H. BECEERT: Zur Steuerung der Stabilitat in elastischen Korpern 617

LADIM 62, 617 -622 (1972)

Zur Steuerung der Stabilitat in elastischen Korpern

Von H. BECKERT

E's wird gezeigt, d a j man die Stabilitatsgrenzen (Eiyenwerte) einer dunnen Platte durch Abanderung der in der Plattenebene wirkenden Randkrafte entlang ejnes beliebig kleinen Randstucks weitgehend steuern kann. Entltcng der T re ff tzschen Stabilitatstheorie gelingt die Ubertragung auf raumliche Probleme. Liegen die Randkrafte in einer beschrankten konvexen Menge eines reflexiwen Banachraums , so existieren optimale Steueruektoren.

W e show that the characteristic numbers of stability of a thin plate can be controlled to a far extent only by changing the boundary forces acting within the plate on a n arbitrary small portion of the boundary. Along T r e f f t z ' s stability theory tlhe results may be generalized to spatial problems. There exist vectors of optimal control, i f the boundary force8 belong to a bounded convex set of a reflexive B a n a c h space.

H o ~ a a a ~ o , m o n y ~ e ~ H ~ M ~ H ~ H H R EetcTBymupix Ha Kpanx B ~JIOCKOCTH IInacTkmbI CHJI B H O J I ~ rtpom- BonbHo Manor0 o ~ p e a ~ a I E ~ O M K H CTanoBmcH B O ~ M O ~ I M M ynpasnmb B 6onbmot iwepe npenenami YCTOBYEIBOCTH (C06CTBeHHbIMH aHa4eHumm). CornacHo Teopm YCTO~YHBOCTH T p e @ Cp q a yJcaeTcx nepeHoc na npocTpaHcTseHHMe a a ~ a s ~ . E c n ~ Kpaesbie CHJIM H~XORHTCR B orpaHnseirHoM B ~ I ~ : ~ I E J I O M MHomecTse oTpaxeHHoro npocTpamTsa B aH axa , TO cyqecmy1o-r OnTHiwammie Bemop= ynpame- n m .

Die voni Verfasser erstmals in [I], [2] aufgestellten und in der Dissertation [7] angeregten Approximationssatze der Lomngen elliptischer Differentialgleichungen im Gebietsinnern allein durch Variation der Randwerte lsngs eines beliebig kleinen Teilstucks, vgl. auch [6], [8], [9], erlauben eine interessante Anwendung a,uf die Stabilitatstheorie. Wir illustrieren diese am Beispiel der Ausbeulung einer diinnen Platte an Hand des Ilicht- h e a r e n Eigenwertproblems fiir das VON KARMANsche Differentialgleiohungssystem und gehen danach noch kurz aiif den raumlichen Fall, der durch die TREFmzsche Stabilitiitstheorie gekennzeichnet ist, ein Man kann den hier aufgeworfenen Problemkreis ohne Miihe in die Steuerungstheorie der Losungen linearel. ellip- tischer Differentialgleichungen einordnen, vgl. etwa [lo].

Seien D ein Gebiet der x , y-Ebene mit hinreichend reguliirem Rand S und G(x, y; t, 7) = G ( P , Q ) die GREENBche Funktion der ersten Randwertaufgabe der biharmonischen Differentialgleichung

O(X, y; f , 7) = r2 In r + reg. Funkt. (z, y; t , 7)

p2 = (x - 6)2 + (y - v ) ~ , A A G ( P , Q ) = 0 , P # Q , aG - ( P , Q ) = O , P E S , P f Q , Q ~ 1 n t . I ) . an G(P, &) = 0 2

so hat die Losung u(x, y) von

die bekannte Darstellung

a A u Bei S c C4, p)(s), y(s) c C4(S), f ( x , y) E 0, 0 < p < 1, sind nach bekannten SSitzen die Ableitungen AIL, - der Losungen auch noch auf 8 stetig. 1st S c 8 ein beliebig kleines Bogenstiick langs S und T(t) ein ganz in D verlaufendes regulares Kurvenstuck, so kann man, wie in [l] u. a. gezeigt wurde, jede langs r(t) vorge- legte Punktion s(t) mit verallgemeherten Ableitungen bis zur dritten Ordnung in der HILBERTnorml) uber

* a?%

H 3 , m

i=l

l ) ITrn, 2 ( r ) sind die bekannten 80BoLEwschen HILBERTriUme der uber r definierLen Funktionen mit reral1gcmi:herten quadratisoh integreblen Ableitungen m-ter Ordnung, H0,z = L,, und C&v die bckannten BANAcJ3raume der ,ii ma1 Y- 8-stetig differeiizierbtlren Funktionen mit der iiblichen Norm.

