ZEITSCHRIFT FOI% ANGEWANDTE MATHEMATIM UND MECHANIK- Bd. 1 Endc Februar 1921 Heft 1

In h a l t : Zur E i n f U h r u n p . R. v. hfifies: lielwr die Auf-

gaben uud Ziele der a i i g e s r ~ ~ ~ d t . c n M:rttierilntik IIauptaofstitzc. L. P r s u d t l : Lieher (lie Ein-

driugungfestigkeit (1IPrtc) plastiacber li6rper nnd die Festigkelt, von Schneiden . . . . . .

A. NBdai: Versiiche flber die plastisctwn Form- Bndorungen TOII kcilformigen K6rporn n m Flu& eisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

E. P o h l t i a u ~ e n : Uerechnur~ der Eigeiih~.liwiri- gnngan statiscli Iieslhiiiriterk~:ict,u.erhu . . . 28 L Lichtenstein: Oetm eiriProl)lciri drr StrLtiii-

leitung . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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ZUSammenf813613nde Berichte. J. Itatzeru- dorfer: Die Probleme do? l~lugzeugstatik . . 47

L. B i e b a r b a c h : Uber neuere Lehrbflcher der

K 11 r z e A u B Z b ge. &draul& b d iJybrbmwb& 67 Llu ch b e spr e c h ungen. D u f f i n g: Erzwungene

Schwiugungen. - Cotton: Cours de m6ca-

I< 1 e I n e Mi t t o l l u n gen. Ein’facbe’ Q&&atur- formal. - Stauertarif und Ansgleichsrechnnng. - Stirdinin dear angewnndten Mathemabk und ltefnrni der Tachnischen Hochschule . . . . 73

N a c h r i c h t e n . . . . . . . . . . . . . . . 79

prnktischen Anal sls 61

nique &nBrale . . . . . . 7.2

ZUR EINFUHRUNG

Uber die Aufgaben und Ziele der‘ angewandten Mafhematik Von R. v. MISES in Btrlln.

s ist im Laufe des letzten Jahrhunderts, nementlich in Dentschland, Brauch geworden der .reinen(. Mathematik eirie .ange’R&ndteg begrifllich gegenuberznstellen. Qehen wir abor in der Geficfiichto dcr Wissenmhaften weiter znriick, so geraten w i r wohl in

Verlegenheit mit der Frage, aohin die Leistungen eines A‘rohime d e s oder Newton, eines Enler oder OauB zu rechnen seien. Kann man vielleicht noch bei Q a d die ein- zelnen Arbeiten in solche der einen und der andern Richtung trennen, so bleibt 8 s doch vollends nnklar, ob Kit Newtons Grundlegung der DiEerentialrechnung nnd der Mechanik ale r e h e oder als ltngewsridtr 3l;ttheuialik bezeichnen sollen. Auch die pereBnliche Einstel- lung des Urhebers scheint hier cine Eritscheidnng nicht immer zu ermijglichen: Man kennt die Ueberlieferung, dio Arch i m e d os a10 weltabgewandten Theoretiker anftreten I l f h , w2hrend andrsrseits lestfitcht, daW er bcim Bail V O D Kriegsmaschinen sehr wohl seine Kenntnisfie in den praktischtw L)imst drs Vaterlandes zu stellen n d t e .

Die folgenden Zeilen versuchen es, da6 Cfobiet der angewandten Rlathematik, eo- weit dies moglich ist, lopisch sbzugranzen, und unternehmon e0 zugleich, eine Andea- t u g iiber ihre hauptsfchlichsten I’roblemgruppen, 60 wie sie sich dem heate tgtigen Beobachter darstellen, zu gebcn. Natiii lich darf ’Vollstllndigkeit in diesem zweiten Pnnkt 6 0 wenig erwartet werden, wie ~Bllige Scharfe in dem ersten.

1. Abgrenzung nach auben. Wenn wir das, waB der gewohnliche Sprachgebranoh ds A n w e n d n n g e n der Mathematk oder einzelner mathematischer Lehren bezeiahnet, nahsr zu bestimmen snchen, so fixiden wir sofort, wie verlnderlich dieser Begriff j e nach dem Standpunkt des Tirteilendon ist. Der Mathematiker, der die Qedankenguge der hfiniteshal-Analysis entwickclt, spricht von s Anwendnnga der Differentialreohnurig anf Qeometrie, wenn er die naholicgendsten geometrischen Schlusse au0 seinen 8Ltzen zieht. Wer sich mit eincm Gcbiet der theoretiscben Mechanik, etwa der ElastizitLtGlehre, befa5t, E i i r den ist diese Differexitialgeometrie das mathematische oder theoretieche Hilfs- mittel, das er zur Aufstellung und Eldrterung seiner Qleichangsn *anwendeta:. Der wissenschaftliah arbeitende Ingenieur w i d e r benutzt die Elastizitltslehre als s’I’heorieg,

ZU konkreten Festigkeitsberechnugen zu gelangen, die erst fiir ihn eine wlrkllch sangewandtau Mathematik bilden. D a m kommt m e t der praktisohe Konstruktenr, dem auoh fdb Festigkeitsrechnung noch bohe mathematfsche Theorie ist, und der mit ganz elemen- taren Fanstformeln - der fur ihn wahrhdt nangewandteng Mathematik - die Aulgaben # B i n e B Bernfes meistert. Dieser Reihe kana man lei&t belieblg vhle lhnlioh gebante,rmr

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2 hcftschrift fur angewandte Mathematik nnd. Mechanik Band I

Seite stellen, man denke otwa an die *Anwendung< der Analysis a d , die Integration von DI~erentlalglelohuugen, die; Qrnndgleichungen der Thermodynamik, die w&rmemechanische Theorfe der D~mplrnaechine, endlich den Standpunkt des praktischen-~amp~ma~chinenkon- etruktenrs; aber es lassen sich ibr auch noch an beiden Enden Qlieder .anfiigen. Denn relbrt die Slttze der Analy~is bilden fur den mib der Untersnchung ihrer logisohen Qrnnd- lagen besohgftigten Forschor nur eine *Anwendung4 und an€ der andern ,Seitd sind aUe Faustformeln des Konstrukteurs noch abstrakte Theorie fur den in Werkstatt oder Betrieb tlltigen Teohniker. Seino sachlichen Ueberlegnngen aber -miissen, anch wenq eie nnr an! den *vier Speziesw des Elementarnnkrrichts beruhen, noch ebenso gat wie die mine Qmdlagenforschung znr Mathematik im weitesten Sinne gezLhlt werden.. So ergibt sich U ~ E das folgende Bild: . '

Von den abstraktlogischen ~ t e r s n c h n n g e n , die in das Gebiet der Philosophie bin- tibergreifen, bis en den verstandesmLfiigen, auf Zahl und Mai3 gericbteten Ueberlegungen des ahtags ist einb Kette von vielfach ineinander geschlungenen Gliedern gaspannt, die dae urnfafit, was wir im allgemeinsten Wortsinn als Mathematik bezeichnen. Jeder einzebie von uns ist naoh Beruf, Anlage odsr.Neignng an eine b e s t i m m t e S t e l l e d i e s e r K e t t e g e s e t z t , von der RUB er f i r gewobnlich nur einen mehr oder wepiger kleinen Teil des Ganzen tiberblickt. I n n e r h a l b d i e s e s T e i l g e b i e t e s z i e h t e r wi l lk i i r l i ch e ine Qrenze und'neant das, was links von ihr liegt, nach dem Abstrakieren hi.nuber~.sist, die ~reine. Mathematik, das rechts ,liegende, den Uebergang znm praktischen Leben vermit- telnde, die >anguwandte*; Keinerlei absolute Trennung i i t hier miiglich, kein Teil des Qanzen bann vollig entfernt werden, sol1 die Rette ibre Spannung nicht verlleren, und jeder Streit uber Berechtigung, ZweckmLf3igkeit and Abgrenzung muf3 angesichts dieser Erkenntnis verstammen.

Man Bommt ,such zu keinem andern Ergebnis, wenn man VBPBUCht, die reine Mathematik .als die pum ihrer selbst willen. oder Bale Selbstzweck.: betriebene zu erkW ren. Denn auf jodem Gebiet kann Elnsicht und Erkenntnis'nm ihrer eelbst willen .gesucht werden, nnd iiberall kann man Forschnngsergebnisse anch mit andern Zielen im Ange gewinnen. Vielleicht sieht eB zun%chst so ans, als ob im G e g e n s t a n d der Forschnng ein von vornherein angebbarer Unterschied lage, das eine Ma1 ware es etwa die ErklLrung bestimmter mechanificher (physikalischer) Erscheinungen, das andere Ma1 die Untersnchung rein formal-rechnqrischer Eeziehnngen, die das Interesso in Anspruch nimmt. Aber schlieil- lich beschaitigt sich auch die Zahlentheorie selbst mit den nns o b j e k t i v g e g e b e n e n ganzen Zahlen n n d die Verteilung der Primzahlen in der unendlichen Zahlenreihe bildet kein grandslltzlicb anders goartetes Forschungsobjekt 31s etwa die bewegnng der Qestirne oder die mechanifcho Wirkung des elektrischen Stromes. Will man vielleicht die Zahlen selbst noch nicht als *phy~ikalische(~ Objekte gelten lassen, so wird es scbon sehr frag- lich beim Oegenstaud der Qcometrie, und von da fiihrt ein ganz stetiger Uebergang zur Mechanik nnd weiter.

Xoch ein zwoiter Pankt mu8 aber hier besprochen werden, dor die Relativitat der Abgrenzung zwiRchen miner und angewandter Mathematik von einer andern Seite 'her be- leuchtat. Wenn wir 11 e n to Ueberlegnngen, die unmittelbar a d den vier Qrnndrechnnngs- arten fufien, als Alltaglichkeit betrachten, wenn wir gewohnt sind, die Anfangsgriinde der Algebra und der analytischen Geometrie, j a neuerdings auch die, der Differential- rechnung als dnrch die hoheren Sohnlen in weiten Kreisen verbceitetbs Handwerkzeug anztleeheri, EO stoht dem die l'atsache gegeniiber, dal3 vor drei- bis bierbnndert Jahren die vier Spezies eincn Oegenstand deq \mathematischen Univsrsitfltsnnterrichts bildeten nnd ein Jahrhnndert sp&ter die hfisitesimalrecbnung, als 'die eben erit gescba$ehe, , hiichste labstramon ded :Menschengeistes, kanm einem kleinsn Kreis Ton ̂ Anderw&h\ten verst%ndlich war. Damals also lagen den groden Baumeistern, deren 'Werke nooh heute msere Be- wunderdg erregen, Ueberlegnngen, die den hentigen Ingeniewen gelllufig eind, nicht nur jdnseits des Qebietes der >Anwendung*, sondarn anch jenseits a r e s Qesichtskreises iiberhaopt. ' Ss ist eine intetessante, bier aber nicht weiter zn .verfolgeqde Fragestehng, wie eine so!cha hsbre i tung 'des Wisfiens, wie eke solohe Vermehrmg der Anfnahme- fgbjgkeit dee Wneelnen im Lddfe der &lierationen ps tande Bommen .It- Sicher ist, dal3,. Ton einer besli,mmten Berufsstellung. at18 gesehen,, sich die Qrenze zkiechen reiner nnd ' angewandter Matbematfk, j a dar b h d t ,deb.mathematischen (fesichtskreises Xiberhaupt, d t d8r %it Vt3:bchiebt; die hhtoristihe Entwicklung geht zwejfellos dahla, ein W e r tei: gendes Anbmafl an mathematischen Tbeoden in e lnm bestimmten Bereioh des praktie & en Lebpns zur Qaltang zu bringen. Wir hiiile~eq so uqserar o b b gegebenen .Fopd ie rung

a .

noch hinzufugen: Die Stellung des Einzelnen gegeniiber der Kette mathematisCher B e griflsbildnngen r i ick t i m L a u f e d r r Ze i t - parallcl mit dem Entstehen immer neuer Qlieder - i n d e r R i c h t u n g ,auf d a s A b s t r a k t e i m m e r w e i t e r vor. Diem Entwiok- lung wird auch durch den von manchen Seiten mit groder Hartnxckigkeit gefiihrten Kampf gegen das WVordringen der Theories nlcht gehemmt, wie ein \Vergleich dbr hentigen Teoh- nik rnit der vor etwa hnndert dahron zeigt.

