REGELSYSTEME

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. M. Morari

Lukas Cavigelli, Pascal Hager – Dezember 2011

lukasc@ee.ethz.ch, phager@ee.ethz.ch

GRUNDELEMENTE

Strecke:

Steuerung/Open Loop Control/Feedforward C.: ( ): Sollwert

Regelung/Feedback Control:

Reglerentwurfszyklus: Regelungsziele festelegen Regelgrössen identifizieren Spezifikation für Variablen aufstellen Systemkonfig. ermitteln, Aktuator finden Modellbildung & Parameter-Identifikation Reglerstruktur & -paramter festlegen Optimierung der Parameter, Analyse der Performance ok?

MODELLIERUNG

Mechanische Systeme: Newton: Reibung, Dämpfer: Feder: ( )

Gravitation: (kann i.d.R. vernachlässigt werden)

Rotation, Drall:

Drallsatz:

Trägheitsmom.: ∫

Kraft: im Abstand Moment:

Elektro(-mechanik): Antriebsmom. Motor:

Induzierte Spg. im M.: Viskose Reibung:

Wärme & Strömung:

Energiebilanz: ⏟

⏟

(

( ))

⏟

: Massenstrom, , : Masse, : spez. Wärmekap. :Temperatur, : Wärmeübertragungswiderstand Wassertank:

Bernoulli:

(Oberlfäche & Ausfluss)

ZUSTANDSRAUM

Zustandsraum: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Transformation DGLs höherer Ordnung:

( )

( ( ))

Linearisierung/Taylorentwicklung:

( ) ( ) | ( )

[

]

DYNAMISCHES VERHALTE N VON SYSTEMEN

LAPLACE-TRAFO

[ ]( ) ∫ ( )

Anfangswertsatz & Endwertsatz: Falls ( ) und das Limit existiert, dann:

( )

( )

( )

( )

Anfangssteigung:

( )

BLOCKDIAGRAMME

Übertragungsfunktionen:

Umformungen:

SYSTEM 2. ORDNUNG

System 2. Ordnung:

: Verstärkung (gain), : Zeitkonstante, : Dämpfungsfaktor, ⁄ : Natürliche Frequenz (natural frequency) Charakteristische Gleichung: und somit

( √ ) ( √ )

Sprungantworten: ⁄

Fall 1: komplexe Wurzeln – gedämpft

( )

√ ⁄ (√

(

√

))

Fall 2: doppelte Wurzel – kritisch gedämpft

( ) ( ⁄ ) ⁄ Fall 3: reelle Wurzeln – überkritisch gedämpft

( ) ⁄ ( (√

)

√ (√

))

Übersicht Impulsantworten:

Beziehungen von Frequenz, Dämpfung & Polstellen:

{ } , | |

: Radius auf Nyquist-Diagramm, ( )

Abkling-Enveloppe: Effekt einer zusätzlicher Nullstelle in der LHE:

( ) ( )⁄

( ⁄ ) ( ⁄ )

Rise time: ⁄ , Settling time: ( )⁄

Overshoot: {

Eine zusätzliche NS in der LHP verstärkt das Überschwingen, wenn die NS weniger als Faktor 4 vom Re-Teil der Pole entfernt. Eine zusätzl. NS in der RHP unterdrückt das Überschwingen und kann zu Unterschwingen führen. Ein zusätzlicher Pol verlängert Anstiegszeit, wenn weniger als Faktor 4 vom Re-Teil der kompl. Pole entfernt.

SYSTEME HÖHERER ORDNUNG

(

)

(

)

Totzeit Kaskade von Systemen 1. Ordnung

STABILITÄT

Asymptotisch stabil: wenn alle „internen“ Zustandsvariablen nie unendlich werden und für gegen Null gehen. Stabil: Sind alle Pole der ÜF einfach, hat Lsg. die Form ∑

.

