Wechselspiel von periodischenFlussfüllungen und spinlosen

Fermionen auf einer Wabenleiter

Bachelorarbeitzur Erlangung des akademischen Grades

Bachelor of Science

vorgelegt von

Adrian Alexander Schratt

geboren in Bochum

Lehrstuhl für Theoretische Physik IFakultät Physik

Technische Universität Dortmund2015

1. Gutachter : Dr. Kai Philipp Schmidt

2. Gutachter : Prof. Dr. Jan Kierfeld

Datum des Einreichens der Arbeit: 07. Juli 2015

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden der Einfluss von magnetischen Flüssen auf die Physik spinlo-ser Fermionen untersucht, wobei der Fokus auf quasi-eindimensionalen Gitterstruktu-ren und halber Füllung der Fermionen liegt. Dabei werden ausschließlich periodische,translationsinvariante Systeme mit endlicher Flussdichte studiert. Der Hamiltonope-rator wird im Impulsraum diagonalisiert, wodurch die Dispersionsrelationen und dieEnergie des Systems bestimmt werden können. Es werden diejenigen Anordnungen vonmagnetischen Flüssen gesucht, die bei gegebener Flussdichte die Energie des Systemsminimieren und so Rückschlüsse auf die Wechselwirkungen der magnetischen Flüsseauf den Gitterstrukturen gezogen. Es wird die Tendenz der Flüsse, sich zu Gruppendirekt benachbarter Teilchen zusammenzuschließen beobachtet. Vielteilchenwechselwir-kungen können nicht in der Näherung der Gesamtenergie für beliebig hohe Dichtenvernachlässigt werden.

Abstract

In this thesis the influence of magnetic fluxes on the physics of spinless fermions isexamined, the focus is on quasi-one-dimensional lattices and half filling of the fermions.Here we focus on translationally invariant systems with periodic flux configurations offinite density. The Hamiltonian will be diagonalized in momentum space, so that thedispersion relations and the energy of the system can be determined. The arrangementsof magnetic fluxes, wich minimize the energy to a given density, are discussed andconclusions can be drawn about the interaction of the fluxes on the lattice. Furthermore,an effective model of flux interactions is not able to approximate the energy of finite-density flux configurations well when the flux density becomes too large.

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis IV

1 Einleitung 1

2 Modell und analytische Rechnung 32.1 Hamiltonoperator und Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Quasi-eindimensionale Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Zustände auf quasi-eindimensionalen Gittern . . . . . . . . . . . 4

2.2 Magnetische Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Aharonov-Bohm-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Bondflips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Die Quadratleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Der flussfreie Fall (ρ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Der flussvolle Fall (ρ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Die Bienenwabenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1 Der flussfreie Fall (ρ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Der flussvolle Fall (ρ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Methoden 123.1 Aufstellen und diagonalisieren der Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Extrapolation zum Kontinuumslimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Verschiedene Flusskonfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Energieberechnung bis zur Ordnung O(n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Resultate und Diskussion 164.1 Energie der Bienenwabenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.1 Der flussfreie und flussvolle Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2 Halbe Flussfüllung (ρ = 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Untersuchung verschiedener Flussdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.1 Energie verschiedener Flusskonfigurationen . . . . . . . . . . . . 214.2.2 Kontinuumslimes optimaler Flusskonfigurationen . . . . . . . . . 21

4.3 Energienäherung mit Wechselwirkungstermen . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.1 Näherung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.2 Näherung zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

IV

INHALTSVERZEICHNIS

5 Zusammenfassung und Ausblick 24

Quellenverzeichnis 25

V

Kapitel 1

Einleitung

Im Jahr 2004 isolierten Novoselov und Geim [1] das sogenannte Graphen, eine quasi-zweidimensionale Anordnung von Kohlenstoffatomen auf dem Bienenwabengitter mitinteressanten elektrischen Eigenschaften. Die Bandstruktur weist Dirac-Punkte auf,d.h. eine lineare Energie-Impuls-Beziehung, sogenannte Dirac-Kegel. Die meisten elek-tronischen Eigenschaften von Graphen lassen sich gut durch freie Fermionen bei halberBandfüllung beschreiben. Folglich haben sich viele Arbeiten in den letzten Jahren mitdem Einfluss von zusätzlichen Effekten auf diese Bandstruktur beschäftigt. Weiterhinwirkt sich die Anwesenheit magnetischer Flüsse auf das Verhalten der Elektronen aus.Solche Flüsse lassen sich durch Veränderung der Gitterstruktur, speziell der Hüpfam-plitude von einem Gitterpunkt zum nächsten, sogenannter Bondflips, in dem Gitterplatzieren.

Wie Lieb [2] zeigt, ist der flussfreie Zustand auf dem Bienenwabengitter immer ener-getisch günstiger als ein Zustand mit magnetischen Flüssen, weshalb magnetische Flüsseals Anregungen über einem Grundzustand verstanden werden können. Dies motiviertein Quasiteilchenmodell, dessen Ausprägungen in Bezug auf die Paarwechselwirkungender Flüsse von Kitaev [3] als auch in der Bachelorarbeit von Westphälinger [4] unter-sucht werden. Es zeigt sich dabei eine komplizierte Richtungs- und Ortsabhängigkeitder Wechselwirkung. In Westphälingers Arbeit [4] wird ein Modell spinloser Fermionenbenutzt. Kamfor, Dusuel, Schmidt und Vidal [5] untersuchen in ihrer Arbeit die durchperiodische Flussfüllungen geöffnete Bandlücke und zeigen, dass diese für die Drit-telfüllung maximal wird. Heußen [6] erweitert in seiner Bachelorarbeit WestphälingersBetrachtungen um die Wechselwirkung von mehreren Flüssen und kann dabei kein tri-viales Verhalten der Wechselwirkung für verschiedene Systemgrößen feststellen. In derBachelorarbeit von Franke [7] werden periodische Flussfüllungen auf dem Bienenwaben-gitter untersucht, wobei ab der Flussdichte ρ = 1/3 keine periodischen Flussfüllungengefunden werden, welche die Energie minimieren.

Die Schwierigkeiten, sowohl bei Heußen als auch bei Franke, bestanden auch in denSystemgrößen, welche für eine genaue Untersuchung notwendig sind. Um diese Kompli-kationen zu umgehen werden in dieser Arbeit quasi-eindimensionale Gitterstrukturenspinloser Fermionen untersucht. Damit sind Strukturen gemeint, deren Einheitszel-

1

Kapitel 1. Einleitung

len nur in eine Richtung periodisch fortgesetzt werden. Insbesondere wird eine quasi-eindimensionale Wabenleiter untersucht, die eine eindimensionale Substruktur des zwei-dimensionalen Bienenwabengitters darstellt. Die Reduktion der Dimension des Systemsführt dazu, dass größere Längenskalen betrachtet werden können. Im Zentrum der Un-tersuchungen werden periodische Flussfüllungen stehen. Insbesondere wird nach einemOrdnungsmuster der Flüsse bei gegebener Flussdichte gesucht. Die Frage, welche Flus-skonfigurationen bei endlicher Dichte die Energie minimiert ist auf Grund der vielenverschiedenen Möglichkeiten Flüsse in der Einheitszelle zu platzieren nicht trivial. Ineiner parallel von Röhrig [8] angefertigten Arbeit werden Flusswechselwirkungen aufquasi-eindimensionalen Gitterstrukturen untersucht. Mit den von Röhrig ermitteltenFluss-Fluss-Wechselwirkungsenergien wird eine Näherung der Gesamtenergie des Sy-stems vorgenommen und mit den in dieser Arbeit berechneten Energien verglichen.

Im folgenden Kapitel wird mit der Vorstellung des Modells begonnen und zweispezielle quasi-eindimensionale Gitter analytisch berechnet. Es wird zunächst der Ha-miltonoperator vorgestellt, die Definition der quasi-eindimensionalen Gitterstrukturenpräzisiert und die Notation zur Kennzeichnung quantenmechanischer Zustände gewählt.Im Anschluss wird der Aharonov-Bohm-Effekt vorgestellt und gezeigt, wie er zum plat-zieren der magnetischen Flüsse auf den Gitterstrukturen benutzt werden kann. DasEinteilchenproblem der Quadratleiter und der Bienenwabenleiter werden analytischgelöst. Dabei wird sich zeigen, dass die Quadratleiter nicht zur Untersuchung eines di-rekten Quasiteilchenmodells gebraucht werden kann, weshalb der restlichen Arbeit dieBienenwabenleiter zugrunde liegt.