Angeeichts dieses Tatbestandes zweifacher Relativitflt der Begriffsabgrenzung miis- sen wir nun eine praktische Erkltlrang dafur suchen, was wir hier im Folgenden nnter Bhgewmdter Rlathematikd verstehen wollen. Es ist selbstwrsttlndlicb, daO wir u s auf den Boden der G e g e n w a r t etellen, nnd ee sei hinzugefiigt: anf den Standpunkt des wisaen- s c h a f t l i o h a r b e i t e n d e n I n g e n i e n r s . Dabei so11 dieses Wort fiber seine landllnflge Bedentung hinaue genommen werden, als Bezeichnung ftir jeden, der einen praktischm Bern1 an! der Hohe wissenschaftlioher Erkenntnis ansiibt; anch der Volkswirtschaftler, der , Versicherungstechnikei., der Arzt sind ahgenieureu in diesem Sinne. U e s das, was der Ingenieur, der selbst&ndige Arbeiten ausfiihrt, an mathematiechen Hdsmitteln gebraocht, atls d e r A n a l y s i s nad Q e o m e t r i e , den versohieden verzweigten Teilen der Me- c h a n i k , aus der T h e r m o d y n a w i k nnd E l e k t r i e i t k t s l e ' b r e , aus der W a h r s c h e i n - l i o h k e i t s r e c b n u n g and S t a t i s t i k , das soil den Uegenstand bilden, dem die Abhand- lmgen und Berichte dieser Zeitschrift gewidtnet sind.1 Da dabei die Mechanik im weite- sten Sinue, deren PDege heuto fast ausschlie8lioh in den Htinden der Ingedenre m e t , den Kernpankt ausmacht nnd naturgemtib den breftesten R a m einnehmen wird, ist sie

2. Innere .Kennzeichnung. Wir haben nns nun zu fragen, in welcher Vpeise die BAngewandte Mathematik des beutigen Ingenieursc in ihrer Met h o d e der Forsohnng und Lehre gekennzeichnet wird. Zwoi bekannte Oedankenghge drtingen sich da a d und miissen zunaohst kurz besproohen werden.

Felix K l e i n - dessen Name hier rnit besonderer Verehrung genannt' werden muO, weil er wie kein zweiter in der Qegenwart dem Standpunkt des Ingenieurn innerhalb der mathematischen Wi~senschaft und der Mathematik als solcher innerhalb des gesamten &dtarlcbens Qeltnng und Anschen zu versoh€€en gewudt hat - prlgte den Qegensatz der P r a z i s i o n s - n n d A p p r o x i m a t i o n s - M a t h e m a t i k . Nur die erstere hat es mit den scharf umrissenen BegrSen zn tun, an die wir in der Schulzeit dnrch allm&hliohe Qe- wiihnnng herankommen, die wir ep5hr exakt definieren lernen, um schlieblich zu er9ah- ren, dai3 sie einem niemals abguschlossenen Verleinerungs- und Vertiefungsprozed unter- liegen. Hierher gehiiren, wcnn nur die einfachsten genannt merden solien, der Begriff der mathematisohen Linie n n d Fllchc, der irrationalen Zahl, des Differentialquotienten. I n der Approximations-Mathcmatik gibt cs nur Ltniens t r e i f e n von endlicher, wenn auch geringer Breito, Flachen s c h a1 e n von ondlicher Dicke, keinen onterschied zwischen rationalen und irrationalen Briichen, die Tangentrn einer Linie s h d , Sekanten mit nahe beieinander licgonden Schuittpunkton. Und nm auch ein gelhfiges Beispiel fur den Unterficbied in der Problemstellung anzufiihren : nur in der PrLzisions-Mathematik hat die Unmiiglichkeit der 2Qnadrator doK Zirkelsa: einen Sinn, in der Approximations-Mathematik ist sie durch Kenntnis der Zahl n (und verschiedener Nlhernngskonstruktionen %r diese) langst erledigt.

Niemand wird verkennen, da8 hier ein sehr beachtenswerter Qesichtspnnkt ftir die Beurteilung mathematischer Begriflsbildungen anfgedeckt wurde, der anch in manchen Fallen ein Kriterium fur dia praktische Braachbarkeit einer Theorie abgeben kann. Vid- leicht kiinnte sich der Ingenieur auch ganz gut mit einem v0llstLndigen Autban dor Approximations-Mt~thematik begniigen, wenn dieser Aufban - nicht ganz erhebltch Me1 schwieriger und umstllndliclier w!ire als der iibliche, der sich 'wesentlioh auf die Begriffe der PrIzisions - Mathematik stiitzt: ~s lie@ eben so, dat3 die pr&zisen Begriffe der Mathematik (wie iibrigens dio allor Wissenschaften, die bcieits zu PrLzisierungen v6rge- drungen sind) Ver e i n f a c h u n g e n , I d e a l i s i e r n n g e n bedenten;,die wir bei der Be+ grenztbeit unserer geistigen FXhigkeiten nicht missen kiinnen, die der Ingenieur ePst rechi nioht missen kann, der nur einen bcscbrrLnkten Teil seiner &aft und Beiner Zeft math'er matieohen Stndien widmen wird. Es iet ja selbstverstRlndhh, dab wir uns beiepieh~weise d t einer approximativen Lo s u n g cinor Differentialgleiohang begnug8n, aber a d den prb zisions-mathematisohen Begriff des D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n zn verzichten, wiirde sine adierordentliohe Ersohwerung iind Verwioklnng des ganzen h s a t z e s a d aUer Methoden d t sich bringen. Andrerseits blcibt 0s fur das Vsrsthdnis der Resnltate sehr fruchtbar,

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hn Tit81 noch ansdrticklioh genanht. -

wenn man slch immer gegenwlrtig hilt, daO schon in den ersten Anstitzen weitgehende, znm Teil willkiirliohe Vereinfachnngen stsoken.

Eh- anderes Benneeichnohdee Merkmal der Ingenieurmathematik, das namentliah von jenen g e h hervorgehoben wird, die ihr Stndiengang durch die Zeichenstlle einer technischen Hochsohnle geftihrt hat, bildgt die Bevorzngung eogenannter g r s p h i s oher Methoden vor den analytisehen. Seit Cn lmann , seine graphische Statik ale eraten steh in dem stolzen Zukunftsban einer vgraphiechen Ingenienrwissen8ohaft.: bezeiohnet hat, ist soviel Wahres nnd Falsches enm Lobe dieser nSpraohe des Ingenienrsa: geeagt worden, daB die Vorbedingungen einer nntefangenen Erorterung geradezn getriibt er- soheinen, eumal hier unwlilgbare Einfliisse der Erziehung, Qewohnnng und der traditio- nellen Kampfstellung zwieohen Technikern und Mathematikern mitspielen. Sachlioh zer- fllllt der Anwendungabereich der graphisohen Methoden offenbar in zwei verschiedene Teile, die nur selten ineinander iibergreifen. Dae eine Mal sind 68, wie z. B. in der Statik, wesentlich e l e m e n t a r - g e o m e t r i s c h e Aufgaben , die eine zeichnerische L8s-g mit .den Konstruktions-Verfahren der Prllzisions-Xathematik zulassen, das andere Ma1 handelt es sich, wie z. B. bei der zeichneriscben'Integration, um'g.raphisohe6 R e c l n e n , bei dem die Darstellung willkiirlicher Fanktionen durch Eiurven den Ausgangspnnkt m d das Interpolieren einer Kurve a m , wenigen Bestimmungsstiicken das Hanptwerkzeug bildet. Beide Qebiete haben ihre . naturgem%0e Begrenzang. Es ist nicht einznsehen, wie man den Gedankenkrels der Qraphostatik erweitern soll auf die Behandlung qon Probleman, bei denen ganz andere Dinge 81s elementargeometrische Beziehungen in Frage &,hen, z. B. in der hoheren Eln&,lzittitstheorie oder in der Lehre vom Erddvck, und tatsBchlich sind hierhergehorige Versuche, auch wenn sie von anerkannten Meistern unternommen m r d e n , reetlos gescheitert. Solche Erweitefnngs-Bestrebungen shd anoh nicht ohne Gelahr, da sie dazu verleiten, vie1 verwickeltere Beziehungen in die,einfachen Forrnen zu pressen, die sich mit den iiblichen Konstmktior~srnitteln beherrschen lassen. Weit nmfassender und cines Ausbanes fPhiger sind zweifellos die Mothoden des graphl- schen Beehnens, die all durn gcrecht werden konnen, was die n u m e r i s c h e Rechnung zu leisten imstande ist. Darin driickt sich die Weite nnd zugleich die Beschrhkung~ diesee \verkzeuges am; denn, UUI cin Ton QanB herriihrendes Bild zu gobranchen, die nnme- rischr Ausrechnung t;tellt nur die b a r e Miinze des Zahlungsverkehres dar, grolere und weittragende Untt:rnehmurigen erfordern aber, wie man weiO, ganz anders geartete Einrichtungen, und diescn entsprechen oben dle dlgemeinen, grundsLtzlicben Unter- suchungen der Matheinat.ik. I unerhalb des befichrknkten Bclreiches ihrer Anwendbarkeit nird riiemand die Vorziige michrierischcr Vcrfahron, g r i i a e r e Ueber s i ch t l i cbke i t , An 6 c h an1 i c h k e i t , I o i c, h t e I' c' IT c b e r 11 r ii f u n g 6 III 6gl i c h k'L i t , leugnen (obwohl hicr gewiB die Genohnung vicl ~nsmaeht), und es muf33aueh zugegeben werden, daD ihre Ausgestaltung in manchrr I~ichtnng miiglich ist ( 6 . weiter unten). Aber in den graphi- schen Verfahrcn ein. nesrnflichos Kennzeichen a l l e r Teile der mathematischen Ingenienr- Wissenschaft zii seheri, ist siclinr rerkehrt.

