Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
1 Ziele und Merkmale
2 KMK-EmpfehlungenBildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003
3 Berliner Rahmenlehrplan
4 KMK-BeispieleGrundschuleMittlerer Schulabschluss
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Ziele: Daten sammeln, bearbeiten, darstellen, interpretieren,kritisch reflektieren
Daten in unserer Umwelt
Zeitung, Zeitschriften
Fernsehen, Internet
eigene Beobachtungen
Spiele
Simulationen
Sachkontext auch in der Sache ernst nehmen.
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Merkmale der Leitidee”Daten und Zufall“
spiraliger Aufbau, in der Grundschule beginnend
insbesondere in der Grundschule mit anderen Themenverflochten
starker Bezug zur Lebenswirklichkeit angestrebt,Daten entstammen nicht nur Zufallsexperimenten/Spielen
kritische Auseinandersetzung mit Realitat angestrebt
Verbindung Statistik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung leidernur in Ansatzen:
relative Haufigkeit/Wahrscheinlichkeit,Wahrscheinlichkeiten durch Simulation gewinnen
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Bildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003
3.5 Daten, Haufigkeit, Wahrscheinlichkeit
Daten erfassenund darstellen
◦ in Beobachtungen, Untersuchungenund einfachen Experimenten Datensammeln, strukturieren und in Tabel-len, Schaubildern und Diagrammendarstellen,
◦ aus Tabellen, Schaubildern und Dia-grammen Informationen entnehmen.
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Bildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003
(L5) Leitidee Daten und Zufall
Die Schulerinnen und Schuler
- werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischenErhebungen aus,
- planen statistische Erhebungen,- sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stel-
len sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfs-mittel (wie Software),
- interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngroßen,- reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenana-
lyse basieren,- ...
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Ubersicht Klassenstufen 7/8
X XX XXXDaten erheben Datentypen Erhebungen planen
Urliste, Strichliste, Haufigkeits-tabelle
Kreis-, Linien-, Balkendia-gramm
Darstellung kritischwerten
min,max, x Median
abs./rel. Haufigkeiten
interpretieren entscheiden
abs./rel. H. bei Zufallsexp.
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
Ubersicht Klassenstufen 9/10
X XX XXXKlassenbildung
kumulierteHaufigkeitsverteilung
Saulendiagramm Polygonzug
Modalwert, Median, x Wahl des Mittel-werts begrunden
Spannweite mittlere lin. Abweichung Boxplot
Kenngroßen beurteilen interpretieren
Fehler und Manipulatio-nen identifizieren undbeurteilen
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
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GrundschuleMittlerer Schulabschluss
Die Tabelle zeigt das Alter von Jungen und Madchen einer 4.Klasse.
Alter Anzahl der Jungen Anzahl der Madchen
9 6 8
10 9 3
11 2 0
1. Wie viele Jungen sind in der 4. Klasse? (AB I)
2. Wie viele Kinder besuchen diese 4. Klasse? (AB I)
3. Wie viele Kinder sind 9 Jahre alt? (AB I)
4. Wie viele Kinder sind alter als 9 Jahre? (AB I)
5. Zeichne zu der Tabelle ein Streifendiagramm. (AB II)Einteilung vorgegeben: Alter und J/M
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GrundschuleMittlerer Schulabschluss
6. Das Streifendiagramm stellt die Anzahl der Jungen (J) undMadchen (M) der Waldschule dar. (AB II)
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
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GrundschuleMittlerer Schulabschluss
Fulle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus.
Klassenstufe Jungen Madchen gesamt
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
Klasse 4
gesamt
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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
GrundschuleMittlerer Schulabschluss
a) Das nebenstehende Diagramm zeigtUntersuchungsergebnisse zur Frage
”Warum
arbeiten Studenten?“ Angenommen eswurden 2000 Studenten befragt. Wie vieleStudenten haben die Aussage
”zwingend
notwendig fur den Lebensunterhalt“angegeben? (AB I)
b) Edeltraut sagt: ”Den Studenten scheint esdoch gar nicht so schlecht zu gehen, denn nurungefahr ein Drittel muss
”zwingend
notwendig fur den Lebensunterhalt“ arbeiten.Monika entgegnet: ”Das stimmt doch garnicht!”
