Zur Konvergenz des GALERKIN-Verfahrens bei einer Klasse nic ht hearer Different ialgleichungen im HILBERT- Raum

Von HERBERT GAJEWSKI und KLAUS ZACHARIAS in Berlin

(Eingegangen am 14. I. 1971)

0. Einleituiig

Sei H ein reeller, separabler HILBERT-Raum, H* der zu H duale Rauni uiid J die entsprechende duale Abbildung [I] von H auf H*. Wir betrachteii das Anfangswertproblem

Dabei sei u eiiie auf dem beschrankten Interval1 [O, TI definierte Funktion mit Werten in H nnd ( A ( t ) } eine Pamilie (moglicherweise) nichtlinearer Operatoreii rnit A ( t ) E ( H -+ H*) fur jedes t E [0, TI.

I n vorliegender Arbeit werdeii wir - unter geeigneten Voraussetzungen an die Familie ( A ( t ) } - zeigen, dafi das GALERKIN-Verfahren Naherungs- losungen voii (0.1) liefert, die gemeinsam mit ihren Ableitungen gegeii die (eindeutig esistierende) Losung von (0 . I) in H stark konvergieren.

Die Arbeit verallgemeinert und esweitert einige Ergebiiisse der Arbeit [4] der Autoren, in der das GALERKIN-Verfahren zur Losung von E'roblemen der Form

a - Lu + M ( t ) u = 0, u(x, t ) I P G = 0, uu(x, 0) = uo (0.2)

mit auf beschrbnkteni Gebiet G c R" gegebenen partiellen, elliptischen Differentialoperatoren L und M ( t ) , t E [0, TI, begrundet wurde. Insbeson- dere erlauben die hier erzielten Ergebnisse bei Spezialisieruiig auf (0.2) eiiie weseiitlichc A b ~ c l i ~ ~ B ~ l i ~ ~ i g der Stetigkeitsforclerirngeii an die Operatoren

Die Arbeit bcstcht aus drei Abschnitten. Wahreiid in1 ersten Abschnitt lediglich notwendige Begriffe uiid Hilfsmittel zusamniengestellt werden, bringt der zweite die schon erw-ahnten Aussagm uber das GALERKIK- Verfahren. Irn abschlieBendei1 dritten Abschnitt vcird kurz auf eiiie Reali- sierungsmoglichkeit fur das Problem (0.1) eingegangen.

?t

Af ( t ) .

3 i O C:ajen.s~,Zacliarias, Znr Konvergenz clrs Galerkin-Verfahreiis

I. Hilfsbetrnchtniigen

Sei H ein reeller. separabler HILBERT-Raum mit dem Skalarprodukt (. , .) und der Xorm I / . 1 1 . Eiiie auf dem kompakten Zeitintervall [O, TI, T > 0 erklarte Funktion t ---f u( t ) mit Werten in H - wir schreiben dafiir auch u € (['J, TI ---f H) - heiBt

stetig aiif [O, TI, weiiii fiir jedes t o E [0, TI

p ( t ) - u ( f o ) ;I - O fur differenzierbsr auf [0, TI, weiin fur jedes t o E [0, TI ein Elenient

u'(f,,) E H existiert, so da13

t --+ to, t E [0, TI;

Wir bezeichnen niit C(0, T ; H ) die Klasse clcr stetigeii, mit Cl(0, T ; H ) die lilasse der stetig differeiizierbareii Funktionen u E ([O, T] -.+ H) und setzen

llullc = max 'lu(t)ll, lIu!lc1 = 1/U/lc + llu'llc. [O,Tl

Es sei H* der zii H duale Raum mit der Sorm j j . I \ * ; den Wert des Funk- tionals 2 € H* im Elenient ?L € H bezeichnen wir niit (I, h).

Sei R E (H* -> H ) der Rmszsche Operator, d. h., fiir I E H* gelte

(R I, h ) = (1, hi V h E H .