Dann ist das Sys. stabil, wenn alle Terme für gegen Null. Stabilität von LTI-Systemen: LTI-System stabil alle Pole des Systems in der LHE

SYSTEME IM FREQUENZB EREICH

FREQUENZGANG

Eingang: ( ) { }, Impulsantw.: ( ) { ( )}

( ) {∫ ( )

} { ( )}

| ( )|⏟

( ( ( ( ))

( ( )))

⏟

)

Frequenzgang: Amplitude Ratio und Phase

NYQUIST-DIAGRAMM

Verwendung: Stabilitätsuntersuchungen Verfahren: Erstellung: Aufteilen von Real- & Imaginärteil, markante Stellen einzeichnen (Schnittpte. mit Re- & Im-Achse, ), Abbildung des Kreisschlusses

( ( ))

Evtl. aus Bode-Diagramm auslesen (Betrag & Phase auftragen) Eigenschaften: symmetrisch bzgl. Re-Achse. Falls deg(Zähler) < deg(Nenner) Kreisschluss im Ursprung.

BODE-DIAGRAMM

Amplitudengang: | ( )| i.d.R. in Dezibel, Division minus Phasengang: ( ), Winkel von Produkten addieren

Winkel best.: (

) ( ) ( )

Logarithmus: ( ) ( ) ( ), Division analog Dezibel: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

STANDARD ÜBERTRAGUNGSFUNKTIONEN

Differentiator: ( ) , Integrator: ( ) Einf. Nullstelle: , Einf. Pol: ( ) , ⁄

System 2. Ordnung: ( )

( ⁄ ) ( ⁄ ) (siehe S. 4-10)

NICHT-MINIMALPHASIGE SYS. & TOTZEIT

Nicht minimal-phasige Systeme: Wenn Nullstelle auf RHE unnötige Verzögerung um +90° statt -90°, es tritt also eine unnötig grössere Phasenverzögerung auf.

Bsp: minimalphasig:

, nicht minimalphasig:

.

Totzeit (time delay): ( ) ( )

PID-REGLER

Regelgrösse: , Störgrösse/Last: , Gesamt:

P-Regler: System unter Last ist konstant unterhalb Sollwert.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

somit können die Pole (eingeschränkt) verändert werden. Ein statisches ändert die Dynamik der Steuerung nicht,

jedoch die der Regelung. Grosses schnellere Dynamik

(erwünscht), schlechtere Dämpfung (sogar unstabil) PI-Regler: ( ) ( ( )⁄ ). Char. Gl. mit Sys. 2. Ord.:

( )

( )

Für einen Regler mit I-Anteil ist der bleibende Fehler immer 0. Beim I-Regler beginnt das Sys. bei grossem ⁄ zu schwingen

Wurzelortskurve (root locus):

PD-Regler: prop., differential ( ) ( )

Möglichkeit der Implementierung des D-Teils in der Feedback-Schleife, damit keine grossen Auschläge bei Sollwert-Änderung. Übertragungsfunkt. der Feedback-Schleife: . Dabei bleibt die charkt. Gleichung unverändert. PID-Regler: proportional, integral, differential - Regler

( ) ( )

∫ ( )

( )

( )

drei Terme können unabh. voneinander beeinflusst werden alle Pole eines Sys. 2. Ord. werden unabhängig wählbar Bezeichnungen: - : Vorhaltezeit (derivative time) - : Nachstellzeit (integral or reset time) - ⁄ : reset rate

STATIONÄRES VERHALTE N

Steady-State des P-Reglers:

- ohne Störung:

( )

für

- mit Störung:

Regelung reduziert Störung mit Faktor

Steady-State von I, PI und PID-Reglern: ideal möglich Für einen Regler mit I-Anteil ist der bleibende Fehler immer 0.

SENSITIVITÄT

Problem: Motorverstärkung ändert sich von auf . : open-loop transfer function

Sensitivität:

⁄

- bei Steuerung:

- bei P-Regler:

STABILITÄT

Satz: Ein LTI-System ist genau dann asymptotisch intern stabil, wenn alle Pole des System in der offenen LHE liegen. Problem: Nullstellen des Nenners nur schwer zu finden.

