Daten und Zufall - didaktik.mathematik.hu-berlin.dedidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/daten_2010_h_1.pdf · Ziele und Merkmale KMK-Empfehlungen Berliner Rahmenlehrplan KMK-Beispiele

Daten und Zufall

Elke Warmuth

Humboldt-Universitat Berlin

Sommersemester 2010

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Ziele und MerkmaleKMK-Empfehlungen

Berliner RahmenlehrplanKMK-Beispiele

1 Ziele und Merkmale

2 KMK-EmpfehlungenBildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003

3 Berliner Rahmenlehrplan

4 KMK-BeispieleGrundschuleMittlerer Schulabschluss

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Ziele: Daten sammeln, bearbeiten, darstellen, interpretieren,kritisch reflektieren

Daten in unserer Umwelt

Zeitung, Zeitschriften

Fernsehen, Internet

eigene Beobachtungen

Spiele

Simulationen

Sachkontext auch in der Sache ernst nehmen.

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Merkmale der Leitidee”Daten und Zufall“

spiraliger Aufbau, in der Grundschule beginnend

insbesondere in der Grundschule mit anderen Themenverflochten

starker Bezug zur Lebenswirklichkeit angestrebt,Daten entstammen nicht nur Zufallsexperimenten/Spielen

kritische Auseinandersetzung mit Realitat angestrebt

Verbindung Statistik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung leidernur in Ansatzen:

relative Haufigkeit/Wahrscheinlichkeit,Wahrscheinlichkeiten durch Simulation gewinnen

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Bildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003

3.5 Daten, Haufigkeit, Wahrscheinlichkeit

Daten erfassenund darstellen

◦ in Beobachtungen, Untersuchungenund einfachen Experimenten Datensammeln, strukturieren und in Tabel-len, Schaubildern und Diagrammendarstellen,

◦ aus Tabellen, Schaubildern und Dia-grammen Informationen entnehmen.

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Bildungsstandards Mathematik Primarbereich, 2004Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Schulabschluss, 2003

(L5) Leitidee Daten und Zufall

Die Schulerinnen und Schuler

- werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischenErhebungen aus,

- planen statistische Erhebungen,- sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stel-

len sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfs-mittel (wie Software),

- interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngroßen,- reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenana-

lyse basieren,- ...

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Ubersicht Klassenstufen 7/8

X XX XXXDaten erheben Datentypen Erhebungen planen

Urliste, Strichliste, Haufigkeits-tabelle

Kreis-, Linien-, Balkendia-gramm

Darstellung kritischwerten

min,max, x Median

abs./rel. Haufigkeiten

interpretieren entscheiden

abs./rel. H. bei Zufallsexp.

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Ubersicht Klassenstufen 9/10

X XX XXXKlassenbildung

kumulierteHaufigkeitsverteilung

Saulendiagramm Polygonzug

Modalwert, Median, x Wahl des Mittel-werts begrunden

Spannweite mittlere lin. Abweichung Boxplot

Kenngroßen beurteilen interpretieren

Fehler und Manipulatio-nen identifizieren undbeurteilen

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GrundschuleMittlerer Schulabschluss

Die Tabelle zeigt das Alter von Jungen und Madchen einer 4.Klasse.

Alter Anzahl der Jungen Anzahl der Madchen

9 6 8

10 9 3

11 2 0

1. Wie viele Jungen sind in der 4. Klasse? (AB I)

2. Wie viele Kinder besuchen diese 4. Klasse? (AB I)

3. Wie viele Kinder sind 9 Jahre alt? (AB I)

4. Wie viele Kinder sind alter als 9 Jahre? (AB I)

5. Zeichne zu der Tabelle ein Streifendiagramm. (AB II)Einteilung vorgegeben: Alter und J/M

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6. Das Streifendiagramm stellt die Anzahl der Jungen (J) undMadchen (M) der Waldschule dar. (AB II)

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Fulle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus.

