ε′ (Y ) ≥ Hdε (Y ). Die ZahlHd

ε kann bei kleinerwerdenden ε,also bei abnehmenden Durchmesser |Ui|, nicht mehr kleiner werden, da sie bereits diekleinste Zahl unter allen möglichen Zahlen

∑|Ui|d ist. Für jedes ε′′ das kleiner ist als

ε′, gilt wiederum: ε′′ < ε und folglichHdε′′ (Y ) ≥ Hd

ε (Y ). Der Grenzwert gegen den dieZahlHd

ε (Y ) bei ε→ 0 konvergiert bezeichnet man nach [19, S. 162] mitHd (Y ).

Hd (Y ) := limε→ 0

Hdε (Y ), wobei d eine nichtnegative reele Zahl ist. (4.3)

Man nenntHd (Y ) das d-dimensionale Hausdorff-Mass[11, S. 262] von Y . Was für WertekannHd (Y ) annehmen? Die ZahlHd (Y ) ist vom gewählten d abhängig. Gibt es eine dhb (Y)

Zahl d′ die grösser ist als d gilt:Hd′ε (Y ) ≤ Hd

ε (Y ).[19, S. 162] Bei zunehmenden d kannHdε (Y ) nicht wachsen. Wenn d > d′ und Hd (Y ) > 0 gilt weiter: Hd′ (Y ) = ∞.[19, S.

163] Mit diesen Beziehungn kann man beweisen, dass es ein dhb (Y ) gibt, so dass nach[11, S. 263] gilt:

Hd (Y ) =

{∞ für d < dhb (Y )0 für d > dhb (Y ) .

(4.4)

Satz 4.1: Wenn für einen Wert dhb > 0 giltHdhb (Y ) > 0, dann folgtHd (Y ) =∞ für d < dhbundHd (Y ) = 0 für d > dhb. [19, S. 163]

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4.4 Die Hausdorff-Besicovitch Dimension desSierpinski-Teppich S

In diesem Kapitels berechne ich die Hausdorff-Besicovitch-Dimension dhb des Sierpinski-Teppichs. S ist eine kompakte Teilmenge des metrischen Raumes (E, d) und exaktselbstähnlich mit s = 1/3 und N = 8. Es ist sinnvoll sich diese exakte Selbstähnlichkeitdienlich zu machen und für die ε-Überdeckung zueinander kongruente Teilmengen vonS zu benutzen. Diese Teilmengen entstehen wenn man S mit dem Skalierungsfaktor s inder k-ten Potenz multipliziert. Wobei k die Konstruktionsstufe bezeichnet. Man benötigtNk solcher Teilmengen um, wenn richtig angeordnet, wieder den Sierpinski-Teppich zuerhalten. Es gilt im ersten Schritt, wenn k = 1:

S =N⋃i=1

Ui (4.5)

Ich wähle zur Überdeckung von S Quadrate mit der Seitenlänge a · 3−k. a ist die Sei-Über-deck-ung

tenlänge des Initiators und es gilt a > 0. Der Durchmesser |Ui| eines solchen Quadrates,also max { d(x, x′) | für alle x, x′ ∈ U }, berechnet sich mit a · 3−k · f , wobei f =

√2.

Die Summe∑|Ui|d, lässt sich in der Form

∑3−(k·d) ·

(√2 a)d

schreiben, und da alle Uizueinander kongruent sind, folglich die Durchmesser |Ui| der k-ten Stufe alle dieselbeGrösse haben, kann man den Ausdruck weiter in 8k · 3−(k·d) · (

√2 a)d umformen. 8k ist

nichts Weiteres als Nk, die Anzahl der zur vollständigen Überdeckung erforderlichenQuadrate. Die Überdeckung ist wegen Gleichung (4.5) minimal, die k-te Potenz ändertdaran nichts. Folglich gilt:

Hdε (S) = 8k · 13k·d· (√

2 a)d. (4.6)

Übergang zum Hausdorff d-Mass:

Hd(S) = limε→0Hdε (S) = lim

k→∞

((83d

)k·(√

2 a)d)

. (4.7)

ε → 0 kommt zustande, wenn k → ∞. Der Ausdruck 3−(k·d) · (√

2 a)d, der für denDurchmesser |Ui| der k-ten Stufe steht, wird bei grösser werdenden k immer kleiner.

