Zinskurvenmodelle Und Ihre Anwendung

Seite 1Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider

Zinskurvenmodelle und ihre Anwendung

- Interest Rate Models ( Einfaktor Modelle) Grundkenntnisse der Bewertung Aufbau eines Gitters

- Anwendungen in der Zinsderivatewelt a) CAP-FLOOR b) SWAPTIONS c) BONDS

- Konkrete Realisierung

a) Lognormale Zins-Modelle (BDT, BK) b) Normale Zins-Modelle (HL, HW)


Bewertung von Zinsderivaten

- Es gibt verschiedene Verfahren um stochastische Variablen (i.e. der zukünftige Zinssatz) zu simulieren

a) Binomial- und Trinomialbäumeb) Finite Differenzen (Diskretisieurung der SDE)c) Monte Carlo Simulation (Mehrfaktormodelle z.B. HJM, BGM)

Im folgenden beschränken wir uns auf Binomialbäume und Trinomial-bäume

Ziel: Bewertung von Standard Zinsderivaten Erweiterung um Bermudan Style Optionen



Für das Verständnis ist es vorteilhaft sich den Aufbau eines Aktien-gitters in Erinnerung zu rufen.

Die Unterschiede sind im wesentlichen folgender Natur:a) Die Gittervariable in einem Zinsbaum ist im wesentlichen die ∆t periodische Rateb) Zinsbäume arbeiten im wesentlichen wie Aktienbäume, ausser dass sich die Diskontierungsfaktoren von Knoten zu Knoten ändern.

Übung 1: Bewerte eine amerikanischen Call und Put Option S = 50, X = 50, r=0,1 σ=0,4 Laufzeit = 5 Monate

n = 10 Benutze EXCEL


Risikoneutrales PricingInterest rate

r

ur

dr

Asset price

Ist der risikofreie Zinssatz für die Periode [0, ∆t]. Somit isteine ∆t -periodische rate und 1€, der heute investiert wird nach einerPeriode € wert sein.

cuc

dcp

p−1

tre ∆

∆t ∆t

p

1-p


Die risikoneutraleWahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung ist p. Die fundamentale Gleichung für die riskoneutrale Bewertung ist dann:

(1)[ ] [ ]dutr

ttr cppceceEc )1( −+== ∆−

∆∆−

Mit anderen Worten: Der Wert des Derivates zum Zeitpunkt 0 eines zufälligen Auszahlungsprofils ist der abdiskontierte erwartete Wert.


Numerierung der Zustände im Gitter

0 t∆ t∆2 t

0 1 2 3 index

0

1

-1

2

0

-2

3

1

-1

-3


Diskontierungsberechnung

r

uruur

drudr

ddr

0 t∆ t∆2 t

0 1 2 3 index

0 t∆ t∆2

0 1 2 3 index

1

1

1

1

ddB

udB

uuB

uB

dB)0(B


Sei ein Zinsgitter gegeben, wie bestimmt man die Diskontierungsfunktion?Die Anfangsdiskontierungsfaktoren sind gegeben als

Schritt 1: Nutze 1 Schritt Gitter zur Berechnung von Schritt 2: Nutze 2 Schritt Gitter zur Berechnung vonSchritt 3: Nutze 3 Schritt Gitter zur Berechnung von

D.h. Man läuft vorwärts und rückwärts, d.h. das kostet Zeit.

Aber es geht schneller:

niBi ,...,1, =

1B

2B

3B


Vorwärts-Induktion

0 t∆ t∆2 t

1 2 3

0 t∆ t∆2 t

1 2 3

r

ur

dr

uur

udr

ddr

1

uq

dq

uuq

udq

ddq

0 0


Sei der Preis zum Zeitpunkt 0 der 1€ im Zustand auszahlt.Man nennt dies den Zustandspreis oder auch Arrow-Debreu Preis.Der Preis eines Zero Bondes mit Laufzeit 2 ist dann über die Zustände definiert als

Die Wahrscheinlichkeit ist konstant.Somit können die Zustände mit den folgenden Schritten berechnet werden:

Schritt 1: Schritt 2:

Schritt 3:

xq x

dduduu qqqB ++=2

1)1(, Bepqpeq trd

tru −== ∆−∆−

2)1(,

,)1(

Bqepqqpeq

qpeqepq

dtr

ddutr

uu

dtr

utr

ud

dd

du

−==

+−=∆−∆−

∆−∆−

3)1(

)1(

,)1(,

Bqpeqepq

qpeqepq

qepqqpeq

ddtr

udtr

udd

udtr

uutr

uud

ddtr

ddduutr

uuu

ddud

uduu

dduu

+−=

+−=

−==

∆−∆−

∆−∆−

∆−∆−

5,0=p


Beispiel für Vorwärts-Induktion

0 t∆ t∆2 t

1 2 3

0 t∆ t∆2 t

1 2 3

9 %

10 %

8 %

7 %

9 %

11 %

1,00

0,4570

0,4570

0,2067

0,4177

12 %

10 %

8 %

6 %

0,2109

0,0926

0,2835

0,2892

0,0983

0 0


Bewertung von Europäischen Derivaten

t∆ t∆2 t∆ t∆2

r

ur

dr

uur

udr

ddr

1

uq

dq

uuq

udq

ddq

uuuc

uudc

dddc

uddc

0 0Tt =∆3 Tt =∆3


Sei der Preis zum Zeitpunkt 0 der im Zustand zum Zeitpunkt auszahlt. Wie bestimmt man den Wert von ?

Man benutzt das Rückwärtsrechenschema und berechnet Z.B.

u.s.w. D.h. man erhält den Wert zum Zeitpunkt 0 über diese rekursiveBerechnung.

Alternativ und wesentlich eleganter ist es den Wert über die Zustandspreisedirekt zu berechnen,

c xc

[ ],)1( uuduuutr

uu cppcec uu −+= ∆−

x

T c

.=x

xxqcc



Die liquidesten Instrumente sind Caps/Floors und Swaptions:Der einfachste Baustein ist ein FRA:

FRA mit Tenor τ (=0,25 oder 0,5 Jahre)

FRA = (F-X) τ, Payoff ist zum Zeitpunkt T = t+ τ

F = Index für die Periode ,X = Strike

Die Foward Rate für die Periode von i bis i+1 zum Zeitpunkt 0 ist:

τ

11

−= +i

i

PP

F



Der Barwert des FRA‘s ist dann:

d.h. FRA ist eine Linearkombination von Diskontierungsfaktoren,und diese Diskontierungsfaktoren werden exakt im Modell abgebildet.(siehe Vorwärtsinduktion). Dieses Argument gilt auch für Swaps, daSwap eine Summe von FRA‘s darstellt.

1

11

1

)1(

1

)()(

+

++

+

+−=

�

��

�

�

−−

=

−=

ii

ii

i

i

PXP

PXPP

PXFFRANPV

τ

ττ

τ



Wenn man von Optionen auf FRA‘s spricht, dann unterscheidet man

a) zwischen Portfolios von Optionen auf FRA‘s (CAP/FLOOR)

b) Optionen auf Portfolios von FRA‘s (Swaption)


Äquivalenz zwischen Caps und Puts auf Zero-Bonds

Betrachte ein Caplet für die Periode [i∆t,(i+1) ∆t] mit Strike X. Der Wert des Caplets zum Zeitpunkt i∆t ist dann, wenn der LIBOR L ist:

D.h. Caplet ist äquivalent zu (1+X∆t) puts auf einen einperiodischenZero-Bond mit strike 1/(1+ X∆t), der zum Zeitpunkt i∆t endet.Oder. Caplet ist äquivalent zu einer Option, die in einen 1 periodischen Swap führt.

[ ]

��

�

∆+−

∆+⋅∆+=

��

��

�

∆+∆+−

∆+∆+=

−∆+

∆

0,1

11

11

0,11

11

0,1

tLtXMAXtX

tLtX

tLtLMAX

XLMAXtL

t


Bewertung eines Caplets im Gitter

t∆ t∆2 t∆ t∆2

L

uL

dL

uuL

udL

ddL

1

uq

dq

uuq

udq

ddq

uuuL

uudL

dddL

uddL

0 0Tt =∆3 Tt =∆3


Falls man kontinuierliche Zinsen vewendet hat ist nun eine kleine Unformung ineinfache Zinsen notwendig, die im Gitter als bezeichnet sind.

Betrachte nun ein Caplet für die Periode mit Strike . Wenn der Zinssatz im Gitter zu diesem Zeitpunkt ist , dann ist die Zahlung die zum späteren Zeitpunkt geleistet wird.