Kapitel 3 stellt die Methoden zur Untersuchung verschiedener Flussfüllungen vor,wobei Vorschriften aufgestellt werden, nach denen der Hamiltonoperator als Matrix inImpulsdarstellung dargestellt werden kann. Der Diagonalisierung der Matrix folgt dieExtrapolation zum Kontinuumslimes als weitere Technik dieser Arbeit. Zusätzlich wirddie Näherung der Gesamtenergie durch Wechselwirkungsterme angegeben.

In Kapitel 4 werden die Ergebnisse dieser Arbeit vorgestellt und interpretiert. Dasgeschriebene Programm wird an den in Kapitel 2 analytisch berechneten Systemengetestet und die Ergebnisse verglichen. Darauf folgt eine Untersuchung der halbenFlussfüllung ρ = 1/2. Schließlich werden allgemeine Flussdichten und ihre Energienuntersucht und letztlich die Näherung der Gesamtenergie durch Wechselwirkungstermevorgenommen. Abschließend werden die Resultate in Kapitel 5 zusammengefasst undbewertet. Weiterhin werden offene Fragen als Ausblick gesammelt und Möglichkeitenzur Beantwortung vorgestellt.

2

Kapitel 2

Modell und analytische Rechnung

In diesem Kapitel wird das Modell vorgestellt, welches der Arbeit zu Grunde liegt.Dabei wird der Hamiltonoperator und seine Wirkung auf Zustände erläutert, die Git-terstrukturen, auf denen sich die Fermionen quasi-frei bewegen können, vorgestellt undder Einfluss von magnetischen Flüssen behandelt. Darüber hinaus werden zu zwei kon-kreten Strukturen die stationären Schrödingergleichungen analytisch gelöst.

2.1 Hamiltonoperator und Zustände

In dieser Arbeit werden Hamiltonoperatoren vom Typ

H = −t∑〈i, j〉

c†icj + h.c. (2.1)

betrachtet. Durch den Hamiltonoperator wird die Bewegung eines Fermions auf einerGitterstruktur beschrieben, wobei i und j die Gitterpunkte kennzeichnen. Summiertwird über alle i und j, sodass j der zu i nächste Gitterplatz ist. Dann wird amGitterplatz j ein Fermion durch den Vernichtungsoperator cj vernichtet und an der

Stelle i durch den Erzeugungsoperator c†i erzeugt.

cj |1〉j = |0〉j (2.2)

c†i |0〉i = |1〉i (2.3)

Diesem Vorgang wird eine Amplitude −t zugeordnet. In der weiteren Arbeit wird t = 1gesetzt, sodass alle Energien in Einheiten von t gemessen werden.

Bevor die quantenmechanischen Zustände, auf die der Hamiltonoperator wirkt, mitden wichtigen Quantenzahlen definiert werden, werden im nächsten Unterabschnitt diein dieser Arbeit betrachteten Gitterstrukturen beschrieben.

2.1.1 Quasi-eindimensionale Gitter

Um periodische Strukturen zu beschreiben, wird eine Einheitszelle definiert, die Git-terpunkte (sites) und deren Verbindungen (bonds) enthält und Translationsvektoren,

3

Kapitel 2. Modell und analytische Rechnung

deren ganzzahlige Vielfache mögliche Translationen der Einheitszelle beschreiben. Aufdiese Weise ist eine Gitterstruktur definiert deren Dimension durch die Anzahl derTranslationsvektoren gegeben ist.

In dieser Arbeit werden Gitterstrukturen untersucht, deren Einheitszelle in eineRichtung periodisch fortgesetzt wird. Da die Einheitszelle auch Verbindungen senkrechtzu den Translationsvektoren enthalten kann, werden solche Gitterstrukturen hier quasi-eindimensional genannt. Durch die eindimensionale Translation entstehen Strukturen,die einer Leiter ähneln, weshalb der Begriff “Leiter” in dieser Arbeit gleichbedeutendmit “quasi-eindimensionalen Gitterstruktur” benutzt wird.

In dem benutzten Modell ist der Hamiltonoperator wechselwirkungsfrei. Aus die-sem Grund genügt zur Lösung der stationären Schrödingergleichung die Betrachtungdes Einteilchenproblems. Die Energie eines Systems aus mehreren Teilchen kann danndurch Auffüllen der Energieniveaus gemäß dem Pauli-Prinzip berechnet werden, wo-bei zu beachten ist, dass bei spinlosen Fermionen jedes Energieniveau nur ein Fermionbeinhalten darf.

2.1.2 Zustände auf quasi-eindimensionalen Gittern

Ein Zustand auf den betrachteten Gitterstrukturen wird eindeutig durch die Angabe desGitterpunktes und dadurch, ob diese Position durch ein Fermion besetzt ist oder nichtcharekterisiert. Es werde der Einheitszelle die Zahl ν zugeordnet und der Gitterpunktin der Einheitszelle durch l festgelegt. Der Einteilchenzustand ist dann definiert durch

|ν, l〉 = · · · ⊗ |0〉ν, l−1 ⊗ |1〉ν, l ⊗ |0〉ν, l+1 ⊗ . . . . (2.4)

Die Zustände (2.4) bilden eine Orthonormalbasis des Einteilchen-Hilbertraums H(1).Dieser ist für ein System mit NUC ·N Plätzen, wobei NUC die Anzahl der Einheitszellenund N die Anzahl der Plätze pro Einheitszelle ist, NUC ·N -dimensional. Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren wirken wie folgt.

c†ν′′, l′′cν′, l′ |ν, l〉 = δν, ν′δl, l′c†ν′′, l′′ |0〉 = δν, ν′δl, l′ |ν

′′, l′′〉 (2.5)

Dabei muss beachtet werden, dass die Gitterpunkte (ν, l) und (ν ′′, l′′) nächste Nachbarnauf dem Gitter sind.

Die betrachteten Systeme weisen eine diskrete Translationssymmetrie auf, weshalbzur analytischen Lösung des Einteilchenproblems die Fouriertransformation gebrauchtwird. Die Fouriertransformation eines Zustands |ν, l〉 ist definiert als

|k, l〉 = 1√NUC

∑ν

e−ikν |ν, l〉 . (2.6)

Aus der Periodizität des Gitters, also |1, l〉 = |NUC + 1, l〉 folgt mit (2.6)

e−ik |1, l〉 = e−ik(NUC+1) |NUC + 1, l〉 (2.7)eikNUC = 1 . (2.8)

4

2.2. Magnetische Flüsse

Dadurch ergibt sich die Quantisierung der Wellenzahl k

k =2π

NUCm, m ∈ Z . (2.9)

2.2 Magnetische Flüsse

Es wird nun der Einfluss magnetischer Flüsse auf die Bewegung von Fermionen auf denGitterstrukturen untersucht. Zentral ist der Aharonov-Bohm-Effekt, dessen Verständniseine Möglichkeit schafft magnetische Flüsse in das Gitter zu setzen.

2.2.1 Aharonov-Bohm-Effekt

Da sich das magnetische Feld durch das Vektorpotential A über B = ∇×A darstellenlässt, ist es möglich, dass das Vektorpotential selbst in einem feldfreien Bereich mit B =0 endlich sein kann

A = ∇Λ , (2.10)

Λ =

∫ΓA ds . (2.11)

Um die Lösungen der Schrödingergleichung ψ′ im Bereich ohne Vektorpotential mitden Lösungen ψ im Bereich mit Vektorpotential zu vergleichen, muss im ersten Fallpassend umgeeicht werden.

A′ = A +∇ (−Λ) = 0 (2.12)

Die Bewegung im Vektorpotential A führt zu einer Phase tΓ , sodass gilt

ψ = ψ′exp

(ie

~Λ

)= ψ′exp

(i2π

Φ0

∫ΓA ds

)= ψ′tΓ . (2.13)

Dabei wurde Φ0 = 2π~/e definiert. Werden geschlossene Wege durchlaufen, gilt nachdem Satz von Stokes ∮

A ds = ΦB , (2.14)

mit dem umlaufenen magnetischen Fluss ΦB.