Das Verhalten vonHd(S) hängt von der Grösse des Ausdrucks(

83d

)ab. Es gibt folgendeDrei

Fälledrei Möglichkeiten:

^ Kleiner als Eins: Ist er kleiner als Eins geht er bei k →∞ gegen Null und zieht dengesamten Limes mit, so dass dieser gegen Null konvergiert.

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4.4 Die Hausdorff-Besicovitch Dimension des Sierpinski-Teppich

Abbildung 4.2: Die FunktionHd (S) über d für den Sierpinski-Teppich. dhb liegt genaubei dem d, an dem der Sprung des y-Wertes∞ zu 0 stattfindet.

_ Gleich Eins: Bei einer Gleichheit mit Eins nimmt der Limes den Wert(√

2 a)d

an.

` Grösser als Eins: Wenn er grösser als Eins ist strebt der Ausdruck bei k →∞ gegenunendlich. Der Limes wird mitgezogen und wächst über alle Grenzen.

Welcher der obigen Fälle eintritt wird von der Grösse d’s bestimmt:

^ 1 >(

83d

), d >

log 8log 3

⇒ Hd(S) = 0 ,

_ 1 =(

83d

), d =

log 8log 3

⇒ Hd(S) =(√

2 a)d

,

` 1 <(

83d

), d <

log 8log 3

⇒ Hd(S) =∞ .

Die FunktionHd(S) über d hat an der Stelle d =log 8log 3

eine Unstetigkeitsstelle[8, S. 316-317].

Genauer ist die Stelle d =log 8log 3

beiderseitig unstetig[23]. Sowohl direkt links von d als auch

direkt rechts von d liegt ein Sprung. Siehe Abbildung 4.2 . Die Hausdorff-Besicovitch- dhb

39


Dimension lässt sich mit den Begriffen der grössten unteren Schranke (=Infimum) undder kleinsten oberen Schranke(=Supremum) nach [14] folgendermassen definieren:2

dhb (Y ) := inf { d ≥ 0 | Hd(Y ) = 0 } = sup { d ≥ 0 | Hd(Y ) =∞ } (4.8)

Anhand des Schaubildes Hd(S) über dhb sieht man, dass nur d =log 8log 3

der Gleichung

4.8 genügt. Folglich gilt:

dhb (S) =log 8log 3

≈ 1.8928 .

Wenn man nach 2.2.2 zurückblättert sieht man dort, dass für den Sierpinski-Teppich be-ds =

dhb? reits einmal eine Dimension ausgerechnet wurde. Wir berechneten in bedeutend kürzererZeit die Selbstähnlichkeitsdimension ds . Wie man sieht, stimmen die Zahlenwerte vonds (S) und dhb (S) exakt überein. Diese Gleichheit führt zu folgender Frage: „Stimmendie Zahlenwerte der Hausdorff-Besicovitch-Dimension und der Selbstähnlichkeitsdi-mension bei allen exakt selbstähnlichen Punktmengen überein?“ Erfreulicherweise istdem tatsächlich so. Im nächsten Unterkapitel gebe ich den Beweis dafür.

4.5 Sind dhb(G) und ds(G) gleichwertig?

In diesem Unterkapitel beweise ich den Satz 4.2.

Satz 4.2: Für alle Punktmengen G die per Definition 1.4 exakt selbstähnlich sind, gilt ds(G) =dhb(G).