R verinittelt einen linearen Hoiiiooniorphisnius zwischen H und H*. Zur Abkurzung schreiben wir J = R-'.

Sei t -+ -4(t) E ( H + H * ) eine auf [O, TI erklarte Familie (moglicher- weise) iiichtlinearer Operatoren von H in H". Wir betrachteii auf [0, T ) das Aiifangswertprobleni

d dt JU + A ( ( t ) u = 0, (1. 1) ~ ( 0 ) = U O € H

wid daneben das Biifaiigs\7;ertprobleni

tl dt u 1 B( t ) u = 0, ~ ( 0 ) = u ~ E H (1. 2)

niit B( t ) = R - - l ( t ) E ( H + H ) .

Satz 1. Die d,ifrrngsic.ert~,ioblenie (I. 1) w i d (I. 3 ) sind uqzciz'cde?zt.

Gajajemski/Zacharias, Zur Konvergenz des Galnlrin-VrI.fehrclls 271

Beweis. Sei u Losung von (I. 1). Dann gilt wegen der Linearitat und Stetigkeit von R und J = R-‘:

- B( t )u ( t ) = - RA(t)U(t) = R ( - A ( t ) ~ ( f ) ) = R((Ju(t))‘ ) Ju(t + h ) - Ju(t) . ~ ( t + h) - ~ ( t )

= liin----- ~ = ~ ’ ( t ) . = lim h-0 R ( h --) h-0 h

Die Grenzwerte sind in der starken Topologie von H zu verstehen. Sei umgekehrt u Losung von (I. 2). Dann gilt

- A ( t ) u( t ) = - J B ( t ) ~ ( t ) = J (- B( t ) ~ ( t ) ) _= Ju’(t) u(t + h) - ~ ( t ) Ju(t + h) - J u ( t )

= J lim -) = Jim-- = (Ju ( t ) ) ’ , (h-0 h h-0 h

wobei die Grenzwerte in der starken Topologie voii H* gemeint sind. Es ergibt sich: u ist Losung von (I. 1) . Q. E. D.

Zur Formulierung eines Existenzsatzes fur die Gleichungen (I. 1) hzw. (I. 2) stellen wir an die Operatoren A ( t ) folgende Forderungen:

A‘. Die Operatoren t + A ( t ) sind (beziiglich t E [0, TI gleichmiil3ig) beschrankt, d. h., fur

lIuII 5 M gilt llA(t) ull* 5 K ( H ) , V t E [O, TI. B’. Die Abbildung { t , u} --+ ,4 ( t ) u E H* ist auf [0 , T] x H stetig. C’. Die Operatoren t ---f A ( t ) sind von halbbeschrankter Variation,

d. h., es gilt (A( t ) u - A ( t ) V , u - V ) 2 - c ~ J u - ~ 1 1 ’

mit einer Konstanten c > 0 fur t E [0, TI; u, v E H .

tragen sieh die Eigenschaften A‘. - C’. sofort auf die Operatoren Wegen der Stetiglieit und Linearitat des Rmszschen Operators R uber-

t + B(t ) = RA(t) E ( H -+ H ) . A. Die Operatoren t -+ B(t) sind (beziiglich t E [0, TI gleichmll3ig)

beschriinkt, d. h., fur

ljujl 5 M gilt IIB(t) u(j 5 K ( M ) , V t E [0, TI. B. Die Abbildung {t , u} + B(t) u E H ist auf [0, TI x H stetig. C. Die Operatoren t + B(t) sind von halbbeschrankter Variation, d. h.

( B ( t ) u - B(t) u, u - v) 2 - c jju - u p ; V t E [O, TI, V u, v E H mit geeignetem c > 0.

Die Eigenschaft C. folgt sofort aus C’. , da nach Definition des Rmszschen Operators

( A ( t ) ‘11 - A ( f ) v, u - v) ( R ( A ( t ) U - ( t ) V ) , t b - V)

= (B( t ) u - B ( f ) v, u - v).