Wie kommen Edeltraut und Monika jeweils zuihren Meinungen? (AB I)
Geben Sie eine graphische Darstellung der Befragungsergebnisse an,
die die Meinungsverschiedenheiten vermeidet. (AB II)12 / 78
Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen
Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele
GrundschuleMittlerer Schulabschluss
c) Erlautern Sie, wie der Autor bei der Erstellung des Diagrammsvorgegangen ist. (AB II)
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
5 Unterrichtsbeispiele GrundschuleZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
6 Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe IKorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Muster erkennen
zahlen
bundeln und Strichliste anlegen
systematisch vorgehen
geduldig sein
sauber arbeiten
vergleichen: wovon gibt es am meisten, am wenigsten
kommunizieren
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Milchgebiss
Daten der Kinder sammeln, der Größe nach ordnen
Wer hat die meisten, wer die wenigsten Zähne?
Welches ist die häufigste Anzahl?
Zufällige Schwankungen erleben
Kästchendiagramm mit den Kindern planen
A n z a h l d e r K i n d e r 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Anzahl der Zähne
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
zahlen, Zwanzigerfeld
Umwelt erschließen
Muster erkennen (Quadranten)
Daten erheben
Daten darstellen
wer hat am meisten, am wenigsten?
zufallige Schwankungen erkennen beim Ausfullen desKastchendiagramms
kommunizieren
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Das Zahlenbuch 2, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Darstellungen lesen
mit Daten rechnen
zufallige Schwankungen erkennen
zuordnen
schatzen
eigene Daten erheben
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Bildungsstandards fur die Grundschule, Walther u.a. (Hrsg.), Cornelsen Scriptor, 200822 / 78
Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Aufgabe aus einer Orientierungsarbeit fur BerlinerGrundschulkinder, 2004, Jahrgangsstufe 2
Aufgabe a): 86% richtige Antworten
Aufgabe b): 30% richtige Antworten
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Rechenwege 1, F. Kapnick, Volk und Wissen Verlag, 2004
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
zahlen, addieren, arbeiten im Hunderterfeld
sich naher kennenlernen
Was wollen wir untersuchen? Was ist eine Familie?Begriffsklarung. Datenschutz?!
Daten erheben
Merkmale durch Farben kennzeichnen
Daten darstellen in verschiedener Form: Strichliste,Kastchendiagramm
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Daten auswerten: verschiedene Fragen stellen, z.B. wer hat diemeisten Geschwister?
zufallige Schwankungen erkennen
Daten neu ordnen:
z.B. Familien mit 1, 2, ... KindernKastchendiagramm an der Tafel, jeder tragt die Kinderzahlseiner Familie einauswerten: welches ist die haufigste, seltenste Kinderzahl, wieviele Kinder sind es insgesamt
weitere Daten der Klasse zusammentragen: Erwachsene, Tiereinsgesamt? graphisch im Hunderterfeld
kommunizieren
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Das Zahlenbuch 4, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Darstellungen lesen
mit Daten rechnen
zufallige Schwankungen erkennen
Mittelwert verstehen
besser noch: Daten selbst erheben
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Quelle: Das Zahlenbuch 4, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Zufallsexperimente auswerten, mit Daten rechnen, Schwankungen des
Mittelwertes erleben, Abnehmen der Schwankungen mit wachsender
Versuchsanzahl erleben29 / 78
Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln
Weitere Beispiele:
Geburtsdaten (Monat, Gewicht, Große)
Schulweg
Sportdaten
geographische und meteorologische Daten
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Wie groß und wie schwer?