Klassenstufe Jungen Madchen gesamt

Klasse 1

Klasse 2

Klasse 3

Klasse 4

gesamt

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a) Das nebenstehende Diagramm zeigtUntersuchungsergebnisse zur Frage

”Warum

arbeiten Studenten?“ Angenommen eswurden 2000 Studenten befragt. Wie vieleStudenten haben die Aussage

”zwingend

notwendig fur den Lebensunterhalt“angegeben? (AB I)

b) Edeltraut sagt: ”Den Studenten scheint esdoch gar nicht so schlecht zu gehen, denn nurungefahr ein Drittel muss

”zwingend

notwendig fur den Lebensunterhalt“ arbeiten.Monika entgegnet: ”Das stimmt doch garnicht!”

Wie kommen Edeltraut und Monika jeweils zuihren Meinungen? (AB I)

Geben Sie eine graphische Darstellung der Befragungsergebnisse an,

die die Meinungsverschiedenheiten vermeidet. (AB II)12 / 78




c) Erlautern Sie, wie der Autor bei der Erstellung des Diagrammsvorgegangen ist. (AB II)

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Unterrichtsbeispiele GrundschuleUnterrichtsbeispiele Sekundarstufe I

5 Unterrichtsbeispiele GrundschuleZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln

6 Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe IKorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox

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ZahlenMilchgebissKorperFreizeitsportBabiesWurfeln

Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004

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Muster erkennen

zahlen

bundeln und Strichliste anlegen

systematisch vorgehen

geduldig sein

sauber arbeiten

vergleichen: wovon gibt es am meisten, am wenigsten

kommunizieren

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Milchgebiss

Daten der Kinder sammeln, der Größe nach ordnen

Wer hat die meisten, wer die wenigsten Zähne?

Welches ist die häufigste Anzahl?

Zufällige Schwankungen erleben

Kästchendiagramm mit den Kindern planen

A n z a h l d e r K i n d e r 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Anzahl der Zähne

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zahlen, Zwanzigerfeld

Umwelt erschließen

Muster erkennen (Quadranten)

Daten erheben

Daten darstellen

wer hat am meisten, am wenigsten?

zufallige Schwankungen erkennen beim Ausfullen desKastchendiagramms

kommunizieren

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Darstellungen lesen

mit Daten rechnen

zufallige Schwankungen erkennen

zuordnen

schatzen

eigene Daten erheben

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Quelle: Bildungsstandards fur die Grundschule, Walther u.a. (Hrsg.), Cornelsen Scriptor, 200822 / 78



Aufgabe aus einer Orientierungsarbeit fur BerlinerGrundschulkinder, 2004, Jahrgangsstufe 2

Aufgabe a): 86% richtige Antworten

Aufgabe b): 30% richtige Antworten

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Quelle: Rechenwege 1, F. Kapnick, Volk und Wissen Verlag, 2004

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zahlen, addieren, arbeiten im Hunderterfeld

sich naher kennenlernen

Was wollen wir untersuchen? Was ist eine Familie?Begriffsklarung. Datenschutz?!

Daten erheben

Merkmale durch Farben kennzeichnen

Daten darstellen in verschiedener Form: Strichliste,Kastchendiagramm

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Daten auswerten: verschiedene Fragen stellen, z.B. wer hat diemeisten Geschwister?


Daten neu ordnen:

z.B. Familien mit 1, 2, ... KindernKastchendiagramm an der Tafel, jeder tragt die Kinderzahlseiner Familie einauswerten: welches ist die haufigste, seltenste Kinderzahl, wieviele Kinder sind es insgesamt

weitere Daten der Klasse zusammentragen: Erwachsene, Tiereinsgesamt? graphisch im Hunderterfeld

kommunizieren

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Darstellungen lesen

mit Daten rechnen


Mittelwert verstehen

besser noch: Daten selbst erheben

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Zufallsexperimente auswerten, mit Daten rechnen, Schwankungen des

Mittelwertes erleben, Abnehmen der Schwankungen mit wachsender

Versuchsanzahl erleben29 / 78



Weitere Beispiele:

Geburtsdaten (Monat, Gewicht, Große)

Schulweg

Sportdaten

geographische und meteorologische Daten

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KorperWZ-FolgenGraphische DarstellungenGeldvermogenSimpson-Paradox

Wie groß und wie schwer?

