PHYSIK I

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. D. Pescia

Lukas Cavigelli, Juli 2010

lukasc@ee.ethz.ch

MECHANIK TEIL 1

BEWEGUNGSGLEICHUNG/K RAFTFELDER

Newton’sche Bewegungsleichung:

( ) ( ) [ ]

NICHT BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG

Lösung der DGL: ( ) ( )

GLEICHMÄSSIG BESCHLE UNIGTE BEWEGUNG

Lösung der DGL:

( )

( )

( )

( )

GLEICHFÖRMIGE KREISBEWEGUNG

Zentripetalbeschleunigung:

Periode:

REIBUNG

Haftreibung: | | | |

Gleitreibung: | | | |

Rollreibung: | | | |

ENERGIEERHALTUNG

Reibungswärme: Hebelgesetz:

Fluchtgeschwindgkeit: √

MASSENMITTELPUNKT

∑

IMPULS

STOSS

Elastizitätszahl:

Elastischer Stoss: Impuls- und Energieerhaltung gelten Inelastischer Stoss: Impuls- und Energieerhaltung gelten nicht

ELASTISCHER STOSS

SPEZIELLE KRAFTFELDER

Gravitation:

Potentielle Gravtiationsenergie (R: Dist. v. m zu M):

| |

Federkraft: ,

( )

ROTATION

Trägheitsmoment [ ]:

∑

Steiner’scher Satz:

: Trägheitsmoment, wenn Achse durch Schwerpunkt : Distanz zur Achse durch Schwerpunkt Trägheitsmomente:

Drehmoment [ ]:

Arbeit & Energie:

∫

Leistung:

Drehimpuls:

⁄

[ ]

KEPPLER’SCHE GESETZE

1. Planete bewegen sich auf elliptischen Bahnen mit der Sonne

im Brennpunkt.

2.

(Drehimpulserhaltung)

3. ( . gr. Halbachse), für Kreis:

Umlaufzeit,

: Masse im Mittelpunkt

Kinetische Energie Satellit:

SCHWINGUNGEN, HARMONISCH [KURZ]

( )

Geschwindigkeit:

( )

Federschwinger:

√

Frequenz einer harm. Schwingung unabh. von der Amplitude! Energien:

( )

( )

Pendel:

mathematisches Pendel: √

physikalisches Pendel:

√

Gedämpfte Schwingung:

Zeitkonst. : ⁄

( )

Amplitude: (

)

Frequenz: √

OSZILLATOREN

FREIER, HARMONISCHER OSZILLA TOR

Potentielle Energie:

( ) ∫ ( ) [ ]

( ) ( )

Potential (Energie pro Einheitsmasse):

Allgemeine Bewegungsgleichung:

( ) ( ) ( )

Arbeit (einer Kraft F von , Linienintegral):

( ) ∫ ( )

Zusammenhang zu und :

( ) ∫

( ( ) ( ))

∫

Die Kraft leistet Arbeit, um zu verändern. Totale Energie (eine Invariante der Bewegung):

Harmonische Approximation der potentiellen Energie: harmonische Approximation: Taylor-Entwicklung bis Grad 2.

( ) ( ) ( )

( )

( )

Gültig für kleine Schwingungen in der Nähe des Minimums. BGL mit harm. Approx: mit Abw. von Gleichgew.

( )

( )

Lösung der DGL:

( ) ( ) ( ) ( )

; : Abw. von Ruhelage, : Ruhelage

( ) : Federkonstante

: Eigen(kreis)frequenz (Freq. ohne Dämpfung)

√ ( ) (Grundlage der Spektroskopie)

: maximale Amplitude

: Phasenwinkel

: Eigenfrequenz

: Schwingungsdauer (periode, unabh. von !)