Wenn wir aus diUEem, oft mit groBer Heftigkeit gefiihrten U'iderstreit der Mei- nangen zu einar halbwegs gekl!Lrten Anffassung gelangen wollen, RO mussen d r uns nnr von jeder Engherzigkeit nod Kleinlichkeit frei machcn. Der Ingenienr, der es mit seiner Aufgabe einst nimmt, wird j e d e s Werkzeng, das ihm die - von seinem Standpunkt - weinec Mathemati& licfert, zuriohten and zur Bewlltigung seiner Anfgaben benutzea. Besonderen Nachdrock miissen wir dabei auf das DZurichteiie legen. Denn daraue ent- springen vielleicht dio nieisten Enttxuschnngen und ~liflverstLndrclsse, da6 der Ingeniear oft meint, er musse alle theoretisohen Hilfsniittel fertig nnd znm nnmittelbaren Qebranoh bereit am andcren HLndon empfnngen. Es ist so, wie wenn man verlangen wollte, ein Lehrbuch des Maschineubaues luusse fur alle irgendwie denkbaren hbeitsmaschinen fertige K o n s t r u k t i o n s ~ o i c h ~ i n ~ ~ ~ t ~ x i bringen. In Wahrheit kann die Masohinenkunde qnr lehron, wie & u s e innm best i rnmten V e r u e n d n n g s z w e c k heraus die Masohine ge- formt werden muO , und in gane gleicher Weise kann ' der Mathematiker nnmoglich die fiir jedes praktische Einzolproblcrn passende AIethode oder gar Endformel von vornherein bereitstellen. Nar dio genaue I<ennt.nis d e s Zie les kann auf dem letzten Stuck des Weges richtig leiten. t

Wenn etwas fur das Verlahren fnuerhalb der Ingenieur-Mathematig agemein kennzeichnend sein soll, so kann es nur dies sein: hier wird ausgegangen von eher bes t immten p r a k t i s o h e n Aufgabe , d i e gel t is t w e r d e n mnO, nnd alles das &us znm Teil sehr verschiodenen Qebieten der Theorie h e r a n g e z o g e n u n d aogepaS t ,

was irgendwie branchbar orscheint. Dagegon geht der reine Mathematiker - wenigsten8 vom Standpnnkt der Anwendungen ans gesehen - won allgemeinen, mehr' willkiirlioh gew5hlton oder nur darch den sugenblicklichen Stand der Wiseenschaft %estlrnuMn Fragestellungen am, die er mlt elner gewissen ))Reinheit der Methode.: 5u behandeln sncht (wobei er sich frelich in IUicksicht auf seine andere Stellung In der Kette aufeinander- folgender Abstraktionsktnfen do& nur analog dem Technikcr verhglt). J. M. Rankine, der erfolgreiche Begriinder d e r technischen physik, sag$ ebmal: *Die Frage fir den Ingenieur ist: Wae habe ir.h zu t u n ? 'Und er muf3 sich s o f o r t entscbeiden; die Frage fiir den Mathematiker lautrt: Was fioll ich d e n k e n ? Und er kann sich u n b e g r e n z t Vie1 Zeit kissen.* Fiir den Mathnmatilcer kniipfen sich an einen bestimmten gedanklfchen oder methodischen Kern eine Fiille von Fragestellnngen, beim Jngenlenr iammeln' sich nm elne einzige praktische Frage hernm Antworten oder anch nnr Anaentungen von, solchen aus allen mijgllchen Theorien. Viellelcht kann man am bezeichnsndsten diem Ver- hliltnisse in ferner Anlehnnng an einen Ansspruch M a c h s so darstellen: Die wiriohtigste Theorie, die der Ingenieur beherrschen ma, ist die, elne unvollkommene oder nnvoll- stiindfge Theorie zu benutzen verstohen, solange es eine bessere nicht gibt.

Wir wollen im folgenden die Reihe der mathematischen Qebiete, die das Interesse defi Ingenleurs beriihren, fliichtig durchlauien, nnd da und dort Fragen feststellen, deren Beantwortnng oder nLhere Uriterfiuchung nach dem augenblicklichen Stand der Dinge erwiinscht erscheint. Geirgentlich go11 auch aaf die Ergebnisse neuerer einsohltlgiger Arbeiten hingewiesen aerden. Ein Tail 'der Problemgruppen wird spster in den nZa- sammenfassenden Berichtenu unserer Zeitschrift noch genauer darzustellen sein. . ,

Das Anfigangs- nnd Endproblem -aller Ana- lysis ist wohl dies: Mittel zu schanen, um die Fungtionswerte einer irgendwie (aber mathematisch, nicht physikali.lifich) defininrten Funktion tat s%chliah berechnen zu litinnen. Von hler leiten sich a b und hicrhnr miinden sin alie Theorien, die die Untersuchnng der Funktionen nach ihren rerschiedonen Eigenschaften znm Qegenstand haben. Zwei Hauptfragen, die, jede fiir sioh nnd beide in ihrer Zusamrnensetzung, in breitem Ausmafl Behandlung gefnnden habnn, lafi~en fiich hervorheben. Die oine kann man als die Aut- gabe der ~ F o n k - t i o n s - U m k r l i r u ~ i ~ ~ oder in engerer Anlehnung an die iibliche Ausdmoks- weise als * Oleichnngs Auflijt;urigu bezeichnen : Gegeben ist eine explizite berechenbare Funktion einer Verlnderlichon (odor n Funktionen von n Verlnderlichen), man SOH sie Bnmkehrenr, d. h. jene Wwte der \'chr!iuderlichen Einden, fur die die gogebene Funkt,ion (bezw. die gegebenen Fnnlitiot~ori) yorgcficliriebene Werte annimmt,. Die eweite Haupt- aufgebe brstrht i m ,Aiift)aii* 1 . 0 1 1 Funktionen odor dcm ,)reinen IntegrationRproblemc: Gegabeq Rind Anfangewer!(. rind IZircnfichattcn im ITneridlichkleioen, man sol1 weiter entfernte Funktionfiawrtc bc~tiriinio~i. - Die fiir physikalische Fragen wichtigsten ond zu- gleich fichwierigsten Prohlemc a i r i d dic, hci denon sich beide Fragefitellungen iiber- kreazcn, f>taa so, daS dic drirch yAufhan* hergestellte Funktion erst noch umzukehren ist oder ghiilich (Randwertanfpaben ufif.).

Sprochon wir zuniichfit ~ 1 1 1 Umlrehrproblein, so ist hier nnr der allereinfachste Fall der aalgebraischen* .4IikabO, i n dem es sich um eine rationale, g a n z e Funktion e i n e r Verlinderlichen handc,lt, a18 liirilanglich gelost anzusehen. Man beherrscht die Frage der AuflBsung e i n e r G l e i c h u n g n - t e n G r a d e s , so.wohl nach ihrer grundslltlr lichen S o h ale naoh der rein praktificben dor tats5chlichm Berechnung der Wurzeln I),.

Aber schon der Fall mclirercr Glnichungen rnit ebensoviel Unbekannten hat 'nicht die glolch eingehende, wiinschenfiwert.e Behandlnng gefanden, die eine rasche Uebersicht uber die Lage der Wurzeln iind ihre nXhere Bestimmung ermoglichen wiirde. Noah schlimmer stebt. es mit dem fiir viele technische Anwennufigen sehr wichtigen, iiber die Algebra hinanegohenden Fall transzcndenter Qleichangen (d. h. nicht rational-ganzer Fonktionen, die urngekehrt wcrden fiollen). IIier i a t nur weniges Methodische bekannt 3, Sonderfllle sind gelegentllcli iiiit Eriolg bohandelt worden a).

Ein altes und dringcndetl Dwideratnm des Technikars bildet ein whklich brancb- bares, vor allem ~bertlichtli(h(% und einprHgsames Verfahren zur Anniisnng eines Systems von z a b l r e i c h e n 1inoarc.n a l e i c h n n g e n mit ebensoviel Unbekannten.,, Was

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3. Probleme aur der Analysfs.

I

-~ vgl. z. R . C. H u n F o , I'rclxia dilr Glelchnngen, Lelpzig 1900 .

') Bemerkenswert, aher nlclit dur(,hKrclfend i8t die Note vou 12. d e h lonteasns , Comptos rendns de l'acadhlle, 1 4 6 , 1'aTiS 1909, fi. 4 G H 1 1 . 1 7 4 9 . \'el. a. R u n g e in Enc)kI.d.mathem.Wlasonach. R d . 1 S.434fl . '

a) Vgl. 2. €3. H . X i i n m e r n ~ ~ 1 1 1 1 . 1)ie Knickfestigkeit elncfl Stabee mit elastlseher Qoersttlteung, IJeipzig 1906. ,

6 Zeflflcdirit't, f i lr mgewyandb hfathemntik nntl Mechanik Band 1

bisher an zeichaerigchen und rechnerischen Methoden vorgeschlagen &rdeJ), genugt diesen Anfordernngen nicht. Anzpstreben allre, d48 das Verfahren in. den Sonderfuen einfacher Qliedernng des Oleichungsiiystems, die eioe. einfachere A d o a n n g gestatten, von selbet ubergeht in die bekannten, in dar Qraphostastik U6f. gebrLuchlichen Konstrktionerr;

Hier ' waren anzuschlieflen, als nicht rnehr gape in die ersb Hanptgmppo von Problemen gehtirig, die Aufgaben dek heihepentwioklung nnd sonstigen Dar s t e l l n o g en e m p i r i s c h g e g e b e n e r F u n k t i o n e n in vorgeechriebenen Formen. Die Technik hat in nenerer Zeit die praktiache, Verwendkarkeit gefvisser einfacher Entwibklimgen (hamo- ni6che Analyse der dnrch Ofizillographen aufgerlommenen Schwingangm) erkannt, es fehlt aber hier noch' viel an der Verbreitnng .einfacher, den Theoretikern l%ngEt gelanfiger, grundsltzlicher Erkenntnisse, z. B. iiber. die reichen MogliGhkeiten dcr Ap- proximation dnrch P o l p o m e uef a). .