42

61 8 H. BECILEBT:. Zur Steuerung der Stabilitiit in elastischen Korpern

durch die Losungen von (2) beliebig genau approximieren, wenn wir die Randwerte p;(s), y(s) entlang S - S festhalten und sie lediglich auf s ̂frei variieren. Bei Anwendung von (2) in der Plattentheorie und nur in der Plattenebene wirkenden Kriiften (f = 0) bezeichnet u(x , y) die Anwsche Spannungsfunktion mit

Sind K,, K , die pro Liingeneinheit am Rand 8 in der Plattenebene angreifenden Kraftekomponenten, so besteht der Zusammenhang

A

ox, = u,, 7 oz, = - u x u 7 oun = Uxx * (4)

, audx audy a u d y audx y ( s ) = = - - + - - ax ds a y as ~ ( 8 ) = -- ---- ax ds ay ds

mit einem beliebigen Punkt Yo E S. Hieraus folgt nach der letzten Bemerkung die Moglichkeit, durch ge- eignete hde rung der Randkriifte K,, K , liings $ und deren Festhaltung liings S - s^ entlang r(t) c Int D beliebig vorgegebene Spannungsverteilungen gleichmiil3ig zu approximieren.2) Fur unsere Anwendung, die Stabilitiit einer nichtlinearen Platte vom Rand her zu regulieren, sei jetzt r(t) eine geschlossene doppelpunkt- freie in D verlaufende Kurve, die das Innengebiet Do begrenze. Wir zeigen, daB die Losungen und deren Normalableitungen von ( 2 ) 1Cngs r(t) allein durch die beschriebene Regulierung der Randwerte liings X^ gleich- zeitig jeweils zwei beliebig vorgegebene Randverteilungen in L , ( r ) beliebig genau approximieren. Unter Beachtung der eindeutigen Losungsdarstsllung (3) des DntIcHLETproblems uber Do + r(t) folgt hieraus leicht

Sibtz I: Jeder iiber einem Teilgebiet Do einer Platte D denkbare Spannungszustand, definiert durch (3), (4), (5), kann in jedem echten 0; c Do gleichnuiJig i n Co(D;) lediglich durch Variation dei Randkrcfte K, , K , lungs ^x approxirniert werden.

Beweis: Wie in [I] folgen leicht bei Nichtzutreffen von Satz I aus (3) die beiden Gleiohungen:

,%

44, Y ( 4 E g, &), q(t) E r(t) ,

rc8 = &uBere Normale im Punkt z(s), y(6) c S , rcr = iiuBere Normale in &), q(t) .

Der Vektor (I@), g(6)) ist daa aus dim Satz von RIESS resultierende nichtverschwindende Element in L2(I') x L2(T), orthogonal auf der durch die Lijsungen und zugehorigen Normalableitungen liings r(t) definierten LinearmannigfaEigkeit in L,(I') x L,(r) Das Integral (6) F i c h n e t die Randwerte einer Potentialfunktion R(s, y) iiber Do und D - Do liings S und (7) deren Normal- ableitung lings 8. Nach dem Unititasatz fiir das CAUcHYsche Anfangswertproblem elliptischer Differentialgleichungen ver- schwindet R(x, y) in D - Do, d. h., das Integral

(8) 1 aG L(s9 Y) = 1 [ G (5, Y, m r l ( t ) ) h(t) + ( 2 9 Y 3 a t ) , W ) g(t ) dt

r(t) geniigt hieriiber der LaPLacEschen Differentialgleichung. Eine erneute Anwendung des Unitatssatzes unter Beachtung von (1) fiihrt auf L(z, y) = 0 uber D - Do. L(r, y) geniigt wegen (1) iiber Do der biharmonischen Differentialgleichung und geht naoh einfachen potentialtheoretischen Schliissen einschlieBlich seiner ersten Ableitungen stetig durch T(t ) hindnrch. Wegen der eindeutigen Losbarkeit von (2) gilt deshalb L(z, y) = 0 in Do + r(t), d. h. L(z, y) = 0 iiber D -t S. Wie in [l] erhalten wir hier- aus unter Beachtung der Daretellungsformel(3) ffir verschwindende Randwerte und der Singularitftsordnung der GREENSChen Funktion leicht einen Widerspruch zu (h(t) , g(t)) * 0.