Der Wert zum Zeitpunkt ist

Der Wert des Caplet zum Zeitpunkt 0 ist dann einfach

( )111

1 −∆

=∆+

= ∆∆− trtr et

LtL

e

[ ],3,2 tt ∆∆

L

XL

[ ] tXLMax ∆− 0, t∆2

[ ]0,1

XLMaxtL

t −∆+

∆

[ ] xx

qXxLMaxtxL

t −∆+

∆ 0,)()(1

t∆2


Äquivalenz zwischen Swaptions und Optionen auf Kupon-Bonds

Betrachte eine 1 jährige Option, die dazu berechtigt in einen n jährigenZahler-Swap (zahle fix und empfange float) mit Strike X (Principal = 1)einzutreten. Zum Zeitpunkt 1 ist der Swap PV(float)-PV(fix) wert. Unter der Annahme, dass der Nominalbetrag am Ende des Swaps ausgetauscht wird, gilt PV(float) = 1;

d.h. PV(fix) ist der Wert eines n-jährigen Bonds mit Kupon X.Somit ist der Auszahlungsbetrag der Option MAX[1-P(1),0] und somitäquivalent einer Put Option mit Strike 1auf einen Bond mit Kupon X.

+

=+ =+=

1

21 )1()1()(

n

ini PPXPfixPV


Bewertung einer Europäischen Swaption im Gitter

t∆ t∆2 t∆ t∆2

L

uL

dL

uuL

udL

ddL

uP

dP

uuP

udP

ddP

uuuL

uudL

dddL

uddL

0 0Tt =∆3 Tt =∆3

CPuuu +=1

CPuud +=1

CPudd +=1

CPddd +=1


Was ist der Wert ein einjährigen Option, die es erlaubt nach Ablauf in einen zweijährigen Zahler- mit Strike X Swap einzutreten?

Swap-Preis in einem Jahr:

Somit erhält man für die Zahler Swaption zum Zeitpunkt 0:

Die Kupon Bondpreise sind :

[ ] [ ]0,1,0,1 dduu PMaxSPMaxS −=−=

( ).)1(1

dutr

xatxx SppSeqSS −+== ∆−

))1((

))1((

;)1(

,)1(,)1(

ddudtr

d

uduutr

u

trdd

trud

truu

PppPeP

PppPeP

CCeP

CCePCCeP

d

u

dd

uduu

−+=

−+=

++=

++=++=

∆−

∆−

∆−

∆−∆−


Bewertung im Gitter

Bisher haben wir nur gezeigt, wie Derivate im Baum (Gitter) berechnet werden. Nun wollen wir uns dem Problem zum Aufbau eines Gitters zuwenden. Die Bäume bzw. Gitter sollen folgende wünschenswerte Eigenschaften besitzen:

a) Kalibrierung von Markt-Instrumenten - Rekonstruiere die Zinskurve - Rekonstruiere die Volatilitätskurve - Rekonstruiere die Preise von Derivaten - Rekonstruiere die Anfangskorrelationb) Nicht Negative Zinsenc) Analytische Berechnungen


Black-Derman-Toy (BDT)-Modell

- Rekonstruiert die Anfangskurve- Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve- Die Zinskurve (short rate) ist Lognormal d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als Prozentsatz des Zinssatzes (relatives Mass wie in der Black-Scholes Welt- nicht absolut).- Zinsen sind positiv- Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess

BDT Modell

Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch dieBaumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns aufkonstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant.

dztdttrrd )()( σ+Θ=


Black-Derman-Toy Grundlagen

r

ru

0 ∆t 2∆t 3∆t

rd

2ru

rud

2rd

3ru

ru

rd

3rd

0.5

0.5

r

11ur

0 ∆t 2∆t 3∆t

11dr

222ur

333ur

0.5

0.5

2r

222dr

33ur

33dr

333dr

11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr


BDT-Modell

Schritte für die Berechnung:

a) Starte mit multiplikativen (lognormalen) Gitterb) Adjustiere zu jedem Zeitpunkt i∆t mit das Gitter so, dass die Anfangskurve reproduziert wird. Die Median rate ist dann zum Zeitpunkt i∆t :c) Setze die Volatilitätsparameter zum Zeitpunkt i∆t um die Anfangsvolatilitätskurve zu reproduzieren.

