SIGNAL- & SYSTEMTHEORIE I

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. E. Bölcskei

Lukas Cavigelli, Februar 2011

lukasc@ee.ethz.ch

ELEMENTARE SIGNALE

EINTEILUNG DER SIGNA LE

Zeitsignale: ( ) oder ( ) ( ) ( ) ( ) z.B. Audiosignale, Bildsignale ( ( ) ) Zeitabhängige Signale: Videosignale ( ) Einteilung:

Zeit kontin. Zeit diskret

Amplit. kont. Analoge Signale ( )

zeitdiskret

Ampl. diskret z.B. aus D/A-Wandler Digitale Signale

SYSTEMEIGENSCHAFTEN - ALLGEMEIN

( ): Eingangssignal ( ): Ausgangssignal

( ) ( ) ( ) * ( )+ Linearität: - Additivität: wenn * ( ) ( )+ * ( )+ * ( )+ für alle ( ) ( ), für die ( ) ( ) in Def-Bereich von . - Homogenität: ist homogen, wenn * ( )+ gegeben ist durch * ( )+ * ( )+. Ein System ist linear, wenn additiv und homogen. Superpositionsprinzip: *∑ ( ) + ∑ * ( )+ * + Zeitinvarianz: Wenn * ( )+ ( ) * ( )+ ( ) Streckung & Stauchung nie zeitinvariant. Gedächtnis: Ein System ist gedächtnislos, wenn das Ausgangssignal ( ) nur vom momentanen Wert des Eingangssignals ( ) abhängt. Invertierbarkeit: Wenn das Ausgangssignal durch das Eingangssignal klar bestimmt ist.

Stabilität: Wenn das Ausgangssignal bei endlichem Eingangssignal beschränkt bleibt. Auch BIBO-Stabilität („bounded input, bounded output“). Beweis: ( ) | ( )| | ( )|

Kausalität: Wenn Ausgangssignal nur von vergangenem Eingangssignal abhängt. Echtzeitsysteme sind immer kausal. Beweis: ( ) hängt nur von ( ) ab. Realisierbarkeit: Wenn stabil und kausal. LTI-Systeme: Wenn linear und zeitinvariant. ( )

ANALOGE TESTSIGNALE

Testsignal Sinusschwingung: ( ) ( ) : Amplitude, : Kreisfrequenz, : Phasenverschiebung

Einschaltvorgang Heaviside: ( ) ( ) { ⁄

Spannungsimpuls Dirac-Delta: ( ) ( ) 2

z.B. Gaussfunktion mit konst. Fläche, immer spitziger.

∫ ( )

∫ ( ) ( )

( )

∫ ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫

Produkte von Deltafunktionen kommen hier nicht vor. Substiution des Arguments bei Integration:

∫ ( ) ( )

∫ .

/ ( )

.

/

( )

| | (

)

Siebeigenschaft: ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( )

Wenn möglich auf ( ) zurückführen durch Substitution. Gewicht spezifizieren, trotz Unendlichkeit bei Delta-Funktion Integration der Delta-Funktion:

∫ ( )

∫ ( -( ) ( )

( -( ) ( )

( -( ) { ( -

∫ ( )

( ) ( )

UN- & GERADE TEILE EINER FUNKTION

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Es gilt: ( ) ( ) und ( ) ( )

BSP: SYSTEMEIGENSCHA FTEN

( ) ( ( ))

Linearität: * ( )+ ( ( )) ( ( ))

nicht linear

Zeitinvarianz: * ( )+ ( ( ))

( ( ) ( )) ( ) Zeitvariant

Gedächtnislosigkeit: siehe allg. Begr.

