Didaktik der Geometrie 7.1Jürgen Roth
Didaktik der Geometrie
Didaktik der Geometrie 7.2Jürgen Roth
Inhalte
Didaktik der Geometrie
1 Ziele und Inhalte
2 Begriffsbildung
3 Konstruieren
4 Argumentieren und Beweisen
5 Problemlösen
6 Entdeckendes Lernen
7 Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.3Jürgen Roth
Kapitel 7:
Trigonometrie
Didaktik der Geometrie
Didaktik der Geometrie 7.4Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 7: Trigonometrie
7.1 Seitenverhältnisse und Winkel
im rechtwinkligen Dreieck
7.2 Winkel im Einheitskreis
7.3 Sinussatz, Kosinussatz
und Additionstheoreme
7.4 Trigonometrische Funktionen
7.5 Angewandte Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.5Jürgen Roth
7.1 Seitenverhältnisse
und Winkel im
rechtwinkligen Dreieck
Kapitel 7: Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.6Jürgen Roth
Drehleiter
Didaktik der Geometrie 7.7Jürgen Roth
Benutzungs-
feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html
Didaktik der Geometrie 7.8Jürgen Roth
Benutzungs-
feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html
Didaktik der Geometrie 7.9Jürgen Roth
Benutzungs-
feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirushttp://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html
Didaktik der Geometrie 7.10Jürgen Roth
Benutzungs-
feldanzeigeLeppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 111
Didaktik der Geometrie 7.11Jürgen Roth
Steigung
Didaktik der Geometrie 7.12Jürgen Roth
Steigung
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens_steigung_laengenverhaeltnis.html
Didaktik der Geometrie 7.13Jürgen Roth
Seitenverhältnisse im
rechtwinkligen Dreieckhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/seitenverhaeltnisse_im_rechtwinkligen_dreieck.html
Didaktik der Geometrie 7.14Jürgen Roth
Einführung des
Sinus im SchulbuchVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110
Didaktik der Geometrie 7.15Jürgen Roth
Einführung des
Sinus im SchulbuchVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110
Didaktik der Geometrie 7.16Jürgen Roth
Besondere Sinus-
und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html
Didaktik der Geometrie 7.17Jürgen Roth
Besondere Sinus-
und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html
Didaktik der Geometrie 7.18Jürgen Roth
Besondere Sinus- &
Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html
Didaktik der Geometrie 7.19Jürgen Roth
Besondere Sinus-
und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html
Didaktik der Geometrie 7.20Jürgen Roth
Besondere Sinus-,
Kosinus- und Tangenswerte
𝜶 im Gradmaß 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎°
𝜶 im Bogenmaß 𝟎𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝝅
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝟎𝟏
𝟐
𝟏
𝟐𝟐
𝟏
𝟐𝟑 𝟏
Merkhilfe
für 𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝟏
𝟐𝟎
𝟏
𝟐𝟏
𝟏
𝟐𝟐
𝟏
𝟐𝟑
𝟏
𝟐𝟒
𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟏𝟏
𝟐𝟑
𝟏
𝟐𝟐
𝟏
𝟐𝟎
𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟎𝟏
𝟑𝟑 𝟏 𝟑
nicht
definiert
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte_loesung.html
Didaktik der Geometrie 7.21Jürgen Roth
Steigung
Es gilt:
12
12
xx
yy
x
ym
t: Schnittstelle Graph ↔ y-Achse (Achsenabschnitt)
m: Steigung des Graphen
P1(x1|y1) und P2(x2|y2) Gg
P2(x2|y2)
P1(x1|y1)
g
α
x1 x2
y1
y2
y
x
α
t
tan
Ankathete
teGegenkathe
g: x m · x + t
Didaktik der Geometrie 7.22Jürgen Roth
7.2 Winkel im
Einheitskreis
Kapitel 7: Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.23Jürgen Roth
Winkelfunktionen am
Einheitskreis
𝟎° < 𝜶 < 𝟗𝟎° bzw. 𝟎 < 𝜶 <𝝅
𝟐𝟗𝟎° < 𝜶 < 𝟏𝟖𝟎° bzw.