Die Losbarkeit des Problems (I. 2) a-ird durch ein Ergebnis von BREZIS [I] gesichert .

Sat2 2. Cnfer den Bedingz~nge?i A. -C. besitst die Differe?itialgleichung 2 L ' ( f ) + B ( f ) u ( t ) = 0

u (0) = 26" EH mit de Y d nfic 11 gsbecli 119 u?ig

genauc ine Liisung E C' (0. T ; H ) . Dieser Satz ergibt sicli aus C'orollaire 51 der Arbeit [I].

11. Die starke lioiivergenz des GaLERKrN-Verfahrens

$lit Hilfe des GaLERKIS-~-erfahrellS reduzieren wir die iiiiherniigsweise Losung des ~Iifangsn-ertpPoblenls (I. 2) auf die Losiing gewohnlicher Diffe- reiit,ialgleichun,eii.

Sei (v1. r 2 , . . .> eine Basis in H : d. 11. e i n vollstdlidiges System linea,r unabhangiger Klemente ; H,, die alsgeschlossene lineare Hulle von (u1. v 2 , . . . ~ r?,) ~ P,, der Projekt'ionsoperator ron H auf Hq1.

Leninia 1. S e i 21 E C'l (0 . T: H ) die Loszmg d e s Anfcr7igsueitp'.oble~~,s (I. 2 ) ;

'zr,t ( t ) = P,,zr(t). t E [O. TI . Umt H g i l f

I ! - ZL: cL + 0 fiir ' ) L + 00.

Be we i s. A u a bekaiinteii Eigenscliaftcn von Projelit,ionsoperatoren folgt

t / ' J f ) - ~ ( t ) : ! = ; : P , , u [ f ) - Z c ( t ) j l + 0 fiir 71 --+ 00, I E [ O , TI. Da offenbsr H,, c H,, + I . so gilt

! ' / v , ! + , ( t ) - 7 G ( f ) ~ , 5 ! ; w p L [ t ) - ? L ( t ) ! l v f E [ O , TI uiid wegen des Satzes 1-011 DISI

(11. 1) ; w,, - u; + (I (?? -p 00).

Da die Funlition t ---t ZL ( f ) (stark) stetip differenzierbar ist, so best,eht8 wegeii der Stet,i$eit des S1;alerp~oduktes folgcnde Ket<te ~ - 0 1 1 Beziehungen :

(1

rlt ( f ) , { N ' ( f ) . A ) = ( ? L ' ( f ) . Y , , h ) =-- - - ( % ( t ) , P,,h)

(1 ) (7 d t

= (P,,u(t) .h)= P,,,Zd(t), A

= ( ( Y , L t ~ ( t ) ) ' , h ) V t E LO, Ti , V h E H

G~jhjr~~vski/Zacharias, Zur Konwrgenz des Galerkin-Verfahrens 273

oder

Demzufolge ist P,u’(t) = (P,U(t))’.

JJwiz( t ) -u’(t)ll =IIP,u’(t)-u’(t)lj - 0 fur n-,oo,VtE[o, TI. Mit den gleichen Uberlegungen wie beim Beweis von (11. 1) findet man

(11. 2 ) 1 1 ~ ~ - djjC - o ( n - m).

Aus (11. I), (11. 2 ) folgt die Behauptung des Lemmas. Die GALEREm-Naherungen u, setzen wir in der Form

n

j - 1 (11. 3)

(11. 4)

~ , ( t ) = C c n j ( t ) vj, t E LO, TI

&(t ) + P,B(t) un(t) = 0,

an und stellen fur sie das Anfangswertproblem

t E [O, TI; u,(O) = PnuO EH,.

