ZAMM 49 (1962) Heft 3. Seite 120-124

Zur Stabilitat der Platten Von D. HUDIGEI~

h% wird eiu Variationsprinzip angegeben, das auf die Grundgleichungen einer linearen Stabilitatstheorie der Platten unter Beriicksichtigung der Schubverzerrungen fuhrt. Samtliche Randbedityungen der Inte- grationsaufgabe ergebe7b sich als natiirliche Randbedingungen des Extremalprinzips.

A given cariational principle leads to the fundamental equations of liiiear theory of sfability of plates the sheur deforniatiom bein,g regarded. The bouiulary conditions of the problem all are natural boundary con- ditions of the variational problem.

P I 3 n a r a e ~ c ~ sapHaunomibiii 1 I p H H ~ M l 1 , 1iOTOpbIfi IIPMBOJMT K OCHOBHOMY ypaBHeHmo 5111- HeiiHoii Teopm ycToiimmocm IIJIaCTMIIOIi c Y Y ~ T O M ae@opMaqalz cmmra. Kpaesbie Y C ~ O B A H aanam mmerprnpoBaHm rronysanmcrr IiaIi ecTecmembie Kpaesbie Y C ~ O B M ~ ~ BapHamoHHoro IIpMHualIa.

I . Einleitung Im folgenden wird ein Variationsprinzip angegeben, das der allgenieinen Integrationsaufgabe

einer lineareii Stabilitatstheorie der Platten unter EinschluI3 der Querkraftdeformationen aqui- valent ist. Aus der ersten Variation ergeben sich die drei Grundgleichungen und als naturliche Handbedingungen des Extremalprinzips samtliche geometrischen und dynamischen Randbedin- gungen. An die variierte.n Funktionen brauchen dabei keine Forderungen gestellt zu werden. Die Beriicksichtigung der Schubverzerrungen nacli der REIssNERschen Theorie [I] bedeutet fur die kleinsten Eigenwerte im allgemeinen keine Erhohung der Genauigkeit. Vielmehr wird erreicht, daI3 das Variationsprinzip fur jede beliebige Plattenberandung gultig ist. Im Falle der klassischen 'Theorie hingegen mu13 man, bedingl durch die Ersatzquerkrafte, jeweils eine bestimmte Anzahl von Eckpunkten voraussetzen. Da die variierten Funktionen weder an geometrische noch an dynamische Randbedingungen gebunden sind, konneii die bekannten direkten Methoden zur Losung von Eigenwertproblemen ohiie Schwierigkeiten liinsichtlich der Wahl der Ansatzf unk- tionen angewendet werden.

Zur Formulierung des Variationsprinzip3) werden allgemeine Koordinaten xu bzw. xo, xy, x8 (a, p, y , 6 = 1, 2) verwendet. Die kontravarianten Koordinaten des Querkraftvektors und des Molneritelltelisors seien Q" und Map = MPa. Dann bestehen zwischen den Schnittgroflen, dem V~rdrehungswinke16~ der E~lattenmittelflache und der Verschiebung W die Bezieliungen 131

I-Iierin sind Ii der I.:lastizitatsniodiiI, v die (2ueldehiiungszali1, h die Plattendicke und cap dir kontravarianten Koordinaten tles E-Tensors. L)ie kovariaiite Differentiation ist durch einen langcii senkrecliten Slricli gekennzeiclinet

und niil den kontravarianlcn Koordinaten clap des hIal3tensors gilt

il**la = A.*I, amp.

l ler Querkraftvektor und der Alomententensor legen die Kandquerkraft Q, das Randbiege- moinent H und tlas Kandtorsionsniomenl 7' fest. RIit den kontravarianten Koordinaten ea des Taagentcnvcktors der 1:andkurve C und dem Normalenvektor n, = zap ep in kovariariter Dar- stellung gilt fur die Haiidquerkraft und die beiden Kandmomente [4]

Q = n,Q", U = 1 1 , np M a p , ?' = - 1 1 q p e Map . . . . . . . . (21).

Der llonientenvektor am Platteiirand lautel

Mp = zap i i y M,,, = B ep + 7' r i p . . . . . . . . . . . . (Q.

l ) Hinsichtlich der Grundgedanken des Variatioiisprinzips vgl. [2] und die dort aufgefuhrte Literatur.