2.2.2 Bondflips

Nach (2.13) und (2.14) hat eine Phase

tΓ = e±iπ = −1 (2.15)

die gleiche Bedeutung wie das Umlaufen eines magnetischen Flusses ΦB =Φ02 , wobei

das Vorzeichen im Exponenten von der Umlaufrichtung bestimmt wird. So kann durch

5

Kapitel 2. Modell und analytische Rechnung

Abbildung 2.1: Ein Vorzeichenwechsel der Hüpfamplitude führt zu einer Phase tΓ = −1, wasäquivalent zu einem magnetischen Fluss ist.

die Änderung des Vorzeichens des Hüpfparameters t → −t eines bonds ein magne-tischer Fluss in das Gitter gesetzt werden. Erhält das Fermion beim Umlaufen einerPlakette eine gerade Anzahl negativer Phasenfaktoren, sitzt in der Plakette kein Fluss.Bei einer ungeraden Anzahl negativer Vorzeichen sitzt in der Plakette ein Fluss (s. Ab-bildung 2.1). Wegen des Arguments der Exponentialfunktion wird der so resultierendeFluss π-Fluss genannt.

2.3 Die Quadratleiter

Im folgenden Abschnitt wird die analytische Lösung der stationären Schrödingerglei-chung für die Quadratleiter (s. Abbildung 2.2a) vorgestellt. Dabei wird der Parame-ter x ∈ {−1, 1} eingeführt, mit dem später Bondflips realisiert werden. Der Hamilton-operator des Systems ist

H = −∑ν′

(c†ν′, Acν′, B + c

†ν′, Acν′, C + c

†ν′+1, Acν′, C + x · c

†ν′, Dcν′, C+

+ c†ν′, Bcν′, D + c†ν′+1, Bcν′, D + h.c.

).

(2.16)

Um die Translationssymmetrie des Systems auszunutzen, wird die Wirkung des Hamil-tonoperators auf den fouriertransformierten Zustand (2.6) untersucht. Dann folgt

H |k, l〉 = − 1√NUC

∑ν, ν′

e−ikνδν ν′((δl, B + δl, C) |ν ′, A〉+ δl, C |ν ′ + 1, A〉+

+ (δl, A + δl, D) |ν ′, B〉+ δl, D |ν ′ + 1, B〉++ (δl, A + x · δl, D) |ν ′, C〉+ δl, A |ν ′ − 1, C〉++ (δl, B + x · δl, C) |ν ′, D〉+ δl, B |ν ′ − 1, D〉

).

(2.17)

Die Kronecker-Deltas δν, ν′ können beseitigt werden, sodass die Summen über ν und ν′

zu einer Summe über ν kontrahieren. Weiterhin kann eine Indextransformation vorge-

6

2.3. Die Quadratleiter

(a) Benennungen an der Quadratleiter. (b) Benennungen an der Bienenwabenleiter.

Abbildung 2.2: Quadrat- und Bienenwabenleiter. Nicht gekennzeichnete Verbindungen zwi-schen den Gitterpunkten haben den Parameter −t, wobei t = 1 gesetzt ist. Die mit x gekenn-zeichneten Übergänge haben die x-fache Amplitude des Hüpfparameters −t Die Einheitszellensind rot umrandet.

nommen werden.

1√NUC

∑ν, ν′

e−ikνδν, ν′δl, l′ |ν ′ ± 1, l′′〉 =1√NUC

∑ν

e−ik(ν∓1)δl, l′ |ν, l′′〉

= e±ik∑ν

δl, l′ |k, l′′〉(2.18)

Dabei wurden die periodischen Randbedingungen und die Fouriertransformation (2.6)benutzt. So wird aus (2.17)

H |k, l〉 = −∑l′

ωl, l′

k |k, l′〉 , (2.19)

wobei die Koeffizienten ωl, l′

k eine hermitesche 4× 4-Matrix definieren.

(ωl, l

′

k

)=

0 1 1 + e−ik 01 0 0 1 + e−ik

1 + eik 0 0 x0 1 + eik x 0

=: Ω . (2.20)Das Eigenwertproblem wird durch Diagonalisierung dieser Matrix gelöst. Dazu wirddie Symmetrie des Systems unter der Vertauschung A ↔ B und C ↔ D genutzt. Eswerden die orthonomierten Zustände

|k, L±〉 = 1√2

(|k,A〉 ± |k,B〉) , (2.21)

|k,R±〉 = 1√2

(|k,C〉 ± |k,D〉) (2.22)

definiert. Die Matrixelemente werden in der neuen Basis berechnet. Als Matrix ausge-schrieben ergibt sich

(ω̃l, l

′

k

)=

1 1 + eik 0 0

1 + e−ik x 0 00 0 −1 1 + eik0 0 1 + e−ik −x

. (2.23)

7

Kapitel 2. Modell und analytische Rechnung

Damit wurde die Matrix auf zwei 2×2-Blockmatrizen reduziert, deren Eigenwerte jetzteinfach berechnet werden können. Die charaketeristischen Polynome sind vom Gradzwei, ihre Nullstellen sind die Energiebänder

�1(k) = −1 + x

2−

√(1 + x

2

)2− x+ 2 (1 + cos k), (2.24)

�2(k) = −1 + x

2+

√(1 + x

2

)2− x+ 2 (1 + cos k), (2.25)

�3(k) =1 + x

2−

√(1 + x

2

)2− x+ 2 (1 + cos k), (2.26)

�4(k) =1 + x

2+

√(1 + x

2

)2− x+ 2 (1 + cos k). (2.27)

Die Energiebänder werden hinsichtlich der Fragestellung der Arbeit weiter ausgewertet.

2.3.1 Der flussfreie Fall (ρ = 0)

Es wird der Fall x = 1 betrachtet, was der Quadratleiter ohne π-Flüsse entspricht.Wird x in die Gleichungen (2.24) - (2.27) eingesetzt, sind die Energiebänder

�1,2(k) = −1∓√

2 (1 + cos k) = −1− 2 cos k′, (2.28)

�3,4(k) = 1∓√

2 (1 + cos k) = 1− 2 cos k′ . (2.29)

Dabei wurde die Wellenzahl k′ = k2 eingeführt. Der physikalische Ursprung für die neueWellenzahl k′ liegt in der Symmetrie des Systems, wenn x = 1 ist, wodurch die Anzahlder Einheitszellen verdoppelt wird, was nach (2.9) zu einer Halbierung der Wellenzahlführt.

Mit den Energiebändern kann jetzt die Energie pro Platz bei halber Füllung e0berechnet werden. Dazu wird über den negativen Teil des Energiespektrums integriert.

e0 :=E0N

=1

2π

1

4

(∫ 2π/3−2π/3

(−1− 2 cos k′

)dk′ +

∫ π/3−π/3

(1− 2 cos k′

)dk′

)

= −(

1

12+

1

2π

√3

)≈ −0,358998

(2.30)

Im Folgenden ist mit “Energie pro Platz“ die Energie pro Platz bei halber fermionischerFüllung gemeint.

2.3.2 Der flussvolle Fall (ρ = 1)

Es wird der Fall x = −1 betrachtet. Dieser ist äquivalent zu einer Quadratleiter, bei derin jeder Plakette ein π-Fluss sitzt. Wird x in die Gleichungen (2.24) - (2.27) eingesetzt,

8

2.4. Die Bienenwabenleiter

(a) Dispersionsrelation für ρ = 0. (b) Dispersionsrelation für ρ = 1.

Abbildung 2.3: Analytische Dispersionsrelationen für die Quadratleiter im flussleeren undflussvollen Fall.

entarten die Energiebänder �1 und �3, sowie �2 und �4. So verbleiben

�1(k) = �3(k) = −√

3 + 2 cos k , (2.31)

�2(k) = �4(k) =√

3 + 2 cos k . (2.32)

Die Energie pro Platz bei halber Füllung e0 ist nach numerischer Integration

e0 =1

2π

1

4

∫ π−π

(�1(k) + �3(k)) dk = −1

4π

∫ π−π

√3 + 2 cos k dk = −0,838805 . (2.33)

Da die Energie pro Platz der flussleeren Quadratleiter größer ist als die Energie proPlatz der flussvollen Quadratleiter, eignet sich dieses System nicht zur Betrachtungeines direkten Quasiteilchenmodells der π-Flüsse. Im nächsten Abschnitt wird deshalbein anderes System betrachtet.

2.4 Die Bienenwabenleiter

Es werden die Energieeigenwerte der Bienenwabenleiter (s. Abbildung 2.2b) analytischbestimmt. Der Hamiltonoperator lautet

H = −∑ν′

(c†ν′, Acν′, B + x · c

†ν′, Acν′, C + c

†ν′, Bcν′, D + c

†ν′+1, Acν′, C+

+ c†ν′+1, Bcν′, D + h.c.)