ROUTH’S STABILITÄTSK RITERIUM

Char. Polyn.: ( )

Notwendige Bedingung für Stabilität: Routh-Tableau:

Row :

Row :

Row :

Row :

Row :

Row :

[

]

[

]

Routh-Stabilitätskriterium: Alle Wurzeln sind dann und nur dann in der offenen LHE,

wenn alle Elemente in der ersten Kolonne positiv sind. Anz. Wurzeln in der geschl. RHE ist gleich der Anzahl

Vorzeichenänderungen in der ersten Kolonne. Wenn das erste Element einer Zeil null ist, dann durch

ersetzen und fortfahren. Dann Stabilitätskriterium für anwenden.

Beispiel: Routh-Kriterium mit PI-Regler

ChP. des geschl. Kreises:

(

)

( )( )

Aus dem Tableau folgt:

und

:

:

:

:

NYQUIST STABILITÄTSK RITERIUM

Prinzip des Arguments: Die Abbildung einer Kurve durch eine Funktion ( ) umkreist den Ursprung nur, wenn die Kurve einen Pol oder eine NS von ( ) enthält.

Anwendung auf Regelung: Wir wollen die Polstellen des geschl. Kreises in der RHE finden, da solche ein System instabil machen. Idee: Suche NS des Nenners (beim geschl. Kreis). Beim P-Regler: ( ) ( ) Wir kennen das Nyquist-Diagramm, das bereits eine Abbildung der Umkreisung der RHE durch ( ) darstellt.

1 10 100 1000

0

20

40

60

dB

0.1 1 10 100 1000

0

2

2

Input

𝑗𝜔

(𝑗𝜔)

𝑗 𝜔

𝑗𝜔

𝑗 𝜔

Statt ein Nyquist-Diagramm von ( ) zu machen, suchen wir

die Umkreisung der Stelle, bei der

( ) . Nun stellt sich

nur noch die Frage, ob

auf dem Nyquist-Diag von ( )

umkreist wird. Nyquist-Stabilitätskriterium: : Abbildung von durch ( ) ( ) : # NS von ( ) in der RHE = # Pole des geschl. Kreises in RHE : # Pole der offenen Strecke ( ) in offener RHE (bekannt) : # Umkreisungen des Ursprung im Uhrzeigersinn durch . Dabei Umkreisungen gegen den Uhrzeigersinn subtrahieren. Dies kann aus Nyquist-Diagramm von ( ) gewonnen werden. Das Prinzip des Argumentes sagt:

geschl. Kreis stabil

Variante des Nyquist-Stabilitätskriteriums:

Bei P-Regler: Umkreisungen von

auf dem Nyquist-Diagramm

von ( ) zählen.

BODE STABILITÄTSKRIT ERIUM

Bode Stabilitätskriterium: Nehme an der offene Regelkreis sei stabil und seine Amplitude und Phase stetig abnehmend. Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn | ( )| bei ( ) . Grenzstabil: wenn | ( )| bei ( ) . Amplitudenreserve (Gain Margin GM): Faktor, um den die Verstäkung der Strecke vergrössert werden muss, damit der Regelkreis grenzstabil wird. Bei Phase=-180° schauen. Dort GM | ( )|⁄ . Wenn GM instabil Phasenreserve (Phase Margin PM): Betrag, um den die Phase der Strecke reduziert werden muss, damit der Regelkreis „neutral stabil“ wird, d.h. Betrag, um den die Phase grösser ist als wenn | ( )| mit : crossover frequency. Bei Verstärkung 1 schauen, dort schauen wieviel grösser die Phase als -180° ist. Wenn PM instabil Eigenschaften: GM & PM ... sind nur für open-loop stabile Systeme definiert bestimmen den Abstand des Regelkreises von Instabilität besonders nützlich wenn Betrag und Phase monoton

abnehmend als Funktion der Frequenz PM für versch. kann bequem vom Bodediag. best. werden

REGLERENTWURF IM ZEI TBEREICH

SPEZIFIKATION IM ZEI TBEREICH

SPEZIFIKATIONEN FÜR SYS. 2. ORDNUNG

Anstiegszeit:

, Anregelzeit:

√

Überschwingen: √ ⁄

Ausregelzeit:

Polstellenlage:

REGLERENTWURF NACH Z IEGLER-NICHOLS

Viele Prozesse haben ein Sprungantwort folgender Form:

Gute Approximation: ( )

( )

Ziel der Reglereinstellung: decay-ratio=0.25 ( )

Voller PID-Regler: ( ) (

)

Sehr gute Reglerparameter:

Proportional ( )⁄ PI ( )⁄ , ⁄ PID ( )⁄ , ,

Schwingmethode: Beim Regelkreis mit P-Regler wird die Verstärkung so lange erhöht, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Diese Verstärkung ist („ultimate gain“). Die Periode der resultierenden Schwingung („ultimate period“)

METHODE VON ÅSTRÖM & HAGGLUND

Bessere Alternative zur Schwingmethode. Die meisten Strecken

schwingen mit diesem 2-Punkt-Regler.