ANALOGE LTI-SYSTEME IM ZEITBEREICH

IMPULSANTWORT

Rechteckimpuls: ( ) {

Eingangssignal ist also Sequenz von Recheckimpulsen:

( ) ∑ ( ) ( ) ( )⏟

→ ∫ ( ) ( )

( )

ein LTI-System antwortet mit dem Faltungsintegral:

( ) ( )( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

= gewichtete Summe zeitlich verschobener LTI-Signale mit der Impulsantwort:

( ) * ( )+ Das Ausgangssignal eines LTI-Systems erhält man durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems:

( ) ( )( )

SPRUNGANTWORT

Sprungantwort eines LTI-Systems:

( ) * ( )+ ∫ ( ) ( )

∫ ( )

( ) * ( )+ ∫ ( )

( )

( )

Sprungantwort Integration der Impulsantwort

SYSTEMEIGENSCHAFTEN – LTI-SYSTEME

kommutativ: ( )( ) ( )( )

distributiv: ( ( )) ( )( ) ( )( )

assoziativ: ( ( ))( ) (( ) )( )

Gedächtnis: Ein LTI-System ist gedächtnislos, wenn ( ) ( ) (d.h. wenn ( ) ( )) nur Verstärker ( ) BIBO-Stabilität: Bei LTI-Systemen ist die absolute Integrierbarkeit der Impulsantwort äquivalent mit der Stabilität des Systems:

Wenn ∫ | ( )|

und | ( )| dann | ( )|

Absolut integrierbar, wenn ( )

(!)

Kausalität: Ein LTI-System ist kausal, wenn ( ) Impulsantwort: Ein LTI-System hat immer eine zugehörige Impulsantwort. Ein System, das kein LTI-System ist hat keine Impulsantwort. Invertierbarkeit: Ein LTI-System ist invertierbar, wenn ein ( ) existiert, so dass ( )( ) ( ) einfach im Frequenzbereich, sehr schwierig im Zeitbereich.

BSP: SYSTEMEIGENSCHA FTEN LTI

( ) ∫ ( )

Linearität: * ( ) ( )+ ∫ ( ( )

( ))

0 ∫ ( )

1 0

∫ ( )

1

( ) ( ) linear

Zeitinvarianz: * ( )+ ∫ ( )

∫ (

) ( )

∫ ( )

( ) Zeitinvariant

Impulsantwort:

* ( )+ ∫ ( )

∫ ( )

{

Gedächtnisbehaftet: da ( ) Gedächtnis Kausalität: da ( ) kausal

BIBO-Stabilität: ∫ | ( )|

BSP: FALTUNG MIT SPRUNGFUNKTIONEN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( ) ∫ ( ) ( )

( ) ( ) { ( ) ( )

( ) ∫

Achtung: , falls ( ) ∫

BSP: GRAPHISCHE FALTUNG

( ) ( ) {

und ( ) ( )

( ) ∫ ( ) ( )

1. ( ) spiegeln an -Achse aka um . ( ) 2. ( ) um verschieben ( nach rechts) 3. Multiplizieren mit ( ) 4. „integrieren“: von li nach re schieben, Fläche betrachten. Abschnittweise auswerten. hier: Faltung von Rechtecken Dreiecke

ANALOGE, LINEARE SYS TEME IM FREQ.-BER.

EIGENFUNKTIONEN ANAL OGER, LINEARER SYS

Eingangssignal: ( ) ist Eigenfunktion von LTI-Systemen

Ausgangssignal: ( ) ∫ ( )

( )

Die Funktionen sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen. Ein LTI-System anwortet auf ein harmonisches Eingangssignal mit einem harmonischen Signal der gleichen Frequenz, zusätzlich mit der komplexen Amplitude ( ) (Eigenwert).