Die Losbarkeit dieses Problems garantiert der folgende

Satz 3. Fiir jedes n = 1, 2, . . . besitzt das Anfangswertproblem (11. 4) eine eindeutige Losung u, E CI (0, T ; H,) c Ci(0, T, H ) .

Beweis. Wir bemerken nur, dab die Operatoren P,B(t), t E [0, TI; auf den endlichdimensionalen HILBERT-Raumen H , den Voraussetzungen A. -C. des Satzes 2 genugen.

ober die Konvergenz der Funktionenfolge (u,) gegen eine Losung u des Problems (I. 2) kann man folgende Aussage machen:

Satz 4. Sei u E (71 (0 , T ; H ) die Losung des Anfangswertproblems (I. 2) . Dann gilt f u r die Folge {Un) der GALERKIN-Nuherungen

JJu, - u/JC1 + 0 fur n -+ 00.

Dieser Satz folgt aus den nachstehenden Lemmata 2,4.

’Lamma 2. Fur d ie nach (11. 3 ,II . 4) konstruierten G ~ ~ ~ ~ ~ m - N a h e r u n g e n h l ) gilt

IIu, - uIIc -+ 0 fur n -, 00.

Beweis. Wir bilden das Skalarprodukt von Gleichung (11. 4) bzw. Gleichung (I. 2 ) mit u, ( t ) - w,, ( f ) :

(11. 5) ( i ( t ) , an(t) - wn( t ) ) + (PnB(t) u,(t), u,(t) - wn(t)) = 0 ( ~ ’ ( t ) , %n(t ) - wn(t)) + ( B ( t ) u( t ) , un(t) - wn(t)) = 0 .

Wegen u,(t) - wn(t) E H,, V t E [0 , TI und der Symmetrie des Projektors P, IhlJt sich die erste Relation in der Form

(11. 6 ) (.& u,(Q - %At)) + (W) u,(t), a,(/) - %At)) = 0 18 Math. Xachr. 1971, Bd. 51, H. 1-6

274 Gajewski ’Zacharias, Zur Konvergenz des Giilerlrin-Verfahrens

schreiben. Subtrahiert man (11. 5) von (11. 6), so erhalt man nach einiger

Umformung \

(.& - Z d t ) , %( t ) - ?-c,( t ) ) = ( Z W - u&), zc,(t) - uy,(t)) - (W) % ( t ) - w,(% %(t ) - w,(t)) - (W) % ( t ) - B(t) u( t ) , %(t) - w,(t)).

Die rechte Seite dieser Beziehung majorisieren wir unter Beachtung der SCH\T.4Rzschen Ungleichung sowie der einfachen Ungleichung

2 / a b / 5 a? + b’ uiid beriicksichtigen, daB B(t) von halbbeschrankter Variation ist, d. h. - (m %(t ) - B(t ) Es ergibt sich

(11. 7 )

% ( t ) - wq,#)) 5 cllu,(t) - %(t)IP v t E [ O , TI.

1

2 (uA(t) - zri(t), u,(t) - w,(t)) 5 -/ ju’(t) - zu,;(t)/j2

+ (1 + C ) l I % ( t ) - w,(t)IP + -llB(t) u(t) - B(t)w,(t)l12. 1 2

Wir integrieren diese Ungleichung iiber das Interval1 [0 , s), 0 achten

s 5 T, be-

% ( O ) = W,,(O)

und finden fur die linke Seite 8

0 8

d 1

2 at 2 = ‘s-,Ju. ( t ) - tun (t)/j2dt = IJu,(s) - w,(s)/p.

0

ergibt sich F

V , , ( S ) 5 u, + 2 (1 + c) f V , ( t ) at. 0

Gajewslii/Zacharias, Zur Konvcrgenz des Galerkin-Verfehrens 275

Hieraus folgt mit Hilfe des GRoNw ALLschen Lemmas

und nach Bildung der Meximumnorm 2( l +c)T

IIun - WnII2C I Une Nun lafit sich leicht zeigen, da13

(11. 8) U , --j 0 (n + 00).