ERZWUNGENE SCHWINGUNG

In Anwesenheit eines äusseren Feldes besitzt das Sysztem zusätzlich zur eigenen pot. Energie auch die pot. Energie ( ) durch das äussere Feld.

|

( )

SPEZIALFALL ( ) ( )

Lösung der inhomogenen DGL (gilt nicht für Resonanz):

( ) ( ) |

( )

| ( )

( ) ( ) |

( )

| ( )

und folgen aus den Anfangsbed. Zusammensetzung aus einer Schwingung mit der Eigenfrequenz des Systems und der Schwingung mit der Frequenz der äusseren Kraft. Lösung der DGL bei Resonanz (wie oben, mit ):

( ) ( )

( )

Von der äusseren Kraft zugeführte Energie:

∫ ( )

( )

∫ ( )

Fall :

Fall :

(ohne Dämpfung)

Nur bei Resonanz kann das System Energie absorbieren.

GEDÄMPFTE SCHWINGUNG

Reibungskraft:

SPEZIALFALL: KEINE A NREGENDE KRAFT

Wobei die Dämpfungskonstante:

Lösung der DGL: ( )

für | |(schwache Dämpfung):

√| |

( ) ( √| | )

Harmonische Schwingung mit exponentionell abnehmender Amplitude. Die Schwingungsfrequenz ist kleiner als die Frequenz der freien Schwingung ohne Reibung. für | | (aperiodischer Grenzfall): ( ) ( )

für | | (starke Dämpfung): reell, negativ

( ) ( √

)

( √ )

Aperiodische Bewegung. Asymptotische Annäherung an die Gleichgewichtslage (bei ) ohne Schwingung.

SPEZIALFALL: ( )

( )

Lösung der DGL: ( ) ( ) ( )

wobei

√( )

und ( )

Für bleibt nur noch der zweite Summand (der erzwungene Term). Dämpfung ermöglicht Arbeitsübertragung zwischen äusserer Kraft und System auch neben der Resonanzfrequenz. Bremsung der Amplitude im Resonanzfall auf statischen Wert. Keine sprunghafte Änderung der Phase um bei , sondern in einem engen Frequenzbereich der Breite um . Q-Faktor:

, Mass für die Schärfe der Resonanzkurve.

Absorbierte Energie pro Periode:

| ( )|

Absorbierte Leistung:

| ( )|

Lorentzfunktion: Im eingeschwungenen Zustand bleibt einer erzwungenen Schwingung unverändert. Maximale Leistungsaufnahme bei Resonanzfrequenz. Charakterisierung der Steilheit um mit Q-Faktor.

RESONANZPHÄNOMENE

ELEKTRISCHER SCHWINGKREIS

BILD RLC-Serienschaltung

( )

Charakteristika Mech. System Elektr. System

Unabh. Var. Abh. Var. Trägheit Dämpfung

Eigenfreq. √

√

Periode √

√

Q-Faktor

SPEKTROSKOPIE

Transmissionsspektrum: : Transmissionsminimum, max. absorbierte Energie

; : Energieniveaus

: Breite der Resonanzkurve

WELLEN [KURZ]

(Saite): √| |

Harm. Wellenfld: ( ) ( ) Wellenlänge: ⁄

Ausbreitungsgeschw. einer Welle:

Wellenzahl:

Transv. Geschw.: ( ) Transv. Beschl.: ( )

( )

( )

: Phasendifferenz,

Diff. der kin. Energie:

Leistung:

INTERFERENZ

( ) ( ) ( ) (

) (

)

: Phasendiff. ( ), : Gangunterschied

RESONANZ (STEHENDE WELLE)

(eine Seite offen, eine geschlossen)

SCHALLWELLEN

Druckänderung: ⏟

Phasenverschiebung:

Intensität:

: Quellenleistung

Schallpegel: (

)

Überschallflug: ( )

Dopplereffekt:

( )

( )

ALLGEMEINE LÖSUNG 1D -PROBLEME

( )

√

( ( )) √

∫

√ ( )

Nur reelle Lösungen, wenn ( ) BILD Bei Wendepunkten gilt: ( ) mit

Periodendauer ( ) √

∫

√ ( )

( )

( )

Schwingung:

Harmonische Näherung:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) √

( ) √

gibt Auskunft über 2. Abl. von in der Nähe von .

MECHANIK UNSORTED

WELLENGLEICHUNG

Stehende Welle: ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

HARMONISCHER OSZILLA TOR

MECHANIK IM EUKLIDISCHEN R AUM

Symmetrien blabla

BGL: ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

( ) (| |)

| | bei Kugelsymmetrie (unsicher)

Gravitationskraft: | ( )|

| |

Gravitationspotential: ( )

| |

( )

TRÄGHEITSKRAFT

( )

ZENTRIPETALKRAFT

( )

CORIOLISKRAFT

( )

SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE

Freiheitsgrad: Erhaltungssätze, Gleichungen

IMPULSERHALTUNG

∑

∑

∑

∑

Anwendungen:

Raketengleichung

( ) (

)

DREHIMPULSERHALTUNG

∑

STARRKÖRPERBEWEGUNGE N

Drehmoment:

∑

∑

Trägheitsmoment: ∑

∫ ( )

Abstand

von der Drehachse

BEWEGUNGSGLEICHUNG, FESTE DREHACHSE

ANDERE

TRÄGHEITSMOMENT

um : ∑ (

) ∫ (

)⏟

( )

Lichtfrequenz:

ÜBERSICHT

Translation Rotation

1D-SCHWINGUNG MEHRERER FG

1D-Schwingungen mehrerer Freiheitsgrade

EIGENMODEN ZWEIER GE KOPPELTEN

HARMONISCHE OSZILLAT OREN

Eigenmode:

Lineare Superposition von Fundamentallsg. der BGL.

Schwingungstyp, bei der das System mit nur einer Frequenz schwingt. BILD

( ) ( ) ( ) ( )

Bestimmung der Eigenfrequenzen – Möglichkeit 1:

(I)-(II): ( ) ( ) (( ) ( ))

Substitution :

√

(I)+(II): ( ) ( ) (( ) ( ))

Subsitution : √

Bestimmung der Eigenfrequenzen – Möglichkeit 2:

Ansatz: , zu bestimmen:

( )

( )

(

) (

) (

)

: ( )

( ) ( )

⏟

( ) (

)⏟

( ( )

( )) (

)

EIGEINMODEN EINE SCHWINGENDE KETTE

MIT N GEKOPPELTEN OS ZILLATOREN

BILD Kette mit N Atomen -te Masse: ; : Ruhelage, : Gitterkonstante

( ) ( ) ( )

Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen: Verbinden des ersten und letzten Atoms (Kreis)

Ansatz:

Wir setzen: | | (Einheitskreis) mit : zu best. Parameter; : ursprünglicher Gitterpt., Ref.

chp: ( ) ( ( ) )

( ) √

(

)

Jedes trägt eine bestimmte Eigenfreqenz klassifiziert Schwingungszustände

( )

Die Kopplung bewirkt, dass sich die Frequenz √

des

ungekoppelten Oszillators zu einem Frequenzband verbreitert. Dispersionsrelation: -Abhängigkeit von .

ÜBERGANG ZUM SCHWING ENDEN

KONTINUUM, WELLENGLE ICHUNG

Auslenkung benachbarter Atome nur infinitesimal unterschiedl.

wird als kontin. Variable betrachtet.

( )

( )

⏟

: Auslenkung

: Ort

: Zeit

: Fortpflanzungsgeschw. (Materialkonstante) Allgemeine Lösung (Satz von d’Alembert):

( ) ( )⏟

( )⏟

BILD

Phononen: √

, Masse pro Längeneinheit

: mittlere rücktreibende Kraft

Erdbebenwellen: √

Lichtwellen: Lichtgeschwindigkeit

HARMONISCHE WELLE

( ) ( ) : Wellenzahl = Wellentäler pro Längeneinheit

: Wellenlänge

BILD

STEHENDE WELLE

Gesamtwelle = einfallende Welle + reflektierende Welle ( ) ( ) ( )

Randbedingung: fester Punkt ( ) Überlagerte Welle, fix bei x=0:

( ) ( ) ( )

BILD

Bedingung für stehende Welle:

|

( ) Knoten:

EIGENFREQ. EINES SCH WINGENDE SEILS

(auf beiden Seiten festgehalten)

Zusätzliche RB: ( ) (

)

Eigenfrequenzen:

(

)

MECHANIK TEIL 2

( ) ( )

BEWEGUNG EINES MASSENPUNK TES IM

ZENTRALFELD

Kraft ( ) (| |) (| |)

| | | |

| |

Kugelsymmetrische Funktion wie das Gravitationsfeld der Sonne oder das Coulombfeld eines Protons. Impuls:

Massepunkt führt Drehbewegung aus, falls eine Komponente senkrecht zu besitzt.

Das Zentralfeld wirkt nur entlang des Radius.

, Drehimpulserhaltung Drehimpuls:

zeigt in feste Raumrichtung, senkrecht zu und . Erhaltung des Drehimpulses:

( )

( )

2. Keppler’sches Gesetz:

„Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fläche“

Bewegung im Zentralfeld num im 2D (d.h. Teilchenbahn liegt in eines Ebene), da L = konst. BILD

BGL FÜR EINE MASSE I M ZENTRALFELD

Zentrifugalkraft:

Corioliskraft:

( )

Gravitationskraft:

( )

( )

⏞

( ) ⏟

Radiale BGL:

( )

( )

BILD Gesamtüberblick Trägheitskräfte: mir Vektor zur Referenzpt.

⏟

⏟

( )⏟

⏟

BEISPIEL: DREHIMPULS & ENERGIE

Ein Massept. ist an einer Schnur befestigt und rotiere um die -Achse. Zieht man mit der Kraft an der Schnurrt wird kleiner. 1. Aufstellen der DGL:

( )

( ) via Definition des Drehimpulses:

Die Arbeit, die von der Kraft geleistet wird, ist die überwundene Zentrifugalkraft integriert über die Änderung des

Radius: ∫

|

Bestimme ( ). Es gilt:

(

)

Daraus eliminiere über den Drehimpuls:

Diese DGL lässt sich nun elementar integrieren.

BEISPIEL: RAUMSCHIFF RENNEN

Wird ein Raumschiff auf einer stationären Bahn schneller, wenn es Gas gibt oder bremst? Auf einer stat. Bahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft:

Definition des Drehimpulses:

Ausdruck 1 in 2 einsetzen:

(

)

Damit nimmt zu, wenn abnimmt.

KEPLER PROBLEM

( )

Totale Energie:

√

( (

))

DGL für Bahn:

Bahngleichung: ( ) ⁄⏞

( )√

⏟

( ), Exzentrität

: Kreis, : Ellipse, : Parabel, : Hyperb. 1. Kepler Problem: „Planeten bewegen sich auf Ellipsen in deren Brennpunkt die Sonne steht.“

ELEKTRIZITÄT

Coulombgesetz: ( )

| |

| | [ ]

Elektrisches Feld: ⁄ ⁄

E-Feld einer Punktladung:

| |

E-Feld eines -langen Leiters:

: Ladungsdichte

E-Feld radial Kugelschale:

E-Feld Dipol (für grosse ):

El. Dipolmoment:

E-Feld eines Leiterrings:

( ) ⁄

E-Feld einer runden Leiterplatte:

(

√ )

Flächenladungsdichte: ⁄

Drehmoment eines Dipols im E-Feld:

Pot. Energie eines Dipols:

Fluss eines E-Feldes: ∮

[ ]

Gauss’scher Satz:

Feld aus Potential:

nur Elektrostatik

Äusseres E-Feld eines geladenen Leiters:

an der Oberfläche des Leiters

Äusseres E-Feld einer geladenen Ebene:

Elektrische potentielle Energie:

Elektrisches Potential:

∫

Arbeit einer äusseren Kraft:

Elektrisches Potential: ∫

Potentialdifferenz: ( ) ( )

Potential einer Punktladung:

Potential eines elektr. Dipols:

| | mit

Ladung bei und – bei

Potential:

( ( √ ) ( ))

Potential einer Kugelschale:

{

El. Energie von 2 Ladungen:

Potential eines Punktladungssystems: ∑

Potential einer -langen Linienladung:

(

)

Potential eines Ringes:

√

Potential eines Scheibe:

(√ )

UNSORTED

STROM

Stromdichte: ∫

Driftgeschwindigkeit: Anz. freie Ladungen

SPEZIELLE ELEKTRISCH E FELDER

geladene Kugel:

∬ ( ) ( )

∭

( )

( ) ( )

Grenzflächen / Randbedingungen:

Feld im Dielektrikum:

ohne Dielek.

PIEZOELEKTRIKA

=Festkörper mit permanentem Dipolmoment : Länge ändert sich je nach Feld.

( ) ⁄

MAXWELL-GLEICHUNGEN

1. Maxwell-Gleichung (Gauss-Gesetz):

⏟

∯

∯

⏟

2. Maxwell-Gleichung (Gauss-Magnetisierungs-Gesetz):

∯

3. Maxwell-Gleichung (Faradays Induktionsgesetz):

∮

4. Maxwell-Gleichung (Ampères Gesetz):

∮

elektrisches Feld, Magnetfeld

elektrisches Verschiebungsfeld, elektrische Flussdichte

Magnetisierungsfeld, magnetische Felddichte

: Stromdichte

: Fluss des B-Feldes durch Fläche

∬

: Fluss des E-Feldes d. (für Gauss geschl.) Fl.

( )

∑ : Magnetisierung

( ): Polarisierung

: von Schleife umschlossener Strom ⁄ Die differentielle Form heisst lokale Form, die andere globale.

MAXWELL FÜR LINEARE MATERIALIEN

ELEKTRISCHES POTENTI AL

∫ ( )

ENERGIE & ENERGIEDICHTE

{

(

)

( )

Energiedichte:

( )

Energie: ∫

Selbstenergie eine Ladungsverteilung:

∫

MAGNETISCHES VEKTORPOTENTIAL

( )

Maxwellgleichungen als magn. Vektorpotential:

*

+

ANDERE GRÖSSEN

Elektrischer Fluss: ∫

Elektrische Flussdichte: ( )

KOMPONENTEN

WIDERSTÄNDE

Ohm’sches Gesetz:

KAPAZITÄTEN/KONDENSATOREN

Allgemein:

∫ ( )

bzw. je Platte

Plattenkondensator:

Zylinderkondensator:

(

) L:höhe des Zylinders

Kugelkondensator:

Isolierte Kugel (Eigenkapazität):

Energie: ∫

Kondensator mit Dielektrikum:

INDUKTIVITÄTEN

MAGNETISMUS

Lorentzkraft: (Rechte-Hand-Regel)

Kraft auf Leiter:

Magn. Moment: [ ] :Windungen

Drehmoment auf eine Leiterschleife: , : Fläche

El. Energie eines magn. Dipols:

Magnetischer Fluss: ∫ (pro Windung)

Induzierte Spannung (Faraday):

(pro Windung)

Spulen/Magnetfelder:

Zylinderspule:

Ringspule:

Schleife:

( ) ⁄???

-langer Leiter:

Elektrische Energie eines Punktladungssystems:

∑

Geschwindigkeitsfilter:

| | | | | |⁄

Massenspektrometer:

| |⁄

Induktionsspannung in einem senkrecht zu seiner Längsachse und zu bewegten Stab:

| || |

Selbstinduktivität einer Zylinderspule:

Gegeninduktion:

Lenz’sche Regel (alternative Version): Ändert sich der magn. Fluss durch eine Fläche, so wird ein Strom induziert, der seinerseits ein Magnetfeld und damit einen magnetischen Fluss durch dieselbe Fläche hervorruft, der seiner Ursache entgegengerichtet ist.

BIOT-SAVART

( )

∫

| |

KRAFT ZWISCHEN 2 PARALLELEN STRÖMEN

| | | | |

|

AMPÈRE’SCHES GESETZ

∮

MAGNETFELD IN EINEM LEITER

INDUZIERTE ELEKTRISC HE FELDER

∮

VEKTORPOTENTIAL

∫

( )

| |

haben dasselbe -Feld. Diese Freiheit heisst Eichfreiheit.

ELEKTRISCHER STROM

Drude-Modell:

⏟

Stationärer Fall:

Homogener Fall: ( ) ⁄ ( ) (

)

Ladungsträgerdichte

⏟

KONTINUITÄTSGLEICHUNG

Gesamtstrom aus einem Volumen ∫

Kontinuitätsgleichung:

GESETZE DER MAGNETOS TATIK

1. GESETZ DER MAGNET OSTATIK

( ) ( ) ( )

1. Gesetz der Magnetostatik:

( ∫

| |

)

2. Biot-Savart:

( )

∫ ( )

| |

3. Ampère:

∫( )

∫

∮

4. Lorentz-Kraft:

[ ]

Right-Hand-Rule für positive Ladungen.

Vektoranalysis:

| |

| |

MAGNETISCHE FELDER E INFACHER

STROMVERTEILUNGEN

FELD EINES STROMFADENS

Strom entlang eines Weges . Parametrisierung von nach

ser Bogenlänge : ( ). jeweils der Tangentialvektor.

( )

( )

∫

( )

| |

ELEKTRODYNAMIK

GESETZE DER ELEKTRODYNAMIK

Elektromotorische Kraft:

∮

Magnetischer Fluss:

∫

Faraday-Gesetz (auch Induktionsgesetz):

∬ ( )

( )

( )

(Verallgemeinerung von Elektrostatik ) Anderes komisches Gesetz:

( )

Maxwell-Faraday-Gleichung:

( ) ( )

∮

∬

Lorentz-Kraft:

Lorentz-Kraft kompliziert:

(

( )

⏞

( )⏞

)

Die magnetische Teil der Lorentzkraft leistet nie Arbeit!

( )

Elektromagnetische Induktion:

Elektrisches Verschiebungsfeld:

( )

für lineare Materialien: Elektrischer Verschiebungsstrom:

SPULE MIT EISENKERN

FELDVERHALTEN AN GRE NZFLÄCHEN

ELEKTROMAGNETISCHE-WELLEN

Lösung der Maxwellgleichungen im Vakuum.

Lösung suchen mit

( )

( )

( ) ( )⏟

Wellengleichung:

Brauchbare Wellengleichung:

( ) ( )

( ) ( )

| |

Ansatz zur Lösung

( )

( ) Einsetzen in WG:

| | | |

| | | | | |

Resultat: 1.

2.

⏟

3. ( ) ( ) (Snell-Gesetz)

BRECHUNG UND FELDER AN GRENZF LÄCHEN

( )

( )

( )

( )

Die Tangentialkomp. bleiben erhalten bei -Feldern. u

REFLEXION & BRECHUNG

Alles für lineare Materialien:

( )

(

( )

)⏟

(

)

( )

(

√ )

√ ( ) ( ) Metamaterialien:

Reflektivität:

|

| wenn -einfallend

POYNTING VEKTOR

Beschreibt den Energiefluss.

Poyntingvektor:

Energiedichte:

( )

Interpretation Poyntingvektor:

( )

Poynting für planare Wellen: ( )

( )

POYNTING THEROEM, ENERGIEFLUSS

S: Poynting-Vektor (Energiefluss des EM-Feldes) Ganzer Abschnitt unter Annahme, dass Material linear w: Energiedichte

(

)

Integralform:

∫

∮

∫

Ingenieursform:

∮

∭(

)

INTENSITÄT

Intensität = |Amplitude|^2

WAVE MODEL

PARTICLE MODEL

WELLEN

EBENE WELLEN

Wellenvektor:

| |

Wellendarstellung:

( ) ( )

Wellenfront (= Orte gleicher Phasenlage):

KUGEL-/KREISWELLEN

Wellendarstellung:

( ) ( | || |)

Wellenfronten: | |

INTERFERENZ

Vektor von der gegenw. Position zur Quelle der Kugelw. konstruktiv: | | | |

destruktiv: | | | | ( )

HUYGENS’SCHES PRINZI P

Von jedem Punkt einer Wellenfront geht eine Kugelwelle aus.