Somit ist der BDT Baum vollständig spezifiziert.

ii rr α+=

iα

)1(, =iiii dudu


Black-Derman-Toy Grundlagen

r

11ur

0 ∆t 2∆t 3∆t

11dr

222ur

333ur

0.5

0.5

2r

222dr

33ur

33dr

333dr

11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr

A

B

0.5

0.5

)(21][ BAXE +=

2)(41][ BAXVar −=

)(21][ BAX −=σ


BDT-Modell

Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter ?

Setze , aber wie ist dann zu wählen?

Wir wollen das gilt:

Somit

ud /1= u

trVar t ∆=∆2))(ln( σ

( ) 2211 )ln()ln()ln(

41))(ln( udrurrVar t =−=∆

teu ∆= σ


Black-Derman-Toy Vorwärtsinduktion

r

11ur

0 ∆t 2∆t 3∆t

11dr

222ur

333ur

0.5

0.5

2r

222dr

33ur

33dr

333dr

11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr

trdu

trd

tru

eqq

eqeq

∆−

∆−∆−

=+

==21,

21

dtdr

utur

dduduu

dtdr

dd

dtdr

utur

ud

utur

uu

qeqeqqq

qeq

qeqeq

qeq

∆−∆−

∆−

∆−∆−

∆−

+=++

=

+=

=

11

1

11

1

21

21

2121


BDT-Modell

Nun wähle und fitte die Anfangsbondpreise

Schritt 1: Somit und sind spezifiziert.

Schritt 2: Numerische Lösung ergibt den Wert für und

sind spezifiziert (1 Dim Newton-Raphson)

Schritt 3: etc.

1−ir

du qq ,

niBi ,,2,1, �=

trdu eqqB ∆−=+=1 )ln(1

1Bt

r∆

=

dtdr

utur

dduduu qeqeqqqB ∆−∆− +=++= 112

1rddúduu qqq ,,

ddtdr

udtr

uutur

dddudduuduuu

qeqeqe

qqqqB∆−∆−∆− ++=

+++=2

222

2

3


Ho-Lee (HL)-Modell

- Rekonstruiert die Anfangskurve- Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve- Die Zinskurve (short rate) ist Normal (Gauss) d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als absolutes Mass- Zinsen können negativ werden- Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess

Ho-Lee Modell

Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch dieBaumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns ebenfalls aufkonstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant.

dztdttdr )()( σ+Θ=


Ho-Lee Grundlagen

r

ur +1

0 ∆t 2∆t 3∆t

dr +1

ur 22 + ur 33 +

0.5

0.5

2r

dr 22 +

ur +3

dr +3

dr 33 +11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr

A

B

0.5

0.5

)(21][ BAXE +=

2)(41][ BAXVar −=

)(21][ BAX −=σ


HL-Modell

Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter

Setze , aber wie ist dann zu wählen?

Wir wollen das gilt:

Somit

ud −= u

trVar t ∆=∆2))(ln( σ

( ) 2211 )()(

41)( udrurrVar t =+−+=∆

udtu −=∆= ,σ


Ho-Lee Vorwärtsinduktion

r

ur +1

0 ∆t 2∆t 3∆t

dr +1

ur 22 + ur 33 +

0.5

0.5

2r

dr 22 +

ur +3

dr +3

dr 33 +11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr

trdu

trd

tru

eqq

eqeq

∆−

∆−∆−

=+

==21,

21

dtdr

utur

dduduu

dtdr

dd

dtdr

utur

ud

utur

uu

qeqeqqq

qeq

qeqeq

qeq

∆+−∆+−

∆+−

∆+−∆+−

∆+−

+=++

=

+=

=

)()(

)(

)()(

)(

11

1

11

1

21

21

2121


HL-Modell

Nun wähle und fitte die Anfangsbondpreise

Schritt 1: Somit und sind spezifiziert.

Schritt 2: Analytische Lösung ergibt den Wert für

etc.

