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Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastodynamik

2.5-1

5. Fourier-Transformation

● Fragestellungen:

– Bei Anregung mit einer harmonischen Last kann quasistati-tisch gerechnet werden, wenn die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30% der Resonanzfrequenz ist. Wann darf bei ei-ner allgemeinen zeitabhängigen Belastung quasistatisch gerechnet werden?

– Sprungantwort oder Impulsantwort beschreiben vollständig das dynamische Verhalten eines linearen Systems. Wie lassen sich diese Funktionen aus dem zeitlichen Verlauf der Anregung und dem zeitlichen Verlauf der Antwort ermitteln?

– Wie muss ein Finite-Elemente-Modell aufgebaut sein, damit sich damit sinnvolle Ergebnisse für eine allgemeine zeitab-hängige Belastung ermitteln lassen?


2.5-2


● Antworten auf diese Fragen lassen sich mithilfe der Fourier-Transformation der Belastung finden.


2.5-3


5.1 Definition

5.2 Eigenschaften

5.3 Transformation reeller Funktionen

5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich


2.5-4

5.1 Definition

● Definition:

– Die Fourier-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch

– Die untere und die obere Grenze streben unabhängig von-einander gegen unendlich.

F =∫−∞

∞

f t e−i t dt


2.5-5

5.1 Definition

tT

1t0 : f t =00≤t≤T : f t =1tT : f t =0

● Beispiel 1: Rechteckimpuls

F =∫−∞

∞

f t e−it dt

=∫0

T

e−i t dt=−1

ie−iT

−1 =−1

icosT −1−i sin T

=1sin T

i

cosT −1


2.5-6

5.1 Definition

1sin T =

1 T−

1

3!T

3=T−

1

3!2T 3

1Ω

( cos(ΩT )−1 )=1Ω (−

1

2!( ΩT )

2−…)=−

1

2!ΩT 2+…

F 0=T

– Wert für Ω = 0:

– Aus folgt allgemein:● Der Realteil von F(0) ist gleich der Fläche unter der Funktion

f(t).● Wenn f(t) reell ist, ist der Imaginärteil von F(0) null.

F 0=∫−∞

∞

f t dt


2.5-7

5.1 Definition

Ω


2.5-8

5.1 Definition

tT

1

-T

t−T : f t =0−T≤t≤0 : f t =1t /T0≤t≤T : f t =1−t /TtT : f t =0

● Beispiel 2: Dreieckimpuls

– aus Formelsammlung:

F =∫−∞

∞

f t e−i t dt=F =∫−T

0

1 tT e−i t dt∫

0

T

1− tT e−i t dt

∫ t e−i t dt=e−i t

2 i t1


2.5-9

5.1 Definition

F =1

2T

2−eiT−e−iT = 2

2T

1−cos T

1−cosT =2sin2 T2

F =4

2Tsin2 T

2

– Nach einiger Rechnung folgt:

– Mit

wird daraus:


2.5-10

5.1 Definition

Ω

F(Ω

)


2.5-11

5.1 Definition

● Beobachtungen:

– Die Lage des ersten Nulldurchgangs ist umgekehrt propor-tional zur Impulsdauer T.

– Am Aufbau des Impulses sind alle Frequenzen beteiligt.

– Die Frequenzen bis zur ersten Nullstelle herrschen jedoch vor.

● Existenz der Fourier-Transformation:

– Eine notwendige Bedingung ist, dass die zu transformieren-de Funktion gegen null geht, wenn die Zeit gegen unendlich geht.

– Eine hinreichende Bedingung ist ∫−∞

∞

∣ f (t )∣dt<∞ .


2.5-12

5.1 Definition

● Inverse Transformation:

– Die inverse Fourier-Transformation ist gegeben durch

– Bei der inversen Transformation müssen die Grenzen in gleicher Weise gegen unendlich streben.

f t =12

∫−∞

∞

F ei t d


2.5-13

5.1 Definition

● Deutung:

– Eine periodische Funktion f(t) kann als unendliche Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden (Fou-rier-Reihe).