-- D. RUDIGER, Zur Stabilitat der Platten -~ __ _ _ _ _ _ ~ 121

2. Variationsprinzip + Eine elastische Platte mit der Flache F wird in ihrer Ebeiie clurcli Raiidnormalkrlifte .V,

+ Kandschubkraf te S und Flachenkrafte $ belastet. Fur die Randkraft gilt dann

+ + + KS = N n, + S e, . . . . . . . . . . . . . . . (31). + f

Der zu dieser Vorspaiinung gehorige Langskrafttensor sei NUS = Wn, wobei + Naq, + $6 = 0

ist. Zwischen Randkraft und Vorspannuiigstensor besteht die bekannte Beziehung + +

. . . . . . . . . . . . . . . . (32). KS = N a p 11,

Die Raiidbediiigungen der Platte sind so gegeben, dali in deli Handstiicken C', C", c'" die Kraft Q + iV 11" WI, + S en 1111, = 0, das Randtorsionsmoment 7' = 0, das Handbiegernoment B = 0 und in den RandstuckenT', =c", 7'' die Stutzenverscliiebuli~ W iind die Randverdrehungen en

Das Variationsprinzip

+ +

und nn & vorgegeben sind. Es ist dann

. . . . . . . . * ('4 c = C' +=c', {; = c,' ST", c = F"' $.?"'

1 2 IT(@,, 7Y2, 11') = - JJ [,21"fl 6,l, + p (6, + 1Vl,) + l& WI, lvIs] df

F + +

- J (Q + N P WI, + s en ~ 1 , ) (W - )Y) (1s C'

- . . . . + - j 7' ea (0, - Z,) ds - J u / l a (8 , - &) ds = Extr. . (5) - -

0" C,t#

ist dein beschriebeiien Stabilitatsproblein aquivalent. Zuin Beweis wird die erste Variation 617 = 0 gebildet. Diese nimmt mit den leicht zu bestatigenden Beziehungen

6MaS 19p1, = iWnfi 66,), , 6Q" (8, + 1VJ,) = Qn (619, 4- B\Vl,)

die For111 611 = 0 = jJ [.lW 6B,I, + Q" (619, + SWl,) + h a \3qS S\Vl,] d/

F +

- J (SQ + hi nu 6 \ V / , + en 61V1,) (11' - W) ds - - C'

+ J (Q + '0 Ifa rvt, + s Ca 1\71,) 61V d\ + J 7' ('a 6B, ds - - - C' C"

+=J P (8, - 5,) 67' dr - B n a 68, ds - J / la (6, - Ti,) SLI ds - - - -

0" c"' c"'

an. Fulirt man die Identitaten n!W 6B,j, = ( ,Wa 68,)j, - i2Wla 60, ,

Q" 61V/, = (Q" SW)J, -(%"la 6W , + +

1G.p 1VJ, 6W1, = (w W,l SW)], - N a b WIp, 6\\' + ;o 611' ein, so folgt

- J (Q + 6 nu 1V/, + s" en1VI,)61V d s + I 'I' en 66, ds - C ' C"

_ ~ _ _ D. RUDIQER, Zur Stabilitiit der Platten -. 122

Die Anwendung des GAussschen Integralsatzes .l-.l-< ) l a d l = @ ( ) ! l a d s F c

liefert bei Beachtung von (2), (3), (4) und nach Zusammenfassung + +

118 Wl, + s' ep Wl,) 6lV ds -

SL' = 0 = - jl (@la + ATUP lVlpa - pP WID) S W d l - I (ili['~(a - Q p ) 66, df

7' eP S8, d s + I B n@ S8, ds

SWI, + ,$ eu 6W1,) (W- E) ds + I eu (6, - 5,) ST ds

F F

+ [ (Q + - (SQ + 6

- ~

C" c"' C'

- = C' e"

- J r P (6, - Fa) 6B ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6). - - c,,,

Der verschwindenden ersten Variation entnimlnt man die Gleichgewichtsbedingungen +

Q"l, + N"P WI,, - 8 w/, = 0 , JPq, - Q" = 0 , aus denen mit (1) die Grundgleichungen

. (7) I . . . . . .