1−ir

du qq ,

niBi ,,2,1, �=

trdu eqqB ∆−=+=1 )ln(1

1Bt

r∆

=

dtdr

utur

dduduu qeqeqqqB ∆+−∆+− +=++= )()(2

11

tBqeqer d

tdu

tu

∆−+=

∆−∆−2

1ln)ln(


Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität

r

11ur

0 ∆t 2∆t 3∆t

11dr

222ur

333ur

0.5

0.5

2r

222dr

33ur

33dr

333dr

11 α+= rr

22 α+= rr33 α+= rr

)(dBi

0.5

0.5

)(uBi

)0(iB

tidyi

tiuyi

tiyi

i

i

i

edB

euB

eB

∆−−

∆−−

∆−

=

=

=

)1)((

)1)((

)0(

)(

)(

)0(∆t0


Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität

( )[ ] ��

�=∆

)()(ln

21)(ln

dyuyty

i

iiσ

)(dyi

0.5

0.5

)(uyi

)0(iy

∆t0

Eingabe: a) Zinskurve . Ist gleichbedeutend mit der Spezifizierung der Diskontierungsfunktion

b) Volatilitätskurve , wobei gilt: und im Gitter wie folgt definiert:

)0(,),0(),0( 21 nyyy �

tiyi

ieB ∆−= )0()0(

)0(,),0(),0( 32 nσσσ �

( ) tty ii ∆=∆ )0()(ln( σσ

( ) ��

�=∆

)()(ln

21)(ln(

dyuyty

i

iiσ


Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters

r

11ur

0 ∆t 2∆t

11dr

222ur

0.5

0.5

2r

222dr

Zinsgitter

1)( =uqu

0 ∆t 2∆t

)(uquu

0.5

0.5

)(uqud

Zustandspreise von u



r

11ur

0 ∆t 2∆t

11dr

222ur

0.5

0.5

2r

222dr

Zinsgitter

1)( =dqd

0 ∆t 2∆t

)(dqdd

0.5

0.5

)(dqud

Zustandspreise von d


Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Spezifizieren von und vonentspricht der Bestimmung von und

bestimmt mit

und bestimmen

Somit: Wähle so, daß übereinstimmen:

)0(,),0(),0( 21 nBBB � )0(,),0(),0( 32 nσσσ �

r nidBuB ii ,,1),(),( �=

)0(1B r treB ∆−=)0(1

)0(1B )0(iσ )(),( dBuB ii

( )

��

�

∆=

+= ∆−

)()(ln

21)0(

)()(21)0(

dyuy

t

dBuBeB

i

ii

iitr

i

σ

ii ur , 1,,1),(),( 11 −=++ nidBuB ii �


Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Algorithmus:1. Schritt: Finde , so daß mit den Marktwerten über- einstimmen

Speziell: sind über über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:

11,ur )0(),0( 22 σB

)(),( 22 dBuB

)()()(),()()(21)(,

21)(

21)(,

21)(

22

1111

1111

dqdqdBuququB

edqedq

euqeuq

ddududuu

tdrdd

tdrud

turud

turuu

+=+=

==

==

∆−∆−

∆−∆−

11,ur


Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 2 die erforderlichen Schritte

D.h. : Bestimmung von bedeutet ein nicht-lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten zu lösen. 2 Dim Newton-Raphson.

( )

��

�

∆=

+= ∆−

)()(ln

21)0(

)()(21)0(

2

22

222

dyuy

t

dBuBeB tr

σ

11,ur



2. Schritt: Finde , so daß mit den Marktwerten über- einstimmen

Speziell: sind über über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:

Die Zustandspreise werden wieder durch die Vorwärtsinduktion bestimmt.Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 3 den Schritt:

Löse wiederrum durch 2 Dim Newton-Raphson und bestimme

22,ur )0(),0( 23 σB

)(),( 33 dBuB

)()()()()()()()(

3

3

dqdqdqdBuquququB

dddudduud

udduuduuu

++=++=

22,ur

( ) ��

�

∆=+= ∆−

)()(ln

21)0(,)()(

21)0(

3

33333 dy

uyt

dBuBeB tr σ

22,ur


Bemerkungen:

1) Optionen im Fixed Income Bereich bestehen mehrheitlich aus Caps/Floors und Swaptions.

2) Händler sind es gewohnt implizierte Volatilitäten zu quotieren, welche auf dem Black Modell basieren (lognormale Zinsen).

3) Die Bewertungen für amerikanische - oder Bermuda Optionen wird meistens in einem Binomialmodell vorgenommen.