Quelle: H. Winter: Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule. In: DdM 1976, Heft 1, S. 22-37
Urliste
Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große
Nr. kg cm Nr. kg cm Nr. kg cm
1 36 145 11 29 138 21 41 151
2 28 140 12 30 143 22 35 143
3 40 146 13 24 131 23 30 139
4 25 134 14 28 137 24 36 144
5 30 138 15 36 147 25 32 139
6 31 146 16 27 130 26 31 140
7 31 133 17 40 139 27 29 139
8 40 144 18 33 147 28 29 144
9 37 152 19 35 147 29 25 141
10 25 128 20 29 135 30 25 133
Fragen stellen!31 / 78
Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Z. B. Welches ist das leichteste, schwerste, kleinste, großte Kind?Welches ist das haufigste Gewicht, die haufigste Große?Spannweite, Mittelwerte
Stengel-und-Blatt-Diagramm fur die Große
12 813 4 8 3 8 1 7 0 9 5 9 9 9 314 5 0 6 6 4 3 7 7 7 3 4 0 4 115 2 1
Tendenz zur Mitte, Extreme sind selten
arithmetisches Mittel x = 140, 4 cm ≈ 140 cmDeutung?
Kritik: Musste man nicht zwischen Jungen und Madchenunterscheiden?Das haben wir bei der Datenerhebung nicht beachtet.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Median: leicht aus geordnetem Stengel-und-Blatt-Diagrammablesbar
12 813 0 1 3 3 4 5 7 8 8 9 9 9 914 0 0 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 715 1 2
n = 30 : Median x =x(15) + x(16)
2= 140 cm
Deutung: Mindestens die Halfte der Kinder ist kleiner odergleich 140 cm und mindestens die Halfte der Kinder ist großeroder gleich 140 cm.
”mindestens“ kann man nicht weglassen
unteres Quartil = Median der unteren 15 Werte= x(8) = 137 cmoberes Quartil = Median der oberen 15 Werte= x(23) = 145 cm
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Median x = 140 cmunteres Quartil = 137 cmoberes Quartil = 145 cmminimaler Wert = 128 cmmaximaler Wert = 152 cm
mindestens 50% der Werte liegen in der Box
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Klasseneinteilung
Information verdichten, Ubersicht gewinnen
Problem Klassenanzahl: nicht zu viele und nicht zu wenigeFaustregeln: 5 lg n, 6 bis 20,
√n und zwischen 5 und 25
eindeutige und vernunftige Klassengrenzen
Klasseneinteilung bietet auch Manipulationsmoglichkeiten
Saulendiagramm mit absoluten oder relativen Haufigkeiten alsSaulenhohenrelative Haufigkeiten zwingend beim Vergleich zweierVerteilungen
spater Histogramme mit relativen Haufigkeiten alsSaulenflachen
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Beispiel: n = 30, Spannweite 152− 128 = 24, 25 Werte
Klasse Haufigkeit128 cm bis 132 cm 3133 cm bis 137 cm 5138 cm bis 142 cm 9143 cm bis 147 cm 11148 cm bis 152 cm 2
Klasse Haufigkeit128 cm bis 134cm 6135 cm bis 141 cm 11142 cm bis 148 cm 11149 cm bis 152 cm 2
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
1. Welche der beiden Munzwurffolgen haltst Du fur”echt“?
Begrunde!
