-
7/29/2019 Zusammenfassung Technische Mechanik ITET Lukas
Cavigelli.pdf
1/3
TECHNISCHE MECHANIK
Zusammenfassung zur Vorlesung von
Dr. S. Kaufmann
Lukas Cavigelli, Juli [email protected]
GRUNDLAGEN
FREIHEITSGRAD
b: feste Bindungen (lin. unabh. Bindungs-Gl.)
Starrer Krper: , Ebenes Pendel: GESCHWINDIGKEIT
Geschwindigkeit: Schnelligkeit: ||Beschleunigung:
Zylinderkoordinaten:( - -)
|| Ebene Polarkoordinaten: Umrechnen: SATZ DER PROJIZIERTEN
GESCHWINDIGKEITEN
Die Projektionen der Geschwindigkeiten von zweibeliebigen
Punkten und eines starren Krpers auf ihreVerbdindungsgerade sind
gleich:
( ) blabla:BILD
Eine starre ebene Bewegung ist (momentan) eine Translationoder
Rotation.
MOMENTANZENTRUM KONSTRUIEREN
Das Momentanzentrum ist das Zentrum der Rotation:1. Rechtwinklig
auf alle Geschwindigkeiten, z.B. alle Wgeli
SdpG verwenden!2. Drehrichtung bestimmenMomentane Translation
oder Rotation:
Translation, wenn , sonst Rotation.SATZ VOM MOMENTANZENTRUM
Um die Geschwindigkeit vektoriell zu ermitteln muss man
diesekomponentenweise ausrechen:
Vorgehen: bei Geschwindgkeitsber. an komplexen Systemen
1.
Starrkrper und Momentanzentrum ermitteln2. SdpG auf
Verbindungsgeraden von Starrkrpernanwenden
3. Darber neue Momentanzentren aufstellen undverbleibende
Geschwindigkeiten ausrechnen
KINEMATE
Kinemate:* + Eine starre Bewegung ist (momentan) entweder
eineTranslation oder eine Rotation:
Invarianten(Bezugssystem-unabhngig): Translation: Rotation:
Schraubung: Kreiselung: Starrkrperbewegung im Raum, wobei ein
Punktfixiert ist. Eine Kreiselung ist momentan eine Rotation.
Rotation: Ein Punkt bleibt fix. Es gilt: . Die Geradedurch Fixpunkt
in Richtung heisst Momentanachse.Soll die Kinemate an einem
unbekannten Punkt bestimmtwerden, zuvor bestimmen mit bekannten
Punkten!KRAFT UND MOMENT
Actio = Reactio: Jede Kraft hat eine entsprechende
Gegenkraft.
STATIK
KRFTEGRUPPEN & LEISTUNG
Resultierende:
Unterschiedliche Krftegruppen, die auf einen starren
Krperdieselbe Wirkung haben, heissen quivalent.
Leistung einer Krftegruppe:
| | oder , wenn WirklinieStatische quivalenz: *+ *+
Transformationsregel:
DYNAME
{ } Berechnung:
Invarianten: Fallunterscheidung:
Gleichgew./Nullsystem Moment (Krftepaar) Einzelkraft
Schraube
Moment zuerst zum Punkt transformieren!(siehe Formel oben)
PARALLELE KRFTEGRUPPE (BLABLAA)
Dipolmoment der Krftegruppe: Moment: Richtungsvektor der
parallelen KrftegruppeKRFTE- & MASSENMITTELPUNKT
Dipolmoment einer Krftegruppe:
Schwerpunkt eines Krpers: Dot-Product??
3D: 2D: 1D: PRINZIP DER VIRTUELLEN LEISTUNGEN
Eine Ruhelage ist eine Lage, in der das System in Ruhe
bleibt,wenn es zu einem beliebigen Zeitpunkt in Ruhe war.PdvL: Ein
System befindet sich genau dann in Ruhelage, wennin dieser Lage die
gesamtleistung aller angreiffenden Krfte bei
jedem virtuellen (nicht zulssigen)
Bewegungszustandverschwindet:
{} Vorgehen:1. Stab entfernen und Ersatzkrfte einfhren2.