EIGENSCHAFTEN DES FREQUENZGANGS

( ) ( )

( )| ( )

* ( )+ ∫ ( )

Hermitesche Symmetrie: ( ) ( ) ( ) ( ): gerade ( ) ( ): ungerade

Darstellung Betrag & Phase: ( ) ( ) ( ) - bei reellen Systemen: ( ) ( ) ( ) ( )

Bei stabilen LTI-Sys gilt: | ( )| ∫ | ( )|

Einschaltvorgang: ( ) ( )

(wenn BIBO-stabil) ( ) ( ) Gleichmässige Stetigkeit: Ist ( ) nicht stetig, ist das LTI-System nicht BIBO-stabil. Kaskadierung von LTI-Sys: ( ) ( ) ( ) ( ) Verallgemeinerung: ( ) ( ) ( )

Theorem: Wenn ( ) absolut integrabel, dann ist ( ) gleichmässig stetig in . Gleichmässige Stetigkeit: Ein Funktion ( ) ist auf dem Intervall , - gleichmässig stetig, wenn es zu jedem ein nur von abhängiges ( ) gibt, so dass | | | ( ) ( )| , -. Bsp.: ( ) ist stetig, nicht gleichm. stetig Riemann-Lebeque Theorem: Absolute Integrabilität Abklingen der FT mit

FOURIER-TRANSFORMATION

Klassen von Fourier-transformierbaren Funktionen: absolut integrable, quadrt. ( ) integrable & verallgem. Funkt.

DEFINITION

( ) ∫ ( )

* ( )+

( )

∫ ( )

* ( )+

EIGENSCHAFTEN

Eigenschaft Zeitbereich Frequenzbereich

Linearität: ( ) ( )

( ) ( )

zeitl. Spiegelung: ( ) ( ) Konjugation: ( ) ( ) Zeitverscheibung: ( ) ( ) Modulation: ( ) ( ( ))

Differentiation:

( ) ( )

Integration: ∫ ( )

( ) ( ) ( )

Zeit-Skalierung: ( )

| | .

/

Parseval-Relation:

∫ | ( )|

∫ | ( )|

Multipl. in Zeitber:

( ) ( )

, -( )

Faltung: , -( ) ( ) ( ) Dualität 1:

( ) ( )

Dualität 2: ( ) ( ) Poisson-Summe: ∑ (

)

∑ .

/

spezielle Formen: ( ) reell, gerade ( ) reell, gerade ( ) reell, ungerade ( ) rein imaginär, ungerade

( ) ungerade, ( ( )) ( ) unger., rein imag.

( ( )) . ( )/ ( ( )) ( ( ))

EINIGE FOURIER-TRANSFORMIERTE

Zeitbereich Frequenzbereich

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

∑ ( )

∑ ( )

( )

ANWENDUNG DER FT AUF LTI-SYSTEME

Faltungsbeziehung:

( ) , -( ) ( ) ( ) ( )

FT periodischer Funktionen: Die FT periodischer Funktionen ist nur nicht-null

beiganzzahligen Vielfachen von

.

EINSCHUB DISKRETE FT

[

]

entspricht , entspricht Mit einer unitären Matrix, so gilt:

GANZ SPEZIELLES

(| ( )|) | | | ( )| | | Bei gerader Funktion kann u.U. das Integral einfach werden.

HARMONISCHE ANALYSE – FOURIER-REIHEN

Fourier-Reihen sind eine Vereinfachung der FT für period. Sig.

ANALYSE- UND SYNTHESEGLEICHUN GEN

Periodizität: ( ) ( ) Fundam.-Periode: (auch FP genannt)

Grundfrequenz:

( ) ∑

∑

Analyse:

∫ ( )

Synthese: ( ) ∑

EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-REIHE

Existenzbed.: 1. abs. Integrierbark.: ∫ | ( )|

2. endl. Anzahl Max und Min in einer FP 3. endl. Anzahl Sprünge in der FP

Linearität: ( ) ( ) ∑

Konj. kompl. F.: ( )

Reelle Funkt.: ( )

Spiegelung: ( ) gerade Funkt.: ( ) ( ) ungerade Funkt.: ( ) ( ) ung., harmon. F.: ( ) .

/ für ger.

Zeitverschiebung: ( )

Differentiation:

( )

Integration 1: ∫ ( )

Integration 2: ∫ ( )

∑

.

