Wegenetze

von: Johanna Nixdorf, Michael Repke, Christian Richter (10.11.2008)

Ein simples Beispiel:

Auf wie vielen „kürzesten Wegen“ gelangt man vom grün markierten Standort zum rot markierten?

Lösung durch Probieren und Zeichnen

Lösung durch Probieren und Zeichnen

Es gibt 4 kürzeste Wege!

Komplexeres Beispiel:

Finde die Anzahl der kürzesten Wege vom Metropolitan Museum zum New York Hospital!

Lösung durch Probieren und Zeichnen zu langweilig und zeitaufwändig!

Mathematik macht es leichter!

Das Pascalsche Dreieck.... mit 21 Stufen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

012345678910

Schematischer Aufbau

Anzahl der Entscheidungen in die eine Richtung

Anz

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Aufgabe 1

John wohnt in New York. Er möchte seine Freundin Mary besuchen, die drei Blocks östlich und zwei Blocks nördlich wohnt.

a) Wie viele gleichlange, kürzeste Wege könnte John zu Mary gehen?

b) John entscheidet sich um: Er will vorher noch Blumen besorgen. Der Blumenladen befindet sich zwei Blocks südlich und vier Blocks östlich. Wie viele gleichlange, kürzeste Wege könnte John zum Laden gehen?

c) John geht direkt vom Blumenladen zu seiner Freundin. Wie viele gleichlange, kürzeste Wege könnte John gehen?

Aufgabe 2

In einem rechtwinkligen n x n Wegenetz ist der Abstand zwischen zwei Kreuzungen definiert als eine Längeneinheit (= 1 LE).

Berechne die Anzahl der kürzesten Wege mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks und von folgenden Bewegungen:

a) 3 LE nach rechts und 3 LE nach oben.b) 4 LE nach rechts und 4 LE nach oben.c) 5 LE nach links und 3 LE nach unten.d) 3 LE nach Osten und 5 LE nach Süden.e) 5 LE nach Süden und 6 LE nach Westen.

Aufgabe 3

Tina kommt das sechste Mal zu spät zur Schule. Sie entschuldigt sich mit folgender Aussage: “Ich habe versucht, den kürzesten Weg zur Schule zu finden! Mehr als 6 verschiedene gleichkurze Wege gibt es nicht! [...]”

Markiere alle Orte, an denen Tina wohnen könnte!

Hinweis: Das große rote Kreuz markiert die Schule!

Aufgabe 4

Gustav wirft eine Münze. Auf der einen Seite der Münze ist ein Wappen, auf der anderen eine Zahl. Er wirft 5 mal.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass er nur einmal 'Zahl' wirft?

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass er genau zweimal 'Zahl' wirft?

c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass er dieselbe Seite fünfmal wirft?

d) Wie viele verschiedene Ausgänge wären nach fünfmal Werfen denkbar?

Aufgabe 5

1024 Autos haben jeweils Benzin für 500km und fahren am selben Punkt  los. Am Start und in Abständen von 50km können sich die Fahrer entscheiden nach Norden oder nach Osten zu fahren. Jedes Auto fährt eine andere Streckenkomination ab, bis sein Tank leer ist.

a) 252 Autos gelangen nach 500km glücklicherweise zu einer Tankstelle. Nenne mindestens fünf Streckenkombination, die vom Start zu dieser einen Tankstelle führten.

b) 180km nördlich vom Start tobt ein gefährlicher Schneesturm. Wie  viele Autos sind gänzlich vom Sturm verschont geblieben?

c) Wie viel Prozent der Autos sind in den Sturm gefahren?

d) Gibt es Autos, die die Tankstelle erreicht und weniger als 100km der Gesamtstrecke im Schneesturm verbracht haben? Begründe deine Antwort.

Ziele nach Rahmenlehrplan Sek I

- modellieren mehrstufiger Zufallsexperimente, die auf jeder Stufe zwei Ausgänge haben

*- beschreiben die Ergebnismenge 2- und 3-stufiger Zufallsexperimente durch Baumdiagramme

**- berechnen Laplace-Wahrscheinlichkeiten durch Spezialisierung des allgemeinen Zählprinzips auf Grundlage des Urnenmodells („Ziehen mit und ohne Zurücklegen“)- begründen die kombinatorischen Grundmodelle („Ziehen mit und ohne Zurücklegen“)

***- beschreiben mehrstufiger Zufallsexperimente mit Hilfe des Urnenmodells- verwenden zur Berechnung auch Fakultäten und Binominalkoeffizienten

Aufgaben aus didaktischer Sicht

Aufgabe 1: Einführung in das Thema. Aufgabe bei der das Lösen durch Zählen noch möglich ist. Es soll nachvollziehbar sein, dass das Pascalsche Dreieck eine wertvolle Hilfe ist.

Aufgabe2: Abstraktion und Übung der Unterscheidung von wichtigen und unwichtigen Informationen.

Aufgabe 3: Umkehrung der Aufgabenstellung. Überprüfung der Tiefe des Verständnisses des bisher Erlernten.

Aufgabe 4: Verallgemeinerung. Übertragung der Idee von rechtwinkligen Wegenetzen auf mehrstufige Entscheidungen mit binärem Ausgang (sog. Bernoulli-Ketten).

Aufgabe 5: Komplexere stochastische Aufgaben, die dennoch mit dem Pascalschen Dreieck lösbar bleiben.