Einzelne starre Krper markieren (knnen einzelne Stbe
sein) und in ihren MomentanzentrenWinkelgeschwindigkeiten
einfhren (ausser ein SK ist fix).
3. Verhltnis der Winkelgeschw. besimmen: 4. Geschwindigkeit der
Punkte, in denen Krfte angreifen, in
Abhngigkeit der Winkelgeschw. berechnen.5. Krfte als Vektoren
aufschreiben.6. Skalarprodukte von
Krfte-Geschwindigkeits-Paaren
bestimmen.7. Deren Summe gleich null setzen.8. Zugstab, wenn ,
wenn gegeneinanderHAUPTSATZ DER STATIK
In einer Ruhelage mssen alle (usseren) Krfte imGleichgewicht
sein. Vorgehen zur Lsung von Statikproblemen:1. System
freischneiden2. Krfte einfhren (am besten mit 2 Komponenten in
der
Ebene oder 3 Komponenten im Raum)3. Koordinatensystem einfhren4.
Abzhlen der Gleichungen und Unbekannten
(Bestimmtheit des Systems ermitteln)5. Nach Lagerkrften
auflsen6. Ergebnis diskutieren (was muss gelten
damit,Materialbelastbarkeit)Wann welcher Satz?:HS der Statik zur
Berechnung von Lager- und Bindungskrften.PdvL bei einer ober
wenigen Krften.Tipp: MB i.d.R. 1mal pro Stab
RUHELAGE
*+ BINDUNGEN
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
-
7/29/2019 Zusammenfassung Technische Mechanik ITET Lukas
Cavigelli.pdf
2/3
In jeder Bindung muss vorerst eine volstndige Dynameeingefhrt
werden. Ist die Bewegung reibungsfrei, knneneinige Komponenten
weggelassen werden.
Pendelsttze: Keine Krfte am Stab (hnlich wie Faden),gewichtslos
und reibungsfrei:
Ein System heisst statisch bestimmt, wenn Lagerkrfte undmomente
eindeutig aus den Gleichgew.-Bed. berechnen lassen:#Unbekannte =
#lin. unabh. Gleichungen
Ein System heisst kinematisch bestimmt, falls auf Grund
derLagerung keine zulssigen Bewegungen mglich sind.Das PdvL liefert
eine zustzliche Gleichung.
MERKE: System aus mehreren reibungsfrei gelenkigverbundenen
Krpern bestehen, knnen getrennt werden.Dadurch ergeben sich
zustzliche, linear unabhngigeGleichungen.
VORGEHEN BEIM LSEN DER AUFGABEN
Beispiel:
REIBUNG
Um in der Bindung eine vollstndige Dyname zu erhalten, msszur
Normalkraft N noch eine Reibungskraft F eingefhrt werdenHaftreibung
( ): Gleitreibung ( ): | |Rollreibung: ,-
Kippen:Normalkraft muss am Objekt angreiffen, sonst kippt
es!
Wo die Normalkraft angreift ist zunchst ungewiss. Sie ist
umeinen Abstand vom Mittelpunkt verschoben. Damit derKrper nicht
kippt, muss bei Grundseitenlnge des Krpersfolgendes gelten:
DYNAMIK
NEWTONSCHES BEWEGUNGSGESETZ
TRGHEITSKRFTE, PDVL ERWEITERT
Die Trgheitskraft ist eine fiktive Kraft, weil sie das
Reaktionsprinzip verletzt. Die Trgheitskraftdichte ist
gegeben
durch: Fr ein infinitesimales Volumenelement kann man
eininfinitesimales Element der Trgheitskraft berechnen: KRAFT AM
STAB
FEDER
1D:
3D: BESCHLEUNIGUNG
in Zylinderkoordinaten: in Polarkoordinaten: Bsp. Kreisbewegung:
LSUNG DER AUFGABEN
1. Freischneiden2. Allg. Lage zeichnen (nicht
Ausgang-/Ruhelage)3. Koordinatensystem einfhren4. 5. Bewegungs
DGL
6. Anfangsbedingungen
BEISPIEL: UNGEDMPFTE SCHWINGUNG
Freiheitsgrad 1.
Anfangsbedingungen: .Aufstellen des NewtonschenGesetzes ergibt:
Man setze: Man erhlt die Bewegungs-DGLdes Systems:
Verwende Ansatz:
Auflsen des AWP und der DGL ergibt:
Erklrung der Grssen:
: Amplitude, : Kreisfrequenz, : Verschiebung
IMPULS, MASSENMITTELPUNKT & DRALL
MASSENTRGHEITSMOMENTE
Massenpunkt: hom. Stab: hom. Scheibe: IMPULS- UND
MASSEMITTELPUNKTSATZ
Der Impuls ist definiert durch:
Daraus folgt der Impulssatz: Die beiden Beziehungen liefern den
Massenmittelpunktsatz: DRALLSATZ
Bei einer starren Rotation um den Punkt ergibt sich dasMoment :
Aus der Gleichung folgt die Definition des Dralls
:
Die Verbindung dieser eziehungen liefert den Drallsatz:
hnlich wie beim Moment gilt fr den relativen Drall bezglich des
Massenmittelpunktes : MASSENTRGHEITSMOMENT
Betrachtet man den Drall und die Geschwindigkeit in
ihrerskalaren Form gilt gemss der Satzes vom Momentanzentrum . Die
vereinfacht die (skalare) Drallberechnung auf: mit dem
Massentrgheitsmoment:
Da das Massentrgheitsmoment bei ebenenStarrkrperbewegungen
konstant ist kann man den Drallsatzauf die skalare Form reduzieren:
Bezglich des Massenmittelpunktes : Dies findet Anwendung beim
Aufstellen von DGLs, welche denzeitlichen Verlauf des Winkels
beschreiben.Einige Trgheitsmomente:Massenpunkt, Ring: Stab (bzgl.
Endpunkt): Stab (bzgl. Mittelpunkt):
-
7/29/2019 Zusammenfassung Technische Mechanik ITET Lukas
Cavigelli.pdf
3/3
Kreisscheibe (bzgl. Mittelpunkt): Kugel (voll): Kugel (leer):
KINEMATISCHE RELATIONEN
Beim Aufstellen und Lsen von Bewegungs-DGLs ist esunerlsslich,
dass man die beschreibenden Grssen in
Beziehung zueinander setzt. Diese Zusammenhnge werdenkinematisch
Relationen genannt.
ENERGIESATZ
Energie verschiedener Zustnde:
Ebene Rotation um und Transl.: Feder: Normale Lageenergie: Dies
kann man zum Aufstellen von DGLs bei konservativenSystemen
verwenden. Da sich die Energie nicht ndert, gilt: Man erhlt eine
homogene DGL 2. Ordnung. lsst sich meistkrzen, bzw.
ausklammern.
STOSS ( IMPULSERHALTUNG)
vollkommen elastisch elastischer Stoss:
SONSTIGES
1. Berechnung von Stabkrften:Zugkraft: , Druckkraft: 2. Rolle im
Seil:
3. Langes Querlager in 3D:
Zulssige Bewegungen sind die Rotation um den Stab (
)
und eine Translation in -Richtung. Fr das Moment einesPunktes
bezglich gilt dann in den GGB:
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
undef.
Hypothenuse Gegenkathete Ankathete
SKALARPRODUKT
|| ||
?????? Projektion?
VEKTORPRODUKT
???
WIRKUNGSLINIE
bestimmen, in einem Punkt bestimmen Richtung Abstand
LSUNGSANSTZE FR DGL
DGL Funktion, Ansatz LSUNGEN EINIGER PROBLEME
2 Massen und 1 Rolle verbunden mit einem Faden ohneReibung:
Gleichungssystem lsen:
Freihngende Masse auf 2 Federn:
Kreisfrequenz eines Pendels:
Fr kleine : Konservativ: Keine Verlustleistung.Haftreibung
verursachte keine Verlustleistung!
SKIZZE ZEICHNEN bringt Punkte!!!!!!