.

(2.34)

Wie im letzten Abschnitt kann die Translationssymmetrie des Systems genutzt wer-den, indem die Wirkung des Hamiltonoperators (2.34) auf den fouriertransformiertenZustand (2.6) untersucht wird. Das weitere Vorgehen ist analog zu dem bei der Qua-dratleiter. Es ergibt sich die Gleichung

H |k, l〉 = −∑l′

ωl, l′

k |k, l′〉 (2.35)

9

Kapitel 2. Modell und analytische Rechnung

mit der hermiteschen 4× 4-Matrix

(ωl, l

′

k

)=

0 1 x+ e−ik 01 0 0 1 + e−ik

x+ eik 0 0 00 1 + eik 0 0

=: Ω . (2.36)Anders als bei der Quadratleiter kann hier keine weitere Symmetrie des Systems genutztwerden, um die Eigenwerte der Matrix Ω zu bestimmen. Die Determinante det (Ω − � · 1)zur Berechnung des charakteristischen Polynoms wird nach dem Laplaceschen Entwick-lungssatz berechnet, es folgt ein Polynom 4. Grades mit geraden Exponenten, dessenLösungen sind

�2(k) = −px(k)2±√p2x(k)

4− qx(k) , (2.37)

px(k) = −(x2 + 2 (x+ 1) cos k + 4

), (2.38)

qx(k) = 2(x2 + x+ 1 + (x+ 1)2 cos k + x cos 2k

). (2.39)

2.4.1 Der flussfreie Fall (ρ = 0)

Für den flussfreien Fall wird x = 1 in (2.37) eingesetzt. Dann folgt

�2(k) =5

2+ 2 cos k ±

√9

4+ 2 cos k =

(1

2±√

1

4+ 2 (1 + cos k)

)2. (2.40)

Damit ergeben sich die vier Energiebänder

�1(k) = −1

2−√

1

4+ 2 (1 + cos k) , (2.41)

�2(k) = −1

2+

√1

4+ 2 (1 + cos k) , (2.42)

�3(k) =1

2−√

1

4+ 2 (1 + cos k) , (2.43)

�4(k) =1

2+

√1

4+ 2 (1 + cos k) . (2.44)

Die Gleichungen (2.41) - (2.44) entsprechen den Gleichungen (2.24) - (2.27) im Fall x =0, da in diesem Fall beide Systeme übereinstimmen.

Die Energie pro Platz bei halber Füllung ist

e0 =1

2π

1

4

∫ π−π

(�1(k) + �3(k)) dk = −0,701418 . (2.45)

10

2.4. Die Bienenwabenleiter

(a) Dispersionsrelation für ρ = 0. (b) Dispersionsrelation für ρ = 1.

Abbildung 2.4: Analytische Dispersionsrelationen für die Wabenleiter im flussleeren undflussvollen Fall.

2.4.2 Der flussvolle Fall (ρ = 1)

Für den flussvollen Fall wird x = −1 in (2.37) eingesetzt. Dann folgen vier Ener-giebänder

�1(k) = −

√5

2+

√17

4+ 2 cos 2k , (2.46)

�2(k) = −

√5

2−√

17

4+ 2 cos 2k , (2.47)

�3(k) =

√5

2−√

17

4+ 2 cos 2k , (2.48)

�4(k) =

√5

2+

√17

4+ 2 cos 2k . (2.49)

Die Energie pro Platz bei halber Füllung ist

e0 =1

2π

1

4

∫ π−π

(�1(k) + �2(k)) dk = −0,684351 . (2.50)

Im Gegensatz zur Quadratleiter ist der flussfreie Fall bei der Bienenwabenleiter ener-getisch günstiger als der flussvolle Fall, weshalb sie sich zur Untersuchung eines Qua-siteilchenmodells magnetischer Flüsse eignet. Alle weiteren Untersuchungen werden ander Bienenwabenleiter vorgenommen. Im nächsten Kapitel werden die Methoden, diezur Untersuchung der Bienenwabenleiter benutzt werden, vorgestellt.

11

Kapitel 3

Methoden

Ziel dieses Kapitels ist die Erläuterung der Techniken, die zur Untersuchung der ma-gnetischen Flüsse auf Bienenwabenleitern benutzt wurden. Wesentlich ist die Mischungaus numerischen und analytischen Methoden, welche in einem Programm resultiert,das zur Gewinnung der Daten benutzt wurde.

3.1 Aufstellen und diagonalisieren der Matrix

Im Vordergrund der Untersuchungen dieser Arbeit steht die Bestimmung der Energie-eigenwerte zu dem Hamiltonoperator des Systems. Der analytische Weg zur Lösung desProblems entspricht dem in den Abschnitten 2.3 und 2.4. Es wird eine Fouriertrans-formation der Zustände vorgenommen, was die Translationssymmetrie des Systemsausnutzt und wonach sich der Hamiltonoperator als Matrix in Impulsdarstellung dar-stellen lässt. Zur weiteren Lösung muss die Matrix, deren Größe von der Anzahl derPlätze innerhalb der Einheitszelle N abhängt, diagonalisiert werden. Werden magneti-sche Flüsse in verschiedener Weise in die Einheitszelle der Bienenwabenleiter gesetzt,entsteht schnell eine große Matrix deren Diagonalisierung nach analytischen Methodennicht mehr praktikabel ist. Daher folgt ab diesem Punkt die Lösung des Eigenwertpro-blems auf numerischem Wege.

Die Einträge der Matrix Ω sind durch die Wirkung der Erzeugungs- und Vernich-tungsoperatoren und den zugeordneten Hüpfparameter festgelegt. Die Matrixelementeergeben sich aus

Ωij = −〈k, i|H|k, j〉 . (3.1)

Dabei ist k der Impuls. Hier werden zunächst die Elemente der oberen Dreiecksma-trix bestimmt und dann mit Hilfe der Hermitezität des Hamiltonoperators die übri-gen Einträge bestimmt. Die Zahl i nummeriere die Zeilen und j die Spalten, dann seii ≤ j. Innerhalb der Einheitszelle wird zwischen waagerechter und senkrechter Bewe-gung der Fermionen unterschieden. Nach vorgestellter Notation entspricht ein waage-rechtes Hüpfen des Fermions

c†ν′,l′+2cν′, l′ |ν, l〉 = δν, ν′δl, l′ |ν′, l′ + 2〉 . (3.2)

12

3.1. Aufstellen und diagonalisieren der Matrix

Dies führt zu einem Matrixelement in der i-ten Zeile und j-ten Spalte mit |i− j| = 2.Da der Hüpfparameter t = 1 gesetzt wurde, gilt zusammenfassend

Ωij = xij , j − i = 2 . (3.3)

Dabei enthält xij Informationen zum Übergang i→ j. Liegt ein Bondflip vor, ist dieser−1, ansonsten 1. Das senkrechte Hüpfen des Fermions

c†ν′,l′+1cν′, l′ |ν, l〉 = δν, ν′δl, l′ |ν′, l′ + 1〉 (3.4)

ist anders als die waagerechte Bewegung nicht von jeder Position l aus möglich, sondernnur von jeder vierten Position (und zurück). Es folgt das Matrixelement

Ωij = 1, j − i = 1, i mod 4 = 0 . (3.5)

Zuletzt kann das Fermion bei waagerechter Bewegung die Einheitszelle wechseln. Wiein 2.3 gezeigt, werden solche Terme mit einer Indextransformation unter Ausnutzungder periodischen Randbedingungen entfernt. Es verbleiben dann komplexe Exponenti-alfunktionen, welche zu den Matrixelementen

Ωij = e−ik, j = i+N − 2 (3.6)

führen. Dabei ist N die Anzahl der Gitterpunkte pro Einheitszelle. Alle Matrixelemen-te, die nicht durch (3.3) - (3.6) festgelegt sind, sind 0. Treffen auf ein Matrixelementmehrere Bedingungen zu, ist das resultierende Matrixelement die Summe der durch dieBedingungen festgelegten Werte. Damit ist die Matrix unter Benutzung von Ωji = Ω

∗ij

vollständig bestimmt.

Für die Berechnungen wird ein C++-Programm geschrieben. Die Matrix kann mitden Bedingungen (3.3) - (3.6) in einer Funktion befüllt werden. Der Funktion wird dieWellenzahl k, die Größe der Einheitszelle als Parameter und ein Zahlentupel, das diePositionen der π-Flüsse in der Einheitszelle enthält, übergeben.

