153

Hermann Maier, Regenshurg

Zu fachsprachlicher Hyper- und Hypotrophie im Fach Mathematik oder Wie viel Fachsprache brau­chen Schüler im Mathematikunterricht?1

Zusammenfassung: Auf der Grundlage einer Charakterisierung dessen, was die Umgangssprache der Schüler im Mathematikunterricht fachsprachlich anreichert und modifiziert, werden Phänome­ne eines hypertrophen wie hypotrophen Gebrauchs solcher Elemente durch Lehrpersonen und Medien beschrieben. Dabei stützt sich das Urteil auf den Versuch einer sachgerechten Einschät­zung der Funktion von Fachsprache sowie auf Befunde über sprachbedingte Lernschwierigkeiten von Schülern. Schließlich werden Grundsätze und methodische Anregungen für die Sprachpraxis zur Diskussion gestellt, deren Realisierung helfen können, fachsprachliche Hyper- und Hy­potrophie gleichermaßen zu vermeiden und damit die Lernprobleme der Schüler zu mildern.

Abstract: On basis of a characterisation of what pupils' every day language technically enriches and modi fies in mathematics c1asses, phenomena of a hypertrophical and hypotrophical use of technical elements by teachers and media are described. The judgement refers to an adequate esti­mation of the function of technical language in this subject, and to pupils' learning difficulties caused by language problems as weil. Finally principles and methodological recommendations far language practice are presented, the realisation of which could help to avoid hyper- and hypotro­phy in the use of technical language elements and, therefore, to alleviate pupils' problems with learning.

Eine Unterscheidung von Fachsprache und Umgangssprache im Sinne getrennter lingu­istischer Phänomene erscheint zumindest der unterrichtlichen Sprachwirklichkeit nicht angemessen. Treffender ist hier die Vorstellung von einer stetigen Skala wachsender An­reicherung der Umgangssprache mit fachsprachlichen Elementen und deren zunehmen­der fachsprachlicher Modifikation. Wer über Mathematik spricht, sei es im Rahmen ei­nes Vortrags, einer Vorlesung oder eben des Unterrichts, wird gleichsam auf dieser Ska­la zwischen "reiner Umgangssprache" und (nahezu) "reiner Fachsprache" ein mehr oder weniger großes Intervall besetzen. Es gibt Lehrer und Lehrerinnen sowie Medien (Schulbücher, Arbeitsblätter u. Ä.), deren Sprache nahe an den beiden Extrempunkten der Skala anzusiedeln ist. Ich möchte von fachsprachlicher Hypertrophie bzw. fach­sprachlicher Hypotrophie sprechen und damit andeuten, dass ich beide Positionen im gewissen Sinne als "ungesund" beurteile. Dies soll nachfolgend hauptsächlich an Hand von Beispielen begründet werden.

Eine Positionierung der Unterrichts- und Mediensprache im Zentrum der genannten Skala sollte einerseits solchen Schwierigkeiten und Nachteilen entgegen wirken und an­dererseits doch das nötige Maß an Sprachentwicklung gewährleisten. Sie kann und soll freilich hier nicht für alle Schulstufen und Lernbereiche detailliert entworfen und be­schrieben werden. Ich muss mich auf Grundsätze für den Gebrauch der Sprache im Ma-

Neufassung eines Artikels in Selected Papers from the Annual Conference on Didactics of Mathematics, Bern, 1999. http://webdoc.sub.gwdg.de/ebookJe/gdmI1999/index.html. S. 55-66

(JMD 25 (2004) H. 2, S. 153-166)

154 Hermann Maier

thematikunterricht beschränken, deren Befolgung geeignet ist, fachsprachliche Hyper­und Hypotrophie gleichermaßen zu vermeiden. Als Grundlage für die Beschreibung ver­schiedener Positionen der unterrichtlichen Sprachpraxis müssen zuerst die wichtigsten Elemente einer fachlichen Anreicherung und Modifikation der Umgangssprache kurz in Erinnerung gerufen werden.

1 Zu den fachlichen Sprachmittein der Mathematik

Was ist es, was die Umgangssprache in der Mathematik mit fachsprachlichen Mitteln an­reichert bzw. fachsprachIich modifiziert?

a) Ein erstes Element, das den fachsprachlichen Charakter der Unterrichts- und Medien­sprache deutlich verstärken kann, ist die Verwendung mathematischer Termini. Darunter sind Wörter, die in der Umgangssprache üblicherweise nicht auftreten, z. B. "Term", "Minuend", "Quotient", "Exponent", "Vektor", "Diskriminante", "Sekante", "Polygon", "Kathete", "Hypotenuse", "kommutativ", "distributiv", "affin", "radizieren", usw. Die meisten Fachtermini kommen indes auch in der Umgangssprache vor, sei es, dass sie als mathematische Fachwörter in diese Eingang gefunden haben, sei es, dass die Mathema­tik sie aus der Umgangssprache entliehen hat. Bei beiden Transfers veränderten sie aber zumeist ihren Bedeutungsgehalt mehr oder weniger stark.

• Ihre fachliche Bedeutung kann nunmehr enger sein als die umgangssprachliche, wie z. B. bei den Termini "Tangente", "Umfang", "parallel", "kongruent" und "ähnlich".

• Sie kann weiter sein als die umgangsprachliche, wie z. B. bei "Winkel", "Vier­eck", "Kegel", "Pyramide", "Fläche", "senkrecht".

• Sie kann einer anderen Systematik folgen wie z. B. beim Wort "Höhe", zu dem in der Mathematik das Oppositionswort "Tiefe" fehlt, oder bei der Rede von "gewöhnlichen Brüchen", deren Gegenstück nicht etwa "ungewöhnliche Brü­ehe", sondern "Dezimalbrüche" sind.

• Schließlich kann die mathematische Bedeutung von der umgangssprachlichen gänzlich abweichen wie z. B. bei "Produkt", "Funktion", "Scheitel", "Kegel", "Zylinder", "Mantel", "Abbildung", "Gruppe", "Ring", "Ableitung" und "Integ­ration".

b) Ein zweites Element der Unterrichts- und Mediensprache, das deren fachsprachlichen Charakter verstärkt, ist die Verwendung mathematischer Symbole. Es handelt sich dabei um Abkürzungen

• für mathematische Objekt- und Mengenbezeichnungen, z. B. 12,305 und 3 . (2,4

•

+ 7,16), fi und V7 2 -5, 1t und e für Zahlen, A für einen geometrischen Punkt

oder a für die Seite oder die Seitenlänge eines Polygons, ä für einen Vektor, a für einen Winkel oder ein Winkelmaß; für numerische, geometrische oder logische Beziehungen und Verknüpfungen,

z. B =, >,::;, 17!, [a;b),.1, =, E,~, n, =>, V, L, Ji dy.