Satz I gilt auch im riiumlichen Fall, wenn man das System der elastischen Grundgleichungen zugrunde legt. Wie in [7] gezeigt wird, liil3t sich die hier verwendete Schldweise zunachst auf die Randwertaufgaben der elastischen Grundgleichungen und auf nichtgeschlossene Fliichen iibertragen. Der Ubergang zu geschlossenen Fliichen r c D bietet auf Grund der Singularitiitsordnung des GREENschen Tensors und des Verhaltens des Potentials der einfachen Schicht mit quadratiach integrablen Dichten keine wesentlichen Schwierigkeiten, vgl. auch [7] $111, wo der Fall einer partiellen elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung auch bei Vorhandensein von Nullbungen untersucht wird.

Natiirlich wird man, um eine iiber D; beliebig vorgegebene mit der Theorie vertriigliche Spannungsver- teilung oh,, aLy, oiy, iiber Satz I gleichmiiBig zu approximieren, sehr oft die Randkriifte liings 8 stark auf engsten Raum variieren miissen, was nur in BuBerst beschriinktem Umfang realisierbar ist. Bei der praktischen Verfol- gung unserer Frage hat man umgekehrt von einem beschrgnkten Realisierungsbereich der Kriifte K,, Ku entlang x̂ auszugehen, und es entsteht d a m das Problem, die Randkriifte hierin optimal so zu steuern, dalj die

2, Uber weitere Approximationssiitze zu anderen Randwertaufgaben nach dieser Methode, vgl. [7], [9].

H. BECKERT: Zur Steuerung der Stabilitiit in elastischen Korpern 619

Spannungsverteilung dieser Steuerung in der jeweils gewiihlten Topologie von den vorgelegten a;,, a; y, aiy den geringsten Abstand erreicht. Die positive Antwort hierauf gibt der leicht zu beweisende

einer Platte D fest und variiert sie entlang i?innerhalb einer beschrankten, konvexen, abgeschlossenen Menge U($) im H i 1 bert raum L,(S), so exi;stieren uber U ( S ) optimale Xteuerungen K,, K , c U ( S ) ;n dem Sinn, daJ3 die zugeialirigen Spannungen zXx, Gxy, guy uber D; das Minimalproblem

Satz 11: Halt man die Randkrafte K,, KU langs des Randstiicks S - A

A C I A A

losen. An Stelle von U ( 3 ) kann auch eine beschrankte, konvexe, abgeechlosselze Teilrnenge in einem reflexiven Banachraum B, etwa Lp(S) bzw. Hm,p(S) , treten ultd statt des Minimalabstads (9) in Co(DJ der in der Hi lber t - norm von L,(D;).

Beweis: Sei K:, K ; c U ( S ) eine Minimalfolge mit den Spannungen u!!, u;~, uEy uber D;, deren Abstinde d z von uLz, uLU, uiv in einer der Metriken (9) gegen do konvergieren, dann ergibt die Schwachkompaktheit von U (Siitze von RIESS und BANACE-SAKS) die Existenz einer Teilfolge m von n so daB

A

K Y - K:, K r - K: (K:, KP) c U ( g ) (10)

schwach konvergieren. Bei U c B (reflexiv) ist U bekanntlich ebenfalls folgenschwachkompakt (man beachte hier den Satz von MAZI~E). Aus der Beschrinktheit von U folgt leicht uber (5 ) die gleichgradige Stetigkeit der zu (10) gehorigen Folgen p ( s ) p ( s ) , s E S. Wir diirfen deshalb von vornherein

pm(s) =s ~ " ( s ) , y"(s) =t yo(s) in C"(S) (11)

annehmen, wobei (K& K$) durch (5) mit (cpo(s), yo(s)) verknupft sind. Die uber die Randintegrale (3) uber (4) durch

dargestellten Spannungen

UZx(% Y) Y u:y(G Y) 9 q Y ( G Y)

&e(T , Y) 3 &-y(z, y) , $y&, Y) , (12)

konvergieren langs der Folge samt ihren Ableitungen offenbar gleichmiiDig uber D; gegen die Spannungaverteilungen

welche zii

gehiiren,: und wofiir der Minimalwert do in (9) angenommen wird. Wir erhalten ein n-dimensionales Optimierungsproblern fiir Kx(s ) , Ky(s) , wenn U eine konvexe, beschriinkte Teilmenge in einem von n realisierberen Randspannungsverteilungen aufge- spannten Teilraum ist und wir die HImmTnorrn in L,(D;) verwenden.