Ist die Matrix aufgestellt, kann sie zu beliebigen Werten der Wellenzahl diagona-lisiert (mit Eigen 3.2.4 ) werden. Im thermodynamischen Limes kann die Energie proPlatz bei halber Füllung durch Integration von −π bis π über die Summe aller Bändermit entsprechender Normierung berechnet werden, also

e0 =1

2π

1

4M

∫ π−π

∑i, �

Kapitel 3. Methoden

(a) Zyklische Permutationen. (b) Beispiel für eine periodische Konfiguration.

Abbildung 3.1: Beispiele für äquivalente Zustände: In 3.1a erzeugt die zyklische Permutationder Plaketten einen äquivalenten Zustand, in 3.1b lässt sich die periodische Konfiguration ineine kleiner Einheitszelle teilen. Die jeweiligen Einheitszellen sind rot umrandet.

Dabei ist ∆k die diskrete Unterteilung des Intervalls [−π, π). Der Fehler der diskretisier-ten Formel istO(∆k2). Die Energieberechnung wird durch eine Funktion implementiert,welcher Informationen über das System übergeben werden. Dazu zählen die Anzahl derPlaketten, die eine Einheitszelle bilden und ein Zahlentupel, das Informationen überdie Flüsse in den Plaketten enthält. Außerdem wird die Schrittweite ∆k übergeben,wodurch die Genauigkeit der Energieberechnung gegeben ist.

3.2 Extrapolation zum Kontinuumslimes

Ein besonders gutes Ergebnis für die Energie pro Platz bei halber Füllung wird in (3.8)erreicht, wenn das Intervall [−π, π) in möglichst viele Teilintervalle ∆k aufgeteilt wird,also für ∆k → 0. Nach der Quantisierungsbedingung (2.9) entspricht dies dem Grenz-fall N →∞. Dies ist äquivalent zum Kontinuumslimes.

Numerisch kann die Energie pro Platz bei halber Füllung im Kontinuumslimes be-rechnet werden, indem die Anzahl der Teilintervalle von einem Startwert aus erhöhtwird, bis eine beliebige Obergrenze erreicht ist. Die so erhaltenen Energiewerte könnengegen das inverse Quadrat der Anzahl an Schritten aufgetragen werden. Wegen demquadratischen Fehler des diskretisierten Integrals (3.8) wird dann ein linearer Verlaufder Energiewerte erwartet. Wird eine Ausgleichsrechnung (mit Gnuplot 4.6 ) vorge-nommen, ist der Schnittpunkt mit der Ordinatenachse die Energie pro Platz bei halberFüllung im Kontinuumslimes.

3.3 Verschiedene Flusskonfigurationen

Soll eine Dichte ρ von π-Flüssen auf einer periodischen Bienenwabenleiter realisiertwerden, gibt es dazu verschiedene Möglichkeiten. Zunächst gibt es

(MNF

)Möglichkeiten

NF Flüsse in M Plaketten, die zusammen eine Einheitszelle bilden, zu setzen. Davonsind jedoch manche auf Grund der Eigenschaften der betrachteten Systeme äquivalent.Es gibt zwei Faktoren, die zu äquivalenten Flusskonfigurationen führen (s. Abbildung3.1):

1. Die periodischen Randbedingungen erlauben zyklische Permutationen der Flüsse

14

3.4. Energieberechnung bis zur Ordnung O(n2)

auf der Bienenwabenleiter (keine Plakette ist als Start ausgezeichnet), weshalbeine Konfiguration, die nach einer zyklischen Permutation auf eine andere ab-gebildet wird, äquivalent zu dieser ist. Es reicht dann, wenn eine der beidenKonfigurationen betrachtet wird (s. Abbildung 3.1a).

2. Die Konfiguration selbst hat eine periodische Struktur, dann lässt sich eine klei-nere Einheitszelle finden, welche diese Konfiguration durch diskrete Translationenbeinhaltet. Es genügt die kleinst mögliche Einheitszelle zu betrachten (s. Abbil-dung 3.1b).

Die Realisierung verschiedener Flusskonfigurationen wird in dem Programm erreicht,indem zunächst alle möglichen Permutationen von NF Flüssen auf M Plaketten in einerDatei ausgegeben werden. Anschließend werden diese Konfigurationen eingelesen undgemäß obiger Kriterien auf Äquivalenz geprüft. Schließlich verbleiben nur verschiedeneFlusskonfigurationen, welche dann für spätere Verwendung in Textdateien gespeichertwerden.

Sind alle Flusskonfigurationen bestimmt, kann zu jeder Konfiguration wie in Ab-schnitt 3.1 beschrieben die Energie pro Platz bei halber Füllung berechnet werden. DasResultat bietet dann die Möglichkeit energetisch günstige oder ungünstige Konfigura-tionen zu identifizieren.

3.4 Energieberechnung bis zur Ordnung O(n2)Die gesamte Energie pro Platz bei halber Füllung einer beliebigen Konfiguration setztsich zusammen aus der Energie der flussleeren Bienenwabenleiter, dem chemischen Po-tential µ und den Wechselwirkungsenergien der Flüsse gemäß

eges = e0 +µ

N

M∑i=1

∑ν

nν, i +1

N

M−1∑i=1

M∑j=i+1

∑ν

∑λ

V (d)nν, inλ, j +O(n3) . (3.9)

Dabei ist N die Anzahl der Plätze auf der Bienenwabenleiter, M die Anzahl der Pla-ketten pro Einheitszelle und die nν, i die Besetzungszahloperatoren. Die Indizes λ und νkennzeichnen die Einheitszellen. V (d) ist das Paarwechselwirkungspotential der Flüsse,welches vom Abstand d zweier Flüsse auf der Bienenwabenleiter abhängt. Die Glei-chung (3.9) lässt sich vereinfachen zu

eges = e0 +NF4M

µ+1

4M

M−1∑i=1

M∑j=i+1

∑λ≥ν

V (d)nν, inλ, j +O(n3) . (3.10)

Der Faktor NF/M entspricht der Dichte ρ.Sind das chemische Potential µ und die Wechselwirkungsenergien der π-Flüsse be-

kannt, kann mit (3.9) und (3.10) die Gesamtenergie näherungsweise berechnet werden.Es bietet sich an für die Näherung zweiter Ordnung einen maximalen Abstand zuwählen, bis zu dem Wechselwirkungen berücksichtigt werden. Dieser sollte so gewähltwerden, dass der Fehler durch die Vernachlässigung übriger Terme hinreichend kleinist.

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Kapitel 4

Resultate und Diskussion

Nachfolgend werden die Ergebnisse dieser Arbeit vorgestellt und bewertet. Es wird da-mit begonnen das geschriebene Programm an den Ergebnissen aus dem Abschnitt 2.4zu testen und die Extrapolation zum Kontinuumslimes vorzunehmen. Anschließendwerden die Energien pro Platz verschiedener Flusskonfigurationen auf periodischen Bie-nenwabenleitern untersucht.

4.1 Energie der Bienenwabenleiter

Nach dem Aufstellen der Matrix erfolgt die Energieberechnung für die Bienenwabenlei-ter unter Benutzung des beschriebenen Programms. Es wird der flussfreie und flussvol-le Fall betrachtet. Zusätzlich wird als Beispiel einer Konfiguration, dessen analytischeLösung nicht vorliegt, eine halbe Flussfüllung ρ = 1/2 untersucht.

4.1.1 Der flussfreie und flussvolle Fall

Im flussfreien Fall genügt eine Plakette pro Einheitszelle zur Beschreibung des Systems.Die vom Programm aufgestellte Matrix ist identisch mit (2.36) für x = 1. Die numerischberechneten Energiebänder unterscheiden sich nicht von den analytisch berechnetenEnergiebändern, weshalb sie hier nicht erneut abgebildet werden.

Abbildung 4.1: Extrapolation zum Kontinuumslimes für den flussleeren Fall (ρ = 0).