REGLERENTWURF IM FRE QUENZBEREICH

blablabla

BETRAG/PHASE GESETZ NACH BODE

Betrag/Phase Gesetz nach Bode: Für ein stabiles, minimalphasiges Gesetz (keine Pole oder NS in der RHE), ist die Phase ( ) eine eindeutige Funktion des Betrags | ( )|. Spezialfall: Steigung von | ( )| in Bode-Diagramm ist konstant ( ) über etwa eine Dekade, dann ( ) . Faustregel: Für gute PM (0°<PM<90°) soll Steigung von | ( )| im Bereich von (cross-over frequency) zwischen und liegen.

„Gesucht Bandbreite

“ | ( )|

TODO: verschachtelte Rückkopplung

DYNAMISCHE KOMPENSAT OREN

PD Kompensation: ( ) ( ) PD bietet Phasenvoreilung. Wähle ⁄ im Bereich der cross-over Frequenz um PD zu verbessern. Probleme: Verstärkt Rauschen für hohe Frequenzen; idealer Differentiator nicht realisierbar. Besser Lead-Kompensator.

Lead Kompensation: ( )

√

√

( )

( )

√

Entwurf: 1. bestimmen. 2. wählen ( ), ansonsten besser 2 Komp. (Rauschen)

3.

√

Beispiel Entwurf Lead-Komp.

( )

( ) , Spez.: und für

Also: [

] ( )

( )

und

1. zusätzliche 25% Phase, 2. Lead erhöht | | und somit auch Lead für ⁄

3. Wähle (probieren), so dass um : ⁄

⁄

PI Kompensation: ( ) (

)

Erhöht Betrag für kleine Freq. & reduziert bleibenden Fehler. Man wähle ⁄ , um PM nicht zu beeinflussen. Alternative: Lag-Kompensation

Lag Kompensation: ( )

Zusätzliche Verstärkung um im niedrigen Frequenzbereich. Man wählt ⁄ um PM nicht zu beeinflussen.

Beispiel Entwurf Lag-Komp.

( )

( ) Spez.: ( )

1. ( ) probiere 2. Bode-Diag. versch. zu kleineren Freq. wo Phase kleiner Reduz. Verst. bei bessere PM 3. hat den gewünschten Effekt.

PID Kompensation: ( )

[( ) (

)].

Entspricht ca. Serie von Lead- und Lag.

BANDBREITENBESCHRÄNK UNG

... durch nichtminimalphasige Elemente Totzeitglied: ( ) wenn

schwierig, da Phasenvorschub schwierig.

Für Systeme mit Totzeit ist die ereichbare Bandbreite beschränkt auf etwa ⁄ Nullstelle in RHE:

⁄

⁄ ⁄

⁄

„Allpass function“:

, man kann also analog argumentieren:

Für Systeme mit einer NS ⁄ in der RHE ist die erreichbare Bandbreite beschränkt auf etwa ⁄ .

ERWEITERUNGEN DER RE GELSTRUKTUR

ANTIWINDUP

Problem: wenn sättigt, kann sehr gross werden. Idee: Integrator abschalten, wenn sättigt.

ÜF bei Sättigung:

, sonst:

weniger Überschwingen nach Sättigung

TOTZEITKOMPENSATOR

. Die ÜF hat Totzeit , die nicht kompensiert

werden kann. Die Totzeit erscheint aber nicht im Regelkreis. Achtung: Da kein Sys. 2. Ord. haben PM u. GM keine Bedeutung

. Bandbreite |

| wegen Totzeit bleibt beschränkt, unabh. von .