𝝅
𝟐< 𝜶 < 𝝅
Didaktik der Geometrie 7.24Jürgen Roth
Winkelfunktionen am
Einheitskreis
𝟏𝟖𝟎° < 𝜶 < 𝟐𝟕𝟎° bzw. 𝝅 < 𝜶 <𝟑
𝟐𝝅 𝟐𝟕𝟎° < 𝜶 < 𝟑𝟔𝟎° bzw.
𝟑
𝟐𝝅 < 𝜶 < 𝟐𝝅
Didaktik der Geometrie 7.25Jürgen Roth
(sin )2 + (cos )2 = 1
Winkelfunktionen am
Einheitskreis
Mit dem Satz des Pythagoras
ergibt sich für jeden Winkel :
Didaktik der Geometrie 7.26Jürgen Roth
7.3 Sinussatz, Kosinussatz
und Additionstheoreme
Kapitel 7: Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.27Jürgen Roth
Vermessung –
Dreiecksberechnung
Vermessung des
Königreichs Hannover
Didaktik der Geometrie 7.28Jürgen Roth
Berechnung im
allgemeinen DreieckBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 142
Didaktik der Geometrie 7.29Jürgen Roth
Sinussatz
In Dreiecken verhalten sich die Seitenlängen
wie die Sinuswerte der Gegenwinkel.
𝑎: 𝑏: 𝑐 = sin 𝛼 : sin 𝛽 : sin(𝛾)
In Dreiecken ist der Quotient aus Seitenläge
und Sinuswert des Gegenwinkels konstant.
𝑎
sin 𝛼=
𝑏
sin 𝛽=
𝑐
sin 𝛾
bzw.
Didaktik der Geometrie 7.30Jürgen Roth
Sinussatz
r2sin
a
rsin 2
a
sin
aBedeutung von :
Da der Mittelpunktswinkel
doppelt so groß wie der
Umfangswinkel ist, gilt:
Die Konstante Seitenlänge
sin(Gegenwinkel)
ist der Durchmesser des Dreiecksumkreises.
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143
Didaktik der Geometrie 7.31Jürgen Roth
Sinussatz – Folgerungen
Ist 𝒔 eine Sehne im Kreis mit Durchmesser 𝒅 und
𝝋 ein zugehöriger Umfangswinkel, dann gilt:
𝒔 = 𝒅 ⋅ 𝐬𝐢𝐧(𝝋)
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143
Didaktik der Geometrie 7.32Jürgen Roth
Sinussatz – Folgerungen
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 gilt:
𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 =12𝑎 ⋅ ℎ𝑎 =
12𝑏 ⋅ ℎ𝑏 =
12𝑐 ⋅ ℎ𝑐
Wegen ℎ𝑐 = 𝑏 ⋅ sin bzw. ℎ𝑐 = 𝑏 ⋅ sin 180° − = 𝑏 ⋅ sin
und entsprechenden für ℎ𝑏 bzw. ℎ𝑎 folgt:
𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 =12𝑎𝑏 ⋅ sin 𝛾 = 1
2𝑎𝑐 ⋅ sin 𝛽 = 1
2𝑏𝑐 ⋅ sin 𝛼
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt
aus zwei Seitenlängen und dem Sinus des Zwischenwinkels.
Didaktik der Geometrie 7.33Jürgen Roth
Vermessung –
Dreiecksberechnung Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S 134
Didaktik der Geometrie 7.34Jürgen Roth
Kosinussatz
Bemerkung
Der Kosinussatz ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras.
Für 𝜸 = 90° geht die Gleichung 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 2𝒂𝒃 ⋅ cos 𝜸 des
Kosinussatzes in die Gleichung 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 des Satzes des
Pythagoras über.
Kosinussatz: In einem Dreieck ist das Quadrat einer Seite so
groß wie die Summe der Quadrate der beiden
anderen Seiten, vermindert um das doppelte
Produkt dieser Seiten und des Kosinus ihres
Zwischenwinkels.