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4.1. Energie der Bienenwabenleiter

Zur Bestimmung der Energie pro Platz im thermodynamischen Limes wird dieSchrittweite ∆k so variiert, dass das Intervall [−π, π) mit 1 bis 1000 Schritten durchlau-fen wird. Zu jeder Schrittweite wird die Energie pro Platz berechnet. In Abbildung 4.1wurden die Energiewerte für N = 29 bis N = 1000 Schritte gegen das inverse Quadratder Schritte aufgetragen, damit ein linearer Zusammenhang entsteht. Die Energiewer-te konvergieren schnell gegen einen Grenzwert eG, 0. Ab N = 51 wird ein linearer Fitvorgenommen. So wird der Grenzwert

eG, 0 = −0,7014177628 (4.1)

berechnet. Der beim Fit entstehende Fehler ist deutlich kleiner als der Maschinenfehlerund kann deshalb vernachlässigt werden. Das Ergebnis (4.1) stimmt mit (2.45) überein.

Auch im flussvollen Fall genügt eine Plakette pro Einheitszelle zur Beschreibung desSystems. Das Programm stellt die Matrix (2.36) für x = −1 auf. Wie bei der flussfreienBienenwabenleiter unterscheiden sich die numerisch berechneten Energiebänder nichtvon den analytisch berechneten Energiebändern, weshalb auch hier auf eine erneuteAbbildung verzichtet wird.

Es wird für 1 bis 1000 Schritte, mit denen das Intervall [−π, π) durchlaufen wird,die Energie pro Platz berechnet.

Abbildung 4.2: Extrapolation zum Kontinuumslimes für den flussvollen Fall (ρ = 1).

In Abbildung 4.2 ist die Energie gegen das inverse Quadrat der Anzahl an Schrit-ten aufgetragen. Auch hier konnte ein linearer Fit vorgenommen werden. Die Energie-werte konvergieren alternierend gegen einen Grenzwert eG, 1. Die Punkte zu geradenAnzahlen von Schritten haben höhere Energiewerte, da zu ihrer Berechnung der Sym-metriepunkt k = 0 als Stützstelle benutzt wird. Es werden zwei Ausgleichsgeradenab N = 201 und N = 202 berechnet, eine für eine gerade, eine für eine ungeradeAnzahl an Schritten. Beide Geraden haben im Rahmen der Genauigkeit den gleichenAchsenabschnitt

eG, 1 = −0,6843513717 . (4.2)

Auch hier ist der Fehler vernachlässigbar klein, das Ergebnis stimmt mit (2.50) überein.

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Kapitel 4. Resultate und Diskussion

4.1.2 Halbe Flussfüllung (ρ = 1/2)

Die numerischen Ergebnisse zur Bienenwabenleiter im flussfreien und flussvollen Fallwerden durch die analytischen Ergebnisse bestätigt. Nun wird der Fall einer halbenFlussfüllung betrachtet. Die hier untersuchte Einheitszelle besteht aus acht Gitter-punkten (2 Plaketten), wobei in einer der Plaketten ein π-Fluss platziert wird. DerHamiltonoperator kann durch eine 8 × 8-Matrix im Impulsraum dargestellt werden.Analytische Berechnungen an diesem System sind nicht mehr möglich.

Die Dispersionsrelation des Systems wird numerisch berechnet indem zu k-Wertenaus [−π, π) der Hamiltonoperator diagonalisiert wird. Das Spektrum ist in Abbildung4.3 zu sehen. Hier ist wie bei der Dispersionsrelation der flussvollen Bienenwabenleiterder Symmetriepunkt k = 0 zu erkennen.

Abbildung 4.3: Extrapolation zum Kontinuumslimes bei halber Flussfüllung (ρ = 1/2) (links).Auf der rechten Seite ist die Bandstruktur und die untersuchte Einheitszelle abgebildet.

Bei der Berechnung der Energie pro Platz im Kontinuumslimes entstehen wegen � =0 bei k = 0 bei einem der Bänder alternierende Energiewerte, die gegen einen ge-meinsamen Grenzwert eG, 1/2 konvergieren. Wie bei der flussfreien und der flussvollenBienenwabenleiter werden zwischen 1 und 1000 Stützstellen zur Energieberechnung ge-nommen. Es werden zwei lineare Fits durchgeführt ab N = 101 und N = 102 Schritten,die den gleichen Achsenabschnitt haben (s. Abbildung 4.3).

eG, 1/2 = −0,6890792150 (4.3)

Auch hier ist der Fehler vernachlässigbar klein.

Der Vergleich von (4.1), (4.3) und (4.2) zeigt, dass die flussfreie Konfiguration ener-getisch am günstigsten und die flussvolle Konfiguration energetisch am ungünstigstenist, während die Energie der halben Flussfüllung dazwischen liegt.

Die hier benutzte Wahl der Einheitszelle zur Realisierung der Dichte ρ = 1/2 ist eineaus unendlich vielen Möglichkeiten. Die Frage, welche dieser Anordnung von Flüssenin der Einheitszelle die energetisch günstigste ist, ist nicht trivial. Es wurden bis zur

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4.1. Energie der Bienenwabenleiter

Anzahl M = 14 Plaketten pro Einheitszelle alle Möglichkeiten die halbe Flussfüllungzu konstruieren aufgestellt und zu jeder die Energie pro Platz berechnet. Im Anschlusswurden aus diesen Konfigurationen die energetisch günstigsten ausgewählt. Dabei zeigtesich, dass Konfigurationen, in denen die Flüsse innerhalb der Einheitszelle benachbartePlaketten besetzen, also aneinander gebunden sind, die Energie minimieren.

Es wird nun untersucht, wie sich die Energie pro Platz dieser günstigen Flusskon-figurationen bei halber Flussfüllung für große Periodizität verhält. Dazu wird die eineHälfte der Einheitszelle mit π-Flüssen gefüllt, während die andere Hälfte leer bleibt. Dafür große Einheitszellen die Schnittstelle zwischen dem flussvollen und dem flussleerenBereich nicht relevant sein sollte, wird erwartet, dass sich die Energie pro Platz demWert

eges,KL =1

2eG,0 +

1

2eG, 1 = −0,692885 (4.4)

im Kontinuumslimes annähert. Sind die Konfigurationen, in denen alle π-Flüsse an-einander gebunden sind tatsächlich die günstigsten, sollte (4.4) die kleinst möglicheEnergie für ρ = 1/2 sein.

Abbildung 4.4: Energie pro Platz von ρ = 1/2 zu verschiedener Anzahl an Plaketten Mpro Einheitszelle. Ab M = 8 wurden Fits mit Polynomen sechsten Grades berechnet. In derAbbildung ist zudem die Einheitszelle der günstigsten Flusskonfiguration zu sehen. Rot markiertePlaketten beinhalten einen π-Fluss.

Abbildung 4.4 zeigt die Energien pro Platz für Flussfüllungen ρ = 1/2 aufgetragengegen die inverse Anzahl Plaketten M pro Einheitszelle, wobei die Flüsse wie beschrie-ben gesetzt wurden. Für wachsende Anzahl an Plaketten M pro Einheitszelle sinkt dieEnergie bis zu einem Minimum bei

Mmin = 16 emin, 8/16 = −0,693062 , (4.5)

19

Kapitel 4. Resultate und Diskussion

anschließend steigt sie aber wieder. Es wurden die Energien pro Platz von Systemenmit bis zu 80 Plaketten pro Einheitszelle berechnet. Ab M = 8 wurden zwei Fits mitPolynomen sechsten Grades berechnet, deren Schnittpunkte mit der Ordinatenachsestimmen im Rahmen der Genauigkeit überein.

eG,KL = −0,692885 (4.6)

Dies stimmt mit dem theoretisch erwarteten Wert (4.4) im Grenzfall großer Einheits-zellen überein. Im nächsten Abschnitt werden allgemeinere Flusskonfiguration unter-sucht und der Grenzfall großer Einheitszellen für verschiedene Flussdichten betrachtet.Auffällig ist das alternierende Verhalten der Energiewerte. Systeme mit Einheitszellenmit einer ungeraden Anzahl an Flüssen haben eine höhere Energie als solche mit einergeraden Anzahl an Flüssen.

4.2 Untersuchung verschiedener Flussdichten

Nachdem im letzten Abschnitt speziell die Dichte ρ = 1/2 analysiert wurden, werdenhier zu verschiedenen Dichten ρ die Energien pro Platz untersucht. Da zu einer Dich-te ρ verschiedene Flusskonfigurationen gebildet werden können, lässt die Energie proPlatz der jeweiligen Konfiguration Rückschlüsse auf besonders günstige bzw. ungünsti-ge Konfigurationen zu.