In der zweiten Problcmgrnppe, d m unmi t t , e ibaren I n t e g r a t i o n , sind in den letzten Jahrzehnten v ide frnchtbare Vorarbhiten .gel6fstet wokden: Be1 manchen pr&- 'tischen Anfgaben ist man wirklich bis m vollig befriedigenden Losungen vorgedmgen, vielleicht darf hier a16 ' ein, freilich besondere. gut liegendes, BcSspiel ,das ballistische Problem genannt werden 9. Fiir nmfassendere Untersnohnngen ,wird man wohJ ,in ZU- h f t anoh die von P o i n o ark begriindete aOeometrie der Rifferentialg1eichunge;nr. 4)

heranzneiehen haben. Dab hier in vielen .Fallen gerade das zeichnerische Verfahren vor ,dem ihm gmndsiitzlich gleichwertigen rechnerischeq den Vorzng verdient, ist schon oben erwghnt, worden. Aber, ob Bechnnng oder Zeichnung, das ganze Gebiet steckt noch, trot5 seines betrHchtlichea Alters !- denn der Ursprnng der meisten Verfahren geht in die Zeit vor Erlindnng -der Infinitesimalreobnung zurtiok - in den anfangen seiner Bearbeitnng. Die Hauptursaqhe scheint darin zn Liegen, dab die mathematischs Theorie noch nicht aen richtigen Standpunkt zn dieser Art von Fragestellungen gefunden hat, Man tnt immer so, ah w&re ein' *praktisches* Integrationsverfahren etwas dem Wesen nach verschiedenes voii einem banalytischen((, etwa in dem S h e , da% das letztere eine a l l g e m e i n e Losnng, das erstere n u i eine Liisung bei gegebenen speziellen Zahlen- werten oder dergloichen . liefert. Demgegeniiber k a m nicht genug betont werden ( u d ganz das gleiche ist hinsiohtlich der numerischen ~~e~chu11gsau€l6snng zu sagen) : ein Verfahren, das gestattet, Ton bdiebig angenommenen Daten aus dem gcsuchten Resultat beliebig nithe zu kommeii (Koiivergenz !), ist Vollig rallgemeina und unterscheidet sich htichstens in der BnOeren Fonn seiner Wiedergabe bezw. seiner Definition von einer anal ytischen Formel. Wl'cnn erfit diese Anschauong, die den alteren hlathematikern wie E u l a r oder C a u c h y r;ichor 110~11 gelaufig war, wieder jn das Allgemein-BewuStsein der blathematiker iibergangcn fiein wird, wird man eine reichere Forderpng dieses Zweiges der praktischen Mathematik erwarton diirfen.

Die Schwieriglisiten do6 g e m i s a h t e n P r o b l e m s , das sich aus Fnnktions-Anibau rind Funktions-Umkehrung zu~ammen~etz t , sind 6 0 badeutende, daS man hier iiber 'die erston tastenden Versuchc kaum hinausgekommen ist, J a dafi iiber die Fragestellmg selhst fieinorlei Iilarheit herIst:ht. Meist verbirgt sich der Unicrschied zwischen .Rand- wert U - und ~Anfangsffcrtprobltrnien~ hinter dem viel unwesentlicheren zwischen gewiihn- lichen und partiellen J)ifSerentialgleichnngen. In dan seltenen I Fallen, in denen man 86 bei partiellen Gleichungen mit der reinen Integrationsanfgabe zu tun hat, sindA fast die gleichen Methoden wie bei gewohnlichen Differeiitialgleichnngen an- wendbar. Das Bandwertproblem hingegen fiihrt, wenn e6 nnmerisch behandelt wird, a d dem Wege uber die DiElerenzenrechnung ant, die Auflosung eines sehr vielgliedrigen System6 meiat linearer Oleichnngen ; ~ in dieser Weise s b d gelegentlich praktische Aufgaben durch- gefiihrt wordens). Wenn man aber, wie es oft durch die Natur der Aufgabe nnmittelbar nahegelegt wird, znr Ausnutzurig elementar-geometrischer Bezfehnngen den Weg zeichne- rischer Behandlung einfichllgt, so ist eine aesentliche Erweiterung und Vertiefnng der bei eindimcnsionalen Problemen vorwendeten Begrille und Vertahren notwendig; nennens- werte Versuche in dieser Richtung sind f i r verschiedene Aufgaben der Elastizitltslehre

'

') Vgl. e b s R. M e l i m k e , Grapblachee Recbnen, Lelpzig 1917. #) Elne ftlr dle'dnwendongen rehr branahbare Daratellnng enthiilt drs Lebrbnch von C. R u n g s

Theorle nnd Prexla der Relheo, LeIpzlg 1904. Vgl. z. B. C. C r a n a nnd R.. R o t h e , ,Artillerbt. Monatsbsfte 1917, 6. 198 ble 238.

' i Vgl. den Berlcht von R. L f e b m e n n i n Encykl. d mathem Wfea. UI. Bd,, Art. I) 8. 6, 2. B. eine Torsiorieaufgabe Ton C. R u n g e , Zeitmchr. hratb. Pbys. 5 6 (1908) 6. 225 bis 232.

Vgl. a. die demntichat i n dleser Zeitscbt. erschefnende Arbelt von 1 I e n c k y .

a d der Hydromechadk tlnternommen worden]). Aber 8 8 fehlt noch jeder Ansatz ZP einer systematik, , jeder Ueberblick ,iiber die mSglichen Ausgestaltnngen, jede Einsicht in die Reichweite dee Verfahrens, Die bisher- ,einzi,ge lehrBuchmX0ige Darstellung des Qebietes dnrch M a s s a n a) ist in jeder Richtong unzul&nglich.'

Ein fur die Anwendungen sehr fruchtbarer Gedanke, der von theoretisoher Seite (ETAS -Fiihrung sogen. Existenzbeweisa) beigebracht wnrde, iet der d0r ~sukzeesiven Ap- proxh,ationencc oder 'der ~)Nlhernngsfolgena. Er besteht darin, dat? von einer .in weiten Qrenzeh willkiirlichen Fnnktion als erster .NLhernng ausgegangen nhd diese dann darch wiederholtes Einsotzan in die gegebenen Cfleichnngen fortschreitend verbessert wird. An- echeinend ganz unabhgngig von der theoretlechen Begribdung hat L; Vi a n e l l o diesen Oedanken in Gestalt eIneg zeichnerischen Verfahrens zur Losung von Stabilit%tsau€gaben der Elastizitltslehre (Kniokung, kriElfiche Drehgeschwindigkeit UEW.) in die Techyik sin- gefiihrta). Nicht nur die eigentlichen Randwertprobleme sind in dieser Weise liisbar, sondern anch das Problem der ,Eigenwert*-Bestimmung (das sind eben .die ~krit isohene Werte der Belastung, Geschwindigkeit usw.) und die in Form sogen. Integralgleichungen gefaDten Anfgaben lassen in ' vielen F W e n mlt Vorteil eine Behandlong im Sinne der ~N%herungefolgen* zn. Es ist bemerkenswert, daO in neuerer 'Zeit dieser Qrundgedanke auch fur die Probleme der boiden friiher angefiihrten Hauptgrnppn, vor allem fiir die reipe Integrationsanfgabe, aber auch fur die Auflosnng sndlicher Gleichungssysteme mehr nnd mehr Qeltung gewinnt. Vielleicht liegt bier anch der Weg, auf dem man,binmal zu einer allgomeinen, den oben auegesprochencn Forderungen geniigenden Methode der praktischen Behandlung b e a r e r Qlelchungen mit sehr vielen Unbekannten gelangen wird.

Es sei nooh erwahnt, da5 man die Zuriickfuhrung eines Randwertproblems .auf die Anflosnng eines algebr&ischen Gleichungssystems statt auf dem nnmittelbar sich darbieten- den Weg der Dilferenzenreohnung (Einfiihrung endlicher Difierenzen an Stelle der Diffe- rentialo) auch anf zwoi'andere Weisen bewirken kann. Die eine besteht darin, da9 man baerst zn e h e r sogen. I n t e g r a l g l e i o h u n g ubcrgeht, bci .der die gesuchte Funktion nnter dem Integraleeichen eines bestimmt~en Iiitegrals steht, nnd dann dieses Integral durch elne endliche Summ'e annllhert. Das andere Verfahren benntzt die Mogliohkeit, diq Auf- puohnng der unbekannten Funktion auf die Form eines Variationsproblems zn bringen, das dann in analoger IVeise in eine gewiihnliche Maximum-Minimum-Aufgabe iibergefiihrt wird. Dieser Gedanke hat sich untsr dem Namen der R i t z s c h e h M e t h o d e sehnell Ein- gang, auch in die Technik, verschnfft, und 8s sind mannigfache Aufgaben aof seiner Qrundlage behandelt worden. NaturgernaB haben beide Verfahren nicht denselben Um- fang der Anweridbarkeit wic dafi gi,uiids%tzlich immer anwendbare Verfahren der end- lichen Differenzen.

All diese Fragen mGg& arifiohrine,nd woitab von dem Arbeitsgebiet und dem A& gabenkreis des Iugenieurs liogen. Aber was nutzt allo Theorie der Mechaxiik und der Physik, wenn man nicbt die M'crkzcuge bcsitzt oder zii bereiten rersteht, urn im gege- benen Fall die zahlenmililigeii Folgci~ringen am ihr z u ziehen?

4. Geomefrische Fragen. Dic I'flege der Geometrie, die schon im klassischen Alter turn zu groDon Erfolgen gefiibrt hatte, ifit, ursprunglich wohl durch die Aufgaben des Feld- messens angeregt worden. Als Qrnndproblem kann man vielleicht die ,)Konfitruktions- aufgabec ansehen : ein Raumgebilde, das durch hinreichend viol Eigenschaften definiert ist, .rollst%ndig herzustellen. Allrullhlich ist diese etwafi einseitige Auflassung mehr nnd mehr zuruckgetreten gegenubor einer fiystematischen Entwicklong der Abhgngigkeit geo- metrischer Gestalten voneinanderr. lm Gegensatz zur Analysis befiitzt die Geometrie, und zwar erst seit neuerer Zcit,, sin dur,chgreifendes Ei,nteilungsprinzip : es bilden naoh F. K l e i n imlner jene Eigenfichaften d w Itaumgebilde, die gegenuher einer bestimmten d3rnppecc von Transformationen iinverlndert bleiben, sin geschlossenes Untersuchungs- gebiet, sine *Qeomotrieu fur fiich. So kann man heute insba~ondere die metrische und die projektive Geometrie sowie die AnalFfiifi situs einander ge,g'eniiberstellen. Bei der wsten bilden die Bewegungen oder rkongruenten transformation en^ die maBgebende Gruppe,

. ') Fur die Potentialgleichuug: C . R u n f i e , h'nchr. Qes. W h G6ttlngen pa th . phys. K1. 1911, 6. 481 bin 44R. liYIr $trOrnungsprohlerne, namentllch in der Turbinentheorle: R. v. M i s e s , Zeitsehr. Nat~h.~Pliys. 57 (1909), 6. 1 bis 120, oder l'heorie der Waeserrtider, Leipaig 1908,

' a) M,Iemolre Bur l'int6gratlou graphique d ~ 8 equrtions eux derlreee pnrtlelles, Gand 1900 big 190.3. Zor Einfllhrorig weit b e a m i d t A e r Artikel ron R u n g e und W l l l e r s in der EncyklopUdie d. mathem' W 8 n . Bd. 11, C 2. Vgl. a. A: W i l l e r a , C4raphisch.e Iiitegration,. Sammlnng Gijschen, Leipzlg 1920.

3, ZCitEChT. V.er. deutsch. Iligcm. 1 8 9 8 , 6. 1 4 9 6 .