SENKRECHTE REFLEXION

Trifft eine Welle ( ) ( ) senkrecht auf ein undurchdringliches Hindernis bei , entsteht eine rücklaufende Welle:

( ) ( )

Bei festem Ende: Phasensprung Bei losem Ende: Phasensprung Ein- und auslaufende Wellen überlagern sich:

( ) ( ) ( )

Am Ort der Reflexion: festes Ende: „Knoten“ ( )

loses Ende: „Bauch“ ( ) ( )

STEHENDE WELLEN

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ))

(

) (

)

RESONANZ

Auf beiden Seiten fest, so ist der Abstand:

Auf einer Seite fest, auf der anderen lose: ( )

DIVERSES

POLARKOORDINATEN

Kraft = Masse * Beschleunigung gilt hier nicht mehr!!

ZYLINDERKOORDINATEN

( ) ( )

KUGELKOORDINATEN

( ) ( ) Kugelvolumen:

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ∫ ( )

KONSTANTEN

Pi: Euler:

Planck:

Gravitationskonstante:

Coulomb:

[ ]

Elektronenvolt: Masse eines Elektrons: Masse eines Protons:

Atommasseeinheit: Ladung eines Elektrons:

Dielektrizitätskonstante:

Permeabilitätskonstante:

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:

Normdruck:

Erde: Radius , Masse

Druck:

VEKTORRECHNUNG

Vektoren parallel oder einer .

distributiv: ( )

nicht assoziativ: ( ) ( )

bilinear: ( ) ( ) ( )

ANDERES MATH

Kugel:

Kreis:

| | | || | ( ) | || | ( )

Laplace-Operator (Vektorfelder):

( ) ( )

Laplace-Operator (Skalarfelder): ( )

WEITERE TRÄGHEITSMOMENTE

Zylindermantel

Vollzylinder

Hohlzylinder

(

)

Vollzylinder

Zylindermantel

(

)

Vollkugel

Kugelschale

Allgemein (Rotation um z-Achse)

∫( )

EINHEITEN

Grösse Einheit

Elektrische Feldstärke

Magnetische Feldstärke

⁄ ⁄

Elektrische Stromdichte

Magn. Induktion, Flussdichte

⁄

⁄

Elektr. Leitfähigkeit ( )⁄

Magn. Leitfähigkeit ( )⁄

Dipoldichte, Polarisation

magn. Dipoldichte, Magnetisierung

⁄ ⁄

elektr. Suszeptibilität magn. Suszeptibilität

- -

Dielektr. Verschiebungsdichte

Magn. Induktion, Flussdichte

⁄ ⁄

Strom Magnetischer Fluss

⁄ ( )⁄

Spannung Magn. Spannung

Widerstand magn. Widerstand

( )⁄

Kapazität Induktivität

⁄

Ladung Linienladungsdichte Flächenladungsdichte Volumenladungsdichte

⁄ ⁄ ⁄

Flächenstromdichte ⁄

MÖGLICHE FEHLERQUELL EN / IDEEN

Volumenladungsdichte -> Ladung nicht auf Oberfläche

Potential -> Vorzeichen richtig?

a << b oder a>>b -> Taylor-Entwicklung

Diff’gl nicht lösbar -> Taylor

Konvention beachtet? Vektor neg. -> pos. Ladung

Materialien?

Ableiten um Integrale aus DGLs zu entfernen

Homogene Ladungsverteilung?!

1/(4PiEpsilon) nicht vergessen?

E-Feld in Kugelkondensator nicht homogen!

Frequenz -> BGL -> harm. Oszillator

BLABA

( ) ( ) ( )

Zusammenfassung:

∫

( )

| |

∫

( )

| |

BEISPIEL SCHALLWELLE N, ÜBERLAGERUNG

Intensitätsmax für:

Intensitätsmin. für:

ANMERKUNGEN ZUM SCHL USS

Magnetische Feldlinien gehen von N nach S, schneiden nie Elektrische Feldlinien von + zu -, auf Leiter, schneiden nie