4) Das Black Derman Toy Modell basiert auf lognormalen Zinsen und ist in diesem Sinne ähnlich zu den Anwendungen im Black Modell


Bemerkungen:

5) Das BDT Modell kommt in 3 Ausprägungen vor a) konstante Volatiltät für alle Laufzeiten und Kalibrierung der Zinsen b) Volakurve (stückweise linear im Zeitintervall) und Kalibrierung der Zinsen c) Volakurve und Kalibrierung sowohl der Zinsen als auch der Volatilitäten (führt in der Regel zu nicht-stationären Verhalten der Volatilitäten in der Zukunft), (siehe Jamshidian Artikel).

In der Praxis werden hauptsächlich Typ b) bzw. Typ a) verwendet


Analytische Bewertungfür Caps

Gängige Marktpraxis ist es Caps/Floors und Swaptions mittels analytischer Funktionen zu berechnen. Bezeichne mit P(t,T) den Wert zum Zeitpunkt t für eine Nullkupon-anleihe mit Laufzeit T. Ferner sei F(t,T,τ) der Wert zum Zeitpunkt t fürden τ periodischen LIBOR forward vom Zeitpunkt T bis zum ZeitpunktT+ τ. Ein Caplet ist eine Option auf diesen LIBOR Forward. Zum Zeit-punkt 0 (=heute) ist der Wert des Caplets mit Laufzeit T,Auszahlungszeitpunkt T+ τ und Strike X:

[ ]ττττ )()(),,0(),0(),,0( 21 dXNdNTFTPTTc −+=+

τ


Analytische Bewertungfür Caps

Wobei der Fowardzins

und

mit σ als Volatilität der logarithmischen Änderungen der Fowards.

τττ

��

� −+

=1

),0(),0(

),,0(TP

TP

TF τ

TddT

TX

TTF

d

σσ

στ

−=

��

� ++

=

12

2

1

5,0),,0(ln


Analytische Bewertungfür Swaptions

Als Underlying fungieren in der Regel sogenannte Foward Starting SwapsIst eine Vereinbarung in einen Swap in n Perioden in der Zukunft einzutreten.

Der Wert des Forwardswapsatzes (als Kupon) ist derjenige, der die fixe- und variable Seite des Swaps äquivalent macht.Sei Ts der Startzeitpunkt des Swaps und Te der Endzeitpunkt; dann ist derForwardsatz zum Zeitpunkt 0 F(0, Ts,Te) mit τ als Tenor (viertel, halb-jährlich etc) des Swaps.

�

��

�

�

+

−= ⋅

=

Te

jjTsP

TePTsPTeTsF τ

ττ /1

1),0(

),0(),0(1),,0(



Den Nenner bezeichnet man auch als Annuität A(0,Ts,Te).

Man unterscheidet zwei Arten von Swaptions:a) Payer: Das Recht in einen Swap einzutreten bei dem der Swapsatz X gezahlt wird. Entspricht einer Call Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Put Option auf einer Kupon Anleihe)b) Receiver: Das Recht in einen Swap einzutreten, bei dem der fixe Swapsatz X empfangen wird. Entspricht einer Put Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Call Option auf eine Kupon Anleihe)

Der fixierte Swapsatz ist der Strike der Option



Der Wert einer Payeroption zum Zeitpunkt t =0 mit Laufzeit Ts, Strike Xund Swaplaufzeit Te ( Die fixen Zahlungen im Swap sind .Jeder Cashflow entspricht dem Auszahlungsprofil einer Calloption).

mit

[ ]τ1)()(),,0(),,0(),,0( 21 dXNdNTeTsFTeTsATsTscp −=

TsddTs

TsX

TeTsF

d

σσ

σ

−=

��

� +=

12

2

1

5,0),,0(ln

τiTsti +=


Bewertung von Bermuda SwaptionsBermuda Swaptionen sind Optionen bei denen zum jeweiligen Kuponzeitpunktein Ausübungsrecht hinzukommt.Gegenüber Standard-Optionen sind Bermuda Optionen nicht alseinzelne Produkte handelbar, sondern nur im Packet mit dem Basis-instrument Swap (bzw. Anleihe).Die entscheidende Beziehung ist nun das z.B. eine jährlich kündbareAnleihe aus folgender Beziehung hergeleitet werden kann(enspricht einer intrinsischen Call Option auf die Anleihe).