Quelle: H. Winter: Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule. In: DdM 1976, Heft 1, S. 22-37

Urliste

Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große

Nr. kg cm Nr. kg cm Nr. kg cm

1 36 145 11 29 138 21 41 151

2 28 140 12 30 143 22 35 143

3 40 146 13 24 131 23 30 139

4 25 134 14 28 137 24 36 144

5 30 138 15 36 147 25 32 139

6 31 146 16 27 130 26 31 140

7 31 133 17 40 139 27 29 139

8 40 144 18 33 147 28 29 144

9 37 152 19 35 147 29 25 141

10 25 128 20 29 135 30 25 133

Fragen stellen!31 / 78



Z. B. Welches ist das leichteste, schwerste, kleinste, großte Kind?Welches ist das haufigste Gewicht, die haufigste Große?Spannweite, Mittelwerte

Stengel-und-Blatt-Diagramm fur die Große

12 813 4 8 3 8 1 7 0 9 5 9 9 9 314 5 0 6 6 4 3 7 7 7 3 4 0 4 115 2 1

Tendenz zur Mitte, Extreme sind selten

arithmetisches Mittel x = 140, 4 cm ≈ 140 cmDeutung?

Kritik: Musste man nicht zwischen Jungen und Madchenunterscheiden?Das haben wir bei der Datenerhebung nicht beachtet.

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Median: leicht aus geordnetem Stengel-und-Blatt-Diagrammablesbar

12 813 0 1 3 3 4 5 7 8 8 9 9 9 914 0 0 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 715 1 2

n = 30 : Median x =x(15) + x(16)

2= 140 cm

Deutung: Mindestens die Halfte der Kinder ist kleiner odergleich 140 cm und mindestens die Halfte der Kinder ist großeroder gleich 140 cm.

”mindestens“ kann man nicht weglassen

unteres Quartil = Median der unteren 15 Werte= x(8) = 137 cmoberes Quartil = Median der oberen 15 Werte= x(23) = 145 cm

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Median x = 140 cmunteres Quartil = 137 cmoberes Quartil = 145 cmminimaler Wert = 128 cmmaximaler Wert = 152 cm

mindestens 50% der Werte liegen in der Box

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Klasseneinteilung

Information verdichten, Ubersicht gewinnen

Problem Klassenanzahl: nicht zu viele und nicht zu wenigeFaustregeln: 5 lg n, 6 bis 20,

√n und zwischen 5 und 25

eindeutige und vernunftige Klassengrenzen

Klasseneinteilung bietet auch Manipulationsmoglichkeiten

Saulendiagramm mit absoluten oder relativen Haufigkeiten alsSaulenhohenrelative Haufigkeiten zwingend beim Vergleich zweierVerteilungen

spater Histogramme mit relativen Haufigkeiten alsSaulenflachen

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Beispiel: n = 30, Spannweite 152− 128 = 24, 25 Werte

Klasse Haufigkeit128 cm bis 132 cm 3133 cm bis 137 cm 5138 cm bis 142 cm 9143 cm bis 147 cm 11148 cm bis 152 cm 2

Klasse Haufigkeit128 cm bis 134cm 6135 cm bis 141 cm 11142 cm bis 148 cm 11149 cm bis 152 cm 2

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1. Welche der beiden Munzwurffolgen haltst Du fur”echt“?

Begrunde!