Folge A
ZWZW WZZW WZZW ZWZW WZWW ZWZZ ZWWW ZZZW WZWW ZWZWZWWZ ZWZZ ZWWZ WZWZ ZWWZ ZZWW ZWZW WZZW ZWWZ ZWZWWZZW ZZWZ WWWZ WWZZ WWZW WWWW ZWZZ WZWW ZZWZ WZWWWZZW ZZWW ZWZW WZZW WWZW WWZW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZZWWZZWZ ZWWW ZWZZ WZWW ZWZW WZWW WZZW ZWZZ ZWWZ WWZZ
Folge B
WZZW WWZW WWWZ WZZW WWZZ WZZW WWZZ WZZZ WWWZ WWWWWWZW ZWZW ZWWW WZZZ ZZZW ZZZW ZWZZ WZZZ ZZWZ ZZWWZZZW ZWZZ ZZZZ ZZZW WZZW ZZZZ ZZZW WWWW ZZZZ WWZWZWZZ WZZW ZZWW WWWW ZWZZ WWZZ ZWWZ ZZWZ ZZWW WWWZZZWW WWZW ZWZZ ZWZW ZZWW WZWW WWZZ WWWZ WWWW ZZWW
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W’s in einemViererblock. Stelle eine Haufigkeitstabelle und eineHaufigkeitsverteilung fur die beobachteten Werte von X inden Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme dasarithmetische Mittel x .
absolute HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4
Folge A
Folge B
relative HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4 x
Folge A
Folge B
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
3. Zeichne ein Baumdiagramm fur den viermaligen Munzwurfmit einer echten Munze. Notiere an jedem Pfadende dieAnzahl der Wappen auf diesem Pfad.Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.
Werte von X 0 1 2 3 4
Wahrscheinlichkeit
4. Beantworte und begrunde noch einmal die Antwort auf dieAnfangsfrage. Bist Du sicher?
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
2.
absolute HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4Folge A 0 10 27 12 1Folge B 3 15 18 10 4
relative HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4 xFolge A 0,00 0,20 0,54 0,24 0,02 2,08Folge B 0,06 0,30 0,36 0,20 0,08 1,94
3.
Werte von X 0 1 2 3 4Wahrscheinlichkeit 0,0625 0,250 0,375 0,250 0,0625
Die Modellparameter zu x ist der Erwartungswert der Anzahl derWappen E (X ) = 2. Bei sehr vielen Beobachtungen von X solltensich die beobachteten Parameter von den Modellparametern nurwenig unterscheiden.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
4. Die Schuler sollen sich an den beobachteten relativenHaufigkeiten orientieren, ohne hier einen statistischen Testdurchzufuhren. Besonders eklatant ist der Unterschied beizwei Wappen, der zeigt, dass haufige Wechsel naiv bevorzugtwerden.
Sie sollen aber auch erkennen, dass sichere Aussagenprinzipiell unmoglich sind. Auch die Folge A konnte voneiner echten Munzwurffolge stammen. Somit bereitet dieseAufgabe auch die Grundphilosophie des Testens vor.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,
Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,
Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen43 / 78
Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Aufgabenbeispiel aus PISA 2000/03
Ein Fernsehreporter zeigte
folgende Graphik und sagte:
”Dieser Graph zeigt, dass
die Zahl der Raububerfalle
von 1998 bis 1999 stark zu-
genommen hat.“ Haltst du
die Aussage des Reporters
fur eine vernunftige Inter-
pretation des Diagramms?
Begrunde deine Antwort.
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Nettogeldvermogen der Haushaltein Deutschland 2003:
arithmetisches Mittel:133 000 Euro(Ost 60 000/West 149 000)
Median: 50 000 Euro
Die armsten 50% besitzen3,8% des Vermogens
die reichsten 10% besitzen46,8% des Vermogens
Quelle: 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundes-
regierung 2005
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Simpson-Paradox 1
Quelle: Andreas Buchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Stochastik. Springer, 2007
Befunde von TIMSS II, 1997:
”Madchen erreichen in Mathematik ... in allen Schulformen
schwachere Leistungen als Jungen.“
”Bei der Betrachtung der Leistungsbilanz von Jungen und
Madchen auf der Ebene des gesamten Altersjahrgangs tretenim Fach Mathematik keine ... Leistungsunterschiede zwischenden Geschlechtern auf.“
Paradox?