/

Period. Faltung:

∫ ( ) ( )

Mult. in Zeitber.: ( ) ( ) ∑

Parseval-Relat.:

∫ | ( )|

∑ | |

PERIODISCHE SIGNALE AN LTI-SYSTEMEN

Spektr. period. Sig.: Period. Sig. haben ein Linienspektrum Poisson Summenformel:

∑ ( )

∑ ( )

FT eines Inpulskammes: ist wieder ein Impulskamm

{ ∑ ( )

}

∑ ( )

LAPLACE-TRANSFORMATION

MOTIVATION

( ) ( ) ( ) mit sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen mit den zugehörigen Eigenwerten ( ).

DEFINITION

, -( ) ∫ ( )

Verallgemeinerung der Fourier-Transformation: , ( )-( ) , ( ) -( )

KONVERGENZGEBIET (ROC)

Pol-Nullstellen-Diagramm: Nullstellen: , Polstellen:

Allgemein: ∫ | ( )|

keine Pole bei ( )

Signal endl. Länge: ∫ | ( )|

re-seitige Signale: ( ) * ( ) + li-seitige Signale: ( ) * ( ) + beidseitige Signale: ( ) Streifen um Die ROC muss ein senkrechter zusammenhängender Streifen sein und darf keine Polstelle beinhalten.

UMKEHRUNG

( )

∫ ( )

∫ ( )

bei gebrochen-rationalen Funktionen: Partialbruchzerlegung

EIGENSCHAFTEN

Unterschied zur FT: erlaubt Transformation anklingender Signale der Form .

WICHTIGE KORRESPONDE NZEN

Zeitbereich Laplacebereich ROC

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

ANWENDUNG DER LT AUF LTI -SYSTEME

Kausalität: ROC muss eine rechte Halbebene sein. ROC ist eine rechte Halbebene ( ) , kausal ROC ist eine rechte Halbebene jenseits des rechtesten Poles. BIBO-Stabilität: Ein kausales LTI-System mit ( ) ist genau dann stabil, wenn der Realteil aller Pole negativ. -Achse stabil Zusammenschaltung von LTI-Systemen:

parallel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

seriell: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

IDEALISIERTE TIEFPAS SSYSTEME

verzerrungsfrei LTI, stabil, kausal, allpass, lineare Phase

TIEFPASS: KONST. BET RAG, LINEARE PHASE

Frequenzgang Impulsantwort

| ( )| { | | | |

( )

( )

. ( )/

Sprungantwort ( ):

Tangente mit max. Steigung bei Tangente:

höhere Grenzfrequenz Signaländerung rascher Gibbs-Phänomen: 9% Überschwingung

Kausalität: ( ) nach rechts verschieben und für zu Null setzen. Stabilität:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

TIEFPASS: IDEALER COSINUSTIEFPASS

| ( )|

{ (

) | |

| |

( )

( ) (

)

[ ]( )

Als Parallelschaltung von idealen Tiefpassfiltern mit lin. Phase:

TIEFPASS: IDEAL, MIT PHASENVERZERRUNG

Frequenzgang | ( )| Phase ( )

| ( )| [ ]( ) ( ) ∑ (

)

( ) | ( )| ( )

TIEFPASS: ZUSAMMENFASSUNG

Betragsschwankungen im Frequenzgang führen in der Impulsantwort zu symmetr. liegenden, vor- und nacheilenden Echos von gleicher Amplitude und gleichem Vorzeichen. Phasenschwankungen im Frequenzgang führen in der Impulsantwort zu symmetr. liegenden, vor- und nacheilenden Echos gleicher Grösse, aber mit verschiedenem Vorzeichen.

ABTAST-THEOREME

IMPLEMENTIERUNG DIGI TALER SYSTEME

IDEALISIERTE ABTASTUNG

( ) * ( ) ( )+

( ( ) ( ))

( )

∑ .