Folge A

ZWZW WZZW WZZW ZWZW WZWW ZWZZ ZWWW ZZZW WZWW ZWZWZWWZ ZWZZ ZWWZ WZWZ ZWWZ ZZWW ZWZW WZZW ZWWZ ZWZWWZZW ZZWZ WWWZ WWZZ WWZW WWWW ZWZZ WZWW ZZWZ WZWWWZZW ZZWW ZWZW WZZW WWZW WWZW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZZWWZZWZ ZWWW ZWZZ WZWW ZWZW WZWW WZZW ZWZZ ZWWZ WWZZ

Folge B

WZZW WWZW WWWZ WZZW WWZZ WZZW WWZZ WZZZ WWWZ WWWWWWZW ZWZW ZWWW WZZZ ZZZW ZZZW ZWZZ WZZZ ZZWZ ZZWWZZZW ZWZZ ZZZZ ZZZW WZZW ZZZZ ZZZW WWWW ZZZZ WWZWZWZZ WZZW ZZWW WWWW ZWZZ WWZZ ZWWZ ZZWZ ZZWW WWWZZZWW WWZW ZWZZ ZWZW ZZWW WZWW WWZZ WWWZ WWWW ZZWW

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2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W’s in einemViererblock. Stelle eine Haufigkeitstabelle und eineHaufigkeitsverteilung fur die beobachteten Werte von X inden Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme dasarithmetische Mittel x .

absolute HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4

Folge A

Folge B

relative HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4 x

Folge A

Folge B

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3. Zeichne ein Baumdiagramm fur den viermaligen Munzwurfmit einer echten Munze. Notiere an jedem Pfadende dieAnzahl der Wappen auf diesem Pfad.Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Werte von X 0 1 2 3 4

Wahrscheinlichkeit

4. Beantworte und begrunde noch einmal die Antwort auf dieAnfangsfrage. Bist Du sicher?

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2.

absolute HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4Folge A 0 10 27 12 1Folge B 3 15 18 10 4

relative HaufigkeitWerte von X 0 1 2 3 4 xFolge A 0,00 0,20 0,54 0,24 0,02 2,08Folge B 0,06 0,30 0,36 0,20 0,08 1,94

3.

Werte von X 0 1 2 3 4Wahrscheinlichkeit 0,0625 0,250 0,375 0,250 0,0625

Die Modellparameter zu x ist der Erwartungswert der Anzahl derWappen E (X ) = 2. Bei sehr vielen Beobachtungen von X solltensich die beobachteten Parameter von den Modellparametern nurwenig unterscheiden.

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4. Die Schuler sollen sich an den beobachteten relativenHaufigkeiten orientieren, ohne hier einen statistischen Testdurchzufuhren. Besonders eklatant ist der Unterschied beizwei Wappen, der zeigt, dass haufige Wechsel naiv bevorzugtwerden.

Sie sollen aber auch erkennen, dass sichere Aussagenprinzipiell unmoglich sind. Auch die Folge A konnte voneiner echten Munzwurffolge stammen. Somit bereitet dieseAufgabe auch die Grundphilosophie des Testens vor.

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Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,

Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000

Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen

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Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,

Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000

Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen43 / 78



Aufgabenbeispiel aus PISA 2000/03

Ein Fernsehreporter zeigte

folgende Graphik und sagte:

”Dieser Graph zeigt, dass

die Zahl der Raububerfalle

von 1998 bis 1999 stark zu-

genommen hat.“ Haltst du

die Aussage des Reporters

fur eine vernunftige Inter-

pretation des Diagramms?

Begrunde deine Antwort.

Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen

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Nettogeldvermogen der Haushaltein Deutschland 2003:

arithmetisches Mittel:133 000 Euro(Ost 60 000/West 149 000)

Median: 50 000 Euro

Die armsten 50% besitzen3,8% des Vermogens

die reichsten 10% besitzen46,8% des Vermogens

Quelle: 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundes-

regierung 2005

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Simpson-Paradox 1

Quelle: Andreas Buchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Stochastik. Springer, 2007

Befunde von TIMSS II, 1997:

”Madchen erreichen in Mathematik ... in allen Schulformen

schwachere Leistungen als Jungen.“

”Bei der Betrachtung der Leistungsbilanz von Jungen und

Madchen auf der Ebene des gesamten Altersjahrgangs tretenim Fach Mathematik keine ... Leistungsunterschiede zwischenden Geschlechtern auf.“

Paradox?