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Fiktive Zahlen eines Schulleistungstests:
HS RS GS GY Gesamt
mittlere Punktezahl 44 52 65 76Jungen
Anteil in Prozent 33 15 27 2558,9
mittlere Punktezahl 38 47 60 71Madchen
Anteil in Prozent 18 10 34 3858,9
Beobachtung:
An allen Schularten ist die mittlere Punktezahl bei den Jungenhoher als bei den Madchen.
Uber alle Schularten hinweg ist die mittlere Punktzahl bei denMadchen genauso groß wie bei den Jungen.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Intuitiv wird vermutlich außer acht gelassen, dass die mittlerenPunktzahlen mit unterschiedlichem Gewicht in die Gesamtbilanzeingehen.Falschlicherweise wird das arithmetische Mittel der Punktezahlengebildet, also
44 + 52 + 65 + 76
4≈ 59, 3
bei den Jungen und
38 + 47 + 60 + 71
4= 54
analog bei den Madchen.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Korrekt ist aber Bildung des gewichteten Mittels.
Jungen: 44 · 0, 33 + 52 · 0, 15 + 65 · 0, 27 + 76 · 0, 25 ≈ 58, 9
Madchen: 38 · 0, 18 + 47 · 0, 10 + 60 · 0, 34 + 71 · 0, 38 ≈ 58, 9
Punktezahlen an den Schulen sind mit den Anteilen der einzelnenSchulen an der Gesamtpopulation zu wichten. Die
”Gewichte“ sind
die Anteile der Schulformen an allen Schulen.
Madchen bevorzugt an Schultypen mit hohen Punktzahlen,Jungen eher auch an Schulen mit niedrigen Punktzahlen.Unterschiedliche Gewichte fuhren dazu, dass in derzusammengefassten Datenmenge die Punktezahlen der Jungen undder Madchen etwa gleich sind.
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Simpson-Paradox
Gesamtmenge kann so zerteilt werden, dass ein Merkmal derGesamtmenge im Widerspruch zur Auspragung diesesMerkmals in samtlichen Teilmengen steht.
es gibt keine richtige Antwort
man muss jeweils die Umstande genau anschauenBeispiel TIMSS:
”Dies ist ausschließlich eine Folge der
hoheren gymnasialen Bildungsbeteiligung der Madchen ...“
verbreitete unseriose Methode: nur Gesamtergebnisseveroffentlichen und Teilergebnisse unterschlagen (siehenachstes Beispiel)
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Simpson-Paradox 2Quelle: U. Kuhne: Von Zahlen geblendet. der Freitag. 15.10.2009
Stadt mit 200 000 Einwohnern, darunter 60 000 Auslander
Im Jahr durchschnittlich 110 Schwerverbrechen, davon 51 vonAuslandern, 59 von Deutschen
Was soll dem Zeitungsleser gesagt werden?51
60 000≈ 0, 00085,
59
140 000≈ 0, 00042
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Die Stadt zerfallt in einen”Problembezirk“ (P) und einen
”Speckgurtel“(S).
Problembezirk: 50 000 Deutsche und 50 000 Auslander,durchschnittlich pro Jahr jeweils 50 Schwerverbrechen, alsodieselbe Rate
Speckgurtel: 90 000 Deutsche und 10 000 Auslander,durchschnittlich pro Jahr 1 Schwerverbrechen von einemAuslander und 9 von Deutschen, also dieselbe Rate
Ist das paradox?