1 1 2 l f v + + 5 E h

6"1, + AW + - - ( N " ~ \ Y I p a - p ~ l V I s ) = 0 ,

l + v u p - - + l--y 6 1, h2 (6, + WlP) = 0 10

einer linearen Stabilitatstheorie der Platten unter EinschluB der Schubverzerrungen folgen, sowie die Randbedingungen

+ + [ \ v - w ] - , ~ = 0 ,

[eu 8,- e G , , b = 0 , [nu 6, - n u &I;, = 0

. (8). i - [Q + N no IVI, + s eo ~ l , ] ~ . = o , [TI,., = 0 Y

[BIZ ,, = 0 ,

M U f l 6,1, = (.I!W 8,)l, - *Iz@P(a 8@, Q" IVI, = (Q" \V)j, - PIn w 9

. . . . . -

Uni zu einer zweiten Formulierung des Variationsprinzips zu gelangen, werden die Identi- taten

+ + S a p \\'In \\'I, = (w \VIP \Y)Iz - l b f l \VIP& I\' + $0 \VIP \v

in (5) eingefuhrt, und es ergibt sic11 fur das Extremalprinzip nach Anwendung des hussschen Integralsatzes und Aufteilung des Plattenrandes entsprechend (4)

I

C'

1 + 2 + B 11s 8, ds - - [ (Q + nu W(, + S e' Wl,) ( W - 2 v) ds

+a 1 ?' ea (8, - 2 5,) ds -a / B ~ ( 8 , - 2 z,) ds = Extr. . . . (9).

'$ c,r, C'

= C" ct,,

3. Bnweiidung Als Beispiel sol1 die irn Bild dargestellte allseitig frei drehbar gestutzte Hechteckplatte

1 2 betrachtet werden, die unter der Wirkung der Krafte 1' und P den Vorspannungszustand

+ 1 + + Nll = - p , N12= 0 , N22 = - $ , ; s = o

besitzt. Da Stutzenverschiebungen nicht auftreten sollen und fur die vorliegende Platte c' = o , 2' = c , ," = 0 , 2' = c , c," = c , E"' = 0

+ I

rr

te

I I+ Q

S

as

n

r

C.

v:

r?

-

QN*

'1

I1 z cs

w

0

QS

ii

0

0

v1

(I: -.

0

0

50

v

:o

e

c t - z= '

bru

c c

c t

c c

I

0

0 v;;

23

ii 0

0

v:N

-3

H

cc: a. ii

124 D. RUDIGER, Zur Stnbilitiit der Platten

und fuhrt zu den Bestimrnungsgleichungen

der Konstanten des Ansatzes. Aus dem homogenen Gleichungssystem erhalt man die Beziehung

filr die grsuchten kritischen Kraf te. Diese stiininen nur dann niit deli nach der klassischen Theorie berechneten Beulkriiften iiberein, wenn im Nenner auf der reclileii Seite

ist. Fur die ltleinstcii Eigenwerte ist dies irii allgemeinen der Fall.

4. Grundgleichungen l>ic drei simultanen partiellen Differentialgleichungen (7) konnen noch etwas vereinfacht

Der Ansatz werdea.

fur den Verdrehungswinkel i)" erfiillt die erstc der Gleichungen (7) identisch, und die beiden letzteii nehmen die Form

an. Aus diesel1 beiden Grundgleichungen ergibt sich durch Divergenzbildung die llifferential- gleichung

fiir die Verscliiebung W. Ein Uberscliieben von (11) mit den1 Kotor cap( tialglcichung

)Ia liefert die Differen-

(1 a,)

Li tera tur 111 E. KmssNm, J. IliLth. Phys. ?8 (1944), S. 184. J. Appl. Mach. 12 (l945), S. 168. Quait . Appl. hlath. 6

[2] D. RUDIGER, Iiig.-Arch. 30 (196l), S. 220. 131 U. RUDIUER, Osterr. Ingenieur-Archiv 18 (1969), 8. 257. [4J H. NEUBER, ZAMM 29 (1949), 8. 144.

(1947), 8. 55.

JIauuskripteingang : 11. 3. 1961

i l m c h r i f t : Prof. Dr.-lng. D. R~DICER, PreiberglSa., StraBe der Einheit 12