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Fiktive Zahlen eines Schulleistungstests:

HS RS GS GY Gesamt

mittlere Punktezahl 44 52 65 76Jungen

Anteil in Prozent 33 15 27 2558,9

mittlere Punktezahl 38 47 60 71Madchen

Anteil in Prozent 18 10 34 3858,9

Beobachtung:

An allen Schularten ist die mittlere Punktezahl bei den Jungenhoher als bei den Madchen.

Uber alle Schularten hinweg ist die mittlere Punktzahl bei denMadchen genauso groß wie bei den Jungen.

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Intuitiv wird vermutlich außer acht gelassen, dass die mittlerenPunktzahlen mit unterschiedlichem Gewicht in die Gesamtbilanzeingehen.Falschlicherweise wird das arithmetische Mittel der Punktezahlengebildet, also

44 + 52 + 65 + 76

4≈ 59, 3

bei den Jungen und

38 + 47 + 60 + 71

4= 54

analog bei den Madchen.

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Korrekt ist aber Bildung des gewichteten Mittels.

Jungen: 44 · 0, 33 + 52 · 0, 15 + 65 · 0, 27 + 76 · 0, 25 ≈ 58, 9

Madchen: 38 · 0, 18 + 47 · 0, 10 + 60 · 0, 34 + 71 · 0, 38 ≈ 58, 9

Punktezahlen an den Schulen sind mit den Anteilen der einzelnenSchulen an der Gesamtpopulation zu wichten. Die

”Gewichte“ sind

die Anteile der Schulformen an allen Schulen.

Madchen bevorzugt an Schultypen mit hohen Punktzahlen,Jungen eher auch an Schulen mit niedrigen Punktzahlen.Unterschiedliche Gewichte fuhren dazu, dass in derzusammengefassten Datenmenge die Punktezahlen der Jungen undder Madchen etwa gleich sind.

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Simpson-Paradox

Gesamtmenge kann so zerteilt werden, dass ein Merkmal derGesamtmenge im Widerspruch zur Auspragung diesesMerkmals in samtlichen Teilmengen steht.

es gibt keine richtige Antwort

man muss jeweils die Umstande genau anschauenBeispiel TIMSS:

”Dies ist ausschließlich eine Folge der

hoheren gymnasialen Bildungsbeteiligung der Madchen ...“

verbreitete unseriose Methode: nur Gesamtergebnisseveroffentlichen und Teilergebnisse unterschlagen (siehenachstes Beispiel)

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Simpson-Paradox 2Quelle: U. Kuhne: Von Zahlen geblendet. der Freitag. 15.10.2009

Stadt mit 200 000 Einwohnern, darunter 60 000 Auslander

Im Jahr durchschnittlich 110 Schwerverbrechen, davon 51 vonAuslandern, 59 von Deutschen

Was soll dem Zeitungsleser gesagt werden?51

60 000≈ 0, 00085,

59

140 000≈ 0, 00042

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Die Stadt zerfallt in einen”Problembezirk“ (P) und einen

”Speckgurtel“(S).

Problembezirk: 50 000 Deutsche und 50 000 Auslander,durchschnittlich pro Jahr jeweils 50 Schwerverbrechen, alsodieselbe Rate

Speckgurtel: 90 000 Deutsche und 10 000 Auslander,durchschnittlich pro Jahr 1 Schwerverbrechen von einemAuslander und 9 von Deutschen, also dieselbe Rate

Ist das paradox?