Wert der Option = Wert der Kupon-Anleihe - Wert der kündbaren Anleihe

Der Wert der Kupon-Anleihe ist einfach zu berechnen. Man startet amEnde des Gitters und fügt zum Nominalbetrag den Kupon hinzu.Beim rekursiven Rückwärtsrechnen wird mit dem periodischen Zinssatzabdiskontiert und wenn in dieser Periode ein Kupon fällig wird, dieserentsprechend dazu addiert.


Bewertung von Bermuda Swaptions

Bezeichne mit P(i,j); i= 0,...n, j = -i bis i den Wert der Anleihe amjeweiligen Knoten und C(i) den Kupon, dann kann man die rekursiveGleichung wie folgt schreiben:

Im folgenden betrachten wir eine jährlich kündbare Anleihe. ( Es handelt sich um eine Receiver Bermuda Swaption).

Die Laufzeit ist 4 Jahre, die Kurve ist flach und beträgt 6 %, dieVolakurve ist ebenfalls flach und sei 15 %, die Zeischritte seienmit ∆ t = 1; der Kupon ist 6,25 % .

( ) iCjiPjiPjir

jiP +−+++++

= )1,1()1,1(5,0)),(1(

1),(


103,58

Die Anleihe mit 6,25 % Kupon, Nominal = 100106,25

106,25

106,25

106,25

106,25

105,74

107,41

108,68

103,20

106,90

109,78

104,52

109,32100,87

0 1 2 3 4

∆t=1


Bewertung von Bermuda Swaptions

Für die Berechnung der kündbaren Anleihe gilt nun am jeweils möglichen Kündigungszeitpunkt die Bedingung:

D.h: Ist der abdiskontierte Wert grösser als 100, dann kündigt derVerkäufer der Anleihe und zahlt nur den Betrag von 100 aus. Dann kommt der Kupon hinzu und man wendet das rekursive Verfahren bis zum Zeitpunkt 0 an.

Der Wert der kündbaren Anleihe ist 99,28 und somit ist derWert der Bermuda Receiver Swaption 100,87-99,28 =1,59Die entsprechende Bermuda Payer Swaption ist 0,871

( ) iCjiPjiPjir

MINjiP +�

��

�−++++

+= 100;)1,1()1,1(5,0

)),(1(1),(


103,58

Wert der kündbaren Anleihe106,25

106,25

106,25

106,25

106,25

105,74

106,25

106,25

103,20

106,25

106,25

104,21

106,2599,28

0 1 2 3 4

∆t=1


ÜBUNG 2:

Aufgaben: Benutze EXCEL sheet BDTueb1a.xls

Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit 10 % für alle Laufzeiten und ebenfalls 10 % für alle Laufzeiten:(siehe Jamshidian paper)

a) Kalibriere das Gitter mit EXCEL Solver (Siehe Median des Papers)b) Berechne eine europäische Put Option, Optionslaufzeit 2 Jahre und Anleihelaufzeit 4 Jahre, Kupon 8,5 %. Wie nennt man diese Option? c) Berechne diese Option mittels der analytischen Formel d) Bewerte eine Bermuda Payer Swaption mit Laufzeit 4 Jahre τ = 0,5 6 % curve und 20,12 % Vola ( siehe Andersen Paper)


ÜBUNG 3:

Aufgaben: Benutze EXEL sheet BDTueb1b.xls

Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit folgenden Perioden Periode (j) Zinskurve Volkurve 1 0,04989 0,125 2 0,05129 0,150 3 0,05209 0,165 4 0,05294 0,170 5 0,05362 0,175 6 0,05420


1) Kalibriere das Gitter mit dem EXEL Solver

2) Berechne einen 2 jährigen CAP (X=5,5 %) a) mittels der analytischen Funktion b) mittels des Gitters Hinweis: Es handelt sich hier um kontinuierliche Raten

3) Berechne eine 1 X 2 jährige ATM Payer Swaption a) mittels der analytischen Funktion (vola = 15,55 %) b) mittels des Gitters

4) Berechne einen 5 jährigen jährlich kündbaren Bond Kupon 5,5 % = BERMUDA OPTION


Literatur:

- Hull, J.,: Options, Futures, and other Derivatives, 4th edition, Prentice Hall, 2000

- Jamshidian, F.,:“Forward induction and construction of yield curve diffusion models,“, Journal of Fixed Income, June, 1991, 62-74

- Jarrow, R.,:“Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options“,McGraw-Hill, 1996

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