– Die Frequenzen sind ein Vielfaches einer Grundfrequenz Ω

0:

– Eine nichtperiodische Funktion ist aus unendlich vielen Schwingungen aller Frequenzen aufgebaut.

f t = ∑n=−∞

∞

cnei n0 t


2.5-14

5.1 Definition

– Jede dieser Schwingungen ist beteiligt mit der infinitesima-len komplexen Amplitude

– Dadurch erhält man das Fourier-Integral

– Die Funktion F(Ω) wird als Spektralfunktion, Spektraldichte oder Frequenzfunktion bezeichnet.

– Die Funktion | F(Ω) | wird als Amplitudendichte bezeichnet.

f t =∫−∞

∞ 12

F ei t d

c(Ω)=12πF (Ω)dΩ


2.5-15

5.2 Eigenschaften

● Linearität:

– Sei F1(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f

1(t) und

F2(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f

2(t), und sei-

en c1 und c

2 zwei Konstanten.

– Dann folgt für die Fourier-Transformierte der Funktion :

F =c1∫−∞

∞

f 1t e−i t dtc2∫

−∞

∞

f 2t e−i t dt

=c1F 1c2 F 2

f t =c1 f 1 t c2 f 2t


2.5-16

5.2 Eigenschaften

● Maßstabsänderung:

– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).

– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion mit reellem, von Null verschiedenem a gilt:

– Die Substitution führt auf

G =∫−∞

∞

f a t e−i t dt

=a t , d =adt

G =∫−∞

∞

f e−i

a 1ad =

1aF a

g t = f a t


2.5-17

5.2 Eigenschaften

● Zeitverschiebung:


– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion mit reellem Δt gilt:

– Die Substitution führt auf

G =∫−∞

∞

f t− t e−i t dt

=t− t , d =dt

G =∫−∞

∞

f e−i t d =e−i t F

g t = f t− t


2.5-18

5.2 Eigenschaften

● Transformation der Ableitung:


– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Ableitung gilt:

– Partielle Integration führt auf

– Da f(t) im Unendlichen verschwindet, ist der erste Sum-mand auf der rechten Seite null. Es bleibt

G =∫−∞

∞

f t e−i t dt

∫−∞

∞

f t e−i t dt=[ f t e−i t ]−∞

∞−∫

−∞

∞

f t −i e−i t dt

∫−∞

∞

f t e−i t dt=i ∫−∞

∞

f t e−i t dt=i F

g t = f t


2.5-19

5.2 Eigenschaften

● Beispiel: Schwingungsgleichung

– Schwingungsgleichung:

– Die Fourier-Transformation führt auf

– Dabei ist F(Ω) die Fourier-Transformierte von f(t) und X(Ω) die Fourier-Transformierte von x(t).

– Durch die Fourier-Transformation geht die lineare Differen-zialgleichung in eine lineare algebraische Gleichung über.

m x t d x t c x t = f t

−2mi dc X =F


2.5-20

5.2 Eigenschaften

– Die algebraische Gleichung kann leicht nach X(Ω) aufgelöst werden

– Durch inverse Transformation kann die Lösung x(t) be-stimmt werden.

● Faltung:

– Seien f(t) und h(t) zwei reelle Funktionen der Zeit t.

– Die Funktion

wird als Faltung bezeichnet.

– Beispiel: Berechnung der Antwort x(t) mithilfe der Impuls-antwort oder der Sprungantwort

g t =∫−∞

∞

f h t−d


2.5-21

5.2 Eigenschaften

– Für die Fourier-Transformation der Faltung gilt:

– Dabei sind F(Ω), G(Ω) und H(Ω) die Fourier-Transformierten von f(t), g(t) und h(t).

– Durch die Fourier-Transformation geht das Faltungsintegral in ein Produkt zweier Funktionen über.