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Problembezirk

A D

V 50 50 100

V 49 950 49 950 99 900

50 000 50 000 100 000

|V ∩ A||A| =

|V ∩ D||D| = 0, 001

Speckgurtel

A D

V 1 9 10

V 9 999 89 991 99 990

10 000 90 000 100 000

|V ∩ A||A| =

|V ∩ D||D| = 0, 0001

Gesamte Stadt:

|V ∩ A||A| =

50 + 1

60 000=

50

60 000+

1

60 000

=50

50 000· 50 000

60 000+

1

10 000· 10 000

60 000

= 0, 001 · 5

6+ 0, 0001 · 1

6= 0, 00085

|V ∩ D||D| =

50 + 9

140 000= 0, 001 · 5

14+ 0, 0001 · 9

14= 0, 0042

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Unbekannte Wahrscheinlichkeit/Rate wird geschatzt durch dierelative Haufigkeit aus sehr vielen unabhangigenBeobachtungen unter denselben Bedingungen.

Bedingungen im Problembezirk und im Speckgurtel sind nichtdieselben.

Es sollte die Verbrechensrate geschatzt werden. Sie hangtoffenbar vom Wohnbezirk, nicht aber davon ab, ob jemandAuslander oder Deutscher ist.

Vorsicht bei Zusammenfassung bzw. Zerlegung vonDatenmengen. Manipulationsgefahr!

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Weitere Beispiele:

Sportdaten

Korper, z.B. Puls, Lungenvolumen


okonomische Daten

Fragebogen entwerfen

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Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe II

7 Unterrichtsbeispiele Sekundarstufe IIEinkommenGraphische DarstellungenHaushaltsgeldApfelsaftAktienrendite

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EinkommenGraphische DarstellungenHaushaltsgeldApfelsaftAktienrendite

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Nettoaquivalenzeinkommen ist Haushaltsnettoeinkommengeteilt durch Summe der Bedarfsgewichte, ergibt aquivalentenBetrag eines 1-Personen-Haushaltes.

Gini-Koeffizient beschreibt in einer Skala von 0 bis 1 dieAbweichung von der Gleichverteilung.

Die unteren 50% haben 28,7% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens.

Die oberen 10% haben 24,9% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens

Die Unterschiede nehmen zu.

Quelle: 3. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung 2008

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Lehrbuchbeispiele aus Klasse 11, Elemente der Mathematik,Ausgabe Berlin, Schroedel, 2005

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Median: 1750 Euro arithmetisches Mittel: ?

Informationen suchen63 / 78



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wahlen 5250 Euro als Mitte der letzten Klasse

stark unterschiedliche Klassenbreiten ⇒ Histogramm

rel. Haufigkeit = Breite * HoheKlasse Kl.mitte Kl.breite rel. H. Kl.hohe

[0; 500) 250 500 0,03 6, 0 · 10−5

[500; 900) 700 400 0,12 3 · 10−4

[900; 1500) 1200 600 0,26 4, 3 · 10−4

[1500; 2000) 1750 500 0,18 3, 6 · 10−4

[2000; 2600) 2300 600 0,16 2, 7 · 10−4

[2600; 3200) 2900 600 0,10 1, 7 · 10−4

[3200; 4500) 3850 1300 0,10 7, 7 · 10−5

[4500; 6000) 5250 1500 0,06 4, 0 · 10−5

x = 2077 Euro > Median = 1750 Euro

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Beispiel Aktienrendite – Beitrag zur Aufklarung

F.A.S. 01.07.2007: 3000 Teilnehmer der Leseraktionunterschatzen das Risiko von Aktienfonds und uberschatzendie Renditen

Schlusskurse der Adidas-Aktie zwischen 01.07.2008 und27.10.2008

Daten im Excel-fahigen Format unterhttp://de.finance.yahoo.com

Tagesrendite = (Kurs heute - Kurs gestern)/Kurs gestern

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85 Borsentage

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Renditen nach Klasseneinteilung

85 Renditen in 9 Klassen, in Prozent x = −0, 5, s = 3, 4

k · s-Bereiche: gute Deutung von s bei annahernd glockenformigerVerteilung und vielen Beobachtungen