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 2𝒂𝒃 ⋅ cos 𝜸𝒃𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒄𝟐− 2𝒂𝒄 ⋅ cos 𝜷𝒂𝟐 = 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐− 2𝒃𝒄 ⋅ cos 𝜶
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145
Didaktik der Geometrie 7.35Jürgen Roth
Kosinussatz – Beweis
Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für das schraffierte Dreieck:
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145
Didaktik der Geometrie 7.36Jürgen Roth
Additionstheoreme
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/additionstheoreme.html
sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽
Didaktik der Geometrie 7.37Jürgen Roth
7.4 Trigonometrische
Funktionen
Kapitel 7: Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.38Jürgen Roth
Bogenlänge und Bogenmaß
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/bogenmass.html
Didaktik der Geometrie 7.39Jürgen Roth
Abwicklung der
Sinusfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinus.html
Didaktik der Geometrie 7.40Jürgen Roth
Abwicklung der
Kosinusfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/kosinus.html
Didaktik der Geometrie 7.41Jürgen Roth
Abwicklung der
Tangensfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens.html
Didaktik der Geometrie 7.42Jürgen Roth
Abwicklung der
Winkelfunktionenhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/trigonom.html
Didaktik der Geometrie 7.43Jürgen Roth
Funktionen des Typs
asin(b(x+c))+dhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html
Didaktik der Geometrie 7.44Jürgen Roth
x sin x, xR
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 184
Didaktik der Geometrie 7.45Jürgen Roth
x sin x, xR
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 185
Didaktik der Geometrie 7.46Jürgen Roth
Sinusfunktion:
Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193
Didaktik der Geometrie 7.47Jürgen Roth
Sinusfunktion:
Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193
Didaktik der Geometrie 7.48Jürgen Roth
Sinusfunktion:
Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 194f
Didaktik der Geometrie 7.49Jürgen Roth
x cos x, xR
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 186f
Didaktik der Geometrie 7.50Jürgen Roth
𝒙 ↦ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 187
Didaktik der Geometrie 7.51Jürgen Roth
Funktionen des Typs
𝒂 ⋅ 𝒕𝒂𝒏 𝒃 ⋅ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html
Didaktik der Geometrie 7.52Jürgen Roth
𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 189
Didaktik der Geometrie 7.53Jürgen Roth
𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190
Didaktik der Geometrie 7.54Jürgen Roth
𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190
Didaktik der Geometrie 7.55Jürgen Roth
𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝒙 und 𝐭𝐚𝐧 𝒙 für kleine 𝒙
Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 192
Didaktik der Geometrie 7.56Jürgen Roth
Umkehrungen der trigono-
metrischen Funktionenhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/umkehrungen.html
Didaktik der Geometrie 7.57Jürgen Roth
7.5 Angewandte
Trigonometrie
Kapitel 7: Trigonometrie
Didaktik der Geometrie 7.58Jürgen Roth
Schwingungen
Didaktik der Geometrie 7.59Jürgen Roth
Schwingungen
Didaktik der Geometrie 7.60Jürgen Roth
Schwingungen
Didaktik der Geometrie 7.61Jürgen Roth
Schwingungen
Didaktik der Geometrie 7.62Jürgen Roth
Vermessung
Didaktik der Geometrie 7.63Jürgen Roth
Jakobsstab
• Längsstab am Jochbein unter dem Auge ansetzen.
• Querstück so lange verschieben, bis dessen Enden den
Horizont und den angepeilten Stern gerade überdecken.
• Die halbe Länge des Querstabes, dividiert durch die am
Hauptstab abgelesene Länge, (Abstand vom Auge zum
Querstab) ergibt den Tangens des halben gesuchten
Winkels zwischen Horizont und Stern.
• Der Längsstab wird oft so skaliert, dass für eine bestimmte
Querstablänge der Winkel direkt abgelesen werden kann.
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/jakobsstab.html
Didaktik der Geometrie 7.64Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 109
Didaktik der Geometrie 7.65Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116
Didaktik der Geometrie 7.66Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116
Didaktik der Geometrie 7.67Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117
Didaktik der Geometrie 7.68Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117
Didaktik der Geometrie 7.69Jürgen Roth
Jakobsstab
Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117
Didaktik der Geometrie 7.70Jürgen Roth
Theodolit
Didaktik der Geometrie 7.71Jürgen Roth
Marine-Sextant
Didaktik der Geometrie 7.72Jürgen Roth
Marine-Sextant
Didaktik der Geometrie 7.73Jürgen Roth
Mathe-Meisterschaft
Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139
Didaktik der Geometrie 7.74Jürgen Roth
Mathe-Meisterschaft
Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139