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Problembezirk
A D
V 50 50 100
V 49 950 49 950 99 900
50 000 50 000 100 000
|V ∩ A||A| =
|V ∩ D||D| = 0, 001
Speckgurtel
A D
V 1 9 10
V 9 999 89 991 99 990
10 000 90 000 100 000
|V ∩ A||A| =
|V ∩ D||D| = 0, 0001
Gesamte Stadt:
|V ∩ A||A| =
50 + 1
60 000=
50
60 000+
1
60 000
=50
50 000· 50 000
60 000+
1
10 000· 10 000
60 000
= 0, 001 · 5
6+ 0, 0001 · 1
6= 0, 00085
|V ∩ D||D| =
50 + 9
140 000= 0, 001 · 5
14+ 0, 0001 · 9
14= 0, 0042
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Unbekannte Wahrscheinlichkeit/Rate wird geschatzt durch dierelative Haufigkeit aus sehr vielen unabhangigenBeobachtungen unter denselben Bedingungen.
Bedingungen im Problembezirk und im Speckgurtel sind nichtdieselben.
Es sollte die Verbrechensrate geschatzt werden. Sie hangtoffenbar vom Wohnbezirk, nicht aber davon ab, ob jemandAuslander oder Deutscher ist.
Vorsicht bei Zusammenfassung bzw. Zerlegung vonDatenmengen. Manipulationsgefahr!
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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I
KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox
Weitere Beispiele:
Sportdaten
Korper, z.B. Puls, Lungenvolumen
geographische und meteorologische Daten
okonomische Daten
Fragebogen entwerfen
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Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe II
7 Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe IIEinkommenGraphische DarstellungenHaushaltsgeldApfelsaftAktienrendite
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Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe II
EinkommenGraphische DarstellungenHaushaltsgeldApfelsaftAktienrendite
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Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe II
EinkommenGraphische DarstellungenHaushaltsgeldApfelsaftAktienrendite
Nettoaquivalenzeinkommen ist Haushaltsnettoeinkommengeteilt durch Summe der Bedarfsgewichte, ergibt aquivalentenBetrag eines 1-Personen-Haushaltes.
Gini-Koeffizient beschreibt in einer Skala von 0 bis 1 dieAbweichung von der Gleichverteilung.
Die unteren 50% haben 28,7% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens.
Die oberen 10% haben 24,9% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens
Die Unterschiede nehmen zu.
Quelle: 3. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung 2008
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Lehrbuchbeispiele aus Klasse 11, Elemente der Mathematik,Ausgabe Berlin, Schroedel, 2005
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Median: 1750 Euro arithmetisches Mittel: ?
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wahlen 5250 Euro als Mitte der letzten Klasse
stark unterschiedliche Klassenbreiten ⇒ Histogramm
rel. Haufigkeit = Breite * HoheKlasse Kl.mitte Kl.breite rel. H. Kl.hohe
[0; 500) 250 500 0,03 6, 0 · 10−5
[500; 900) 700 400 0,12 3 · 10−4
[900; 1500) 1200 600 0,26 4, 3 · 10−4
[1500; 2000) 1750 500 0,18 3, 6 · 10−4
[2000; 2600) 2300 600 0,16 2, 7 · 10−4
[2600; 3200) 2900 600 0,10 1, 7 · 10−4
[3200; 4500) 3850 1300 0,10 7, 7 · 10−5
[4500; 6000) 5250 1500 0,06 4, 0 · 10−5
x = 2077 Euro > Median = 1750 Euro
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Beispiel Aktienrendite – Beitrag zur Aufklarung
F.A.S. 01.07.2007: 3000 Teilnehmer der Leseraktionunterschatzen das Risiko von Aktienfonds und uberschatzendie Renditen
Schlusskurse der Adidas-Aktie zwischen 01.07.2008 und27.10.2008
Daten im Excel-fahigen Format unterhttp://de.finance.yahoo.com
Tagesrendite = (Kurs heute - Kurs gestern)/Kurs gestern
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85 Borsentage
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Renditen nach Klasseneinteilung
85 Renditen in 9 Klassen, in Prozent x = −0, 5, s = 3, 4
k · s-Bereiche: gute Deutung von s bei annahernd glockenformigerVerteilung und vielen Beobachtungen
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Weitere Beispiele:
Sportdaten
geographische und meteorologische Daten
okonomische Daten
Bevolkerungspyramide, Sterbetafeln
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Ausgewahlte Probleme
8 Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Kenngroßen der Lage einer Haufigkeitsverteilung
arithmetisches Mittel, haufig auch einfach Mittelwert genannt
gleichmaßige Aufteilung der Gesamtmesssung auf dieMesspunktemarkiert Schwerpunkt der Verteilungempfindlich gegen Außreißerbei asymmetrischer Verteilung stark verschieden vom Median
Median, auch Zentralwert genannt
mindestens die Halfte der Messwerte ist kleiner oder gleichdem Median, mindestens die Halfte ist großer oder gleich demMedianmarkiert Mitte der Verteilungunempfindlich gegen Außreißerbei symmetrischer Verteilung nahe dem arithmetischen Mittel
Am besten beide Werte angeben.