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Weitere Beispiele:

Sportdaten


okonomische Daten

Bevolkerungspyramide, Sterbetafeln

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Ausgewahlte Probleme

8 Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene

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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene

Kenngroßen der Lage einer Haufigkeitsverteilung

arithmetisches Mittel, haufig auch einfach Mittelwert genannt

gleichmaßige Aufteilung der Gesamtmesssung auf dieMesspunktemarkiert Schwerpunkt der Verteilungempfindlich gegen Außreißerbei asymmetrischer Verteilung stark verschieden vom Median

Median, auch Zentralwert genannt

mindestens die Halfte der Messwerte ist kleiner oder gleichdem Median, mindestens die Halfte ist großer oder gleich demMedianmarkiert Mitte der Verteilungunempfindlich gegen Außreißerbei symmetrischer Verteilung nahe dem arithmetischen Mittel

Am besten beide Werte angeben.

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Streuungsmaße beschreiben Breite der Verteilung

Absolut:

Spannweite: großter - kleinster BeobachtungswertBoxplot: mindestens mittlere 50%

Streuung um einen Lageparameter ⇒ Parchen:

Lage- Streuungs- Kriteriumparameter parameter

arithm. empirischeMittel Streuung 1

n

n∑k=1

(xk − c)2 → min

Median mittl. lineareAbweichung 1

n

n∑k=1

|xk − c | → min

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Division durch n − 1 oder durch n?

x1, x2, . . . xn Beobachtungswerte

Maß fur das Streuen dieser Werte?

(xi − xj)2, n2 Paare, mittlerer quadratischer Abstand:

1

n2

n∑i ,j=1

(xi − xj)2

Umformung:n∑i ,j

(xi − xj)2 =

n∑i ,j

(xi − x + x − xj)2

=n∑i ,j

(xi − x)2 +n∑i ,j

(xj − x)2 + 2n∑i ,j

(xi − x)(x − xj)

= 2n∑i ,j

(xi − x)2 = 2nn∑

i=1(xi − x)2

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Division durch n2:

1

n2

n∑i ,j

(xi − xj)2 =

2

n

n∑i=1

(xi − x)2 = 2 · s2n (∗)

Modifikation: nur”echte“ Differenzen:

n∑i ,j

(xi − xj)2 =

n∑i<j

(xi − xj)2 +

n∑i>j

(xi − xj)2

= 2n∑

i<j(xi − xj)

2 (aus Symmetriegrunden)

n∑i<j

(xi − xj)2 = 1

2

n∑i ,j

(xi − xj)2 = n2 · s2

n

1n2−n

2

n∑i<j

(xi − xj)2 = 2

n−1 · n · s2n = 2 · s2

n−1

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Die mittleren quadratischen Abstande fuhren auf die Großen

s2n =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2

bzw.

s2n−1 =

1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2.

Das sind mittlere quadratische Abweichungen vom Mittelwert x .Bei kleinem n ist das Gewicht jedes Terms (xi − xj)

2 großer als beigroßem n. Bezieht man die Nullterme (xi − xi )

2 gleichberechtigtein, so druckt das den Durchschnitt. Die empirische Streuung s2

n

unterschatzt daher bei kleinen n die Varianz.

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Begriffspaare

Beobachtungsebene Modellebene

relative Haufigkeit einesErgebnisses hn(ω)

Wahrscheinlichkeit einesErgebnisses P(ω)

relative Haufigkeit einesEreignisses hn(A)

Wahrscheinlichkeit einesEreignisses P(A)

arithmetisches Mittel vonMessdaten x

Erwartungswert einer Zu-fallsgroße E (X )

empirische Streuung vonMessdaten s2

n oder s2n−1

Varianz einer Zufalls-große Var(X )

⇒ . . . liefert einen Schatzwert fur ...

⇐ . . . trifft eine Vorhersage fur ...

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