Besonders typisch für mathematische Texte ist die Verwendung von Variablen in Ter­men und in Aussageformen wie Gleichungen und Ungleichungen.

Diskussionsbeiträge 155

Schließlich normiert man formale Schritte zur ergebnisorientierten Bearbeitung mathe­matischer Symbole oder Symbolsysteme in Algorithmen, wie z. B. dem Verfahren der schriftlichen Division in den natürlichen Zahlen, fixierten Schritten zur Lösung linearer oder quadratischer Gleichungen, dem Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.

c) Ein drittes Element zur Ausprägung des fachlichen Charakters der mathematischen Sprache sind Konventionen der Satzbildung, die gleichsam einer besonderen Grammatik und Logik folgen. Zunächst unterscheidet man zwischen Definitionen und Aussagen. Erstere haben in der Regel die Gestalt sogenannter Realdefinitionen, d. h. jeder zu defi­nierende Begriff wird einem (bereits als definiert geltenden) Oberbegriff untergeordnet und sein Inhalt durch notwendige und hinreichende spezifizierende Eigenschaften präzi­se eingegrenzt. Dabei wird vermieden, in eine Definitionen mehr Eigenschaften als un­bedingt nötig aufzunehmen. Sie würden die Figur "überbestimmen" und lassen sich aus der Definition als Satz folgern.

Aussagen und Aussageverknüpfungen haben die Form von Lehrsätzen oder von Be­gründungen, oftmals zu Beweisen verkettet. Aussagen sind so zu gestalten, dass für jede von ihnen eindeutig entschieden werden kann, ob sie (im Sinne einer zweiwertigen Lo­gik) wahr oder falsch ist. Zulässige Aussageverknüpfungen sind genau kodifiziert (Ne­gation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, usw.) und für jede ist aussagenlogisch festgelegt, bei welcher Kombination von Wahrheitswerten der verknüpften Aussagen die Verknüpfung selbst als wahr oder falsch zu betrachten ist. Den Umfang von Objekten, über welche eine Aussage gemacht werden soll, legen Quantoren genau fest. Dabei wird der Existenzquantor ("es gibt ein ... ") im Sinne von "es gibt mindestens ein ... " aufge­fasst, sodass man immer dann, wenn wirklich nur ein einziges Objekt gemeint sein soll, die Form "ein und nur ein ... " oder "genau ein" wählen muss. Beim Allquantor ("für alle ... gilt: .. , ) ist es obligatorisch, die Menge der Objekte genau anzugeben, auf die sich das Wort "alle" beziehen soll.

2 Fachsprachliche Hypertrophie und Hypotrophie im Unterricht

a) Verwendung mathematischer Termini

Die Einführung von Fachausdrücken in die Sprache verfolgt in der Mathematik, wie auch in anderen Wissensgebieten, den Zweck, die Kommunikation zu vereinfachen und zu "entstören". Um nicht immer von einer Linie sprechen zu müssen, die keine Krüm­mung aufweist und die man sich nach beiden Richtungen unbegrenzt fortgesetzt zu den­ken hat, verdichtet man die entsprechende begriffliche Vorstellung in dem Wort "Gera­de". Die Aufgabe "Lege vom Punkt P aus eine Gerade an den Kreis, die mit diesem ge­nau einen Punkt gemeinsam hat", verkürzt sich mit Hilfe des Wortes "Tangente" zu "Lege von P aus eine Tangente an den Kreis". Die Anweisung zum Bilden der Ableitung zu einer Funktion f(x) an der Stelle a müsste ohne das Wort "Ableitung" ausführlich um­schrieben werden und vielleicht so lauten: "Bestimme zur Funktion f (x) den Grenzwert der Folge von Quotienten aus der Differenz f(a + h) - f(x) und h, wenn die (reelle) Zahl h gegen Null geht". Neben der Vereinfachung der Sprache soll mit der Verwendung von Fachausdrücken auch erreicht werden, dass die mit verwendeten Bezeichnungen verbun-

156 Hermann Maier

denen begrifflichen Vorstellungen eindeutig fixiert sind. Wenn man als Fachwörter Be­zeichnungen der Umgangssprache benutzt, werden' diese von Mehrdeutigkeiten "gerei­nigt" und genau definiert, damit man mit ihrer Hilfe über fachliche Zusammenhänge frei von Missverständnissen kommunizieren kann.

Zweifellos ist also eine Reihe von fachlichen Termini unverzichtbar, damit sich ma­thematische Objekte, Beziehungen und Operationen definitionsgenau und prägnant be­zeichnen bzw. darstellen lassen. Es gerät aber zu fachsprachlicher Hypertrophie, wenn Lehrpersonen oder Unterrichtsmedien die Schüler mit zu vielen und unnötigen Fachter­mini konfrontieren. Wenn etwa ein Schülerbuch fur den Mathematikunterricht am Gym­nasium ftlr die 5. Klasse 172 Fachausdrücke, in den Bänden fur die 6., 7. und 8. Klasse jeweils weitere 109, 70 bzw. 111 solcher Bezeichnungen einfuhrt, stellt sich die Frage nach der Notwendigkeit all dieser Termini. Ist es beispielsweise nötig, dass die Schüler bei der Klassifikation von Winkeln neben "spitzen", "rechten" und "stumpfen" auch noch von "gestreckten" und "überstumpfen" Winkeln sprechen? (Man könnte sie einfach als ,,1800-Winkel" bzw. "Winkel von mehr als 180°" beschreiben.) Braucht man bei der Untersuchung der Beziehungen zwischen einer Geraden und einem Kreis über die Ter­mini "Sekante" und "Tangente" hinaus noch die Bezeichnungen "Passante" und "Zentra­le"? (In den selten Fällen, wo solche Linien vorkommen, könnte man auch von "Gerade durch den Mittelpunkt" bzw. "Gerade, die den Kreis nicht berührt und nicht schneidet" sprechen.) Muss man wirklich zwischen "Halbgerade" und "Strahl", "Kreislinie" und "Kreisumfang", "Kreisbogen" und "Fasskreisbogen", "Bestimmungsvariablen" und "Formvariablen", "Punktmengen" und "geometrischen Örtern" unterscheiden? Ist es un­bedingt nötig, die Beziehungen zwischen Grund- und Lösungsmenge in Aussageformen mit den Wörtern "erftlllbar", "unerftlllbar", "allgemeingültig", "teilgültig" zu beschrei­ben? (Würde es nicht genügen zu sagen, dass zu den Lösungen dieser Aussage kein, mindestens ein, nicht alle bzw. alle Elemente der Grundmenge gehören?) Ist es ange­messen, den Sehnensatz wie in einem Schulbuch so zu formulieren: "Das Produkt der Längenmaßzahlen der Abschnitte der einen Sehne ist gleich dem Produkt der Langen­maßzahlen der Abschnitte der anderen Sehne"?