Es ist offenbar T

U n 5 T IIu - wnIIc1 + J i ~ B ( t ) % ( t ) - B(t) w,(t)II2dt- 0

Nach Lemma 1 gilt 11% - w,IIci + 0, und folglich konvergiert die Folge stetiger Funktionen Pn(t) = \lB(t) u ( t ) - B(t) w,(t)/12 wegen der Stetigkeit von t + B(t ) (Voraussetzung B. im Teil I) sicher punktweise, d. h.

P",(t) -+ 0 (n -+ 00) V t E [0, TI . Die gleichmaBige Beschranktheit der Operatoren B ( t ) sichert die Existenz einer Schranke C, so daB

F,(t) < C V n, V t E [0, T]. Der Satz von LEBESGUE erlaubt nun den SchluI3

T J F , ( t ) dt -, o (n --+ 00). 0

Damit ist (11. 8) bewiesen. Nach Anwendung der Dreiecksungleichung folgt (erneut unter Verwendung yon Lemma 1)

llun - ultc + 0 (12 +

Q . E. D. Wir untersuchen nun die Konvergenz der Folge {ui}. Dazu verwenden wir den von CARATE~ODORY [ Z ] stammenden Begriff der stetigen Konvergenz.

Definition. Eine Folge {Gn} reeller Funktionen t + Gn(t) , t E [0, TI kon- vergiert auf [0, T] stetig gegen Null, wenn fur jede Folge {t,} c [0, T ] mit t , --, to die Beziehung

Gn(t,) + 0 fur n + 00

gilt.

schrunkter reeller Funktionen konvergiert gleichmufiig auf [0, TI.

allgemeineren Satzes von CARATH~ODORY [2].

Lemma 3. Eine auf [0, T ] stetig konvergente Folge {Gn} gleichmuJig be-

Dieses Lemma ist ein fur unsere Zwecke ausreichender Sonderfall eines

18 *

276 Gaje~~-ski,iZacliarias, Zur Konvcrgeiu des Galerkin-Verfahrens

Lemma 4. Fur die itach (11. 3 , 11. 4) koiastiuierten GALERmN-hraherungen {u,J gilt,

IIuI, - u’jjc - o fur n --t 00.

B ewe is. Die GALERmK-Gleichungen (11. 4) und die Differential- gleichung (I. 2) merden mit ui(t) - w:(t) skalar multipliziert. Wegen der Symmetrie des Projektionsoperators P , folgt nach Snbtraktion

(u:,(t) - u’(t), q t ) - 2 C , : ( t ) )

+ ( B ( t ) u,,(t) - B( t ) u( t ) , u:,(t) - Zc;#)) = 0

und nach einfacher Umformung

ltu:,(t) - Z($(t)l , l = (u’(t) - zc;(t), u i ( t ) - w i ( t ) ) f (W) u( t ) - u,(t), u;(t) - w;ct,>.

Bei Abschatzung der rechten Seite mit der Scmvmzschen Ungleichung er- gibt sich aus dieser Beziehung die Ungleichung

l l 4 ( t ) - w;,w 5 Ilu’(t) - 4 ( t ) I1 + IIB(t) u(t) - B(t)u,(t)ll,

Iiui(t) - u.a(t)I 2 Ilu - zcnIicl + llB(t) u( t ) - B(t) u,(t)II.

und bei Vergroberung der rechten Seite

(11. 9)

Wir zeigeh. daB die Folge (G,) der durch

G, , ( t ) = llB(t) u ( t ) - B ( t ) u,,(t)I,. t E [0, TI, n = I, 2 , . . . definierten (stetigen) Funktionen auf [U, TI stetig gegen Null konvergiert.