36 Zeitsclirjft f b r angewandte Mathematik und Mechanik Band’l

bei der eweiten die Umwandlnngen durch geradliniges ,‘Projizierei *wn ein’tum l?esqnnlrt am, ’bei aer &itten, von deren Bedentnng fiir die Anwendnngen noch die Bed6 eein wird, all8 Transformationen, die in bestimmtem Sinne

Eerk6mmllcherweiae werden z w el Q eb ie t e der Qeometr3e ern angewandten %th@ matik gereohnet, die sogen. apraktisohe Qeometriea oder Qeodllsie (Feldmeflknnst) und dfe darstellende Geometrie, die etwa in der Lehre von der Kartenprojektion einen Beriihnmgs- p d t aufwdsen. In der Geodl l s ie handelt 88 sich om metrisohe Ymfgaben, nnd mar zunLchst am elementare, d. h. solche, die a d den ?infaohen Kongmenzstltzen fiir bndlfok ausgedehnte Figuren beruhen, dann srst, ?sobsld aaf die KzGmmnng der Eraoberfliiohe and insbeaondere a d deren Abweichun Ton der Kugelgestalt~ Riicksicht genommen wir4

tlderen Verh&ltdsse der praktischen Anwendung haben die Qeodtlsie zn ehem s e l b e b - digen Wiseemohaft@- nnd Berufszweig werden laasen, dessen Entwioklung ziernliah mab; ‘l~%ngig von der der ubrigen Teile der angewandten Mathematik verl$aft. , Eine solche Ieblierung wFkt ant die Dauer niemals vorteilhafi.

Dls d a r e t e l l e n d e G e o m e t r i e ist, was ihre systematkche Ansbildung angeht, p g verknfipft mit der Qesohichb der teohnisohen Hochsohulen, ja man kann ihre Enbrick- %ung geradem a l s ein Symbol f i i r diese ansehen. Hervorgegbgen and einer Gammlung praktisoher Regeln, die, zum Teil unter strenger Qelelmhaltnng nach aden, innerhalb enger Bekdsgruppen (de) rBauhiittena) von Generation t n f en era ti on iiberliefert wurden, hat sie durch Monge, einej der Begriinder der 6cole polytechriique in Paris, die fede Form eines wissenscha!tlichen Lehgebiiudes erhalten, dessen Pflege den verschiedenen, gp&ter entetmaenen Soohsohulen fiberlassen blieb. An1 die Anflloge der projegtiven Oeometrfe, die auf Ponoe le t , einen Mitarbeiter Monges, zuriickgehen, hat die darshllenda befracli- tend eingewirkt. In der ersten Bliitezeit der deutschen teohnisohen Hoohschnie~, 4.n den 70- and 80er Jahren des vorigen Jahrhnnderts, in denen der Grund zu den mafsten der heutigen theoretischen ,Ingenienrwissenschaftena gelegt, wurde, hat die darstenende Qeo- metrie in der aMethodenlehrec F i e d l e r s in Ziirich ein iibergrofles Ma5 von projektiver Qeomgtrie in BiC3 hineingezogen nnd ist durch diese allzn theoretische Fassung Wen UrEpriingliChen Zielen stark eutfremdet worden. Die Reaktion, die daranf aingesetzt hat und teile in einem Znriickdrtlngcn der geometrischen Qrundgedanken dsr Fragestellang, teils in fortschreitender Einechrinkung des lehrplanmZf3igen Unterrichts auf diesem Qebiet besteht, wirkt hente noch fort, nachdem sie bereits welt ubers Ziel geschoseen hat. Denn wenn anch die unmittelbaren Aufgaben der zeiohnerischen Darstellung eine weitgehende tbeoretische Ansbildnng in dor darstellenden Ueometrie nicht rechtfertigen kiinnen, sle bleibt doch ein unentbehrlichcs Mlttel der Schulnng fur den Baningenienr, der dreidimen- sionale Baukonstmktionen, z. B. rhmliche Fachwerke, wirklich beherrschen, fiir den Ma- schineningeaieur, der rlinmliohe Bewegungsvorghge, d e sie bei windschiefen Varzith- nungen, dbeim Hinterschleifen von FrLisern nsw. auftreten, llchtig verstehen will, So Bann maa denn nur hoffen, dafl die jetzt einsetzende Nenbelebnng des Interesses an den wissensohaftlichen Qrundlagen der Technik anch dem geomatrischen Unterricht allmllhlich m seinem Recht verhelfen wird.

Dann aber wird die aangewandtea Qeometrie an6 der Enge hervortreten miissen, die ihr hente vielfach anhaftet, urn sich vor dbm naoh z w e i R i a h t n n g e n BU entfaltan. Einmd bediirfen die der PriLzisionsqathematk zaznziihlenden g p om8 t ri 13 c h en Bmnd- begriffe der Mechanik , der Vektor n s d Tensor, die Dyade, der Stab and die Dyname, Rotor, Qradient ww., Bcgriffe, die gerade in der t echnisohen Meohsnik znr umfassend- sten Ahwendung gelangen, der anscbaulichen tmd dnrcbgreifenaen Verkniipfapg mit dem Matterboden der Qeometrie, dem sie sntstammen. Wie Wertvolles t3s hier ant dem nur echeinbar ansgeschiipften nnd vielfach als * n u formal< nnterschtltzten Qebiete qoch EU finden gibt, haben neben dem gro0en Werk von S t u d y ‘1 die in ihrer Einfachheit be- steohenden, schonen Arbeiten von Otto Mohra) gezeigt; dnrch beide werden die besten kla66iSChen Ueberlieferungen eines M6 bi u 8 , eines C h a 8 1 e 6 , a d s wiirdigete fortgesetzt. Von einer Ausgestaltung und Znsammenfassnng all dieser Lehren darf sich bnebes~ndere die Mechanik der Baukonstmuk!ionen, die ja so stark geometrisch durchsetzt ist, viel- ver- spreohen. F’reilfch soheint es, a16 ob die hier erlorderlichen Begabnngen geomatrboh an; sobaulicher Richtung, selbst innerhalb des I(reise8 der mathem8thOh Veranlagten, baeon- ders selten en finden when.

srtolgen.

urn Frageh der Differentfalgeometris. B le Qeschlossenbeit diesee Problemkceisee ,Und dfe

,

’) E. Study, Oeometrie der Dynamen, Lelpzig 1903. 0. Mohr, Abhandlungen a m dem Geblete der technischen Mechanlk, Bsrlln 1819.

noft 1 T. Misofi, Aufgnben iind Zialo Rnr- angcwandtcn Mnthc.matik 9 I-f_-._ __ .

Der zweite Pun& auf den wir die geometrlsche 33etrschtnngaweise ansgedehnt m seheq d n s c h e n , W l t i n das aebiet der Approximations-Mathematik im K l e i n sohen Sinne. Es handelt sich nm &ne geordnete Entwicklung 'der Qrnndsiitee nnd der Hilf s m i t t e l d e s g r a p h i s c h e n R e c h n o n e , ' ron dem oben' ansfiLhrlich die Rede war. Bekanntlioh hat d ' 0 c a g n e vor nicht langer Zeit dnrch Schaffung der N o m o g r a p h i e hier sehr wesentliohe Fortschrftte herbeigefuhrt I). Man ist jetzt in der Lsge, funktionale Znsam- menhgnge zwischen mehr ale zwei Verilnderlichen durch cbene Figuren zu beherrschen. Allein fast alle prinzipiellen Fragen der Nomographie harren noch der Losung, nnd man wird nicht fehlgehen, wenn man Ton deren Klbrnng anch elne Erweiterung bder Anwen- dungsgebiete erwartet. . In letzter Linie Hegen hier ~Abbildungsa- Probleme vor, die man ja einer geniigend' weit ge'faDten x darstellendena Ceometrie unterordnen konnte; such andere Aufgaben der zeichnerischen Rechenverfahren, z. B. d b der Konstmierbarkeit d e r Zuhilfenahme einer festen Iiurve (analog den S t e i n er sohen Konstruktionen rnit festgm Kreis), dann aie schon beriihrten infinitesimal-geometrischen Fragen bei der Inte- gration gewohnlicher nnd partidler Differentialgleichnngen, weisen mehr ale nnr hf le r - liche Beriihrungspnnkte pi t den Brgriffsbildn~~gen nnd Verfahren eiaer allgemeinen a Ab-

Vorhin ist 'anoh ganz kure der analysis s i t u s e ErwZihnung getan worden, jener Qeometrie, die die Raumgebiide nur nach ganz allgemeinen Zusammenhangs-Eigenschaf- ten unterscheidot: F'iir .sie sind Kugel und Ring verschiedene liorper, aber der Kugel gleichgestellt w p d jeder Korper, dor, wie ein Wiirfel oder sonet ein einfaches Polyeiler, durch einen einfachen Scbnitt (d. h. einen in geschlossener Linie nm die Oberfllche her- nmlaufenden) in zwei getrennte Teile. zerflllt. Es debt so an6 und hat bisher als selbst- veretfindlich gegolten, da% eine dorartige Betrachtnngsweise, die enmeist ant sehr schwfe- rige Fragestellungen fiihrt, fiir die Technik ohne jede Bedentung sei (wenigstens soweit von den mittelbaren Anwendungen in der Funktionentbeorie abgesehen wird). Demgegen- uber sei gestattet, darauf binzuweisen, daS in einem bestimmten Zweig der Technologie, der freilich gegenwgrtig noch rein handwerksmllflig auf Qrnnd uberlieferter Erfahrungs- regeln botrieben wird, eine ahnliche, wenn auch nicht die pfeiche, Art der AnfIassung geo- metrischer Korper zur aeltung komrut. Wir meinon die Giefkrei, bezw. das Herstellen von Modellen und von Negativformrn vorgegebener Qebilde. Hier ist die Aufgabe zu losen : wie mu8 dor herzustellendo Iiiirper in moglichst wenig Teile zerlegt Werden, ron dcnen jeder einzelne >abformbarh is!, d. h. bei Einfuhren in die Formmasse und Wiederheraus- ziehen den Negativabdruck des ganzen ron Ihm reprLeentierlen Oberfliichcnteils des ur- sprunglichon fiijrpcrs hintcrliiinl.. Iieispielsweise ist 0s klar, da5, n i e eine Kugel, jeder einfache kon-rese Kijrper cine Zcrlvgung in zwoi Tcile zulllflt, ebcnso aber auch dor durch Rotation einer Kugel entstaiidene Ring (Torus). Dagegen erfordert cine offene Kngel- schale, die ruehr als die Rlilfle der ,Vollkngel urnfaat, lnindestens Tier hlodellteile, niim- lich jo zwei fur die A d e n - und lnnonfllcho. Es kommt hier, Fie man erkennt, durchaus nicht der gleiche Qesichtspunkt' zur Geltung, dcr die Zusammenhan~s-Eigenschaften der Analysis sitns liefert, aber chi Eintcilungsgrund, dor sbenfalls in sehr weitem Mafie stetige Gestaltsiinderungen dcr Korpor unbrriicksichtigt Ililt. Wir flihren dies mit allem nijtigen Vorbehalt an, nur um zu zcigen, wie weit die Moglichkeiten wissenschaftlichor Dnrchdrin- gung praktischer Handhabungen noch sind; a n einen augenblicklich'en and uiimittelbaren Nutzen darf man da freilich nicht denken.