Abbildung 4.5: Energie pro Platz verschiedener Flusskonfigurationen gegen die Dich-te ρ = NF/M (NF: Anzahl der Flüsse pro Einheitszelle; M : Anzahl der Plaketten pro Ein-heitszelle) aufgetragen.

20

4.2. Untersuchung verschiedener Flussdichten

4.2.1 Energie verschiedener Flusskonfigurationen

In Abschnitt 3.3 wurde beschrieben, wie verschiedene Flusskonfigurationen bestimmtwerden. Zu jeder dieser Konfigurationen lässt sich die Energie pro Platz ausrechnen.Da jedoch mit wachsender Anzahl an Plaketten pro Einheitszelle die Rechenzeit zurDiagonalisierung der Matrix ansteigt und zu jeder Konfiguration die Matrix mehrfachdiagonalisiert werden muss, ist die Anzahl der Konfigurationen die untersucht werdenkönnen begrenzt. Hinzu kommt die stark mit der Größe der Einheitszelle wachsendeAnzahl an Möglichkeiten die Flüsse innerhalb der Einheitszelle zu platzieren.

Abbildung 4.5 zeigt die Energie pro Platz verschiedener Konfigurationen auf unter-schiedlich großen Einheitszelle bis zu M = 14 Plaketten pro Einheitszelle. Zur Berech-nung der Energie pro Platz jeder Konfiguration wurden 500 Stützstellen genommen,weshalb der Fehler vernachlässigbar ist. Es werden folgende Beobachtungen gemacht:

1. Konfigurationen, bei denen alle Flüsse in benachbarten Plaketten sind, sind ener-getisch günstiger als Konfigurationen, bei denen die Flüsse über die Einheitszelleverteilt sind.

2. Konfigurationen mit gerader Anzahl an Flüssen sind energetisch günstiger alssolche mit ungerader Anzahl an Flüssen.

Beide Beobachtungen decken sich mit den Erkenntnissen aus der Untersuchung derhalben Flussfüllung. Vor diesem Hintergrund werden im nächsten Unterabschnitt Flus-skonfigurationen im Kontinuumslimes untersucht.

4.2.2 Kontinuumslimes optimaler Flusskonfigurationen

Nachdem in 4.1.2 bereits beobachtet wurde, dass die vollständige Bindung aller π-Flüsse nicht der energetisch günstigste Fall ist, sondern dass energetisch günstigereKonfigurationen eine endliche Periodizität besitzen, werden diese Betrachtungen hiererweitert. Die Gesamtenergie eines Systems mit unendlich großer Einheitszelle, von derein Teil vollständig mit π-Flüssen besetzt ist und der andere nicht, ist

eges,KL = ρ · eG, 1 + (1− ρ) · eG, 0 = eG, 0 + (eG, 1 − eG, 0) ρ . (4.7)

Die Abbildung 4.6 zeigt, dass es auch für andere Dichten als ρ = 1/2 bei endlicherSystemgröße günstigere Konfigurationen als die des Kontinuumslimes gibt. Ob die inder Abbildung sichtbaren Konfigurationen die kleinst mögliche Energie haben ist offenund wird nicht weiter Untersucht.

Dass Systeme mit endlicher Periodizität eine geringere Energie haben als solcheim Kontinuumslimes lässt sich auf die Wechselwirkung der π-Flüsse zurückzuführen.Solange die Einheitszelle hinreichend klein ist, können Teilchen aus einer Einheitszellemit denen in der nächsten Einheitszelle wechselwirken. Wie Röhrig [8] zeigte, ist dieZwei-Teilchenwechselwirkung attraktiv und die Drei-Teilchenwechselwirkung repulsiv.Demnach ist eine Anordnung, in der zwei Teilchen über die Einheitszelle hinaus mit π-Flüssen wechselwirken, die Drei-Teilchenwechselwirkung zur nächsten Einheitszelle aberschon stark genug abgefallen ist, besonders günstig.

21

Kapitel 4. Resultate und Diskussion

Abbildung 4.6: Energie pro Platz verschiedener Flusskonfigurationen mit der Geraden (4.7).

4.3 Energienäherung mit Wechselwirkungstermen

Mit dem von Röhrig [8] berechneten chemischen Potential µ mit

µ = 0,1099423 (4.8)

und den Wechselwirkungsenergien der π-Flüsse auf periodischen Bienenwabenleitern,lässt sich die Energie verschiedener Flusskonfigurationen auf dem in 3.4 vorgestelltenWeg berechnen.

4.3.1 Näherung erster Ordnung

Wird in (3.10) die Paarwechselwirkungsenergie vernachlässigt, verbleibt der lineareAusdruck

eges, 1 = e0 +µ

4ρ+O

(n2)

. (4.9)

In Abbildung 4.7 ist die Gerade (4.9) zusammen mit den in dieser Arbeit berech-neten Energiewerten, welche im weiteren unter Vernachlässigung numerischer Fehler“exakt“ genannt werden, dargestellt. Die Konfigurationen mit geringer Dichte liegenauf dieser Geraden. Für weniger Plaketten oder mehrere Flüsse in einer Einheitszellemuss für eine bessere Näherung die Wechselwirkung der Flüsse berücksichtigt werden.

22

4.3. Energienäherung mit Wechselwirkungstermen

Abbildung 4.7: Die berechneten Energiewerte zum Vergleich mit der Näherung ohne Wechs-welwirkungsenergien und mit Berücksichtigung der Paarwechselwirkungen.

4.3.2 Näherung zweiter Ordnung

Wird die Wechselwirkungsenergie berücksichtigt, kann die Gesamtenergie in der Nähe-rung zweiter Ordnung über die beschriebene Routine berechnet werden. Abbildung 4.7zeigt die Ergebnisse einer solchen Rechnung für die optimalen Konfigurationen (alleFlüsse sind innerhalb der Einheitszelle benachbart). Zur Berechnung wurde ein ma-ximaler Abstand von acht Plaketten benutzt. Größere Distanzen sind, wie Röhrig [8]zeigte, von der Größenordnung 10−4.

Es ist zu erkennen, dass Konfigurationen geringer Dichte mit bis zu zwei Flüssen proEinheitszelle die exakten Werte gut wiedergeben. Bei höheren Dichten und bei mehrals zwei benachbarten Flüssen weichen die genäherten Werte stark von den exaktenab. Nach Röhrig [8] liefert die Drei-Teilchenwechselwirkung einen repulsiven Beitrag.Um eine gute Näherung für mehr als drei Flüsse pro Einheitszelle zu erreichen, müssendiese berücksichtigt werden. Der repulsive Beitrag ist nicht zu vernachlässigen.

Im nächsten Kapitel werden die Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst undoffene Fragestellungen genannt.

23

Kapitel 5

Zusammenfassung und Ausblick

Abschließend sollen an dieser Stelle die Ergebnisse dieser Arbeit zusammengetragenwerden und ein Ausblick gegeben werden. Es wurde der Einfluss von periodischenFlussfüllungen auf die Physik freier und spinloser Fermionen bei halber Füllung aufquasi-eindimensionale Gitterstrukturen untersucht. Analytische Lösungen wurden zurQuadratleiter und Bienenwabenleiter gefunden. Dabei zeigte sich, dass die flussvolleQuadratleiter eine niedrigere Energie pro Platz bei halber fermionischer Füllung hatteals die flussleere Quadratleiter. An ihr kann daher kein direktes Quasiteilchenmodell un-tersucht werden. Die flussleere Bienenwabenleiter weist hingegen eine niedrigere Energiepro Platz auf als die flussvolle Bienenwabenleiter, weshalb hier magnetische Flüsse alsAnregungen über einem Grundzustand aufgefasst werden können, in völliger Analogiezum zweidimensionalen Bienenwabengitter.

Zur Untersuchung der magnetischen Flüsse auf der quasi-eindimensionalen Waben-leiter wurde ein Programm geschrieben, mit dem Dispersionsrelationen zu beliebigenFlussdichten mit gegebener Einheitszelle berechnet werden können. Dazu werden nurInformationen über die Größe des Systems und die Positionen der magnetischen Flüsseinnerhalb der Einheitszelle benötigt. Mit dem Programm lassen sich somit erfolgreichdie analytischen Ergebnisse zu den Dispersionsrelationen als auch zu den Energien proPlatz der flussleeren und flussvollen Wabenleiter reproduzieren, d.h. Extrapolationenzum Kontinuumslimes konvergieren gegen Grenzwerte, die mit den Energien pro Platzaus Kapitel 2 übereinstimmten. Die Fehler der Extrapolationen lagen deutlich unterden Fehlern des Programms.