/

∑ ( .

/)

Die ( ) dürfen sich nicht überschneiden. Also:

kritische Abtastung

Überabtastung

Unterabtastung

Aliasing

Optimale Abtastfrequenz (Nyquistrate):

Bandbreite: einseitig:

ZEITDISKRETE SIGNALE

ABTASTUNG & FT ZEIT -DISKRETER SIGNALE

Transformation: ( ) ∑ , -

Rücktrafo: , - ( )

∫ ( )

Relative Freq.:

EIGENSCHAFTEN DER ZEIT-DISKRETEN FT

Existenz: | ( )| ∑ | , -|

-Periodizität: ( ( )) ( )

Spektrum: ( )

∑ ( .

/)

mit

Period. Faltung: , - , -

∫ ( ) ( ( ))

Achtung: Faltung -periodisch!

EINIGE ZEIT-DISKRETE FT

, - 1 , -

∑ ( )

⏟ ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

, - ∑ , - , - , - , - 2

ZEITDISKRETE SYSTEME

SYSTEMEIGENSCHAFTEN

Linearität: * , - , -+ * , -+ * , -+ * , -+ * , -+

Zeitinvarianz: * , -+ , - * , -+ , - Gedächtnis: gedächtnislos, iff * , -+ ( , -) Stabilität: wenn | , -| | , -| Invertierbark.: wie bei analog Kausalität: wie bei analog Realisierbark.: wie bei analog

ZEITDISKRETE LTI -SYSTEME

Impulsantw.: , - * , -+ , - ∑ , - , -

Sprungantw.: , - ∑ , - , - ∑ , -

Im Freq.-Ber.: ( ) ( ) ( )

, - , - , - , - , - , -

Systemeigenschaften: Parallelschaltung: wie analog Serienschaltung: wie analog Stabilität: ∑ | , -|

Kausalität: , - (wie analog) Gedächtnis: gedächtnislos, wenn , - Beschreibung von LTI-Systemen über Differenzengleichungen: Elemente:

Addition Multiplikation Zeitverzögerung

Differenzen-Gl.: ∑ , - ∑ , -

Koeff.-Umrechnung:

Faltung, wenn:

Realisierung:

, - ∑ , -

∑ , -

-TRANSFORMATION

* , -+ ( ) ∑ , -

Betracht. als FT: ( ) * , - + ∑ ( , - )

Rücktransform.: , -

∮ ( )

Konvergenz: mit ( ) ∑ | , - |

| |

beidseit. Signal rechtsseit. Signal linksseit. Signal

evtl. in ROC

evtl. in ROC

Signal endl. Länge: gesamte -Ebene mit evtl. Ausnahmen bei oder . Wichtige Eigenschaften:

Linearität , - , - ( ) ( ) Zeitverschiebung , - ( ) Faltung , - , - ( ) ( )

Anwendung auf zeitdiskrete LTI-Systeme: BIBO-Stabilität: Einheitskreis Kausalität: , - re-seitig mit grösstem Betrag

IIR-System: , - ∑ , - ∑

, - ,

kausal, ( ) ∑

∑

FIR-System: ( ) ∑

, , - {

Zusam.-schalt.: wie analog

DISKRETE & SCHNELLE FT

DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION

Ausgangslage: Signal , - endlicher Länge Periodisierung: , - ∑ , -

Als F-Reihe: , - ∑ , -

Umkehrformel: , -

∑ , -

Definition Diskrete Fouriertransformation:

, - {∑ , -

, - {

∑ , -

DFT als Matrix:

[ .

/

.

/

.

( )/]

[

( )

( )

( )

( ) ]

[

, -

, -

, -

]

FALTUNG MIT DER DFT

Zyklische Faltung: ( )( ) ∑ , - , -

Lineare Faltung: Ausgangslage: , - ( ) ( ) , - ( ) ( ) Ziel: , - ∑ , - , -

, - hat Länge - kein Aliasing: Eigenschaften: i. Zero-Padding d. Signale , - , - auf Länge ii. Berechnen -Punkt DFT von , - und , - iii. Produkt berechnen: , - , - , -

iv. Inverse DFT , - ∑ , - , -

Weil , ist , - für die lin. Falt.

SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION

, - ∑ , -

, -

∑ , -

kompl. Add., kompl. Mult. zur Berechn. von , - für ein . Gesamtaufwand Multiplikationen Additionen. Prinzip: Zerlegung der DFT mit Länge in kleine DFTs Annahme:

Umformung: , - ∑ , -

∑ , -(

) ⁄

∑ , -( ) ⁄

spez. Umfor.: ⁄

es folgt: , - ∑ , - ⁄ ⁄

⏟ , -

∑ , - ⁄

⁄ ⏟

, -

, - , -

nun gilt: , - , ⁄ - , - , ⁄ -

Schlussendl.: , - , - , -

Durch einen solchen Vereinfachungsschritt ergeben sich folgende Komplexitäten, weil „nur“ zwei ⁄ DFTs zu ber. sind:

(.

/ .

/ )

So ergibt sich für ( ( ) die Komplexität:

statt wie zuvor .

ENTWICKLUNG VON SIGNALEN IN ONS

ORTHOGONALE TRANSFORMATION

Seien { } und {

} zwei ONS in .

Es gilt nun für beliebige Vektoren :

∑ ⟨ ⟩⏟

∑ ⟨

⟩⏟

Für die Beziehungen zwischen den Koeff und gilt:

⟨

⟩ ⟨∑

⟩ ∑ ⟨ ⟩

und

⟨ ⟩ ⟨∑

⟩ ∑ ⟨

⟩

Abb. eines Vektors im ONS { }

ins ONS { }

:

[

]

⏟

[ ⟨

⟩ ⟨ ⟩ ⟨

⟩

⟨ ⟩ ⟨

⟩ ⟨ ⟩

⟨

⟩ ⟨ ⟩ ⟨

⟩]

⏟

[

]

Analog definieren wir für die umgekehrte Abb. die Matrix . Aus und folgt

Aus ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ folgt wobei ( )

Es gilt demnach , deshalb nennt man unitär. Für unitäre Matrizen gilt: ( ) | ( )| weil ( ) ( ) ( ) und ( ) ( ( )) Eine unitär Transformation ist normtreu, d.h., definiert man

‖ ‖ √⟨ ⟩, so gilt für unitäres : ‖ ‖ ‖ ‖

Anm.: ( ) und

ENTWICKLUNG VON FUNK TIONEN IN ONS

Betrachtung des Raumes der Fkt. für die ∫ | ( )|

.

Diesen Raum bezeichnen wir als ( ). Für ( ):

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )

‖ ‖ √⟨ ⟩ √∫ | ( )|

Zwei Funkt. ( ) sind orthogonal, wenn ⟨ ⟩ .

Es gilt: ( ( )) .

Ein ONS für ( ) ist ein Set von Funktionen * ( )+ so dass

⟨ ⟩ {

Eine belieb. Funkt. kann im ONS * ( )+ dargestellt werden:

( ) ∑ ⟨ ⟩ ( )

Um zu zeigen, dass jede Funktion ( ) ( ) so dargestellt werden kann, genügt es zu zeigen, dass:

‖ ( ) ∑ ⟨ ⟩ ( ) ‖

‖ ‖

∑ |⟨ ⟩|

∑ |⟨ ⟩|

‖ ‖ Ein solches ONS * +

, heisst vollständig auf ( ), als wenn: ∑ |⟨ ⟩|

‖ ‖ ( ) ( )

FT ALS ENTWICKLUNG I N EIN ONS

FOURIER-REIHEN ALS ENTW. IN EIN ONS

ABTASTTHEOREM ALS ENTW. IN EIN ONS

Interpolation:

( ) ∑ ( ) . ( )/

( ) ∑ ⟨ ⟩ ( )

( )

√

. ( )/

( )

1. ⟨ ⟩ {

2. ( ) ⟨ ⟩ 3. Vollständigkeit: ‖ ‖ ∑ |⟨ ⟩|

( )

√ [ ]( )

blabla

ZEITDISKRETE FT ALS ENTW. IN EIN ONS

DISKRETE FT ALS ENTW . IN EIN ONS

ANDERES MATH

Unitäre Matrix: Rotation des Koordinatensystems Spalten orthonormal, komplexes Analogon zur orthogonalen M.

( ) {

Euler’sche Relationen:

( )

( )

Integralsinusfunktion:

( ) ∫ ( )

Sinc-Funktion

( ) ( )

Argument-Regeln:

.

/ ( ) ( ) |

|

| |

| |

Trigonometrische Regeln: ( ) ( )

Weitere Spezialfunktionen!!

[ ]( ) { | | | |

ERINNERUNG PARTIALBRUCHZERLEGUNG

( )

( )( ) ( )

, ( )( )- , ( )( )-

PRÜFUNG

Folien für graphische Faltung (offizielle Empfehlung) Laplace Trafo für analytische, RLC-Schaltkreise Fourier Trafo für numerische Auswertung (wegen FFT) TODO:

Spezielle Bausteine aus Übungen (z.B. Phasenmodulator) inkl. Fourier-Transformierter

Integralgrenzen bei -Funktionen

D/C-Wandler digital-continuous

Übungen & Prüfungen durchschauen

Faltung bei zeitdiskrete Transformation: von – bis Residuensatz!

DRAFTS

MODULATIONEN

Amplituden-Mod.: ( ) ( ) ( )

( )

[ ( ( )) ( ( ))]

Frequenz-Mod.: ( ) .( ( )) /

Phasen-Modulation: ( ) ( ( ) ) Single-Sideband-Modulation:

mit Hilbert-Trafo: ( )

∫

( )

ABTASTUNG

Abtastung (gehört zu Fourier-Reihen)

( ) ∫ ( )

∑ ∫ ( )

∑ ∫ .

/ | | ∫ 0∑ .

/ 1

∫ ,∑ ( ) - ⁄

⁄ ∫ ( )

⁄

⁄

TRICKS AUS DER PRÜFU NGSVORBEREITUNG

NEUES

Allgemein: Dirac-Delta: Ableitungen von durch partielle Int. lösen Abtastung: unbedingt idealisierte Abtastung einführen

Abtaster,

: , - ( ) ( )

∑ .

/

Einseitige Bandbreite: Breite d. Intervall für das -Transformation:

Auflösung, Rücktransformation: Erweiterung mit

Realisierung: Ein- & Ausgangssig. einführen, mit Nenner mult.

TRICKS & SO

Achsen beschriften! Zeitinvariant: g.d.w. * , -+ , - Gedächtnis: setzen, argumentieren. BIBO-Stabilität: Für | , -| gilt | , -| ( )

Polynomdivision vor PBZ!

Bei PBZ für LT: Polstellen im komplex-konj. Ans.:

ungerade-harmonisch: wenn geraden Differenzen-Gleichung aus ( ): 1. Bruch wegmultiplizieren

2. Beide Seiten mit multiplizieren

Konvergenzgebiet -Trafo: umkehren mit

.

ROC -Trafo: ( ) nicht abs. int. Trick: Funktion konstruieren durch Überlagerung von Sprungantworten und Impulsantworten Gerader und unger. Teil einer Funktion: ( ) ( ) ( )

( )

( ( ) ( )) und ( )

( ( ) ( ))

Beispiel Konvergenzbereich bei Laplace-Rücktrafo:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rekonstruktion eines zeitdiskreten Signals: bei kritischer oder Überabtastung

( ) ( ) ( ) ( ) { | | | |