STÖRGRÖSSENAUFSCHALT UNG

(FEEDFORWARD CONTROL)

⁄ wählen.

muss gemessen werden (können !) und müssen bekaannt sein Güte der Komp. stark von Modellgenauigkeit ( ) abh. muss realisierbar & stabil sein. Nicht der Fall, wenn:

o NS in der RHE hat oder grössere Totzeit als hat. o durch realisierbare, stabile ÜF approximieren.

Bsp. 1: ( )

( )( ) instabil

( )

( )( )

Bsp. 2: ( )

nicht realisierbar

( )

KASKADENREGELUNG

Idee: Über Hilfsgrösse kann der Einfluss der Störung rasch im inneren Regelkreis (inner loop, secondary loop, slave loop) ausgeregelt werden. Äusserer regelkreis (outer loop, primary loop, master loop) hat als Stellgrösse Sollwert für inneren Regelkreis und regelt damit . Bedingung: muss langsam sein im Vergleich zu Entwurf: 1. Entwurf des inneren Reglers: Lege so aus, dass Störung weitgehend ausgeregelt ist

2. Inneren Kreis zusammenfassen:

3. Entwurf des äusseren Reglers: für gutes Verhalten des Regelgrösse auslegen. I.A. ist der innere Kreis schnell, und somit

MEHRVARIABLENREGELUNG

nur sehr schnell gemacht Relative Gain Array (RGA):

[

]

und

wobei ( ) und [

] [

] [

]

Eigenschaften: Spalten- & Zeilensumme: ∑ ∑

Aus ÜF: mit elementw. Mult. Skalierungsunabh.: , dann ( ) ( ) Entkopplungskompensator:

[ ⁄

⁄ ] [

]

[ ⁄

⁄]

System entkoppelt Entwurf von zwei einfachen Reglern ist i.A. nicht eindeutig so wählen, dass realisierbar (kausal)

ZUSTANDSRAUMDARSTELLUNG

( ) ( )

Zustandsraum Laplace-Raum: (matlab: ss2tf) ( ) ( )

REALISIERUNGEN

( ) ( )

( ) ( )

Regelungsnormalform: (matlab: ctrfb), Blockdiag: s. 11-7

[

] [

]

[ ] Beobachtungsnormalform: (matlab: obsvf)

[

] [

]

[ ] Modalform: Blockdiag: s. 11-14 für einfache, reelle Pole:

( )

[

] [

]

[ ] komplexe Pole: jedes komplexe Polpaar in

Regelungsnormalform darstellen Jede Gruppe von mehrfachen Polen in Jordanform:

( )

[ ]

[ ]

[ ]

Beispiel Realisierung Modalform:

( )

( )

[

] [

] und [ ]

Die obere linke -Matrix ist für ⁄ , ...

ZUSTANDSTRANSFORMATION

Definiere neuen Zustand , so dass , nicht singulär.

⏟

⏟

⏟

⏟

Überführen in Regelungsnormalform: Finde so, dass das System ( ) in Regelungsnormalform ( ) kommt.

Ansatz: und [ ]

Durch Einsetzen folgt: und

Ansatz: Es folgt mit [ ]: [ ]

Steuerbarkeit: Das LGS [ ] hat genau dann eine Lsg. , wenn die Steuerbarkeitsmatrix nicht singulär ( )

[ ]

Überführen in Regelungsnormalform: [ ] (letzte Zeile von )

[

]

u.

[ ]

, und

Steuerbarkeit nach Zustandstransformation: Eine nichtsinguläre Zustandstransformation ändert die Steuerbarkeit eines Systems nicht. Überführen in Beobachtungsnormalform: Finde so, dass das Sys. ( ) in Beobachtungsnormalform ( ) kommt. Ansatz: und [ ]

Durch Einsetzen folgt: und Ansatz:

Es folgt mit [

]: [ ]

Beobachtbarkeit: Das LGS [ ] hat genau dann eine Lösung, wenn invertiert werden kann ( )

[

]

Überführen in Beobachtungsnormalform: [ ] (letzte Spalte von ) [ ] und und [ ] Überführen in Modalform: blablabla Verlust der Steuer-/Beobachtbarkeit:

Pol/NS-Kürzung in ( )

Verlust der Steuer- bzw. Beobachtbarkeit im Zustandsraum. Letzteres wenn ( ) bzw. ( )

ZERLEGUNG NACH KALMA N

Durch entsprechende Zustandstransformation kann jedes System in (nicht) steuerbare, (nicht) beobachtbar Untersysteme zerlegt werden.