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Streuungsmaße beschreiben Breite der Verteilung
Absolut:
Spannweite: großter - kleinster BeobachtungswertBoxplot: mindestens mittlere 50%
Streuung um einen Lageparameter ⇒ Parchen:
Lage- Streuungs- Kriteriumparameter parameter
arithm. empirischeMittel Streuung 1
n
n∑k=1
(xk − c)2 → min
Median mittl. lineareAbweichung 1
n
n∑k=1
|xk − c | → min
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Division durch n − 1 oder durch n?
x1, x2, . . . xn Beobachtungswerte
Maß fur das Streuen dieser Werte?
(xi − xj)2, n2 Paare, mittlerer quadratischer Abstand:
1
n2
n∑i ,j=1
(xi − xj)2
Umformung:n∑i ,j
(xi − xj)2 =
n∑i ,j
(xi − x + x − xj)2
=n∑i ,j
(xi − x)2 +n∑i ,j
(xj − x)2 + 2n∑i ,j
(xi − x)(x − xj)
= 2n∑i ,j
(xi − x)2 = 2nn∑
i=1(xi − x)2
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Division durch n2:
1
n2
n∑i ,j
(xi − xj)2 =
2
n
n∑i=1
(xi − x)2 = 2 · s2n (∗)
Modifikation: nur”echte“ Differenzen:
n∑i ,j
(xi − xj)2 =
n∑i<j
(xi − xj)2 +
n∑i>j
(xi − xj)2
= 2n∑
i<j(xi − xj)
2 (aus Symmetriegrunden)
n∑i<j
(xi − xj)2 = 1
2
n∑i ,j
(xi − xj)2 = n2 · s2
n
1n2−n
2
n∑i<j
(xi − xj)2 = 2
n−1 · n · s2n = 2 · s2
n−1
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Die mittleren quadratischen Abstande fuhren auf die Großen
s2n =
1
n
n∑i=1
(xi − x)2
bzw.
s2n−1 =
1
n − 1
n∑i=1
(xi − x)2.
Das sind mittlere quadratische Abweichungen vom Mittelwert x .Bei kleinem n ist das Gewicht jedes Terms (xi − xj)
2 großer als beigroßem n. Bezieht man die Nullterme (xi − xi )
2 gleichberechtigtein, so druckt das den Durchschnitt. Die empirische Streuung s2
n
unterschatzt daher bei kleinen n die Varianz.
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Begriffspaare
Beobachtungsebene Modellebene
relative Haufigkeit einesErgebnisses hn(ω)
Wahrscheinlichkeit einesErgebnisses P(ω)
relative Haufigkeit einesEreignisses hn(A)
Wahrscheinlichkeit einesEreignisses P(A)
arithmetisches Mittel vonMessdaten x
Erwartungswert einer Zu-fallsgroße E (X )
empirische Streuung vonMessdaten s2
n oder s2n−1
Varianz einer Zufalls-große Var(X )
⇒ . . . liefert einen Schatzwert fur ...
⇐ . . . trifft eine Vorhersage fur ...
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