Zu einer gegebenen Flussdichte existieren unendlich viele Flusskonfigurationen undes ist eine nicht-triviale Frage welche Konfiguration die energetisch günstigste ist. Dieswurde zuerst für eine Dichte ρ = 1/2 untersucht. Die Einheitszelle bestand aus zweiPlaketten, wobei in einer der Plaketten ein π-Fluss platziert wurde. Die Bandstrukturzeigte Dirac-Kegel bei k = 0. Die Extrapolation zum Kontinuumslimes ergab wie auchbei der flussleeren und flussvollen Wabenleiter ein Ergebnis mit vernachlässigbarem Feh-ler. Weiterhin wurde für ρ = 1/2 bei Einheitszellen aus M = 14 Plaketten untersucht,welche Konfigurationen die Energie minimieren. Dabei zeigte sich, dass die π-Flüssedazu neigen sich in benachbarten Plaketten innerhalb der Einheitszelle anzuordnen,

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weshalb versucht wurde, das Verhalten der Energie für unendlich große Einheitszellenuntersucht. Dazu wurde eine Hälfte der Einheitszelle mit π-Flüssen gefüllt, währenddie andere Hälfte leer gelassen wurde. Es zeigte sich, dass die energetisch günstigsteFlussfüllung bei einer endlich großen Einheitszelle liegt. Diese Arbeit lässt aber offen, obdie Konfigurationen mit endlicher Einheitszelle und gebundenen Flüssen tatsächlich dasabsolute Minimum der Energie darstellt. Dies bleibt weiter zu untersuchen. Darüberhinaus lässt sich eine Untersuchung der energetisch günstigsten Anordnung von π-Flüssen in der Einheitszelle wie sie in dieser Arbeit für ρ = 1/2 durchgeführt wurdeauch für beliebig viele andere Flussdichten durchführen.

Zu verschiedenen Dichten und Flussfüllungen konnten die Energien pro Platz be-rechnet werden. Es wurde eine Systematik erkannt, welche Flusskonfigurationen mini-male Energien hatten. Konfigurationen, bei denen alle Flüsse in benachbarten Plakettenplatziert werden, sind energetisch am günstigsten, dabei sind Konfigurationen mit einergeraden Anzahl an Flüssen günstiger als solche mit einer ungeraden Anzahl an Flüssen.Die Ergebnisse von Röhrig [8] bestätigen diese Beobachtung. Für allgemeinere Dich-ten wurde beobachtet, dass Systeme mit endlich großer Einheitszelle eine niedrigereEnergie haben als Systeme mit unendlich großer Einheitszelle, analog zu ρ = 1/2. DasPhänomen konnte mit den Ergebnissen von Röhrig [8] qualitativ erklärt werden, jedochkonnte im Rahmen dieser Arbeit keine quantitative Gesetzmäßigkeit erarbeitet werden.

Im Rahmen des Quasiteilchenmodells wurde eine Näherung der Energie eines Sy-stems mit dem von Röhrig [8] berechneten chemischen Potential und den Zweiteil-chenwechselwirkungen vorgenommen und diese mit den Ergebnissen dieser Arbeit ver-glichen. Für kleine Flussdichten, bei denen der Abstand der Flüsse so groß ist, dassihre Wechselwirkungsenergie vernachlässigt werden kann, genügt eine Näherung bis zuOrdnung O(n1). Werden die Zweiteilchenwechselwirkungen berücksichtigt, lässt sichdie Energie höherer Flussdichten ρ ≈ 1/5 gut annähern. Jedoch sind die Mehrteil-chenwechselwirkungen nicht vernachlässigbar, weshalb Konfigurationen, in denen dreiFlüsse pro Einheitszelle vorkommen nicht mit einer Näherung bis zur Ordnung O(n2)approximiert werden können.

Wie Röhrig [8] zeigte, überwiegt die Zweiteilchenwechselwirkung anders als bei Heu-ßen [6] die Dreiteilchenwechselwirkung. Dennoch können sie nicht zur Energienäherungvernachlässigt werden. Es ist nicht zu erwarten, dass bei Berücksichtigung von Wechsel-wirkungstermen höherer Ordnung eine ausreichende Näherung für beliebig hohe Dich-ten erreicht werden kann. Dies wurde in dieser Arbeit aber nicht geprüft und bleibt alsinteressante Frage offen.

Die Rechnung im Impulsraum war die Zentrale Methode dieser Arbeit und ließesich auf zweidimensionale Systeme anwenden.

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Quellenverzeichnis

[1] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V.Grigorieva, and A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films.Science, 306:666, 2004.

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[3] A. Kitaev. Anyons in an exactly solved model and beyond. Annals of Physics,321:2, 2004.

[4] P. Westphälinger. Einfluss von magnetischen Flüssen auf freie Fermionen in zweiDimensionen. Lehrstuhl für Theoretische Physik I, Fakultät Physik, TechnischeUniversität Dortmund, 2013.

[5] M. Kamfor, S. Dusuel, K.P. Schmidt, and J. Vidal. Fate of dirac points in a vortexsuperlattice. Physical Review B, 84:153404, 2011.

[6] S.H. Heußen. Effektive magnetische Flusswechselwirkung für spinlose Fermionenauf dem Bienenwabengitter. Lehrstuhl für Theoretische Physik I, Fakultät Physik,Technische Universität Dortmund, 2014.

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[8] R. Röhrig. Eigenschaften magnetischer Flüsse auf einer quasi-eindimensionalenWabenleiter spinloser Fermionen. Lehrstuhl für Theoretische Physik I, FakultätPhysik, Technische Universität Dortmund, 2015.

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Danksagungen

Ich bedanke mich bei Dr. Kai Philipp Schmidt für die hervorragende Betreuung, je-derzeitige Erreichbarkeit und die Wahl dieses spannenden Themas. Außerdem dankeich Kris Cöster und Michael Powalski für ihre Unterstützung und Geduld bei vielenFragen. Großer Dank geht auch an meine Familie für ihre Unterstützung.

Eidesstattliche Versicherung

Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit mit demTitel ”Wechselspiel von periodischen Flussfüllungen und spinlosen Fermionen auf einerWabenleiter” selbständig und ohne unzulässige fremde Hilfe erbracht habe. Ich habekeine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie wörtliche undsinngemäße Zitate kenntlich gemacht. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Formnoch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.

Ort, Datum Unterschrift

Belehrung

Wer vorsätzlich gegen eine die Täuschung über Prüfungsleistungen betreffende Rege-lung einer Hochschulprüfungsordnung verstößt handelt ordnungswidrig. Die Ordnungs-widrigkeit kann mit einer Geldbuße von bis zu 50.000,00e geahndet werden. ZuständigeVerwaltungsbehörde für die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist derKanzler/die Kanzlerin der Technischen Universität Dortmund. Im Falle eines mehrfa-chen oder sonstigen schwerwiegenden Täuschungsversuches kann der Prüfling zudemexmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5 Hochschulgesetz - HG - ).

Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe biszu 3 Jahren oder mit Geldstrafe bestraft.

Die Technische Universität Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wiez.B. die Software ”turnitin”) zur Überprüfung von Ordnungswidrigkeiten in Prüfungs-verfahren nutzen.

Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.

Ort, Datum Unterschrift

InhaltsverzeichnisEinleitungModell und analytische RechnungHamiltonoperator und ZuständeQuasi-eindimensionale GitterZustände auf quasi-eindimensionalen Gittern

Magnetische FlüsseAharonov-Bohm-EffektBondflips

Die QuadratleiterDer flussfreie Fall (=0)Der flussvolle Fall (=1)

Die BienenwabenleiterDer flussfreie Fall (=0)Der flussvolle Fall (=1)

MethodenAufstellen und diagonalisieren der MatrixExtrapolation zum KontinuumslimesVerschiedene FlusskonfigurationenEnergieberechnung bis zur Ordnung O(n2)

Resultate und DiskussionEnergie der BienenwabenleiterDer flussfreie und flussvolle FallHalbe Flussfüllung (=1/2)

Untersuchung verschiedener FlussdichtenEnergie verschiedener FlusskonfigurationenKontinuumslimes optimaler Flusskonfigurationen

Energienäherung mit WechselwirkungstermenNäherung erster OrdnungNäherung zweiter Ordnung

Zusammenfassung und AusblickQuellenverzeichnis