PHYSIK II

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. D. Pescia

Lukas Cavigelli, Dezember 2010

lukasc@ee.ethz.ch

STATISTISCHE MECHANIK

KONSTANTEN

Statistischer Mittelwert: von (Ampl. einer Gitterschwing.)

⟨ ⟩

∑

∫

( )

∫ ( )

Zeitlicher Mittelwert: von ( )

∫ ( )

Die Schwingungenergie ist: ⟨ ⟩

⟨ ⟩

Ergodenhypothese: ⟨ ⟩ Temperatur:

⟨ ⟩

, -

mit ⟨ ⟩: mittlere Schwingungsenergie eines Teilchens Volumen , Teilchenzahl , Wärme-Reservoir , Temperatur Gesamtenergie: für ein System ( ) im Grundzustand

( ) ∑

( )

wobei : Ortskoord., : Impulse

================================================ W’keit, dass das System die Energie annimmt ist :

∑ ⏟

W‘keit einen Zustand mit Energie anzunehmen:

⟨ ⟩ ∑

∑

∑

∑

mit Bausteine mit Energie und ∑ Anwendungen:

⟨ ⟩ ( )

( ( ))

( ) ∑

( )

( )

⏟

( )

∬ ∫ ( )

( )( )

Ein Theorem: Annahme: ( )⏟

∑ ( ) ⏟

-

Es gilt: ( ) ( )

Zustandssumme freier Atome:

( )

((

*

⁄

)

Wichtige Gauss-Integrale:

∫

( ) √

⁄ ( )

∫

( )

Mittlere Energie eines idealen Gases:

( ( ( )))

Die mittlere kinet. E. pro Teilchen pro Freiheitsgrad ist

.

Mittlere Energie eines 1D Gases harmon. Oszillatoren:

Hamilton des harm. Oszillators: ( )

Zustandssumme:

(

∫ (

) )

Mittlere Energie solcher 1D harmon. Oszillatoren:

( ( ( )))

Die mittlere Schwingungsenergie in 3D ist entsprechend , weil die Bausteine in 3 Richtungen schwingen können.

Zusammenfassung mittlere Energien

:

Ideales Gas 3D

D

Harmon. Oszillator

1D 2D 3D D

1D schwingende Kette in der QM:

⟨ ⟩ ∑ ⁄

∑ ⁄

⁄

Maxwell-Geschwindigkeits-Verteilung (3D): für die Geschwindigkeits-Verteilung in idealen Gasen:

( ) (

* ⁄

Wahrscheinlichste Geschw.: √ ⁄

Mittlere Geschwindigkeit: √ ( )⁄

Quadratisch gemittelte Geschw.: √ √

√

Boltzmannverteilung (Besetzung-W’keit):

( )

( ) ( ) ( )⁄

∫ ( ) ( )⁄ mit

( )

Ideales Gas in einem äusseren Feld:

Hamilton-Operator:

( )

( ) ( ) ( )⁄ ∫ (

) ( )⁄

∫ ( ) ( )⁄ ∫ ( ) ( )⁄

Die Teilchendichte ( )

am Ort mit ( ) nennen wir:

∫ ( ) ( )⁄ so dass ( )

( )

( ) ( )⁄

Mögliche Anwendung: im Gravitationsfeld: ( )⁄

Massenwirkungsgesetz: blabla

THERMODYNAMIK

Herleitung Entropie des Zustandes mit Energie :

( ) ( ( )) ( )

blabla Wärmekapazität: ( ) (immer positiv)

|

( )

Mittlere Energie:

( ( ))

(Helmholtz) Freie Energie des Mediums:

( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )

⟨ ⟩

| ⟨ ⟩

|

Druck:

|

Druck für freies Gas:

WICHTIGE GL. THERMODYN. GEM. SKRIPT

Freie Energie eines idealen Gases: ( ) ( )

Mittlere Energie aus freier Energie:

⟨ ⟩ ( )

( )

( )

( )

Entropie (folgt mit dem Audruck ):

( )

|

Tetrode-Sakur Formel:

(

( )

⁄ *

. .

//

Druck:

|

Zustandsgleichung für ideales Gas:

Mol & Avogadro:

,

,

Somit folgt mit der Zustandsgleichung: blablaa

1. HAUPTSATZ DER THE RMODYNAMIK

(

⏞

)

⏟

( )⏟

Bsp: Ändern des Volumens : Wand mit Fläche um eindrücken. Notwendige Kraft darauf: , die dabei geleistete Arbeit ist: .

( )

Spezifische Wärme: , immer positiv Adiabatisch: keine Wärmezufuhr, also

2. HAUPTSATZ DER THE RMODYNAMIK

|

Thermodynamische Deutung der Entropie:

Es gilt:

∮ ∮ ∮

Kreisprozess:

∮

Bild Kreisporzess Bei einem Kreisprozess kann keine Arbeit gewonnen werden. ist eine Zustandsfunktion:

∮

Es ist nicht möglich eine periodisch arbeitende Maschine zu bauen, die Arbeit leistet, wenn nur ein Wärmereservoir bei fester Temperatur involviert ist. Carnot-Prozess: (BILD!!!) I: isotherm (gleiche Temp.)

∫

∫

( *

II: adiabatisch (kein Wärmeaustausch mit Aussenwelt, nur Wärmebad)

( )

III: isotherm, Kompression

( *

IV: adiabatisch ( )

Wirkungsgrad dieses Prozesses:

( * (

*

(

*

, hier:

Wirkungsgrad:

Stirling-Formel: ( ) ( )

⟨| |⟩ √⟨ ⟩

ÜBUNGEN

SERIE 10

Statistischer Mittelwert: ⟨ ⟩ ∑

Zeitlicher Mittelwert:

∫ ( )

Gaussverteilung (normiert):

( ) √

( )

„Breite“ der Gaussverteilung: √ ⁄

Nehmen wir eine Gaussverteil. an, so ist der Erwartungswert:

⟨ ⟩ ∫ ( )

Mittleres Quadrat der Fluktuationen: ⟨( ) ⟩ ⟨( )

⟩ Anm.: ⟨( ) ⟩ ( )

Zustandsdichte: ( )

( )

Zustandssumme: Anzahl möglicher Zustande mit Energie :

( )

∬

∬

Evtl. Möglichkeit: ( )

∫ ∫

∫ √

wobei Integr. über Impulse in Polarkoord. und mit gegebener

Energie ist:

| | √

SERIE 11

A1 Beispiel Zustandsdichte QM Freies Teilchen:

, periodische Randbed.

( )

√

.

/ „Diskretheit“

Zustandssumme: ( ) √

A2 Beispiel Zustandsdichte tight-binding Elektron:

( ) ( )

Gesucht: ( )

( )

Problem: ( ) lässt sich nicht so einfach berechnen.

Lösung (1D,Kettenregel): ( )

( )

.

/

( ) ( - ) ⏞

-

.

/

Diskretheit

A3 Äquipartitionstheorem: Bei einer Temp. hat jeder Freiheitsgrad eine mittlere Energie

.

Bsp.: 1-atomiges Gas: , ⟨ ⟩

⟨ ⟩

Herleitung: : Gesamtenergie, ⟨ ⟩: Einteilchenenergie

⟨ ⟩

⟨ ⟩

∫

∫

∫

.∑

∑

/

∫

∑ ∫

∫

∑

∫

∫

A4 1D-Oszillator:

a) Vorlesung: ⟨ ⟩

⟨ ⟩

Aus A3: ⟨ ⟩ (2 Freiheitsgrade)

b) Vorlesung: ( )

( )

⟨ ⟩ ∫ ( )

( )

∫ ( ) ( )

SERIE 12

A1 Ideales Gas im Schwerefeld:

∑ .

/

Wahrscheinlichkeits-Verteilig (Gibbs):

prop. zu

: Energie d. Zustands

a) ⟨ ⟩ ∫

∫

Volumenint. Kugelkoord.: ∫ ∫

b) ⟨ ⟩ ∫

∫

( (∫

))

c) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

A2 Entropie eines idealen Gases:

( ( ( )))

a) ( ) , gegeben:

( )

( )

wegen nicht-untershceidbarkeit der Teilchen

( ) weil unabhängige Einzeilteilchen

( )

∫

Approximation für ( ) ( ) b) thermodynam. Gleichgew.: Temperatur und Druck gleich ( ) ( ) ( ) ( ) A3 Zweiatomige Moleküle:

a) ( )

( ) (∬

)

Substitution für Ortsintegration:

( )

( )

( ) |

|

b) ⟨ ⟩

( ( ( )))

SERIE 14 / TEST 2

Mittelwerte der Energie (=Erwartungswert):

QM: ⟨ ⟩ ∫

falls ∑ und

⟨ ⟩ ∑ | |

SM: W’keitsverterilung ( ), meist

?????