G =F H


2.5-22


● Bei technischen Anwendungen ist die Funktion f(t) reell.

● Folgerungen für die Fourier-Transformation:

– Allgemein gilt:

– Mit folgt:

– Für reelle Funktionen folgt:

F =∫−∞

∞

f t e−i t dt=∫−∞

∞

f t cos t −i sin t dt

=∫−∞

∞

f t cos t dt−i∫−∞

∞

f t sin t dt

cos− t =cos t , sin − t =−sin t

F −=∫−∞

∞

f t cos t dti∫−∞

∞

f t sin t dt

ℜ F − ℑ F −

=ℜ F =−ℑ F


2.5-23


● Folgerungen für die inverse Transformation:

– Allgemein gilt:

f t =12

∫−∞

∞

F e i t d

=12

∫−∞

∞

ℜ F i ℑ F cos t i sin t d

=12

∫−∞

∞

ℜ F cos t −ℑ F sin t d

i2

∫−∞

∞

ℜ F sin t ℑ F cos t d


2.5-24


– Für reelle Funktionen f(t) gilt:

– Daraus folgt:

ℜ F cos t =ℜ F − cos− t ℑ F sin t =ℑ F − sin − t

ℜ F sin t =−ℜ F − sin − t ℑ F cos t =−ℑ F − cos− t

f t =1 ∫

0

∞

ℜ F cos t −ℑ F sin t d


2.5-25


● Nullpunkt der Zeitachse:

– Bei technischen Anwendungen kann der Nullpunkt der Zeitachse meist so gewählt werden, dass gilt:

– Dann vereinfacht sich die Fourier-Transformation zu

f t =0 für t0

F =∫0

∞

f t e−i t dt

=∫0

∞

f t cos t dt−i∫0

∞

f t sin t dt


2.5-26


● Fourier-Transformation der Impulsantwort:

– Aus der Fourier-Transformation der Schwingungsgleichung,

folgt:

– Für die Antwort im Zeitbereich gilt:

– Die Fourier-Transformation dieses Faltungsintegrals ergibt

−m2i dc X =F ,

X =F

−m2i dc

x(t)=∫0

t

f (τ)h I (t−τ)d τ

X =F H mit H =∫0

∞

h I t e−i t dt


2.5-27


– Damit ist gezeigt:

– Die Fourier-Transformierte der Impuls-Antwort wird auch als komplexe Übertragungsfunktion bezeichnet.

– Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω/ω gilt auch:

H =1

−m2i dc

H =1

m2

1

1−22 i D


2.5-28


– Komplexe Übertragungsfunktion:


2.5-29


● Lösung der Schwingungsgleichung:

– Mit der Fourier-Transformation kann die Lösung der Schwingungsgleichung gefunden werden, ohne dass eine Differenzialgleichung gelöst werden muss:

– Die Schwierigkeit liegt dabei in der Regel in der Berechnung der inversen Fourier-Transformation.

– In der Praxis werden beide Transformationen numerisch mit Hilfe der FFT (Fast Fourier Transform) durchgeführt.

f t F X =H F x t


2.5-30


● Ermittlung der Impulsantwortfunktion:

– Mit der Fourier-Transformation lässt sich die Impulsantwort-funktion aus den Zeitreihen der Last und der Antwort be-rechnen:

– In der Praxis wird die komplexe Übertragungsfunktion in der Regel aus Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren ermittelt.

f t x t

F X

H =X

F h I t


2.5-31


● Grenzfrequenz:

– Bei impulsartigen Lasten gilt , wenn Ω größer als eine Frequenz Ω

0 ist.

– Gilt für die Kreisfrequenz ω der Schwingung ,so antwortet der Schwinger quasi-statisch.

– Die Frequenz Ω0 kann durch inverse Fourier-Transformati-

on der bei Ω0 abgeschnittenen Spektralfunktion F(Ω) über-

prüft werden.

F ≈0

30