Sei (t,) c [0 , TI eine konvergente Folge, t, + t o (n -+ 00). Es ist

G, (tn) = I1 B e n ) u(t,,) - B (tPJ u,(t,)// 5 I/ B (t,J u(t,J - B ( t o ) ‘16 ( t o ) /I + / I B(to) 21, (to) - B (t,) u,.(t,) 11.

Wegen u E C(0, T; H ) gilt /lu(t,,) - u(to)/j + 0 fur t, + to . Die Eigenschaft B. der Operatoren B (.) hat zur Folge, daB

(11. 10) ijB(t,l) u(f,) - B(t0) u(to)ll --+ O fur n - 00.

Da

I

I’un(4J - u(to)’l 2 Il%(4a) - u(~,)ll + llu(t,) - u(to)\l

d 1 1 % - ullc + llu(t,,) - u(to)II, so liefert wiederum Eigenschaft B.

(11. 11) iB(t,) u,,(tn) - B(to) z ~ ( t ~ ) l j --+ 0 fur n + 00.

Durch (11. I O ) , (11. 11) ist die stetige Konvergenz cler Folge (Gn} gezeigt. Wegen der (gleichmafligen) Konvergenz u, ---t u (Lemma, 2) und der in Vor- aussetzuiig 9. angegehenen Beschranktheit der Operatoren B ( t ) ist die

Gajewski/Zacharias, Zur Konvergenz des Galerkin-Verfahrens 277

Folge {Gn] offenbar gleichmaoig beschrankt. Lemma 3 sichert nunmehr die gleichmaoige Konvergenz

max G,(t) -+ 0 (n --z cm) r O , m

Aus (11. 9) folgt daniit l\u; - willc + 0 (n -+ 00) und mit Hilfe der Dreiecks- ungleichung

11u; - u'llc -+ 0 (n --z co). Q. E. D.

111. Zur Realisierung des Problems I. 1.

Sei G ein beschranktes Gebiet des R" mit glattem Rand aG. Wir identi- fizieren H mit der Vervollstandigung von G,"(G) (der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit in G kompakten Tragern) bezuglich der Norm

M = ( a I , . . . , h) ist ein n-tupel nichtnegativer ganzer Zahlen;

jal = a1 + * - + a,. Dieser R>aum ist dem SoBoLEv-Raum H r aquivdent [ 5 ] , es gilt in diesem Falle 131

J =

wobei d der LAPLACE-Operator im R" ist. Den Forderungen A', B', C' (be- ziiglich H = HT bzw. H* = H-") genugen (unter entsprechenden Voraus- setzungen uber die Koeffizienten) quasilineare elliptische Differential- operatoren der Ordnung 2 I s 3 m [3]. Als einfache Realisierung von (I. 1) ergibt sich z. B. das Rand-Anfangswertproblem

( n bedeutet die Normalenrichtung.)

Problems I. 1 wurde in [4] eingegangen. Auf einige in der Kontinuumsmechanik auftreteiide Realisierungen des

278 Gajewski;Zacharias, Zur Konvergeriz dcs Galerkin-Verfahrens

Literatur

[I] H. BREZIS, Equations e t inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualit&. Ann. Inst. Fourier 18, Heft 1, 115-175 (1968).

[2] C. CARATHEODOXY, Variationsrechnung und partielle Differentialgleiohungen erster Ordnung. Bd. 1, Leipzig 1956.

[3] Jn. A. DTJBLNSKI, Quasilineare elliptische und parabolische Gleichungen beliebiger Ordnung. Uspechi mat. nauk 83, Heft 1, 45-90 (1968). (russ.).

[4] H. GAJEWSKI und I(. ZACHARIAS, Zur sterken Konvergenz des GALEmIN-Verfahrens bei einer Klasse pseudoparabolischer partieller Differentialgleichungen. Diese Nachr. 47, 3653i6 (1970)

[5] J. L. b o s s e t E. &GENES, ProblAmes aux limites non homogenes et applications. Vol. I. Paris 1968.