5. Der Aufgabenkreir der Mechanlk. Die Mechanik mit all ihren Verzweigungen nimmt einen so breiten Ihum in dem ArbeitEgebiet des Ingenieurs ein, daO ea kaum mSglich erscheint, auch nur die wiohtigsten, gegenwllrtig aktuellen Frsgen hier eu beriihren. I n drei Stnfen erhebt sioh bekanntlich das LehrgebLnde der heutigen wissen- schaftlichen Mechanik. Den Qrund bildet die N e w t o n sche Mechanik der f r e i e n Punkte (oder kleinen festen Kiirper), die unmittelbar ringrprsgten Kriiften unterliegen; sie hat haoptsiichlich in der Astronomie ihr Anwendungsgebiet gefunden und hier fast die gr6Dten Triurnphe gefeiert, die je einer h7atnraissonschaft zuteil xurden. Aber schon die Bewegungs- ereoheinungen am physisohen Pondcl bodurften weitercr, iiber die Newtonschen hinansgehen- der Begriffebildungen, die, von H n y g h e n s vorbereitet, durch E n l e r und L a g r a n g e ihre Sykf~nati6Che Ancgestaltung erhalten haben: In der biechanik d e r g e b n n d e n e n P n n k t - EyEtf3me einsohlieBlich der starran K6rper (Mechanik endlich rieler Frelhoitsgrade) ist 8 6 der Begriff der Bewegongsbeschrbkqg (kinematisohe Bedingnng) und der mittel-

l i n g , Ueber die Nomographie VOII d'Ocnpiic, Lei'pzig 1900.

bitdungsat-(feometrie anf. f

') M. d'Ocagne , TrnllB dc Nomogrnphie, I'riri8 1899. I3ne kurze Eixifllliruiip gild F. A c h i 1 -

ZeitRchriff fiir rrngewandte Mathematik pnd Nochanlk Band 1 --.

10 ~ - - - baren oder Reaktionskraft, der die Hahptrolle spielt I). Fast die geeamte Lehrs ,van\ deb Maschinen,. von ihren .Bewegongen nnd den in ihnen wirksamen ',Kr&ften, mhbanf djesem Fundament. Endlich hat ' C a u c h y , gestiitzt anf mehrere, VorgLnger, .einen dritten Kraft- begriff, den der flLchenhaft verteilten, . inneren KrUte oder Spannungen eingefiihrt, ' der 8 s ermiiglicht, die meisten Erscheinungen an s t e t i g d e f o r m i e r b a r e n , festen, ffiissigen otler luftformigen &Tern bis zu einem gewissen .Grade zu beherrschen.. ,Ob damit der. prinzipielle Anfbau der Mechanik abgeschlossen ist, muS angesichts des weiter nnten nooh mr Sprache kommenden, bisherigen Versagens der Hydromechanik gegeniiber ganz ge- ILnfigen Bewegnngfivorg$%ngen zum mindesten als zweifelhaft gelten.

Id den engsten Rabmen der N g w t o n s c h e n M e c h a n i k fallt von Anfgaben, die den Techniker angehen, eigentlich nur das s o g e x SanSerdu b a l l i s t i s o h e P r o b l e m , Es ist vie1 behandelt worden und gibt, wie rrchon ,erw&hnt, reichlich Qelegenheit zur An- wendung praktischer Integrations methoden fur gewijhnliche Differentialgleichpngeq ''), .?hi der Vielfaltigkeit der Anfordorungen wird hieb voranssichtlich noch lange nipht d y letzte Wort gesprochen sein.

Der Untersuchung der B e w e g n n g s v o r g P n g g a n Masohinen ist, wenn Inan etwa die Entwicklimg der Sjatik der Bauwerke z ~ m VergleicP heranzieht, verhLltn36- madig wenig Aufmerksamkeit gewidmet worden. Breiteren Raum innerhafb , der tech- nischen Literatur hat oine Zoitlang nnr die kinematische Betrachtungsweise.der E e n l e & u x - schen Schule eingenomplen, die aber, trotz ihrer nnbestreitbar; aufklLr,enden Wirkubg,, sich bald hfolge der einscitigen Ausschaltung der eigentlichen Kinetilt als vnfruchtbar erweisen'mudte. Es ist erstaunlich, dai3 seit P o n c e l e t (1845) und D r a e h o f (1875/90) kaum kine nennenswerte Gesamtdarste~ung der Maeohinenlehre erschienen ist; hervor- hebenswerte Behandlung von Einzelproblemen verdankt man J; v. R a d i n g e r . fur die Schwnngradberechnunga), A. S t o d o l a fur die Theorie der Regulatordn'), H. L o r e n z fur den Massenausgleich Dabei liegt das methodische Rustzeng fiir diese Dntersnchungen seit.. mehr als hundert Jahrcn in der L a g r angeschen Systemmechanik fertig vor, deren Tag noch immer nicht gebommen zu sein scheint, o'bgleich K. H e a n seit Jahrzehnten nachdriicklich anf sie hinwcist ">. Wenigstens bemiihen sich stets wieder Techniker mit systematisch-theoretischen Dediirfnissen, wie beispielfiweise M o h r, um die Schaffung yon Begriffen, mit denen sie in den Anfangselementen der Lagrangeschen Mechanik stecken bleiben. Es wLre nnn dringend zu wunschen, da13 allmLhlich der Bann gebrochen wird und jene Methoden fiir die IZsung der. maschinentechnischen Probleme herangezogen wiirden; davon wird man uicht nur Erfolg in Einzelfallen, z. B. bei einer zusammen- fassenden Behandlung aller Aufgaben iiber die Regelung des Maschinenganges, erwarten diirfen, sondern 0s wird zwoifellos neues Licht auf die Grundfragen der Maschinenlehre, auch .auf die durch Reuleaux erst nur rtngebahnte Spstematik, fallen. In mathematischer Hinsicht kommt hier nur dafi areinea Integrationsproblem gewohnlicder Pifferentialglei- chungen in Frage, zudem meifit fur lineare oder sonst8wie spezialisierte Gleichnngen ; Schwierigkeiten pbysikalificher Natur, d. h. etwa Unstimmigkeiten zwischen dem Ansate nnd dem tatslchlich Beob:ichteten, liegen in erheblichem Xlai3e jedenfalls nicht vor.'

Der allgemelne Spannurigsbegriff, der von E u l e r vorbereitet, von C a u c h y dmn endgiiltig prazisiert wurde, hat seinen Ursprung und bisher auoh die umfassendste 'VW- wendung in der Theorie der e l a s t i s c h e n K o r p e r gefundep, die bekanntlioh dadnrch gekennzeiphnet sind, da0 Spannungen nnd Deformationen in iedem Pankt einanher wechselweise eindeutig bestimmen. Nimmt man, wie dies allgemein iiblich und hinreichend genan ist, diesen Znsammenhaug als linearen an, so fiihrt die Theorie far die einfachen\ Korperformen und BelastungsfHllo, mit denen der lagenieur gewohnlich zn ,rechnen hat, zu Ergebnissen, die sich boi einiger Beherrsohnng der zeichnerivchen und rechnerisahen NLherungsverfahren in fast allen Fallen mit jedenfalls ausreicbender Qenauigkeit ableiten

4 '1 17ergl. liierzu tllc i n dicscm Punkte rorbildliche Daratellung bei G. H n i n e l , Elementare

') -Reicbes hlaterisl bei C. C r a n z , Lehrbnch der Ballietik, Iielpzig 1910. Vergl., auch FUB-

3, Ueber Damplmaschinen mi t hoher KolbengeschwIndigkkit, Wfen 18S2. ') Schwciser 3auci tung 22 (1893) S. 118 und 23 (1894) 8. 108. ' '1 H. L o r e n z , Dyuamik der Kurbelgetriebe, Lelpzig 1 9 0 1 . 6 , Z. B. in dem grandlegeadeo Bericht : Die kinetischen Probleme der,wisSenschafclichen Tecbnik

Le ip ig 1900 . Eine ~usfIlhrlic11ere Darstallung des ganren Problemkreisoe der Maechlnenlehre gLbt R. v. $f is08 i n Bd. 117 der Eitcykl. d. matlifm' Wissie'ensch , Artlkel 1 0 , S . 157 bis 355.

llgchauik, Lcipzig 1912 , S. 87 ff

note 2) S. 6, sowie die doiniiUchst 111 dieser,Zeitschrift erscheinende Arbeit von I(; P o p o i f .

v. M i 8 0 6 , Aufpalren u n d Ziele der angewniidten 1Iatliornatik 11 Heft 1

lassen I). Nnr der danerdde Zustand gegenseitigen MiBveretehene ewischen Mathematikeh nnd Technikern hat znr Folge gehabt, da8 sich eine zum groSen- Tefle.*t der-Xlastizitiitrr- 'theorle in Widerepmch st~hende ntechnische Mechanika ' ausgebildet hat, ~ die .den richtlgen .Ausgangspunkt durph angebliche nNIherungstheorien* ersetzt, wob,ei ,dereq' Begriindung oft nur darin bestelit,' da0 sie einfache SchlaDfolgerungen; wenn auch '~rsichtlich falsohe, gestatten, Damit soll nicht die nBaumechanika im engeren Sinne getrolfen werd?n, die 'bemer M e c h a n i k . d e r ' S t a b s y s t e m e hiefie, und a h weientlich geometrischsn 'Am- f i i h k g e n um einen engen Kern riohtlger rnechanischer Vorstellungen besteht. Aber iiberall,. wo es sich nm etwas anderes als dunne GtLbe handelt, lie@ ein weitm, auf lange Zeit hin- .ads ergiebiges Arbeitsfeld der angewandten ' Mathemat*. vor : fur die einzelnen hoblerny- grnppen, wie z. B. die Schubspannungs-Verteilnng beim gddrillten oder gebogeneh Balken, das, Gileichgewicht der belasteten ebenen Platte oder krummen Schale, die Stabilitat ver- schieden beanspruchter Sttibe oder Schalen, die Spannungen nnd Form&nder,ungen. ebener . gcheiben bei beliebigem Kraftahgrifl (Kerbwirkung) usw., die erforderlichen Rechnungen -nun wirklich in dem praktiseh notwendigen Umfang durcheufiihren, ,so da0 die Frkbgen, die in der kechnischen Mechanik' gegtellt und beantwortet zu' werden pflegen, auch ihae rqt i one l l e Beantw.ortung tabLchlich erhalten. - Als rationell glauben wir. hierbei ein Verfa?i!ren :be; zeiohnen zn diirfen, das von einem, soweit die Beobachtung reicht, physikalisch richtigan Aksatz ausgeht rind Schlufilolgcrnngen durch NLherungsrechnnng von'. kontrollierbmam .Genauigkeitsgrad zu gewinnen sncht.