Schon vor Jahren fand LÖRCHER (1976) bei der Analyse von Schulbüchern, dass zwi­schen 30% und 50% aller Fachwörter nur auf einer einzigen Seite vorkommen. In den Bruchrechen-Kapiteln von zehn Schulbüchern ermittelte er 400 Bezeichnungen, die Schüler aus der Umgangssprache überhaupt nicht oder nur in anderer Bedeutung kennen. Darunter fanden sich wohl auch zahlreiche Wörter, die gar keine Fachbezeichnungen sind, sondern dem sog. "didaktischen Vokabular" zugehören. Das sind Wörter wie "Bruchteil", "Bruchoperator", "Gegenoperator", "Hauptnenner", "Zweisatz", "Kehr­zahl", "gemischte Zahl", "Rechtswert", "Hochwert", usw. Sie vergrößern zusätzlich die Fremdheit der Unterrichtssprache fur die Schüler. Nichts wird klarer, wenn man den Satz "Addiert man zu den Ausdrücken auf beiden Seiten einer Gleichung (Ungleichung) die gleiche Zahl, so werden dadurch die Lösungen der Gleichung (Ungleichung) nicht ver­ändert" in einem Schulbuch ersetzt durch: "Addiert man zum Linksterm und zum Rechtsterm einer Gleichung (Ungleichung) die gleiche Zahl, so erhält man eine Glei­chung (Ungleichung), die zur ursprünglichen äquivalent ist."? (Die Schüler müssten bei dieser Formulierung nämlich wissen, was Links- und Rechtsterm sowie Äquivalenz von Gleichungen heißt und sollten letztere zudem von der Äquivalenz von Termen unter­scheiden können, von der beim Lösen komplexer Gleichung ebenfalls Gebrauch ge­macht werden muss.)

Diskussionsbeiträge 157

Hypertrophie im Verwenden von Bezeichnungen, deren Bedeutung die Schüler neu erlernen bzw. von ihrem bisherigen Verständnis unterscheiden lernen müssen, vermittelt ihnen von der Sprache im Mathematikunterricht den Eindruck einer Art Fremdsprache. Dies hat zur Folge, dass sie vielfach die Bedeutung von Fachwörtern nicht oder nur teil­weise verstehen lernen und dass sie diese, selbst wenn sie in ihren passiven Wortschatz eingehen, kaum je in ihren aktiven Wortschatz übernehmen. Nur zu leicht verwechseln sie wegen Überlastung des Gedächtnisses deren Bedeutungen oder vergessen sie rasch wieder. Insbesondere machen ihnen bei vielen Bezeichnungen Interferenzen zwischen der umgangssprachlichen und der mathematischen Bedeutung zu schaffen und es gelingt ihnen nicht, beide voneinander zu trennen und situationsadäquat anzuwenden. Die Schwierigkeiten lassen sich sogar fur Bezeichnungen feststellen, die die Schüler eigent­lich kennen sollten, wie empirische Befunde zeigen.

PATRONIS & SPANOS & GAGATSIS (1994) untersuchten das Verständnis von mathe­matischen Aufgabentexten durch Schüler und fanden u. a., dass Schüler vielfach beim Lesen solcher Texte Bezeichnungen oder Symbolen andere Bedeutungen zuweisen, als sie der Verfasser (Lehrer oder Schulbuchautor) seiner Kodierung im Text zugrunde ge­legt hat; sie bezeichnen das Phänomen als "semantische Differenz". In die gleiche Rich­tung weisen Beobachtungen von VIET (1978) und VOLLRA TH (1978) sowie von FRAUNHOLZ & MAlER & TROMMSDORFF (1986).

GUILLERAULT & LABORDE (1981) sowie GALLO (1985) und MAlER (referiert in MAlER & SCHWEIGER 1999) analysierten Texte, mit denen Schüler eine komplexere ge­ometrische Figur beschrieben, und zwar fur einen Mitschüler, der diese Figur allein auf­grund der Beschreibung reproduzieren sollte. GALLO fiel u. a. auf, dass die Bedeutungs­vorsteIlungen, die Schüler bei ihren Beschreibungen mit Fachbezeichnungen verbanden, oft die von Standardmodellen waren, obwohl sie im generellen Sinn gebraucht wurden. So bezeichneten viele Schüler Quadrate nur dann als solche, wenn in der Zeichnung ihre Seiten parallel zu den Blatträndern verliefen. Standen sie auf einer Spitze, so stellten sie fur die Schüler Rauten dar, deren "Standardmodell" offenbar eine auf der Spitze stehen­de Figur ist. Den geometrischen Fachterminus Strecke ersetzten die meisten Schüler durch Ausdrücke wie "Linie", "Gerade", "Halbgerade", "Kathete", "Senkrechte", "Hö­he"; anstatt von Punkten sprachen sie von "Orten", "Endpunkten", "Randpunkten", "E­cken", usw. Das Wort "gleich" verwendeten sie zumeist im Sinne von kongruent.

MAlER kam mit einem entsprechenden Untersuchungsansatz bei Hauptschülern aus 7. und 8. Jahrgangsstufen u. a. zu dem Ergebnis, dass die Schüler fur geometrische Figu­ren nur sehr sporadisch sprachliche Bezeichnungen, Eigenschaften und Beziehungen verwendeten, die ihnen vom Unterricht her vertraut sein sollten. Viele behalfen sich mit Umschreibungen wie "Schiefeck" anstelle von Parallelogramm, "Grundlinie" anstelle von Seite (eines Vielecks). Erstaunlich viele mathematische Bezeichnungen wurden in einem vom fachlichen abweichenden Bedeutungsverständnis gebraucht. Dies galt vor al­lem fur Bezeichnungen wie "senkrecht", "Seite", "Höhe", "Kante", "Ecke", aber auch Ausdrücke wie "Trapez", "Raute", "Rechteck", "Quadrat". Solche Befunde, die vorwie­gend Termini betreffen, deren Einfuhrung eigentlich unentbehrlich erscheint, deuten auf das Phänomen einer fachsprachlichen Hypotrophie im Unterricht hin. Diese tritt vor al­lem in zwei Erscheinungsformen auf:

• Unverzichtbare und häufig gebrauchte Fachtermini werden begrifflich nicht aus­reichend geklärt. Es wird im Unterricht versäumt, bei ihrer Einfuhrung bzw. ih­rer erstmaligen Verwendung reichhaltige, fundierte und klare begriffsinhaltliche

158 Hermann Maier

Konzepte aufzubauen und mit den Bezeichnungen zu verknüpfen. Bei sich wie­derholender Verwendung wird gleichwohl ohne weitere Nachprüfung unter­stellt, dass den Schülern die Definition der eingeführten Termini geläufig sei und sie daher bedenkenlos verwendet werden könnten. Im Ergebnis bleiben aber zu viele Schüler mit unzureichenden oder ungenauen, zu engen oder zu weiten, oft auch mit gänzlich falschen Begriffsvorstellungen zurück. Das beginnt in der Grundschule mit den Operationsbezeichnungen "plus", "minus", "mal" und "di­vidiert durch" und setzt sich später fort mit Fachbezeichnungen wie "Seite", "Höhe", "Gleichung", "Funktion", "Länge", "Flächeninhalt", "Umfang", "Stei­gung", "Ableitung" usw. Wie defizitär bei vielen Schülern beispielsweise die begriffsinhaltlichen Vorstellungen zu den geometrischen Figuren sind, zeigt sich am mangelnden Verständnis ihrer hierarchischen Ordnung. Quadrate werden nicht als (spezielle) Rechtecke oder Rauten erkannt, Parallelogramme nicht als spezielle Trapeze, Quader nicht als spezielle Prismen, usw. Vielen Schülern bleibt verborgen, dass jede ganze Zahl auch eine rationale und jede rationale Zahl auch eine reelle ist. Sie identifizieren Bruch mit Bruchzahl bzw. wissen nicht, dass Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, die gleiche Bruchzahl repräsentieren. Die lineare Endform einer Gleichung, z. B. x = 2,5, ist tUr sie die "Lösung". Nur wenige wissen, dass sie beim "Aus­klammern" oder "Klammer ausmultiplizieren" das Distributivgesetz anwenden, dass eine "Funktionsgleichung" wie y = 3x - 7 eine (lineare) Gleichung in zwei Variablen ist und dass sich "Formeln" in der Regel als Gleichungen darstellen, usw.

• Zum zweiten werden Fachtermini gegen vorgeblich schülergerechtere Wörter aus der Umgangssprache ausgetauscht. Vor allem in der Grundschule meint man den Schülern zu helfen, wenn man "plus" durch "und" ersetzt, "minus" durch "weniger", "addieren" durch "zusammenzählen" und "Gleichung" durch "Re­chengeschichte". Später wird dann der Zylinder zur "Rundsäule", der x-Wert ei­nes Funktionsgraphen zum "Rechtswert" und der y-W ert zum "Hochwert" , das Distributivgesetzt zum "Verbindungsgesetz", das Polygon oder n-Eck zum "Vieleck" usw. Wer mit solchen Ersatzwörtern arbeitet, übersieht, dass sie tUr die Schüler das Problem der Interferenz zwischen fachlicher und umgangs­sprachlicher Bedeutung verschärfen und vielfach zu mathematischen Fehlvor­stellungen Anlass geben. "Plus", "minus" und "addieren" sind in der Mathema­tik tUr Zahlverknüpfungen reserviert und tUr diese klar definiert. "Und" hinge­gen ist ein vieldeutiges Wort, "weniger" suggeriert mehr einen Vergleich als ei­ne Subtraktion von Zahlen und "zusammenzählen" könnte zwar manchem mo­dellbezogenen Arbeiten angemessen sein, scheint aber mehr auf unangemessene Rechenstrategien zu verweisen. "Rundsäule" weckt die dem mathematischen Begriff Zylinder nicht angemessene Vorstellung, der entsprechende Körper müsse deutlich höher sein als sein Durchmesser lang. "Hochwert" und "Rechts­wert" machen nur für den ersten Quadranten des Koordinatensystems Sinn und nicht, wie "y-Wert" und "x-Wert", auch tUr die übrigen drei. (Man wird ja wohl nicht von "Tiefwert" und "Linkswert" sprechen wollen.). Die Bezeichnung "Vieleck" scheint die Dreiecke und Vierecke aus der Menge der n-Ecke bzw. Polygone auszuschließen. Generell fördern die meisten vorgeblich schülerge­rechten Ersatzbezeichnungen tUr Fachtermini in den Schülern nicht selten fal-

Diskussionsbeiträge 159

sche Begriffsvorstellungen und müssen, da nicht erweiterbar, bei Gefahr erneu­ter Verwirrung, später doch durch die fachlichen Ausdrücke ersetzt werden.

b) Verwendung mathematischer Symbole und Algorithmen

Mit Hilfe mathematischer Symbole, dem zweiten Element, das den fachlichen Charakter der Sprache verstärkt, lässt sich vor allem hohe sprachliche Prägnanz erreichen. Z. B. verkürzt sich der Satz "Flächeninhalt im Dreieck ist gleich halbe Länge einer Seite mal (Länge der) Höhe auf diese Seite" zu "A = Y2 g . h" und der Auftrag "Bilde zur Funktion f (x) an der Stelle a die Ableitung" zu "Bestimme f(a)". Mit Variablen kann man (auch unendlich) große Objektmengen oder Aussagen von hohen Allgemeinheitsgrad sehr ein­fach darstellen, z. B. M = {(x; y) E R x RI y = 3x2 + 5x } bzw. "Für alle reellen Zahlen a,b gilt: a + b = b + a" oder "Das Produkt der Brüche a/b und cld ist ac/bd".

Machen freilich eine Lehrperson oder ein Medium von den "stenographischen" Mög­lichkeiten des Symbolgebrauchs zu ausgiebig Gebrauch, so verfallen sie rasch einer fachsprachlichen Hypertrophie. Beispiele aus einem Unterrichtswerk fur Realschulen:

• Dort werden die Begriffe Sekante und Tangente so erklärt: "Eine Gerade a heißt Sekante bezüglich des Kreises k, wenn gilt g 1\ k = {A; B} mit A, B E k; sie heißt

Tangente, wenn gilt g 1\ k = {cl mit C E k."

• Über die Lösungsmenge L von Bruchungleichungen der Form IL< 0 liest man: T2

(T)<OI\T2 >O)v(T»OI\T2 <O);L=(L) (l L2) U (L) (l L4).