Bei hinreichender Regularitiit von U c B schlieBen die zugehorigen Spannungen stetig an S an, dann laDt sich Satz I1 offenbar auch fiir Di = D formulieren.

Die Beulung einer diinnen Platte D wird bekanntlich durch ein nichtlineares Eigenwertproblem zum VON KdRxANschen Differentialgleiohungssystem

A

A

h = Dicke der Platte, r" = v = PoIssoNsche Zahl, beschrieben. w(x, y) bezeiohnet die Auden-

kung der Mittelfliiche der Platte in z-Richtung senkrecht zur Plattenebene und u(z, y) die Amysche Spannungs- funktion. Wir lassen keine Flachenkriifte wirken sondern nur Randkriifte in der Platteneberie K,(s), ATu@). Hinzu treten noch die Randbedingungen

12 (1 - v) '

(15)

bei der festgeklemmten Platte, und bei deren Stiitzung

W ( 8 ) = 0 (16)

mit der freien Bedingung

dw(s) = 0 liings X . 42*

620 H. BECKERT: Zur Steuernng der Stabilitit in elastischen Korpern

Bei proportionaler Ablnderung der Randkriifte K&) + 3, K,(s), K,(s) -3- 3, K,(s) tritt fur diskrete I-Werte eine Ausbeulung der Platte ein. Diese ergeben sich als charakteristische Werte des nichtlinearen Eigenwertpro- blems, vgl. [4] :

T w + N w + I L w = O (17) unter den Randbedingungen (15) bzw. (16) und den Abkiirzungen

T w = A A w ,

L w = L(U, w) = -- - (U , , w, - ( a ax N w = L(B, W)

fiir die Operatoren. Zur Herleitung von (17) stellen wir zuniichst iiber (3) und (5) die Losung u(x, y) der ersten Differential-

gleichung (14) dar, indem wir f = w,, wyy - w&, zum Absolutglied schlagen und in den Randintegralen die sich aus (5) aus 1 K,(s), 3, Ky(s) ergebenden Randfunktionen einsetzen. Mit den Abkiirzungen

1 W m Kv) B (w,, w,, - w&)

gewinnt man die Darstellung

welche in die zweite Gleichung (14) eingesetzt wird. Das fuhrt auf (17). Zu (17) gehort das lineare fiIb2HETSChe Eigenwertproblem

unter (15) bzw. (16) mit abziihlbar unendlich vielen diskreten Eigenwerten 1, (- 00 < A, < + a), welche die kritischen Randkrafte A, K&), 3,, Ku(s) definieren, durch deren Wirkung allein eine Durchbeulung der Platte moglich ist. Das den Beulvorgang beschreibende von A, ausgehende nichtlineare Verzweigungsproblem (17) wurde in [4] auf die Theorie kritischer Punkte (Theorie von LJUSTERNIK-SCHNIRRELMAN) zuriickgefiihrt und fiir einfachzusammenhlngende Bereiche gelost. Fiir Eigenwerte 2, ungerader Vielfachheit folgt ein Losungs- zweig bekanntlich BUS einem grundlegenden allgemeinen Satz, vgl. etwa [la]. Lassen wir die Randkriifte von Null aus atetig anwachsen, indem der Parameter ;I in A K&), 3, KJs) von Null aus stetig ab- bzw. zunimmt, so wird erstmals fiir 1' = Min Idf[, den absolut kleinsten Eigenwert von (18), die Platte ausbeulen. Je groBer A', desto stabiler verhiilt sich anscheinend die Platte gegeniiber der wirkenden Randspannung K&), K,(s). Aus Satz I schliel3t man leicht auf