Die Idee zum Beweis des Satzes 4.2 kam mir während der Lektüre des Kapitels X desEinführ-endeWorte

Buches „Fraktale Geometrie: Eine Einführung“. Dort steht die Beziehung ds(G) = dhb(G),für exakt selbstähnliche Punktmengen G, als Satz ohne Beweis. Der Leser wird im Buchdazu aufgefordert diesen Satz selbst zu beweisen. Man findet im ganzen Buch denBeweis nicht, auch keine konkreten Tipps werden gegeben. Stattdessen wird auf dieeinschlägige Literatur verwiesen. Den folgenden Beweis fand ich ohne fremde Hilfe,auch las ich ihn nicht zuvor in der einschlägigen Literatur nach, deren Beschaffungohnehin mit gewissen Schwierigkeiten verbunden gewesen wäre. 3

2 Die Gleichung (4.8) definiert dhb genau gleich wie der Satz 4.1 und Gleichung(4.4). Wenn Sie mit den Begriffen nicht vertraut sind ist dies nicht weiter tragisch, daman anhand des Schaubildes 4.2 eine gute Vorstellung von der kleinsten oberen (=Supremum) und grössten unteren (= Infimum) Schranke bekommt. Gleichung (4.8)zeigt nichts anderes als, dass dhb von zwei Seiten her anngehnähert wird und dasSupremum vonHd(Y ) =∞ und gleichzeitig das Infimum vonHd(Y ) = 0 verkörpert.3 Schlussendlich habe ich das Buch „Measure, Topology and Fractal Geometry“trotzdemorganisiert. Jeder der das Buch kennt wird aber weiterhin nicht bestreiten, dass mein„Beweis“zu jener Zeit entstand, als sich das Buch noch nicht in meinem Bücherregalbefand.

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Zum Beweis des Satzes 4.2 sind einige Vorbereitungen von Nöten. Lesen Sie als erstes Vorbereit-ungendie Definition in 1.4, 4.2 und 4.3, wie auch die Punkte ¶ – ¹ genau durch.

¶ Da G als Voraussetzung exakt selbstähnlich (siehe 1.4) sein soll, handelt es sichbei G um eine kompakte Menge. Eine Menge heisst kompakt wenn sie perfekt undbeschränkt ist. Also ist G auch beschränkt und liegt ausserdem nach Definition ineinem metrischen Raum (X, d). Somit lässt sichHdε (G) nach Satz 4.1 berechnen.

· G lässt sich in N > 1, bis auf die Randelemente paarweise disjunkte, kongruenteTeilmengen Gi, i ∈ {1, 2, · · · , N}, zerlegen. Es gilt folglich im ersten Schritt,wenn k = 1:

G =N⋃i=1

Gi .

¸ Weil alleGi zueinander kongruent sind, haben alle Durchmesser |Gi| dieselbe Grös-se. Deren Summe lässt sich als Produkt mit den Faktoren |Gi|d und N schreiben.N bezeichnet die Anzahl, der in der ersten Konstruktionsstufe (k = 1) zur d-tenPotenz erhobenen zueinander kongruenten Teilmengen Gi, deren Vereinigung Gbildet. ∑

|Gi|d = |G1|d + |G2|d + · · ·+ |Gi|d = N · |Gi|d .

Man kennt N bereits, weil G exakt selbstähnlich ist. Die Anzahl der Durchmesserder k-ten Generation ist gleich Nk.

¹ Der Durchmesser |Gi| bezeichnet den grössten Abstand zweier Punkte in einerbeschränkten Punktmenge Gi. Es gilt: |Gi| = max { d(x, y) | für alle x, y ∈ Gi } .Ein |Gi| der ersten Stufe lässt sich als Produkt mit den Faktoren 1 > s > 0, a > 0,und f > 0 schreiben, |Gi| = s · a · f . Den Skalierungsfaktor s kennen wir, weil Gexakt selbstähnlich ist. a ermöglicht eine beliebige Länge zu wählen, die wir mit sverkleinern und da wir die geometrische Form unserer beschränkten zueinanderkongruenten Punktmengen Gi, z.B gleichseitiges Dreieck oder Quadrat, kennen,können wir mit f den grösstmöglichen Abstand zweier Punkte innerhalb einersolchen Menge berechnen. berechnen. Wie beispielsweise in 4.4 mit f =

√2 .

Jetzt erheben wir s in die k-te Potenz und können somit den Durchmesser jederPunktmenge Gi in der k-ten Generation berechnen.4

|Gi| = sk · a · f .