,Him erhebt , sich nun freilich der Einvand, da0 die wirklichen Kiirper . teils uber- haupt nicht,. teils, nur in engen Belastungsgrenzen .sbh wie elastische verhalten. Den vor einigen Jahrzehnten I nnternommenen Versuch, den Abweichungen. dadurch Rechnung iu tragen, dab man an Stejle des H o o k e schen linearen ein nioht-Iineares . Sparinnngs- Zerrungs-Oesetz einfiihrt a), kann man wohl als erledigt ansehen. Denn die eigentlichen Schwierjgkeitsn bestehen erst darin, da5 Spannungen nnd Formtndemngen nicbt mehr in eindentiger Wechselbeziohung stehen, sondern dab nach Verschwinden der Beanspru- chnng b le ibende , p1aetisch.o F o r m a n d e r n n g e n auitreten. Die dlgemeine Theorie plastischer Kiirper, die schon an! S a i n t - V e n a n t zuriickgebt und in den anschaulichen Formulierungen M o h r s neue Fiirderung erhalten hat ist erst in neuester Zeit durch L. P r a n d t l bis zur expliziten Verrurtung fiir befitimmte Anfgaben fortgefiihrt worden'). Der Wirklichkeit gegeniiber bleibt aber auch die Theorie der plastischen Formiindernngen noch ein gutes Stuck zuriick, da sie der nVerfestignngu des Materials durch die Bean- sprnchung, ah0 einer gewisfien .GedBchlnis-Erschein~ngu, nicht Rechnung tragt. Diese wird man erst im Zusammenhang mit der elastischen Nachwirkung und den allgemeineren Ansatzen V 01 t a r r a s zu einer Geti3lchtnis-Mechaniku 5, beherrschen kijnnen ; eine ge- niigend nmfassende Theorie, dirt fiich heute, wenigstens in allgemeinem Rahmen, WON schon aufstellen liefie, ist bis1ic.r nicht formuliert worden. Ueberhaupt darf bemerkt werden, dail die reichen nliiglichkeiteu, die verschiedenartige Festsetznngen iiber die inneren Bpannnngen als Funktion anderer QriiBen in der Mechanik der Kontinua, ins- besondere der festeu Korper, darbioten, bisher nur sehr wenig ausgenntzt wnrden. AnDer den plastischen. und den gewiihnlichkri elastischen Korpern sind in gro5erem Umfang nut noch gewisse elastische Qebilde mit endlich ansgedehnten Formanderungen, durch Co 6 s e r a t u. a. behandelt worden 'i). Einstweilen ist hier die Sammlung voq BeobachtuDgs- material, da sich die heutige Phpsik wenig urn dergleichen kiimmert, die .wichtigste A d - gabe der an der Weiterentwicklung der Mechanik arbeitenden Technlker.

aanz ander6 als in der Elastizitiitslehre steht es in dehandern Blassischen Gebiet der Mechanik stetig verteilter Massen, der Hydrodynamik . Hier verfiigt man noch aioht' iiber einen Ansatz, ' der auch nur i? den wichtigsten und scheinbar einfachstsn Fgllen, wie z. B. dem der gleichformigen Strijmung des Waseers in einem geraden Rohr, zu Folge-

__ - - - _- . .

I ) Vergl. hirrzo e . B. den t lemn~cl is t in dieser Zeitschrlft erseheinenden Bericht fiber die Lo,

a ) Nainentlich C . B n c h , I ~ ~ l n ~ t i z i t l ~ l iiod Fesfigkeit, Berlin 1890; 8. AuB. Berlin 1920. 3, S. 1 9 2 bis 2*5 in deu l h 9 1 1 . 2, s. 8, gennnnhn Alhnndlunpen h l o h r s . "r den nllgenieinen

Ansatz und seine Beg-rbdong -ierg1 ttn('11 R . v . B l i se s , Nnchr. Qes. Wissensch. GUttingen, math. pbys.Kl. 1913, S. 582. -Zusnin~nenfiissendes lieferat in der Encykl. d . math. Wissentxh. Bd. IT', Art. 51, von v. K a r m n n und L. F o p p l .

') Vergl. den folgenden Aufsate cowle Narhr. Ges. ~ i s s e u s c h . Gottinpen, math. phys. K1. 1 9 2 0 S. 7 4 . 5, Vergl 8en Bericht von T ' o l t e r r a i in Arch. d . Mnth u Phys. ( 3 ) 22 (1914) S . ,155 his 182. ') E, u n d F. C o s e e r a t , Tli&tl-ie dcs corpe ddforinnble~, P~i-is 1909.

sungen des Torsioneproblems ~ 0 1 1 Th. P U s v l i l .

Zeii,sc!iciit f q r mgewandte &latliernntik untl .Meclianik . . Band 1 ~- re

rungen fiihrte, die ?it dor Beobachtung in erlriiglichem MaBe ubereinstimmen, Man be- sitzt bekanntlich zwei Theorien, die der sfdealen< nnd die der sz?ihen* Fliissigkeften, nnd f i r jede yon ihnen gibt 0s Gebiete, in denen sie nnbestritten znr Geltnng kommt; die Idealtheorie beispiolsweise bei der Berechnung der freien Btrablen (vena contraeta), die ZXhigkeitstheorie bei d e r geordneten, laminaren Bewegung in engen Kantllen, in den schmalen, vom Schmiermittol erfiil!ten Spalten zwischen Welle und Lager WW'. Anf beiden Qebieten liegen, noch wcnig bearbeitete, Aufgaben der Approximations-Mathematik, 8hn- lich denen der ElaatizitLtsfheorie vor. Von den beisten iibrigen Bewegqngen weif3 man nur, dafl sie * t u r b u l e n t * sind, d. h aua einer verhiiltnismiii3ig rnhigen Qrnndstriimung und dariiber gelagerten, sohr unregelmiif3jgen Vibrationen bestehen, nnd man kann nnr mit Verwunderung fefitstellen, daO die Qrundstromung im grofien ganzen den Bewegnngs- gesetzen der idealen Fliissigkeiten folgtl). Ein nenes Beispiel fiir die oft sehr weit- gehende Uebereinstimmung hat die in letzter Zeit weit ausgebildete Theorie der L& strtimung in der Umgebung eines bewegten Tragfliigels geliefert 9). Aber weder kann man aus den mechanischen aleichungen den Qrund dafiir ableiten, dad bei AnSeracht; lassen der Pulsatioiit~n das Verhalten der wirklichen Flussigkeit anniihernd das einer reibnngsfreien wird, noch vie1 weniger lassen sich die Fragen beantworten, die mif dem Auftreten der Turbulone unmittelbar zusammenhangen, vor allem die, welchen UmstLnden das Entstehen der Turbulenz zuzuschreiben iat 3). Nach dem gegenwxrtigen Stand der Theorie muB man es als noch unentschieden ansehen, ob der Ansatz der zghen Fliissig- keiten bei geniigender mathematischer Durchdringung eine ErklLrung der Wbulenz zn geben vermag, etwa auf dem Wege einer entsprechenden Beriioksichtigung der Wand- rauheit als Grenzbedingung, oder ob die Losung nnr dnrch die Sprengufig des Rahmens, der klassischen Mechanik und Uebergang zu s t a t i s t i s c h e r B e t r a c h t n n g s w e i s e erhofft werden kann. Bei den grooartigen nnd vielfach verbluffenden Erfolgen, die der pbysi- kalischen Statistik in don letzten Jahren zuteil geworden sind, wfrd man vielleicht mehr der letzteren Ansicht zuueigen, die - wenn eie sich bewahrheiten sollte - von gar nicht abeusch8tzender, grundbfitzlioher Bedeutung fiir die gesamte Auffassung der Mechanik werden kiinnte.

So hsben wir in fliirhligrm Zuge den mannigfaltigen Aufgabenkreis d e r Wissen- schaft duroheilt, die rnuhr ;LIE irgend eine andere eine unentbehrliche Grundlage der schaffenden Technik bildct. Die Mechanik, die eiumal L i o n a r d o das Paradies der Ma- thematiker genannt hat, ist fiir den heutigen Ingenieur das nmfassendste Arbeitsfeld ge- worden, dossen rniilirvollr Rebauung ihm fast allein iibcrlassen blieb und &us dem er, wenn auch in hartor Arlmit, miclilich lohnende Friirhte zieht.

6. Weifere Prohleme. Schlufjbemerkung. Mit deu vorstohenden Betrachtungen iiber die Aufgsbon dnr anpawandten Analysis und Gcomctrie sowie der Mechanik ist die Fulle der 1'rot)lamp h i weitem nicht, erschiipft, mit deron Bearbcitung wir uns zu befassen haben. lXc1 angcfiihrten Problemgroppen sind nur insofern ausgezeichnct, als sie bei der naeli dcr IIorufsgliedernng orientierten Stoffabgrenzung der versehiedenen Zcif schriften an kcincir aide: n StelIe ihre zustindigo Vertrctnng finden. Nun tritt aber noch eine ganeo Reiho t o n Gebieten hinzu, die boi der heutigen Spezialisierung nicht mehr in vollem Urnfarig bci iins bebanddt wordcn konnen, die aber dem hier vertretenen htoressenk~eis so nahefitchen, daf3 sie nicht ganz unberiicksichtigt bleiben diirfen,

An erster Stelle sei die mathematif iche S ta t i s t i k genannt, die mit ihren BUS- strahlnngen nach der Bevolkorungslehre und Versichernngs-Wissenschaft auf der einen, nach der yhysikalischan Stalistik aui der andern Seite, heute nicht nur grodeq Umfang, sondern hohe und immar noch steigende, I wissenschaftliche und praktisohe Bedeutung gewonnen hat. Es ~ c h ~ i n t , ditil hier eine fi l lrung der Grundlagen, der Wahrscheinlich- keitsrechnung, nnd aurh t,in Aufibau dcr IAmngfimethoden fur Einzttlprobleme vonnijten ware. Beide Miingel traten x B. in letzter Zeit zutage boi der langwierigen, nicht ganz befriedigend abgeschlohserren Erbi terung iiber das Problem der >Iterationen<, das Mar b e zum Ausgangspunkt u oitgehendor Angri5e gegen die bisber als allgemoin giEltig an- --_ -

Dieser Saclivorl~nll. wiril r~,usfRlirlicli '(lalgestcllt bci 1% v. hl i s B R , Elernonte dor techniseheii

') Vorgl. bwonclers 1, P r : i n d t l , Nachr. Ges. %'iSS1?118ch. GSttlngen, math p h p . KL 1918

') Ueber den bishorigcn S t m d dieser Braze nntrrriohtet ilus i n diescr ZeilBehr. deinnjtehst er-

Hyilromeclianik, Leipzig 1 9 1 4 , S. 29 bis 33.

6. 107 sowlo das dernnlichst hicr rraclieinende Reforat von T s e f f t z .

sclieinende Referat ~ 0 1 1 1'. N (I e t 11 u I'.