Satz 111: Wirken auf e,ine Platte D die beliebigen $andspannungen K&), K,(s), so kann man allein durch deren Abdndermng auf einem beliebig kleinen Teilstiick S von 1.9 unter den Bedingungen (15) bzw. (16) die Platte in &em obigen Sinn beliebig imtabil mchen, d . h. 1' -+ 0 erreichen.

fiir die Randintegrale , fiir das Gebietsintegral in (3)

u = 3, w,, Ky) 4- B (%a wyy - w;,) , (3')

T w + A L w = O (18)

j

Beweis: Das Eigenwertproblem (18) ist unter (15) bzw. (16) dem Eigenwertproblem (19) iiquivalent: (T w, w ) ~ - L(L w, u.)~ -+ Extr. (19)

mit (T w, w)o = J (dw)* dy d x ,

(L w, w)o = J [U,, w; - 2 u,, w, lc, + uz, w;] ax dy D

(19') D

und dem absolut Meinsten Eigenwert A':

(20)

unter der Nebenbedingung

(T w, w ) ~ = 1 bei Indefinitiit von (19/).

Die Eigenlosungen zu (19) kann man in einfmher Weise uber den Satz von BANACE-SAKS und die Einbettungskheorie konstruieren, vgl. [3], bei allgemeinen nichtlinearen Eigenwertproblemen. Nach Satz I konnen wir R,(s), K&) liings S dlein 80 abiindern, daB die Koeffizienten U,,, Us,, Uur iiber einem beliebigen echtenTeilgebiet 0; = D - D' beliebige iiber einem Teilgebiet D;, D; c D; vorgegebene Spannungsverteilungen gleichmiiBig approximieren. Damit regulieren wir weitgehend die Struktur des diskreten Eigenwertspektrums von (19) unter den gegeniiber (15) bzw. (16) eingeschriinkten Randbedingungen

bei (16) bzw. (16)

(21) aw an - (8) = 0 , 8 E aD; ~ ( 2 , Y) = 0 (2, Y) E D' 9

H. BECKERT: Zur Steuerung der Stabilitiit in elastischen Korpern 621

Fur den Maximal- bzw. Nnimalwert in (20) unter (21) bzw. (22), 1 1 - - P; ’ Pi ’

also 0 < 1‘ < 1;. Deshalb folgt aus dem stets erreichbaren A; + 0 auch A‘ --+ 0.

Zur positiven Beantwortung der weit wichtigeren Frage nach der Stabilisierung der Platte allein durch die zugelassenen Abiinderungen der Randspannungen legen wir eine Platte .6 zugrunde, welche von einem Streifen D extrem hoher Steifigkeit umsliumt wird bzw. liings D fest eingeklemmt ist, derart, daB tangentielle Verschiebungen dadurch nicht beeintriichtigt werden. Dann gewinnt man wieder iiber Satz I das Ergebnis

Satz IV: Wirken l d n p des Randes einer Platte vom zuletzt bezeichlzeten Typ 6 beliebige Randspanmungen, dann kann man allein durch deren Abdnderung ldngs eines beliebig kleinen Randteila die Stabilititsgrenzen weit- gehend regulieren, insbesondere stets erreichen, daJ der absolut kleinste Eigenwert 1’ beliebig groj , die Platte also weitgehend stabil wird.

Naturlich kann man die Stabilitiitsgrenzen, insbesondere A’, nach Satz I1 steuern, wenn die realisierbaren RandkrLfte liings gin einer beschriinkten, konvexen, abgeschlossenen Teilmenge U eines reflexiven BANACH- raumes liegen. Das folgt durch einfache Variationsbetrachtungen uber (20) oder allgemeiner aus der stetigen Storungstheorie.