Es sind offenbar gerade der sehr dichte Bedeutungsgehalt der Symbole und der Generali­sierungsgrad der Variablen, die manche Schüler nicht angemessen zu erfassen vermögen und sie daran hindern, die Bedeutung von Symbolen bzw. Symbolsystemen zu ent­schlüsseln, geschweige denn selbst sinnvolle symbolhaltige Texte zu erstellen. In einer Untersuchung von MAlER zum Zusammenhang von Begriffsverständnis und Fehlern bei der Berechnung geometrischer Flächen (ref. in MAlER & SCHWEIGER 1999) zeigten sich große Schwierigkeiten mit der mathematischen Symbolsprache. Als die Schüler Inhalt und Umfang eines Rechtecks mit Seitenlängen sund t angeben sollten, schrieben viele fiir den Inhalt I . b oder schufen Formeln wie s . s + t . t oder s + s . t + t. Erinnert sei auch an Berichte von MALLE (1993) und TIETZE (1988) zu den Schwierigkeiten von Studierenden und Erwachsenen mit der Interpretation einfachster Terme und Gleichun­gen. ARZARELLO (1998) fand, dass die Schüler die Algebra als formales Werkzeug auf­fassen, mit Variablenausdrücken keine semantischen Vorstellungen verbinden und sie nicht in spezifischen Situationen konkret als Methode des Nachweises und der Verall­gemeinerung benutzen. Sie geraten in große Schwierigkeiten, wenn sie Symbole ver­wenden sollen, um allgemeine Lösungen auszudrücken: zum Entdecken, Generalisieren und Beweisen allgemeiner Gesetze hinter numerischen Beziehungen. Diese müssen sich natürlich verstärken, wenn Symbole in sehr umfangreichem Maße verwendet oder Texte nahezu ausschließlich in Symbolsprache verfasst werden.

Auf der anderen Seite sollte natürlich die sprachverkürzende und verallgemeinernde Funktion der mathematischen Symbole angemessen genutzt werden. Wo dies versäumt wird, wäre fachsprachliche Hypotrophie zu diagnostizieren.

In der zuerst erwähnten Untersuchung von MAlER (in MAlER & SCHWEIGER 1999) zeigte sich z. B., dass die Schüler in ihren Texten von fachlichen Symbolen so gut wie überhaupt keinen Gebrauch machten. Weder kamen sie auf die Idee, sich die Beschrei-

160 Hermann Maier

bung der Figur durch Bezeichnen von Punkten und Geraden mit Buchstaben zu erleich­tern, noch fanden sich in den Texten Kürzel wie 11 oder .L (Neben den Abkürzungen fur Maßeinheiten der Länge, die fast durchgängig verwendet wurden, erschienen lediglich h rur Höhe, I fur Länge, b fur Breite, r fur Radius und d fur Durchmesser.) Hier offenbart sich vermutlich eine Hypotrophie bezüglich des Gebrauchs fachlicher Symbole im Geo­metrieunterricht der Hauptschule. Entweder wurden im Fall der untersuchten Schüler geometrische Figuren immer nur verbal beschrieben und auf die Produktion geometri­scher Texte ganz verzichtet. (Diese hätten nämlich die Verwendung von Symbolen zum Zweck der Vereinfachung und größerer Deutlichkeit nahe gelegt.) Oder die Symbole sind zwar eingefuhrt, aber in ihrer Bedeutung von den Schülern nicht so gut verstanden worden, dass sie diese in ihren aktiven Sprachschatz übernommen hätten. Vor allem in Hauptschulen beobachtet man auch noch jene Form fachsprachlicher Hypotrophie, die den Schülern beim Lösen von Sachaufgaben einen Plan zur schrittweisen Berechnung abverlangt, anstatt die Vorteile eines Gesamtansatzes in Term- oder Gleichungsform mit anschließend formaler Ausrechnung zu nutzen.

Nun haben mathematische Symbole neben der Vereinfachung der Darstellung noch den großen Vorteil, dass sie sich oftmals rein formal oder syntaktisch, also ohne dass man sich die von ihnen repräsentierte Bedeutung vergegenwärtigt, nach bestimmten Re­geln oder Algorithmen zielfuhrend bearbeiten lassen. Kennt man z. B. die o. g. Formel fur den Flächeninhalt beim Dreieck, so genügt es u. U., die Buchstaben durch gegebene Zahlwerte zu ersetzten und den entstehenden Term auszurechnen. Entsprechend ist es möglich, nach bestimmten Regeln oder einer Formel quadratische Gleichungen zu lösen oder die Ableitung einer Funktion f (x) =2x3

- 5x2 + 6x - 4 als f(x) mit 6 x2

- IOx + 6 zu bestimmen. In dieser Funktion werden die mathematischen Symbole auch im Unterricht recht häufig gebraucht.

Sicherlich gilt es, im Sinne einer Ökonomie des Denkens die Kraft der formalen al­gorithmischen Bearbeitung zu nutzen. Man muss aber von fachsprachlicher Hypertro­phie sprechen, wenn die Schüler z. B. die Regeln der Term- oder Gleichungsumformung auf zu umfangreiche und komplexe Symbolsysteme anzuwenden haben, so dass ihnen der Überblick verloren geht oder ihre Aufmerksamkeit schon an der Bearbeitungsdauer erlahmt. Eine Hypotrophie hingegen stellt es dar, wenn Schüler Symbolsysteme aus­schließlich mechanisch manipulieren. Sollten sie doch die Bedeutung der eingeruhrten Symbole und ihre Handhabung so weit verstanden haben, dass sie bei gegebenem Anlass den Algorithmus auch erklären und begründen können.

c) Konventionen der Satzbildung

Die in der Mathematik entwickelte spezielle, streng regulierende Form der Satzbildung erlaubt es, Sachverhalte inhaltlich eindeutig und nachvollziehbar sowie argumentativ schlüssig und überzeugend zu kommunizieren. In der Vermittlung der entsprechenden Konventionen dürfte eine zentrale Bildungsaufgabe des Faches Mathematik liegen; die Fähigkeit, Texte zu verstehen und zu produzieren, die diesen Konventionen konsequent folgen, sollte ein zentrales und wichtigstes Lernziel sein.

Nun kann man sicherlich von fachsprachlicher Hypertrophie sprechen, wenn in den 70er Jahren des vorigen Jahrhunderts im Zuge der sog. New Math Bewegung versucht wurde, aussagenlogische Verknüpfungen zum Unterrichtsinhalt fur Schulanfanger zu machen. Andererseits deutete dieser Ansatz aber auch auf eine fachsprachliche Hy­potrophie unseres gesamten Mathematikunterrichts hin. Sie besteht in der generell viel

Diskussionsbeiträge 161

zu geringen Aufmerksamkeit tUr die mathematischen Konventionen der Satzbildung. Durch alle Jahrgangsstufen hindurch scheint es dem Unterricht nur sehr bruchstückhaft zu gelingen, die Schüler mit deren Besonderheiten vertraut zu machen und sie das Defi­nieren, das Formulieren und Beweisen mathematischer Sätze sowie das schlüssige Be­gründen von Verfahren und Algorithmen zu lehren. Die Schüler arbeiten bei der Darstel­lung mathematischer Sachverhalte nahezu durchgängig mit Usancen ihrer Umgangsspra­che, die aber das rechte Verständnis und die sachgerechte Produktion fachlicher Texte behindern. Beispiele:

• In der Umgangssprache werden unbestimmte Artikel und das Zahlwort "ein" miteinander vermengt; dabei deutet man den Existenzquantor in einer Weise, die gemäß mathematischer Satzbildung mit dem Ausdruck "ein und nur ein" o­der "gen au ein" präzisiert werden muss. Das Verständnis eines Satzes wie "Auf einer Geraden gibt es zwei (verschiedene) Punkte", bereitet Schülern Schwie­rigkeiten, weil sie ihn im Sinne von "genau zwei Punkte" deuten, was natürlich falsch wäre.

• Die meisten Junktoren werden in der Umgangssprache in einer von der mathe­matischen unterschiedlichen Bedeutung gebraucht. So entspricht die Verwen­dung der wichtigen additiven Konjunktion "und" in der Umgangssprache nur dann einigermaßen der mathematischen Logik, wenn vollständig Sätze mit ihr verbunden werden. Die disjunktive Verknüpfung "oder" wird in der Umgangs­sprache beinahe nur im Sinne einer Alternative (entweder - oder) verstanden, während sie gemäß der mathematischen Logik auch die Konjunktion einschlie­ßen kann. Sollen also Schüler Zahlen suchen, die durch "zwei oder tUnf' teilbar sind, so werden die meisten Vielfache von 10 nicht in die gesuchte Zahlmenge aufnehmen oder kaum verstehen, warum sie dazu gehören soIlten; sind sie doch nicht "entweder durch 2 oder durch 5", sondern durch ,,2 und 5" teilbar.

• Nur wenige Schüler scheinen der in der Umgangssprache üblichen Verwechs­lung bzw. Identifizierung von Implikation und Äquivalenz zu entkommen - die Fügung "wenn - dann" kann dort für beide stehen. Für die meisten schließt der bewiesene Satz "Im rechtwinkeligen Dreieck gilt der Lehrsatz des Pythagoras" den Umkehrsatz "Gilt der Lehrsatz des Pythagoras, so ist das Dreieck rechtwin­kelig" ein und erscheint ihnen nicht mehr beweisbedürftig. Auch sind sie bereit, aus dem Satz "Alle durch 9 teilbaren Zahlen sind auch durch 3 teilbar" mühelos den Kehrsatz "Alle durch 3 teilbaren Zahlen sind auch durch 9 teilbar" zu fol­gern. Unterscheidende Wendungen der mathematischen Satzbildung wie "genau dann, wenn ... " oder "dann und nur dann, wenn ... " erscheinen ihnen unnötig kompliziert.

Schwierigkeiten dieser Art sollte der Mathematikunterricht nach und nach ausräumen und die Schüler befähigen, Quantoren und Junktoren im Sinne der Aussagenlogik sach­gerecht zu verstehen und zu verwenden. Andernfalls muss man wohl fachsprachliche Hypotrophie diagnostizieren.

162 Hermann Maier

3 Grundsätze zum Gebrauch der Sprache im Ma­thematikunterricht

Nach den vorangegangenen Ausführungen lassen sich ftir die Sprache im Mathematikun­terricht einige Regeln aufstellen, die auf die Vermeidung von fachsprachlicher Hyper­trophie und Hypotrophie gleichermaßen abzielen:

a) Zum Gebrauch mathematischer Fachtermini

Zum ersten sollte die Lehrperson in ihrer Unterrichtsplanung die Einführung jedes ein­zelnen Fachterminus wohl überlegen und strikt auf solche Termini beschränken,

• die die mathematische Unterrichtssprache wirksam vereinfachen helfen, • die ftir eine eindeutige Bedeutungszuweisung unerlässlich sind, • die eine hohe Reichweite haben, d. h. sich auch im späteren Unterricht wieder

verwenden lassen und • die nicht Synonyme für bereits eingeführte Termini sind.

Termini, die diese Kriterien erfüllen, können ohne Zögern eingeführt, sollten auch nicht durch andere Bezeichnungen der Umgangssprache ersetzt und so häufig wie möglich gebraucht werden.

Zum zweiten scheint es wichtig, zu den jeweils eingeführten Fachwörtern fundierte und präzise Begriffsvorstellungen aufzubauen. Wo es sich um Bezeichnungen handelt, die auch in der Umgangssprache vorkommen, gilt es sicherzustellen, dass die Schüler die mathematische von der umgangssprachlichen Bedeutung unterscheiden und darauf ach­ten lernen, wo die fachliche Bedeutung zu Grunde gelegt wird bzw. zu Grunde zu legen ist. Stets gilt es zu bedenken, dass es sich beim Aufbau von gen auen und klar abgegrenz­ten Bedeutungsvorstellungen zu Fachtermini um eine zeitlich wie inhaltlich umfangsrei­che Lernaufgabe handelt, die nur ftir eine begrenzte Zahl von Termini Erfolg verspre­chend sein kann.

Eine Umfangsbeschränkung für einzuführende Termini ist so möglich: • Man verzichtet im Fall von Klassifikationen darauf, allein aus Gründen der

Vollständigkeit alle Klassen mit eigenen Bezeichnungen zu belegen. Das Bestreben, im Unterricht begriffliche Klassifikationen möglichst differenziert durchzuftihren und allen Klassen eigene Bezeichnungen zuzuweisen, ftihrt näm­lich zu einer Vermehrung einzuführender Fachtermini, von denen viele nur in einem sehr lokalen Zusammenhang auftauchen und dann nie mehr gebraucht werden.

• Man vermeidet so weit wie möglich Synonymien, d. h. die Einführung ver­schiedener Bezeichnungen ftir die gleiche Bedeutung. Sie bringen die Schüler immer wieder in Gefahr, verschiedenen Wörtern verschiedene Bedeutung zu un­terstellen und einen neuen Lerninhalt zu vermuten. Daher bedarf die Entschei­dung für eine solche Einführung stets einer besonderen Begründung und ver­langt, dass den Schülern die Bedeutungsgleichheit der Bezeichnungen offen­kundig und der Gebrauch verschiedener Wörter plausibel gemacht wird.

• Man nimmt Polysemien (Zuordnung verschiedener Bedeutungen zu gleichen Bezeichnungen) in Kauf. Gelegentlich mag eine unterschiedliche Wortwahl zur Unterscheidung von Bedeutungen, z. B. von Seite und Seitenlänge oder Fläche und Flächeninhalt zumindest ftir eine Übergangszeit hilfreich sein. Aber das

Diskussionsbeiträge 163

Bemühen, eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen fachlichen Bedeutungen und Fachwörtern herzustellen und auch durchzuhalten - was meistens nur schwer möglich ist -, könnte durch Vergrößerung des Wortschatzes mehr Schaden stif­ten als die angestrebte Eindeutigkeit gut zu machen vermag. Im übrigen ist ih­nen das Phänomen der Polysemie aus der Umgangssprache bekannt und ver­traut. Sie wissen sehr wohl, dass Wörter in verschiedenen Zusammenhängen un­terschiedliche Bedeutung annehmen können und diese Bedeutung auch rasch wechseln kann. Besser als Polysemien im Mathematikunterricht vermeiden zu wollen ist es daher, die Schüler für sie zu sensibilisieren. Sicherlich sollten sie verschiedene Bedeutungen gleicher Fachwörter kennen, diese Bedeutung unter­scheiden lernen und, auf Anforderung hin, Bedeutungsunterschiede auch expli­zieren können.

• Man verzichtet darauf, in theoretisierender Weise mathematische Begriffe als Spezialfälle aus allgemeineren Begriffen abzuleiten. So sollte man sich fragen, ob man den Begriff "Aussageform" einführen muss, um Gleichungen und Un­gleichungen als spezielle Aussageformen erklären zu können. Oder ist es sinn­voll, wie an bayerischen Realschulen, den Begriff "Relation" nahezu ausschließ­lich zu dem Zweck einzuführen, um anschließend Funktionen als "linkseindeu­tige" und "rechtstotale" Relationen zu definieren?

• Man legt sich bei der Einführung didaktischen Vokabulars äußerste Beschrän­kung auf. Das gilt unabhängig davon, ob von der Lehrperson oder einem ver­wendeten Medium erfundene Kunstwörter als vorgeblich schülergerechterer Er­satz für Fachtermini gedacht sind, oder ob sie den fachlichen Sprachmittein als "methodische Hilfe" hinzugefügt werden. Die Annahme, ihre Bedeutung verste­he sich von selbst, stellt eine gravierende Fehleinschätzung dar. Dieses Vokabu­lar entlehnt zwar Bezeichnungen oder Wortteile aus der Umgangssprache, doch verändern sie in jedem Fall die ihnen dort zugewiesene Bedeutung. Damit stellt sich nicht nur die Aufgabe der Vermittlung eines angemessenen Bedeutungsver­ständnisses in gleicher Weise wie für einen mathematischen Terminus, sondern die Schüler haben in der Regel die zusätzliche Schwierigkeit von Interferenzen mit vertrauten umgangssprachlichen Bedeutungen. Die Stellenwerttabelle wird eben nicht leichter verstehbar, wenn man sie "Zahlenhaus" nennt. Und das Wort "Dreisatz" hilft in keiner Weise bei der Prüfung der Frage, ob direkte oder indi­rekte Proportionalität vorliegt und wie im einzelnen zu rechnen ist.

b) Zur Verwendungfachlicher Symbole

Die Verwendung einer Reihe fachlicher Symbole in mathematischen Texten ist sicher­lich unvermeidlich. Doch lässt sie sich auf ein vernünftiges Maß beschränken und damit leichter sicherstellen, dass die meisten Schüler die Bedeutung der tatsächlich verwende­ten Symbole auch wirklich verstehen lernen. Um vor allem die Häufung von Symbolen in einem Text zu vermeiden, sollte ein guter Teil durch verbale Explikation ersetzt wer­den. Beispiele:

• Die Begriffe Sekante und Tangente lassen sich ohne jeden Symboleinsatz so de­finieren: "Eine Gerade heißt bezüglich eines Kreises Sekante, wenn sie diesen in zwei Punkten schneidet; sie heißt Tangente, wenn sie genau einen Punkt mit ihm gemeinsam hat".

• Auch bei geometrischen Beweisen kann man mit einem Minimum an Symbolen auskommen, wenn man z. B. den Beweis der Längengleichheit gegenüberlie-

164 Hermann Maier

gender Seiten im Parallelogramm etwa so formuliert: Das Parallelogramm sei definiert als Viereck mit gegenüberliegend parallelen Seiten. Ich soll zeigen, dass die gegenüber liegenden Seiten auch gleich lang sind. - Ich zeichne als Hilfslinie die Diagonale AC ein; so erhalte ich die Dreiecke ABC und ACD. Wenn sie kongruent wären (wie es im Bild aussieht), dann müssten die entspre­chenden Seiten gleich lang sein; dann würde tatsächlich gelten, dass die Seiten AB und DC sowie AD und BC des Parallelogramms gleich lang sind. Die Kon­gruenz der beiden Dreiecke beweise ich mit dem Kongruenzsatz wsw so: Die beiden Dreiecken gemeinsame Seite ist die Strecke AC. Die Winkel BAC und ACD sind Wechselwinkel an Parallelen und daher gleich; das Gleiche gilt fur die Winkel ACB und CAD. Damit ist die Längengleichheit bewiesen.