Heft 1 13

erkannten Q.mads?itze qer Wahrsch~in2ichke~tsrechnnng gemacht hat I). Beid0 Umstbde bewjrken aber auoh, ,daS die meisten Teile der phys&a&chen Statist& dem IogSech Denkenden einen hhhgt, unbefriedigenden Eiadruck machen nnd bei allen, Phpikew und Mathematikern, die griifiten Bedenken ausf;iSsen. Andererseits arbeitet die ,Statist& im engeren Sihn, bamentliah in Fragen der Fehlerausgleichnng, der Bev'6lkemgslehrs ma des versicherungs~esens, mit soheinbar groDer Sicherheit, indem sie eine ierstarrter Forpeb pnd BegrSe, wie dab *Bernonlliache Schema*, das Fshlerquadrat, die normale und nicht normde Streanng und Ihnliches mehr, weit iiber den Qeltmgsbereich Qrer,. ursprkglichen Definitionen hinaus, handhabt. In mathematlscher Richtung- handelt 88 sigh heute, abgesehen Ton her ganz augemein notwendigen Reiniguag der&khluDWeisen,nr4d VOP aussetznngen, urn das yon Laplaoe z m erstenmal in +grif€ genommeae Pro%l%m der ~JFungtionen groifJer Zahlena, Die Sache liegt EO, dai3 man in den elementaren Formeln der Kombinatorik (oder eigentlioh in den einfaohsten Formeln der hithmetik) ,die, Mittel' besitzt, xm jedes klar gefa6te Problem ger Wahreoheinllchkei8reahoM$ L-' nnd d . i ~ Statist& hat keinerlbi andere Quellen, wenn sie adch manchmal rneint, dka 'Wahrschein- ilichgeitsbegriff entbehren zu kiinnen - qpndstitzlicba zu liisen. , Abet die Berechnnng der in Rage kommenden ,Fahktionen nach ihrer urspriingliohen Definition wira' Bur praktischen OnmSgliohkeit, -sobal& die Vertinderlichen d i ~ hohen Werte w6hrnen3, die ihnen iq den Anwendmgen zukotnmen. Eine systematische, ensammerdaesende 3~hana- lung dieser Fragetl dem Q-rundproblem -der praktischen Analyeis (8. - obbn) zwanglos nnterordn$ Laplace nioht wieder versucht worden. Aber gerade die neueste Entwicklm ysis hat vie1 BU firer Forderung beigetragena), so da% man jetzt hofbn dad, viele bfsher unerledigte Aufgaben der Statistik mit rationellen in Angriff nehmen zn"86nnen. + ' wie wir die ben der mathematischen Statishk an die' der Ana schlieden kdnnen, 80 verfahren wlr iihnlioh, indem wir den Adgabenheis der Mecha- ~ i k soweit au~dehnen, da% er die WLrmemechanik oder ,technisohe Thermo-, dynamik mit d B t . Dabei wollen wir weniger an den Ursprung jener Bezejchnung, die sogenamte Bmechanisohe Natura der Wlrme, denken vielmehr daran, d& die Mechanik der Dampfmaschine oder anderer Wlrmekraftmaschinen wesentlich liickenhaft bleibt, so ls~ge man nioht die thermodynamischen Ueberlegnngen heranzieht, die das SKFaftfeldQ: der Maechine erst bestimmen. Es war wohl Guatav Zeuner, der zum erstenmal mit der bewu5ten Absicht, dem Maschinenkonstrukteur zu dienen, die Qrnnd- begriffe der modernen Thermodpamik 5nr Erklbung der , VorgElnge in der Dampf- maschine angewandt hat. In welchem Ma00 sich die hierhergehiirigen Probleme am- gedehnt und vertieft haben, zeigt das grode, nur einem Sondergebiet gewidmete, Werk von A. S t o dola uber Dampftnrbinen a), das vorbildliche Muster eines technisohen Lehrbuches, das mu einen Kern nnmittelbar pkaktischer Aufgaben eine Menge fmchti barer Gedanken 811s verschiedenen Qebfeten der Theorie sammelt, neue Fragestellnngen anregend, alte Probbme aufkWrend. Nur fiir den, der mit dem Inhalt dieser Forsohuog'en gar nicht vertrant' is4 mufl es ausdriicklich gesagt werden, dai3 die se Thermodynamik weder in der weinenc, noch in der ntechnischen Physikc geniigende Beriicksichtjgnng findet. Denn je~ne, die sich noch traditionell in eine stheoretiache* nnd eine mxperi- mentelle Physilr<( gliedert, besch&Mgt sieh ausschliefilich damit, den Bereioh der erM&r-- baren Natnrersoheinuagen m erweitern, und ist vollauf befriedigt, sobald ee gelnngert ist, eine neue Gruppe" von Tatsachen in ein Gedankenschema sicher sinznordngn, so atwit wie die Differentialgleiohuhgen der Mechanik ein Schema, einen Bahmen, fW dfe -Er- kllrnng aller Bewegnngsersoheinungen abgeben. ~ Derartige BemIihmgen bilden wohl eine notwendige Voraueset%nng und Vorbedingung fiir aUe techaische 'Verwertubg der Naturphiinomene, doch keineswegs die einzige nnd hinreichenda, so wenig stwa, wie ,die Kenntnis dessen, was den physikalisohen Inhalt der ElastizitLtstheorie bildet, hinreicht, nm ein Bauwerk zu bereohnen. Die sogenannte ntechnischea Physik aber iet teas hur' eine Znsammenfassung der fiir die physikaIihche Teohnig, d.h. fUr d3e Dnrchfiihrung

I) K. Yarbe, Die Gleiehf6rmfglceit in der Welt, MUnchen 19L6; L. v. Bortkewioe, Die Iterationen, Berlin 1917. Vgl. &. R. v. M i s e a , Die Naturwieaenachatten 7 (18 LQ) Ej 168 ti.

3 Bierher geh6ren ale neocren Dntersnohongen Uber das sogenannte Momentenproblem yon S t l e l t j e s , vgl. H. H a m b u r g e r , Math. Zeltschr. 4 tr91b) S. 1 8 6 bls 222 nnd Math. &in. 81 (192-0) S. 286 bis 319 sowie Q. Polya , Math. Zeltechr. 8 (1920) 8. 171 bis 181.

v. M i a m , Aufgabon und Ziele der r~ngewandtan Mathematik

A. S t o d o i a , Die Dampftnrbineo, 6. Anfl. .Berlin (im Erechinen).

Prabd t l , Ei,idringun~fifefitigkeit unA Festigkeit von Schneiden 15 - --.-L.-- -_-- Heft I

bedrohenden Ersohsinnngen, sich stets die Krffte finden werden, in diesar oder jener Form das Begonnene fortmfiihren, solange ea nottut. Denen a b a , die aua e b e r Welt meinerere Forschung mit Mifitranen oder Geringsch%ttenng zn ma heriibersehn, d e n wir die Worte eu, die eine alte Ueberliefernng dem Heraklit von Ephesns enschreibt: Entroite, Darn et hi0 dil mn t ; t r e t e t e i n , d e n n a a o h b i e r w o h n e n QBtter. 12

I

HAUPTAUFS ATZE fiber die Eindringungsfestigkeif (Harte) plasiischer Bausioff e

und die Fesfigkeit von Schneiden. Von L. PRANDTL In 'Gbttlngen.

er Wunscb, die" Vorgllnge beim Eindringen eines harten KGrpere ' in einen .anderen D aus beseer en verdehen, bat -mich zu einer Liisung fur,dae plastische Qleich- gewicht gefiihrt, :die diem VorgLnge weitgehend aufUlrt und anch Eonst vielfacher .h- wendung fahig int. Ich babe dariiber bereits in den DNachrichten von der Gesellscbaft der Wissenschahen zu Gottingenu I) berichtet. Inzwischen ist 88, gelmgen, .die dort an- gegebene Beweismethode durch eine noch einfachere' und trotzdem allgemeinere zu er- setzen. Da die ))Nachrichtenu wenig verbreitet nnd dem Ingenieur schwer zug%nglich sind, wird . bei den folgenden Darlegnngen mein genannter Anfsatz nicht a18 'bekannt voransgesetzt ~ e r d e n . .

-1. Problemstellung. Die Unterkuchung beschrHnkt sich auf das zweidimensionale (ebene) Problem, weil zur Bebandlung des rLumlichen Problems ein Weg bisher nicht ge-

I . Die plastischen FormLnderungen erstrecken .sich hier nnr lauf die der Eraft- angriffstelle zunLchst liegenden aebiete des Korpers; in den entfernteren ist die Elasti- zitiitsgrenze nicht uberschritten. Da die elastischen FormLnderungen bei den meistsn Stoffen anfierordentlich klein dnd, die plastischen aber hgufig wesentlich grooer, so saian hier zur Yereinfachung di4 elastischen Formanderungen ganz vernachlassigt, der elastische Teil des Korpers also ' als starr behandelt. ' Die plastischen 'Formlndernngen miigen ubrjgens noch a h so klejn angesehen werden, daO die geometrische Gestalt des Korpers noch- nicht wesentlich darch sie geandert sein soil. Die Volumenlinderung SOU ent- sprecbend der Vernachl2ssigung aller elastischen Aenderungen auch im plastischen Teil zu Null angenommen werden, so daD die iibrigbleibenden Form- Lnderungen als reine Qleitungen aufgefa5t werden konnen. Ueber den Spannungsznstand im plastischen Qebiet sei nach 0. Mohr 2,

angenommen, dat3 die Schqbspannung in den QleitflLchen iiberall einen von der jeweiligen Normalspaqnnng in diesen FlLchen abhbgigen Wert hat; sie SOU dabei von dem Betrige

trffit flir die wirklichen plastischen Kijrper meist nur mit ge- ringer Oenanigkeit zu; sie wiirde sich e. B. beim Zug- oder Druck-

kunageben, also-. der mit qunehmonder Formanderung ein- tretenden Verfestignng keine Bechnuug tragen. Fur 'die Durohfiihrbarkdt der folgenden Rechntmgen ist sie aber unvermeidbar. Beziiglioh des Zusammenhangs der Schubspan- nnngen mit den Normalspannungon sind nnsere Annahmen - fur das ebene Problem wenigstens - so allgemein, als irgend verlangt werden kann.

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weicheren, wie. es beim HLrteversnch vorkommt, vom Standpunkt der Mechanik.

funden werden konnte, und wohl auch wenlg AusBicht haben diirfte. ' f

/ ,p/05hsch ,~

der Oleitbewegung unabhLngig Bein. Diem letztere Annahme &?shsch

versuch dnrch ein Spannungsdehnungbdiagramm gemai3 Abb. 1 Abb. 1.

'1 Uobcr die HiWe ylastischer KOqmr, Nachr. Qes. Wfssensch. GOttingen, mntli. - phys. Klnsse,

'1 Vorgl. etwn 0. Y o h r , Abhnndl. nus d. Gebiete*d. techn. hlechnnik, Berlin 1906, Abt. V, oder 1920, 8. 74. ,

anch A. F O p p l Vorlesungen aber techn. Mechanlk, BU. V, 8 3.