14% wollen jetzt unsere Betrachtungen in die dgemeine Stabilitiitstheorie einordnen. Wie bereits erwiihnt, haben auch im riiumlichen Fall die Losungen der linearen elastischen Grundgleichungen - als stark elliptisches System - die Eigenschaft, daB man durch Variation von Spannungen oder Verschiebungen liings eines beliebig kleinen Randstiicks s^ c S des Korpers D auf einer geschlossenen Flache r c Int. D w i t dem Innengebiet Do jedes Verschiebungsfeld in H,(T) 8 V6 beliebig genltu approximieren kann. Deshalb ist es moglich, jedes Spannungsfeld, welches uber Do + T den zugrunde gelegten elastischen Gleichungen ,genugt, iiber jedem echten Teilgebiet D; c Do allein von S her gleichmaBig in Co(D;) zu approximieren. H,(P) bedeutet den HmBmTraum aller quadratisch uber r integrierbaren Vektorfunktionen mit der iiblichen Norm und v 6

den 6- dimensionalen Unterraum der infinitesimalen rhumlichen Schraubenbewegung. Die genannten Approximationssatze treffen weiter auf eine groBe Klasse (L) von stark elliptischen Rand-

wertproblemen zu, fur die der Eindeutigkeitssatz fur das CAucHYsche Anfangswertproblem erfiiflt ist, (vgl. den Satz von HOLMGREN bei analytischen Koeffizienten), [ll]. Nach der von E. TREFFTZ in zwei fundamen- talen Arbeiten [12], [13] begriindeten Stabilitiitstheorie elastischer Kiirper ist ein Gleiohgewichtszustand, der aufhort stabil zu sein, dadurch gekennzeichnet, daB die zweite Variation des Integrals der potentiellen Energie fur eine oder mehrere kritische Verschiebungen verschwindet. In [13] zerlegt TREFFTZ die Spannungen kpSv eines Ubergangszustands in die Spannungen a,, des Ausgangszustands und die bei der Deformation entstehenden zusiitzlichen Spannungen z,, : kPv = a,, + zPv und macht die in der iiberwiegenden Zahl der Fiille berechtigte Annahme, daD z,, mit den Zusatzverschiebungen nach der klassischen linearen Theorie zusammenhiingt. Auf diese Weise kann TREFFTZ ohne weitere Voraussetzungen die zweite Variation der potentiellen Energie Q be- rechnrn und erhalt die Fundamentalformel

(23)

Hierbei bezeichnet a den klassischen quadratischen Ausdruck fiir das elastische Potential in der linearen Theo- rie. Stabilitiit liegt vor bei Q > 0 fur alle zuliissigen Verschiebungen { uh}, an der Stabilitiitsgrenze existiert mindestens eine (je nach der Vielfachheit des Eigenwerts) kritische Verschiebung, wofiir Q = 0 gilt. Da sich die Spannungen o,, nur aus der nichtlinearen Theorie streng berechnen lassen, ersetzt man in den Anwendungen o,, durch die aus der elementaren Theorie folgenden Ausdrucke. So werden im Falle der dunnen Platte die Spannungen durch die erste Gleichung (14) aus der elementaren Theorie gewonnen, die zweite folgt aus (23).

Der hier verwendete Approximationssatz fiir die Spannungen ist nur in der linearen Theorie gesichert. Wir wollen daher noch eine hinreichende Bedingung fiir die Giiltigkeit unserer Satze bei allgemeinen r5um- lichen Stabilitatsproblemen angeben.

Satz V: K6nnen unter den genannten vereinfachten Annahmen die Spannungen o,, aus den vorgelegten Rand.spannungen (bzw. Verschiebungen) aus klassischen Randwertaufgaben vom Typ (L) iiber ein 1inea:re.s stark elliptisches System

3

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bestimmt werden, wobei die Deformationsgr6fien nur in den spannungsfreien Absolutgliedern f auftreten diirfen, 80 treffen auf dieses Model1 unsere hier behandelten Approximations- und Stabilitdtsbemerkungen zu.

Beweis: Zunilchst kann man wegen (L) die Spannungen bPp in der beschriebenen Weise approximieren. Setzen wir weiter die aus (L) berechueten Spannungen uPv wie in (3'), (4), (14) in (23) ein. so gewinnen wir offensichtlich nach Abspaltung der Terme dritter und hiiherer Ordnung ein nichtlineares Eigenwertproblem fur die kritischen Randkriifte (oder auch Massen- kriifte) in vollstandiger Analogie zu (17) mit einem entaprechenden filtcHETschen Eigenwertproblem vom Typ (18). Unser Beiepiel der diinnen Platte ist offenbar ein Spezialfall des Modells zu Satz V.

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Eingereicht am 10.3. 1972

Amhrif t .- Prof. Dr. HERBERT BECKERT, Karl-Marx-Univemitat, Sektion Mathematik, 701 Leipzig, Universitiitsplatz (DDR)