Mathematiker früherer Zeit haben eindrucksvoll demonstriert, wie man unter Verzicht auf hypertrophen Symbolgebrauch Begriffe exakt definieren, Sätze klar formulieren und zwingend begründen bzw. beweisen kann. Als Beispiel sei auf Dedekinds fundamentales Werk "Was sind und was sollen die Zahlen" verwiesen.

c) Zu den Konventionen der mathematischen Satzbildung

Was die Realisierung der Eigenheiten mathematischer Satzbildung im Mathematikunter­richt angeht, scheinen derzeit für alle Jahrgangs- und Schulstufen hauptsächlich Anre­gungen zur Überwindung der fachsprachlichen Hypotrophie angebracht. Ein fur viele Lehrer neues, aber deshalb nicht weniger bedeutsames unterrichtsmethodisches Instru­ment stellt das regelmäßige und kontrollierte Schreiben mathematischer Texte durch die Schüler dar. Mit "kontrolliert" ist gemeint, dass die produzierten Texte von der Lehrper­son und den anderen Schülern nicht nur zur Kenntnis genommen, sondern mit ihren Ver­fassern besprochen und diskutiert werden, und dass diese von Fall zu Fall auf der Basis der erhaltenen Rückmeldungen ihre Texte revidieren bzw. neu formulieren. Was können die Texte enthalten, was kann ihr Thema sein? Beispiele:

•

•

•

Beschreibungen von mathematischen Objekten (Zahlen, Terme, Gleichungen mit sachbezogener Interpretation, geometrische Figuren, usw.), die den Schülern im Unterricht vorgestellt werden. Diese könnten schon in der zweiten Jahr­gangsstufe mit sehr kurzen Darstellungen beginnen, nach und nach detaillierter und ausführlicher werden und ab der fünften Jahrgangsstufe schrittweise in die Idealform der mathematischen Definition übergehen. Beschreibung für mathematische Beziehungen, die die Schüler in unterrichtli­chen Situationen wahrnehmen können. Dazu gehören Lagebeziehungen zwi­schen geometrischen Punkten und Figuren, Zahlbeziehungen der Ordnung sowie additiver und multiplikativer Art, Ergebnisse spontaner und vorgegebener Klas­sifikationen, Termvergleiche u. ä. Nach der Grundschule kann diese Arbeit schrittweise in das Formulieren mathematischer Sätze aufgrund von eigenen o­der gezielt angeregten Beobachtungen und Einsichten einmünden. Eine Beschreibung und Begründung von Rechenwegen, Rechenverfahren und zahlbezogenen Algorithmen wie Gleichungslösen, Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt, Grundaufgaben der Prozentrechnung, Prüfung der Teilbarkeit, Bestimmung von ggT oder kgV u. Ä. Nach anschaulichen Be­gründungen in den ersten Jahrgangsstufen sollten sich die Fähigkeiten der Schü­ler schrittweise steigern zu formalen Begründungen mit Hilfe von Rechengeset-

Diskussionsbeiträge 165

zen und Rechenregeln. Zu vergessen ist auch nicht die Beschreibung von geo­metrischen Konstruktionsverfahren und von Verfahrensschritten bei der Lösung von Konstruktionsaufgaben.

• Begründung von arithmetischen, algebraischen und geometrischen Sätzen, be­ginnend mit dem Sammeln von Argumenten, weitergeführt mit Formen des plausiblen Schließens (im Sinne von Polya) und einmündend in das Verstehen, Finden und Formulieren von Beweisschritten bis hin zu vollständigen Beweisen. Der Zugang zum Beweisen dürfte schwer sein, wenn dieses erst in späten Jahr­gangsstufen mit vielschrittigen und komplexen Beweisen begonnen wird, die der Lehrer selbst kaum erdenken könnte, z. B. zum Randwinkelsatz oder zur Euklidischen Satzgruppe. Am Beginn müssten sehr kleine, bescheidene Beweis­aufgaben stehen, die ein Schüler zumindest gut verstehen, mühelos nachprüfen und leicht rekonstruieren können.

Wichtig erscheint, dass die Schüler für die Textproduktion angemessen motiviert sind und dass sie ihre Texte an einen Adressaten richten, der über den Sachverhalt vollinhalt­lich informiert werden muss. Mögliche Schreibanlässe sind eine Handlungsanweisung an einen Mitschüler, z. B. zum Erstellen einer Zeichnung, zur Durchführung eines Verfah­rens, zum Lösen einer Aufgabe usw., ein Brief an einen im Unterricht abwesenden Schü­ler zu einem von ihm versäumten Unterrichtsinhalt, Schreiben an extraterrestrische We­sen, die keine Mathematik kennen, die Erstellung eines Posters für das Klassenzimmers oder eine Ausstellung, das Verfassen eines Lexikonartikels oder einer Schulbuchseite, u. ä. In jedem Fall sollten textliche Eigenproduktionen dazu genutzt werden, das Ver­ständnis der Schüler für die fachsprachlichen Konventionen der Satzbildung sowie deren Gebrauch schrittweise und gezielt zu entwickeln und ständig pflegen.

Literatur:

ARZARELLO (1998): Procedural and re1ational aspects of algebraic thinking. Proceedings of the 15th

Conference ofPME, vol. 1. Assisi, 83 - 87 FRAUNHOLZ, W. & MAlER, H. & TROMMSDORFF, F. (1986): Video-Aufzeichnungen von explorati­

ven Gesprächen als Instrument unterrichtsbezogener didaktischer Forschung. mathematica di­dactica 9, 193 - 212

GALLO, E. (1985): Geometria, Percezione, Linguaggio. L 'Educazione Matematica 6 (I), 61 - 103 GUILLEREAUT, M & LABORDE, C. (1981): Über die Art der Bezeichnung mathematischer Objekte

in der Sprache der Schüler. Journal für Mathematikdidaktik 2 (3), 225 - 248 LÖRCHER, G. A. (1976): Mathematik als Fremdsprache. Reflektierte Unterrichtspraxis 10 (1), I -

11 MAlER, H. & SCHWEIGER, F. (1999): Mathematik und Sprache. Zum Verstehen und Verwenden

von Fachsprache im Unterricht. Wien: obv&hpt MAlER, H. (1999): Wie viel Fachsprache brauchen die Schüler im Mathematikunterricht. In Bei­

träge zum Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker MALLE, G. (1993): Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/ Wiesbaden:

Vieweg & Sohn PATRONIS, T. & SPANOS, D. & GAGATSIS, A. (1994): A notion ofsemantic distance between terms

or expressions and its application in the case ofmathematical terms used in the c1assroom. Int. Journal of Mathematical Education, Science and Technology 25 (1), 31 - 43

POLY A, G. (19672): Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Bern: Francke

TlETZTE (1988): Schülerfehler und Lernschwierigkeiten in Algebra und Arithmetik. Journal rur Mathematikdidaktik 9 (2/3), 31- 43

166 Hermann Maier

VIET, U. (1978): Umgangssprache und Fachsprache im Geometrieunterricht des 5. und 6. Schul­jahres. In BAUERS FELD, H: (Hrsg.): Fallstudien und Analysen zum Mathematikunterricht. Han­nover: Schroedei, 13 - 23

VOLLRATH, H.-J. (1978): Lernschwierigkeiten, die sich aus dem umgangssprachlichen Verständnis geometrischer Begriffe ergeben. In Schriftenreihe des !DM 18, 57 - 73

Anschrift des Verfassers: Prof. Dr. Hermann Maier Hinter den Gärten 12f D-94315 Straubing