EIGENWERTE & POLE

Alle Pole der ÜF ( ) sind EW der Matrix . (nicht umgek.) Die ÜF ist invariant unter Zustandstransformation. Bei nicht steuerbaren Systemen tritt z.B. eine Pol-NS-Kürzung

auf, d.h. nicht alle EW von sind auch Pole von ( ). Die nicht steuerbaren Modi verschwinden in der ÜF.

NULLSTELLEN IM ZUSTA NDSRAUM

Annahme: ( ) hat eine NS , so dass ( ) . Dann ist (bei entspr. AB) für einen Eingang ( )

der Ausgang ( ) blablablabla

REGELUNG IM ZUSTANDSRAUM

ZUSTANDSRÜCKFÜHRUNG

( )

Beispiel: Ungedämpfter Oszillator

[

] [

] [

] [

]

Spezifikation: Beide Pole von auf verschieben. D.h. natürliche Freq. verdoppeln, Dämpfung von 0 auf 1 erhöhen. Gesuchtes Ch.P.: ( ) ( )

Char. Gl.: ( ( ))

Koeffizientenvergl.:

Wahl von wenn System in Regelungsnormalform:

[

]

( ) ( ) ( )

Für ein steuerbares System lassen sich die Pole durch die Wahl von beliebig platzieren.

REFERENZSYSTEM

Berücksichtigung eines Sollwerts bei Zustandsrückführung. ( ) und wenn

Ansatz:

Sollwert: . Dabei ist

[

] [

] [

] [

] [

]

[ ]

( ) ( )⏟

muss also kontinuierlich angepasst werden! BILD Blockdiagramm (12-11)

INTEGRALREGELUNG

Ziel: Bleibender Regelfehler eliminieren. Auch beim Modellfehlern. u

Zusätzlicher Zustand und Integralanteil:

∫ ( )

[

] [

] [

] [

] [

] [ ] [

]

ZUSTANDSSCHÄTZUNG

Zustandsrückführung ist schlecht möglcih, weil i.d.R. nicht vollst. Messbar. Idee: wobei Schätzung von . Einfache Schätzung:

Fehler: mit Dynamik

( ) und AB ( ) ( ) ( ). gleiche Dynamik wie System. Fehlerkorrektur mittels Rückführung des Schätzfehlers

Beobachter von : ( )

Fehlerdynamik: ( ) Vorgehen: so wählen, dass ( ) gute Dynamik (z.B. Koeffizientenvergleich mit gewünschtem Ch.P) Wahl von wenn System in Beobachternormalform:

[

]

( ) ( )

DUALITÄT

ZUSTANDSRÜCKFÜHRUNG MIT BEOBACHTER

Zustandsrückführung mit Beobachter: ( )

Dynamik des Gesamtsystems:

[ ] [

] [ ] ( )

( ) ( ) ( ) Pole des Gesamtsystems = Pole des Zustandsreglers + Pole des beobachters. Dynamischer Kompensator:

( ) oder

( )

ÜF Controller: ( ) ( )

( ) ( )

BEOBACHTER & REFERENZSYSTEM

OPTIMALE REGELUNG: LQ-REGULATOR

Ziel: Stabilität, Störgrössenunterdrückung, gute Sprungantwort

Regler-Güte – quadratische Kostenfunktion:

( ( ) ( )) ( ) ( ) ∫ [ ]

Gewichtung Endzustand mit

o Endzustand uninteressant

Gewichtung Zustandstrajektorie mit o ( ) : „teure“ Zustandsabweich., schnell zu Ursprung o für reine Gewichtung des Ausgangs

Gewichtung Regelaufwand mit o ( ) : „teurer“ Regelaufwand, wenig Aktion

Ziel: ( ) so, dass für gegebene möglichst klein.

Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mit ( ) so dass ( )

und die Matrix-Riccati-Gleichung:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) somit wird

( ) ( wird nicht verwendet) Anforderung an Tuning-Matrizen: Damit und des Problem effizient lösbar, muss:

( ) ( ) alle symm. pos. semi-def. (

)

Endzustand darf kostenfrei sein Unterraum des Zustandsraums darf konstenfrei sein Regelaufwand muss kostenbehaftet sein Eigenschaften von ( ):

( ) ( ) wenn

( ) [ ]

wenn und konstant ( ) fällt monoton

( ) ist sehr lange konstant und geht dann schnell gegen 0

ZEITINVARIANTER LQ-REGULATOR

Mit konstant unt folgt: ( ) konst. ( ) Algebraische Matrix-Riccati-Gleichung (ARE):

Optimaler Regeleingang:

Kostenfunktion: ∫ [ ]

Minimale Kostenfunktion:

Vernünftige Lösung, wenn: System [ ] stabilisierbar oder vollständig steuerbar oder Regelstrecke asymptotisch stabil.

Beispiel

∫ ( )

. wäre instabil

Kostenfunktion muss instabile Moden repräsentieren

Stabilität garantiert, wenn [ ⁄ ] detektierbar

i.d.R. stabil, wenn [ ] detektierbar Eigenschaften des zeitinvarianten LQ-Regulators:

Minimalwert der Kostenfunktion:

Phasemargin: Regelkreis stabil für ( ) | |

Amplitudenreserve: Regelkreis stabil für ( )

OPTIMALE ZUST. -SCHÄTZUNG, KALMAN FI LT.

Modell der Regelstrecke: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ): Prozessr. mit [ ( ) ( ) ] ( ) ( ): Messrauschen mit [ ] ( ) [ ( )] [ ( )] , beide weisses Rauschen Ziel: Optimale Zustandsschätzung, so dass Schätzung konvergiert, Kovarianz des Fehlers minimal (effizient) Struktur des Filters: BILD Herleitung Optimale Rückführungsmatrix:

[ ( ) ( ) ( )]

mit ( ) eine pos. semi-def. Gewichtungsmatrix. 1. Annahme: ( )

2. Beobachter von : ( )

3. Fehlerdynamik: ( ) 4. Kovarianzmatrix: ( ) [ ( ) ( )]

5. Differenziert: ( ) [ ]

Einsetzen der Fehlerdynamik liefert:

( ) [( ) ( ) ( )

( )] blablabla

minimal für: ( ) ( )

Somit wird zur Matrix-Riccati-DGL:

( ) [ ( ) ( )]

ZEITINVARIANTES KALMAN-FILTER

Wenn ( ) detektierbar und ( ⁄ ) stabilisierbar, tendiert

die Lsg der M-R-DGL für belibige AB zu einer pos. semi-def. konst. Lsg. und somit kann man das zeitinv. Kalman-Filter verw.

führt zu kostanter Kalman-Verstärkung:

DUALITÄT OPT. REGELUNG / SCHÄTZUNG

opt. Regelung opt. Schätzung

minimiert: ( ( ) ( )) [ ( ) ( )]

: Gewicht. Zustandsabw. Kovarianz Prozessrauschen

: Gewicht. Regelaufw. Kovar. Messrauschen liefert:

löst:

beeinflusst Pole von:

( ) ( )

Lösen z.B. mit symm. Ansatz für : ( ) [ ( ) ( )

( ) ( )]

ANDERES

Inverse Matrix:

[

]

[

]

Übertragungsfunktion: ( )

( ) detektierbar (=beobachtbar), dann existiert eine Matrix L, für die (A-LC) asympt. stabil wird, d.h. die instabilen Pole von A sind beobachtbar. Stabilität rückgeführter Systeme:

stabil, wenn stabil, also wenn { ( )}

ADMINISTRATIVES

Korrekturen/Vorschläge: domahidi@control.ee.ethz.ch Folien: 26.9.2011, 30.— Buch: nicht kaufen Testat: 1/3 der Punkte in 2 von 3 Kurztests. Kurztest-Termine: 25.10., 16.11. (online), 13.12. Test: