3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos3.1. Dynamische Systeme Literatur:
z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994)
Literatur: z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994)
Beispiele:
• Hamiltonsche Systeme:
• Temperatur, Druck, Strom, Spannung, • Bevölkerungszahlen• Aktiennotierungen• Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme
,p,qx
q
Hp,
p
Hq
Zustandsvektor des Systems:
tx,,txtx n1
Phasenraum
Kontrollparameter des Systems:
Parameter zur Steuerung der Systemdynamik
Beispiele:
• Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten
• Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen, ...
• Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen, ...
• Stärke der äußeren Nervenreize, ...
Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt die Wahrscheinlichkeits-verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:
0xx,0tP0x
Deterministische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:
0tx0x
Störung durch Rauschen: 0t
tδtx0δ0x
• streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen:
0 t, 0tδlim
00δ
• schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls
Beispiel:xx
> 0 0
Kontinuierliche Systeme: „Zeit”-Variable t ℝ kontinuierlich
Wichtigste Klasse: t,txFtx t,txFtx i.a. nicht-linearF
Diskrete Systeme: „Zeit”-Variable t k ℕ0 diskret (Zählindex)
Wichtigste Klasse: ,2,1,0k,xFx k1k
,2,1,0k,xFx k1k
Autonome Systeme: Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit
txFtx txFtx z.B.
Diskretisierung kontinuierlicher Systeme
a) System hat „natürliche” Periode T (z.B. Periode einer äußeren Anregung)
,T2xx,Txx,0xx 210 ,T2xx,Txx,0xx 210
0,x,,x,xtx 1n21k
b) Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum Poincaré-Schnittz.B.: tk sukzessive Zeitpunkte mit
ktt1n1k x,,xx
ktt1n1k x,,xx
1kk xx
Poincaré-Abbildung:
Beispiel 1: Harmonischer Oszillator 0qωqγq 2 0qωqγq 2
Kontrollparameter: 2ω,γ
Zustandsvektor: mit 21 x,xx tqtx,tqt x 21 tqtx,tqt x 21
Systemgleichung:
12
22
2
21
xωxγqωqγqxxqx
tx
tx
γω
10
txγtxω
tx
tx
txtx
2
12
212
2
2
1
txtxγω
10txtxF 2
Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar
Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel tωsinAqsinωqγq 2
0 tωsinAqsinωqγq 20
Kontrollparameter: ω,A,ω,γ 20
Zustandsvektor: mit 21 x,xx tqtx,tqt x 21 tqtx,tqt x 21
Systemgleichung:
tωsinAxsinωxγ tωsinAqsinωqγqx
xqx
1202
202
21
tωsinAtxγtxsinωtx
txtx
txt,txF21
20
2
2
1
Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes
System darstellbar
Beispiel 3: Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative)
Zustandsvektor: 321 x,x,xx
t tx,tqtx,tqt x 321 t tx,tqtx,tqt x 321
Systemgleichung:
1tx xωsinAxsinωxγtωsinAqsinωqγqx
xqx
3
31202
202
21
Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar
1txωsinAtxγtxsinω
txtxtxF 321
20
2
tωsinAqsinωqγq 20 tωsinAqsinωqγq 20 Kontrollparameter: ω,A,ω,γ 2
0
Beispiel 4: Populationsdynamik
Zustandsvektor (1-dim): Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation ( k 0 , 1 , )
kk xx
Systemgleichung: kkk1k xxb1axFx
Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System
Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor
Dämpfungsparameter für Futtermangel0b
0a
kxb1aa
Umbenennung: kk xxb Logistische Gleichung(Verhulst-Gleichung)
4,0a,1,0x
x1xax
k
kk1k
x1xaxF x1xaxF
3.2. Spezielle Phasenraumgebiete
a) Fixpunkte: Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt:0x
kontinuierliches System:
bzw. äquivalent:
0x0x
0xF 0
0xF 0
diskretes System:
bzw. äquivalent:
k1k0k xxxx
xxF 00
xxF 00
b)Attraktoren stabile Fixpunkte
oszillatorisches Verhalten
ii) „Schwingfall”
Fixpunkt
exponentielles Verhalten
i) „Kriechfall”
Fixpunkt
c) Repulsoren instabile Fixpunkte
ii) „Schwingfall”
Fixpunkt
i) „Kriechfall”
Fixpunkt
oszillatorisches Verhaltenexponentielles Verhalten
d) Sattelpunkte semistabile Fixpunkte
Fixpunkt
(n 1)-dimensionaler Grenztorus
n-dimensionaler Phasenraum
Poincaré-Schnitte:
e) Grenzzyklen / Grenztori (bei nicht-linearen Systemen)
Grenzzyklus
2-dim. PhasenrauminstabilerFixpunkt
f) Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale).
Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.)
2-dimensionale Projektionen
Experimentelle Realisierung dieses Systems Abschnitt 3.3.6.
Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren
Ikeda-System
Getriebenes Pendel mit Dämpfung
Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors
Einschub: Fraktale und gebrochene Dimensionen
Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum1
⅓
Koch-Schneeflocke kk
ClimC
C1 C2 C3 C4 C5
1
Dimension: Überdeckung von Ck mit Nk Kästchen
k31
k31
1-dimensionale Figur:
2-dimensionale Figur:
d-dimensionale Figur:k
21k N3N
kd
1k N3N
k1k N3N
Koch-Kurven: 43N4N dk1k 26,1
3log
4logd
3.3. Stabilität von Fixpunkten
a) Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h.Fx FF xxF
Jacobi-Matrix zu :F
Fxj
ijiji x
xFA,AA
Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , no.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern )
Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i 1, und instabil, falls i 1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: 1λ:n,,2,1i i 1λ:n,,2,1i i
Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten
Im i 0 oszillatorisches Verhalten
Beweis: Tafel
b) Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h.Fx 0xF F
Jacobi-Matrix zu :F
Fxj
ijiji x
xFA,AA
Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , no.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern )
Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Re i 0, und instabil, falls Re i 0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: 0λRe:n,,2,1i i 0λRe:n,,2,1i i
Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten
Im i 0 oszillatorisches Verhalten
Beweis: Tafel
3.4. Chaotische TrajektorienBetrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.)
chaotisch
nicht chaotisch Grenztorus / Fixpunkt
tx , xk
0x
0x
tx , xk
j
ijiji x
xFA,AA
Eigenwerte:
txλtλ bzw. xλ iiki
Lyapunov-Exponent (diskreter Fall)
ikk
1
ki
0ii
0
xδlnlimmax
xlnmaxxμ
Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall)
n
1kk
t0 ttλReexpln
t
1limxμ
Die Trajektorie ist chaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent 0
Begründung: Tafel:limt,k
Nachbartrajektorie noch nicht ,,zurückgefaltet” ,,klein”
xδ
Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten:
Referenz-Trajektoriet0
d0
Anfangsauslenkung nicht entlang einer
Hauptachse
t0
d1
d0
t0 2
d2
d0
t0 3
d3
d0
0
k0max d
dln
τ
1τktμ
d
d
τN
1limμ
1k 0
k
Nmax
d
d
τN
1limμ
1k 0
k
Nmax
und möglichst kleinen Abstand d0 im Phasenraum.
Wähle möglichst kleines „Zeit“-Intervall
,td
,1τ diskret
kontinuierlichHardware: Rauscheinfluss noch kleinSoftware: Rundungsfehler noch klein
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Identitätf(x)x
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
x1xaxF
x
Anschauliches Beispiel (1):in
Ein
heit
en v
on a
x0
x1
F(x0)
x1
Fixpunkt Fixpunkt ist stabil (Attraktor)
0,65a 0,65a
3.5. Die Logistische Gleichung
Identitätf(x)x
x1xaxF
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Fixpunkt
x0
Fixpunkt
79,1a 79,1a
Attraktor
Repulsor
Anschauliches Beispiel (2):in
Ein
heit
en v
on a
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Identitätf(x)x
xx0
9,2a 9,2a
Attraktor
Repulsor
Anschauliches Beispiel (3):
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
in E
inhe
iten
von
a
x1xaxF
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Repulsor
xx0
3,3a 3,3a
Grenzzyklus Periode 2
Repulsor
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
Anschauliches Beispiel (4):in
Ein
heit
en v
on a Identität
f(x)x
x1xaxF
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
5,3a 5,3a
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
Anschauliches Beispiel (5):
x1xaxF
in E
inhe
iten
von
a
Repulsor
Repulsor Identitätf(x)x
Grenzzyklus Periode 4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
6,3a 6,3a Chaotische Trajektorie(Seltsamer Attraktor)
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
Anschauliches Beispiel (6):in
Ein
heit
en v
on a Identität
f(x)x
Repulsor
Repulsor x1xaxF
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
74,3a 74,3a
Grenzzyklus Periode 5
Anschauliches Beispiel (7):
4,0a
1,0x
x1xax
k
kk1k
in E
inhe
iten
von
a x1xaxF
Repulsor
Repulsor Identitätf(x)x
Zusammenfassung der experimentellen Resultate:
Feigenbaum-Diagramm
kkxlim 0kk0
kkxlim 0k
k0
0.5
1.0
xk
a1 2 3 40
Fixpunkt 0 stabil Fixpunkt 0
instabil
neuer stabiler
Fixpunkt
a1 a2
a3
a2
Hopf-Bifurkation
Periode 2
Bifurkation
Periode 4
Chaos
stabile Inseln
• Feigenbaumdiagramme Fraktale
• Definition:
Eigenschaften:
a1
a
a2 a3
Feigenbaumkonstante
k1k
1kk
k aa
aalimδ
Theorem (Universalität des Chaos): Für glatte Systemfunktionen ist unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll-parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert:
Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme.
94,66920160δ 94,66920160δ
F
4,0a,1,0x ,x1xax kkk1k 4,0a,1,0x ,x1xax kkk1k
Formale Untersuchung der logistischen Gleichung:
Fixpunkte: a1
F
FFFF
1x
0xx1xax
1
0
ex. nur für a 1
Stabilität: 1xF stabil x FF
x21axF a221a1FxF
a0FxF
a2
a1
F
F
1
0
0 a 1 stabil --------
1 a 3 instabil stabil
3 a 4 instabil instabil
0Fx1Fx
Bifurkationspunkt a 3 Betrachte iterierte Systemfkt. F∘F:
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
F F∘
a 2,8a 2,8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
F F∘
a 3,0a 3,0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
F F∘
a 3,2a 3,2
y
x
y
x y
x
stabil
1FF ||
labilinstabil
1FF || 1FF Wendepunkt
2 neue stabile Fixpunkte
• Fixpunkt x
• Bifurkationspunkt: F(x) 1• Wendepunkt in iterierter Systemfkt.• 2 neue stabile Fixpunkte in F∘F mit
gleicher Steigung in F F entstehen.∘• F bildet diese aufeinander ab Periode 2
Nachrechnen!Nachrechnen!
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
x
x
F∘F F∘ ∘F
Zweite Bifurkation:
4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F F F F ∘ ∘ ∘ Periode 4
Wendepunkte
labil
labilinstabil
etc. Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche
Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege!
449,361a 449,361a
Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator)
x2
v
L
Rm
Cm
CR
U0
U
Um
20m2 UUv
nicht-linearer Schwingkreis
V15 15V4U
mH100L
nF47CC
22000R
k3,3R
V100V2,1v
0
m
m
Kontrollparameter
Übungsaufgabe: Zeige
0UUCRUCLU
0UUvUCRUCRU
mmmmmm
20m
2mm
0UUCRUCLU
0UUvUCRUCRU
mmmmmm
20m
2mm
0UUCRUCLU
0UUvUCRUCRU
mmmmmm
20m
2mm
0UUCRUCLU
0UUvUCRUCRU
mmmmmm
20m
2mm
Umformulierung auf Systemgleichung:
UZUYUX mm
ZYUXZ
ZYXYYX
CR1
CC2
0CRv
CL1
LR
CL1
m2
m
m
m
ZYUXZ
ZYXYYX
CR1
CC2
0CRv
CL1
LR
CL1
m2
m
m
m
Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System
x2
v
L
Rm
Cm
CR
U0
U
Um
20m2 UUv
Labormessungen (T.L. 1998)
2nm
1nm
1nm
nm
RR
RR
n321
2
3
4
5
6
7
n321
2
3
4
5
6
7
V5U 0 V5U 0 V5,2U 0 V5,2U 0
nmR n-te Bifurkation
8,7,6,5,4vV10 8,7,6,5,4vV10
hohe Messgenauigkeit ,,hohe”
Bifurkationsordnung
hohe Messgenauigkeit ,,hohe”
Bifurkationsordnung
3.6. Der Lorenz-Attraktor
T1 > T2
T2
Flüssigkeit
Konvektionszellen
T T
T T
ΔδRaδεRa
X Strömungsgeschwindigkeit
Y
Z
t Zeit
Ra Rayleigh Zahl
X , Y , Z , t Zahlen
Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung (nach Lorenz)
ZbYXZ
YXrZXY
XYpX
ZbYXZ
YXrZXY
XYpX
Typische Werte der Kontrollparameter:
b 38 b 38 01p 01p
,,Rayleigh-Zahl”
2000r O 2000r O 28r 28r ,,Prandtl-Zahl”
Standard
ZbYXZ
YXrZXY
XYpX
ZbYXZ
YXrZXY
XYpX
Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!)
Voraussetzung: p > b 1
Kritische Rayleigh-Zahl: 11bp
bp3pr k
11bp
bp3pr k
XF YF
r0
0
)0,0,0(X1F
stabil instabil
1 rk
)1r,1rb,1rb(X3,2F
stabil
instabil
Wärmeleitung Konvektion Turbulenz
ChaosEinzugsbereiche der stabilen Fixpunkte
schrunpfen
Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r ≫ rk
Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern)
ZbYX
YXrZX
XYp
td
Zd
td
Yd
td
Xd
ZbYX
YXrZX
XYp
td
Zd
td
Yd
td
Xd
rZU
YU
X U
τt10t
1
21
21
s20V1
z
ss20
V1y
ss10
V1x
rZU
YU
X U
τt10t
1
21
21
s20V1
z
ss20
V1y
ss10
V1x
Mathematik Umrechnung auf physikalische Größen
Physik
rUUU τ
UUUτ
U2Uτ
1
2z
1y
x
s200V1b
Z10b
yxV1s
tdUd
y101
zxV1s
td
Ud
yx10p
tdUd
rUUU τ
UUUτ
U2Uτ
1
2z
1y
x
s200V1b
Z10b
yxV1s
tdUd
y101
zxV1s
td
Ud
yx10p
tdUd
Standardwerte
2500r
b
10p
38
: Zeitkonstante ( R C von Integratoren )
s1, s2: Skalierungsfaktoren
rUUU τ
UUUτ
U2Uτ
1
2z
1y
x
s200V1b
Z10b
yxV1s
tdUd
y101
zxV1s
td
Ud
yx10p
tdUd
rUUU τ
UUUτ
U2Uτ
1
2z
1y
x
s200V1b
Z10b
yxV1s
tdUd
y101
zxV1s
td
Ud
yx10p
tdUd
Standardwerte
2500r , b , 10p 38
Uy
11
10
111
0,11010 1
Ux(0)
Uy(0)
Uz(0)
V10
UU 21
V10
UU 21
121 s
b101 0,267
2s
r 1s200
V1b r 1s200
V1b
UxUx
UzUz
V10
UU yx
V10
UU zx
3.7. Anhang: Über Operationsverstärker ( OpAmp )
a) Unendliche Verstärkung: mit
d.h. Ua endlich (nicht gesättigt)
UUVU a UUVU a V V
UU UU
Ua
U
U
I
I
3.7.1. Der ideale Operationsverstärker
U , U , Ua gemessen gegen Erde
U , U , Ua U0 , U0
U0 Versorgungsspannung, typisch 15
V
b)Leistungsfreiheit: 0II 0II
3.7.2. Gegenkopplung
Ua
I 0
I 0
ZP
Z1
Z2
Zn
I1
I2
In
U 0
U1
U2
Un
IP0IIn
1kkP
0n
1kZU
ZU
k
k
P
a
Frequenzraum (Wechselstrom):
n
1kkka ωUcωU
n
1kkka ωUcωU
ωcc k
P
ZZ
kk ωcc k
P
ZZ
kk
Zeit-Darstellung:
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
a) Addierer
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
Ua
I 0
I 0
RP
R1
R2
Rn
I1
I2
In
U 0
U1
U2
Un
IP
const.c k
P
RR
k const.c k
P
RR
k
n
1kkka tUct U
n
1kkka tUct U
Ua
U1
U2
Un
c1c2
cn
Schaltsymbol
b) Integrierer
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
ωdeωUt U
ωdeωUωct U
tωikk
n
1k
tωikka
CRωi1
RZ
k kk
Pc CRωi1
RZ
k kk
Pc
Ua
I 0
I 0
C
R1
R2
Rn
I1
I2
In
U 0
U1
U2
Un
IP
n
1kkCR
1
n
1k
tωikka
tU
ωdeωUωcωitU
k
τ
t~d t~Ur0Ut U
t
0
n
1kkkaa
τ
t~d t~Ur0Ut U
t
0
n
1kkkaa
Zeitkonstante (beliebig)
CR
τr
kk
CR
τr
kk
Ua
U1
U2
Un
Schaltsymbol
r1r2
rn
Initialisierung:
Ua
I 0
I 0
C
R1
R2
Rn
I1
I2
In
U
0
U1
U2
Un
IP
Ua(0) R R
Ua
U1
U2
Un
r1
r2
rn
Ua(0)
t ≫ RC stationär, 0
R
CRωi1
R
C||RZZ P
symmetrischer Addierer
0UU aa für Initialisierungszeiten
CRtΔ Init CRtΔ Init
Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q C Ua(0)
c) Spannungsfolger
ia UU0Uδ
UaU 0Ui
Anwendung: Koeffizientengeber(belastungsunabhängiger Spannungteiler)
R
Ui
Ua
Rx
R Rx
c,UcU RR
iax c,UcU R
Ria
xc
Schaltzeichen
Ui Ua
Belasteter Koeffizientengeber:
UcU U iaL UcU U iaL unabhängig von RL
R
Ui
Ua
Rx
R Rx
RL UL
c RR x c RR x
R
Ui
Rx
R Rx
RL UL
Schaltung ohne Spannungsfolger:
iRR
ixLx
xLL
Uc1c1
c
UR||RRR
R||RU
L
abhängig von RL ( lastabhängig)
3.7.3. Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmpsKombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren, ... ( nicht-lineare Strom-Spannungs-Kennlinie) unbeschränkte Möglichkeiten
Beispiel 1: Vier-Quadranten-Multiplizierer
UaU1
U2
k
V1
UUkU 21
a V1
UUkU 21
a oft: 10
1k
10
1k
Aus Multiplizierern ableitbar:Quadrierer, Dividierer, Radizierer
Beispiel 2: Funktionsgeber
V1fU V1U
ae V1fU V1
Ua
e UaUef
Typische Spezialbausteine:
f abs, sign, sin, cos, tan, log, exp, ...
3.7.4. Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen
Problem: Gegeben: 0UωUγU 2 0UωUγU 2 U0U
U0 U
0
0
U0U
U0 U
0
0
Wahl der Zeitkonstante: 1ωCRτ 1ωCRτ
Zeit in Einheiten von : τtt~ τtt~
tUτtd
Udτ
t~d
UdtU,tUτ
td
Udτ
t~d
UdtU 2
2
22
2
2
Einsetzen 0UUU 22 τ1
τγ
τ1
τγγ~ τγγ~ Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00
Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00
Zahl ohne EinheitenU, U, U Dimension einer Spannung
Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00
Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00
Realisierung als Rechenschaltung:
t
0
0
t
0t~0 τ
t~dt~UτU
τ
t~dUU
tU0UtUU0 U0
t
0
20
t
0t~0 τ
t~dt~UτU
τ
t~dUγ~UU
U
0U
U 1
0U
UU10
γ~ 110
U
tU0UτtUτU0
U 0U
Die elektronische Differentialgleichung:
U
0U
1 U1
0U
U
U10γ~
110
U
10
γ~
10γ~010 10γ~ darstellbar mit dieser Schaltung
10γ~4
4γ~4γ~0
Schwingfall
aperiodischer Grenzfall
Kriechfall
Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00
Uτ0U,U0 U
0UUγ~U
00