Nun haben wir alles, was wir für den Beweis ds(G) = dhb(G) brauchen werden.

4 Ich verzichte darauf bei |Gi| mittels eines Indexes die Konstruktionsstufe k zuvermerken. Es ist aus dem Text immer ersichtlich ob ich über ein |Gi| der ersten Stufeoder ein |Gi| der k-ten Stufe spreche.

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¶ erlaubt esHdε (G) zu berechnen. Aus · folgt, dass die Überdeckung von G minimal ist,Beweisweil die Vereinigung der zueinander kongruenten Teilmengen Gi der Stufe k = 1 gleichder Menge G ist. Man findet keine feinere Überdeckung von G, da ja ∪Gi schon gleichG ist. Das gesuchte Minimum nach Gleichung (4.2) ist folglich gleich

∑|Gi|d und es gilt

vereinfacht mit ¸:

Hdε (G) =∑|Gi|d = N · |Gi|d, wobei |Gi| ≤ ε . (4.9)

N · |Gi|d lässt sich als N · (s · a · f)d schreiben. Wenn der Durchmesser |Gi| kleiner wird,benötigt man mehr kongruente Teilmengen um G zu überdecken. Folglich nimmt derenAnzahl N mit sinkenden Durchmessern |Gi| zu und berechnet sich bei Konstruktions-stufe k mit Nk. Nach ¹ gilt nun für die k-te Stufe:

Hdε (G) = Nk ·(sk · a · f

)d= Nk · sk·d · (a · f)d .

Übergang zum Hausdorff d-Mass:

Hd(G) = limε→0Hdε (G) = lim

k→∞

(N · sd

)k· (a · f)d . (4.10)

ε → 0 kommt zustande, wenn k → ∞. Weil somit der Ausdruck(sk · a · f

)d , der fürden Durchmessser |Gi| der k-ten Generation steht, immer kleiner wird, da 0 < s < 1 gilt.Um dhb zu bestimmen müssen wir jetzt nur noch die FunktionHd(G) über d betrachten.Zur Erinnerung: Die Funktion Hd(G) über d verfügt an der Stelle d = dhb ≥ 0 überein positives Hausdorff d-Mass, also Hdhb(G) > 0 . Wie wir dem Funktionsgraphender Abbildung 4.3 entnehmen können, nimmt die Funktion Hd(G) über d nur dreivoneinander verschiedene Werte an. Nämlich∞ bei d < dhb, (a · f)d bei d = dhb und 0bei d > dhb . WeilHd(G) = (a · f)d > 0 , wegen a > 0, f > 0, gilt für dieses d, d = dhb.

DamitHd(G) = (a · f)d, muss gelten(N · sd

)= 1. Umgeformt nach d ergibt sich:

N · sd = 1

N =1sd

logN = d · log1s

d =logN

log1s

.

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Abbildung 4.3: Die FunktionHd(G) über d für selbstähnliche Punktmengen G.

Wir erinnern uns, dass für dieses d gilt, d = dhb, weil für jedes grössere d gilt,H>dhb(G) =0 und für jedes kleinere d gilt,H<dhb(G) =∞ .Es ergibt sich die Beziehung:

dhb = d =logN

log1s

= ds . (4.11)

Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension dhb einer exakt selbstähnlichen Punktmenge Sinn?stimmt mit der uns wohlvertrauten Selbstähnlichkeitsdimension ds überein. Dieser Satzbildet den Höhepunkt dieser Maturaarbeit. Mit ihm können Sie bei allen weiter obenvorgestellten Objekten, überprüfen ob es sich um Fraktale nach MANDELBROTs Defi-nition handelt oder nicht. Sie müssen einzig ihre exakte Selbstähnlichkeit nachweisenund anschliessend die Selbstähnlichkeitsdimension ds berechnen. Da Sie nun über dieGleichheit von dhb und ds bei exakt selbstähnlichen Punktmengen Bescheid wissen,können Sie ds getrost mit dtop vergleichen. Um dtop streng festzustellen und sich nichtwie bisher mehr oder weniger auf die Intuition zu verlassen wäre noch eine ganzeMenge schwieriger Mathematik und eine Reihe weiterer Erklärungen notwendig. Da ichdie topologische Dimension doch nicht ganz aussen vor lassen wollte, steht im Anhangeine kurze Erklärung, die aber vollständig mit Worten auskommnt und auf Formelnverzichtet.

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Fazit

A mathematician is a blind man in a dark room lookingfor a black cat which isn’t there.

CHARLES DARWIN, (26)

Und, stimmen Sie mit DARWIN überein? Ist Mathematik so ein aussichtsloses Unterfan-gen? Falls ja, wäre die fraktale Geometrie tatsächlich nicht die sinnvollste Beschäftigungund wir täten besser daran unsere Zeit mit Fussball oder falls Sie kein Sportfan sind vordem Fernseher zu verbringen. Ich denke aber, dass Sie nach der Lektüre dieser Maturaar-beit nicht mit DARWIN übereinstimmen. Genausowenig tue ich das. Das Recherchierenund das Nachdenken über Fraktale und Mathematik im weiteren Sinne hat mir vieleschöne Stunden bereitet. Den Text dieser Maturaarbeit verfasste ich meist mit lockererHand. Ich hoffe, dass sich diese Leichtigkeit auf den Text übertrug. Schlussendlich hatmir diese Arbeit geholfen zu verstehen, dass die Mathematik viele Bereiche des Lebensabdeckt und eine Welt ohne die Mathematik eine vollkommen andere wäre. Ich lerntedie Mathematik als brilliante Leistung des menschlichen Geistes schätzen und erkannteaber auch, dass sie nur eine unter vielen möglichen Interpretation der Wirklichkeit dar-stellt. Wer die Mathematik auf einen goldenen Sockel stellt und sie von der Wirklichkeitlosgelöst sieht, betreibt eine andere Mathematik als ich. Meiner Meinung nach ist dieMathematik mit der Geschichte und den jeweiligen Weltanschauungen gewachsen undtief mit ihnen verflochten. Die Fraktalforschung ist ein relativ junges Gebiet der Mathe-matik und verkörpert deshalb manche unserer modernen Weltanschauungen. Dies isteiner der Gründe wieso ich mich nach wie vor für Fraktale, eigentlich für Geometrie imAllgemeinen, interessiere. Natürlich ist mit dieser Maturaarbeit des Feld der Fraktalebei Weitem nicht ausgeschöpft: Raumfüllende Kurven, Flächenfraktale, Julia-Mengen,selbstinverse Fraktale, „zufällige Fraktale“, das Chaos-Spiel, die Box-Dimension undauch die Anwendungen der fraktalen Geometrie habe ich Ihnen vorenthalten. Falls Siesich weiter mit der fraktalen Geometrie beschäftigen wollen empfehle ich ihnen die Lek-türe der Bücher „Fraktale: Bausteine des Chaos“, „Fraktale Geometrie - Eine Einführung“und„Die fraktale Geometrie der Natur“und zwar in dieser Reihenfolge.

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A Die topologische Dimension

Der Mathematiker HENRI POINCARÉ (1854-1912) verallgemeinerte anfangs des 20.Jahrhunderts den Dimensionsbegriff EUKLIDs (CA. 365 V. CHR - CA. 300 V. CHR) aufbeliebige topologische Räume.[11, S. 130] POINCARÉ definiert für eine Leere Menge dieDimension -1. Müsste man diese Dimension zeichnen, wäre ein leeres weisses Blatt dasResultat.[16, S. 98-99] Alle folgenden Dimensionen lassen sich nun aus dieser Dimensionableiten, dies bietet eine neue Möglichkeit über höherdimensionale Räume Rn, n > 3, zusprechen. Die Dimension eines topologischen Objektes ist invariant, es ist nicht möglichein eindimensionales Objekt, z.B eine Linie, durch eine stetige bijektive Abbildung, einenHomöomorphismus1[11, S. 129], in ein zweidimensionales Objekt, z.B eine Fläche, zutransformieren. Man sagt Linie und Fläche sind nicht homöomorph.

Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt denselben Abstand haben,bezeichnet man als eine (n-1)-dimensionale Hypersphäre. Die Oberfläche einer Kugel,also eine zweidimensionale Fläche, besteht aus der Menge aller Punkte, die einen festenAbstand (den Radius) vom Mittelpunkt der dreidimensionalen Kugel haben. Einenn-dimensionalen Raum kann man durch (n-1)-dimensionale Schnitte unterteilen.[16,S. 75] Geht man nun davon aus, dass ein Punkt nicht durch Schnitte zerteilt werdenkann, er kein Kontinuum ist, der Schnitt ein leerer, also ein Schnitt der (-1)-Dimensionist, verfügt der Punkt über die Dimension 0. Eine Kurve lässt sich durch einen Punkt,ein Schnitt der Dimension 0, teilen. Die Dimension der Kurve beträgt 1, da der Schnittin der (n-1)-Dimension erfolgte. Wenn ein Schnitt in Form einer Linie notwendig ist,handelt es sich um ein zweidimensionales Objekt. Ein dreidimensionales Objekt istfolglich dadurch definiert, dass man es mit einem zweidimensionalen Schnitt teilen kann.Ein vierdimensionales Objekts kann durch einen dreidimensionalen Schnitt unterteiltwerden. Das dreidimensionale Objekt bildet die Begrenzung des vierdimensionalenObjektes, genauso wie Linien eine Fläche begrenzen (EUKLIDs 6. Definition nach [18,S. 39]). Der Würfel wird durch 6 Quadrate begrenzt, das Quadrat durch 4 Linien, dieLinie hat 2 Enden und der Punkt, nach Definition ein Objekt ohne jede Ausdehnung,ist nicht begrenzt. Der Tesserakt, das vierdimensionale Analogon zum Würfel, wirdfolglich durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt. Siehe Abbildung A.1

1 Zwei Objekte A und B (topologiche Räume) sind homöomorph wenn eine Abbil-dung f : A→ B existiert, die bijektiv und stetig ist und eine stetige Umkehrfunktionf−1 hat.

A Die topologische Dimension

Abbildung A.1: Schlegeldiagramm eines vierdimensionalen Würfels, dem sogenanntenTesserakt. Ein Schlegeldiagramm zeigt das Gefüge der Ecken, Kantenund Seitenflächen eines Objektes vollständig. Also nicht perspektivisch,wie eine oberflächliche Betrachtung der Abbildung vermuten lässt. DerTesserakt hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate, und wird durch 8würfelförmige Zellen begrenzt. Diese Abbildung ist [25] entnommen.

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Literatur

[1] P. S. ALEXANDROFF (2001, 19771): Lehrbuch der Mengenlehre. Frankfurt amMain: Verlag Harri Deutsch. ISBN 3-8171-1657-8

[2] M. F. BARNSLEY (1995, 19881): Fraktale. Theorie und Praxis der Deterministi-schen Geometrie. Heidelberg [u.a]: Spektrum Akademischer Verlag. (Spek-trum Lehrbuch) ISBN 3-86025-010-8

[3] T. BERNDT (20081): Latex. Der typographische Einstieg. München: Addison-Wesley. ISBN 978-3-8273-2659-1

[4] K. BRÄUER (20011): Chaos, Attraktoren und Fraktale. Mathematische und physi-kalische Grundlagen nichtlinearer Phänomene mit Anwendungen in Physik, Biolo-gie und Medizin. Berlin: Logos-Verlag. ISBN 3-89722-852-1

[5] DMK DEUTSCHSCHWEIZERISCHE MATHEMATIKKOMMISSION, DPKDEUTSCHSCHWEIZERISCHE PHYSIKKOMMISSION (2004, 20011): Fundamen-tum Mathematik und Physik. Formeln, Begriffe, Tabellen für die Sekundarstufe Iund II. Zürich: Orell Füssli. ISBN 978-3-280-02744-8

[6] H.-D. EBBINGHAUS (20031): Einführung in die Mengenlehre. Heidelberg [u.a]:Spektrum Akademischer Verlag. ISBN 3-8274-1411-3

[7] G. A. EDGAR (19901): Measure, Topology and Fractal Geometry. New York[u.a]: Springer Verlag. (Undergraduate Texts in Mathematics) ISBN 0-387-97272-2

[8] A. KEMNITZ (2005, 19981): Mathematik zum Studienbeginn. Wiesbaden:Vieweg. (Studium) ISBN 3-8348-0069-4

[9] B. B. MANDELBROT (1991, 19871): Die fraktale Geometrie der Natur. Basel[u.a]: Birkhäuser. ISBN 3-7643-2646-8

[10] L. NIEMEYER, L. PIETORNERO, H. J. WIESMAN : Fractal Dimension of Diel-ectric Breakdown. In: Physical Review Letters. 1984, Vol 52, Number 12.S.1033-S.1036

[11] H.-O. PEITGEN, H. JÜRGENS, D. SAUPE (19921): Bausteine des Chaos: Fraktale.Berlin [u.a]: Springer Verlag. ISBN 3-540-55781-4

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Literatur

[12] H.-O. PEITGEN, E. MALETSKY u.a. (19911): Fractals for the Classroom: Strate-gic Activities. New York [u.a]: Springer Verlag. (Fractals for the Classroom;Volume 1) ISBN 0-387-97346-X

[13] REDAKTION SCHULE UND LERNEN (Hg.) (20001): Schülerduden: Mathematik2. Ein Lexikon zur Schulmathematik für das 11. bis 13. Schuljahr. Mannheim:Dudenverlag. (Schülerduden „Die Mathematik“; Band 2, 4. völlig neu bear-beitete Auflage.) ISBN 3-411-04274-5

[14] J. REIMANN Hausdorff Dimension, Zufälligkeit und Berechenbarkeit Institut fürInformatik, Universität Heidelberg (Stand: 23.11.2008)http://math.berkeley.edu/~reimann/Lectures/hausdim_bonn03.pdf

[15] H. J. SCHLICHTING: Schöne fraktale Welt - Annäherungen an ein neues Konzeptder Naturwissenschaften. Universität für angewandte Kunst Wien (Stand:02.12.2008) http://www.uni-ak.ac.at/~p0002015/vor0304/fraktale/Fraktalmbl.pdf

[16] I. STEWART (2003, 20011): Flacherland. Die unglaubliche Reise der Vikki Linedurch Raum und Zeit. München: Verlag C. H. Beck. ISBN 3-406-50179-6

[17] R. P. TAYLOR, A. P. MICOLICH, D. JONAS : Fractal analysis of Pollock’s drippaintings. In: Nature. 1999, Vol 399. S.422

[18] R. TRUDEAU (1998, 19871): Die geometrische Revolution. Basel [u.a]: Birkhä-ser. ISBN 3-7643-5914-5

[19] H. ZEITLER, D. PAGON (20001): Fraktale Geometrie. Eine Einführung. Braun-schweig/Wiesbaden: Vieweg. (Studium) ISBN 3-528-03152-2

[20] Brandenburgische Technische Universität Cottbus. (Stand: 02.12.2008)http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/sonstiges/skripte/skripte.html

[21] Fractals. (Stand: 01.12.2008) http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/

[22] Universität Ulm. Seminar Fraktale. (Stand: 01.12.2008)http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws06_07/seminar_fraktale/goeppel.pdf

[23] Wikipedia. (Stand: 07.10.2008) http://de.wikipedia.org/wiki/Unstetigkeit

[24] Wikipedia. (Stand: 16.11.2008) http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Raum

[25] Wikipedia. (Stand: 23.11.2008) http://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt

[26] Wikiquote. (Stand: 02.12.2008) http://de.wikiquote.org/wiki/William_Blake undhttp://en.wikiquote.org/wiki/Charles_Darwin

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Was sind Fraktale? - Peoplegbasso/download/Maturaarbeit...Fraktale sind dafür ein dankbares Thema, weil es den sinnvollen Einsatz von Bildern ermöglicht und somit auf einer visuellen