⟨ ⟩ ∫ ( )

∫ ( ) (falls ( ) nicht normiert)

Bsp: Geg: 2-Level-System

(

*, Lösen:

Möglichkeit Aufgabe 1: - Einzelnes Molekül wird betrachtet - Der Zustand des Moleküls ist gegeben

Lösung QM Möglichkeit Aufgabe 2: - Ein Ensemble wird betrachtet - Die Temperatur gegeben Lösung stat. Mechanik Aufgabe 2: - Mikrokanonisches Ensemble: - Def. durch 3 feste Grössen

- Zustandssumme ( )

∫ ∫

Zustandsdichte: ( )

z.B. Serie 10 A4

- Kanonisches Ensemble (Gibbs-Ensemble) - Def. durch 3 feste Grössen - hat keine feste Energie im System - Realisierung: System in äusserem unendl. Wärmebad

- Zustandssumme: ( )

∬

- Zustandsdichte: ( )

(Gibbs-Verteilung)

- Bsp.: Serie 12 A2, A3, Serie 13 A2 Allgemein:

-Raum:

FORMELN

( ) ( )

∫

√ ⁄

∫

∫

√

⁄

∫

√ ⁄

∫

( ) √

⁄ ( )

∫

( )

KURZZUSAMMENFASSUNG

QM: POSTULATE

Postulat 1: Teilchen lässt sich als Welle darstellen ( ) Postulat 2: Statistische Deutung: Aufenthalts-W’keit: | ( )| W’keitsdichte: | ( )| W’keitsamplitude: ( ) Postulat 3: Vektorraum * + Skalarprodukt: ( ) ∫ ( ) ( ) Postulat 4: Schrödingergleichung

Schrödinger-Gl.: ( )

( ) ( ) ( )

- zeitunabhängig: (

( )) ( ) ( )

Stationäre Zustände: ( )

( ) Kontinuitäts-Gl.: blabla 2.28 Korrespondenzpr.: blabla

Quadr. Integrabilität: ∫ | ( )|

Postulat 5: Observablen Die hermiteschen Operatoren stellen die Observablen dar. Das Resultat einer Messung ist einer der Eigenwerte des dazugehörigen Operators.

Erwartungswert: ( ) ∑ | |

Resultat einer Messung ist mit W’keit |( )| mit

W’keits-Amplitude ( )

QM: EINDIMENSIONALE PROB LEME

FREIES TEILCHEN IM K ASTEN

Kasten von

bis

mit unendlichen Potentialwänden.

( )

( )

.

/

bla bla bla

TUNNELEFFEKT:

HARMONISCHER OSZILLA TOR:

Potential: ( )

mit

Lösung: .

/

blabla

QM: WASSERSTOFFATOM

(

( )) ( ) ( ) mit

blala Lpl-Op in Kugel

Separationsansatz: ( ) ( ) ( ) blabla

( ) ( ) ( )

( )

Drehimpulsquantenz.: EW: ( )

( ) ( )

Magnet. Quantenz.: EW: radial....bla.... Hauptquantenzahl:

( )

QM: ATOME, MOLEKÜLE, FES TKÖRPER

Termschema... Independent Particle Approx (Schalenmodell): -> Spin up/down -> 2 Elektronen pro Zustand (Pauli-Prinzip)

ELEMENTARE THEORIE DER CHEM. BINDUNG

Matrizenmechanik: ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( )

Matrixelement: . ( ) ( ) ( )/

Schrödingergl.: EW-Prob. der Hamiltonmat. , - Molekül

: Festkörper:

( ) ( ) ⁄ | | ⁄ ( ) ∑ ( )

mit Atomabstand Born-von-Karmann: ( ) ( )

Fermi-Niveau blabla Tight-Binding-Approx: blabla

SM: POSTULATE

Stat. Mittelwert: Zeitl. Mittelwert: blabla

GIBBS’SCHES PRINZIP

( ) ∑

( )

( )

1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: In der KM: In der QM:

- W’keit Energie anzunehmen:

⁄

∑ ⁄

4. Schritt:

Mittelwert von : ⟨ ⟩ ∑

⁄

∑ ⁄

∑

Phasenraum:

∑( )

∫( ) ( ) ( ) (

*

Trick: meist in Polarkoordinaten einfacher

( ) ( ) ( )

blablabla

Zustandssumme: ( ) ∑ ⁄

( )

∫ ( ) ⁄

( )

( ( ))

Freie Energie: ( ) ( ( ))

Integral in Polarkoord.