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Berichte
Stahlbau 73 (2004), Heft 3
Lösung und Gewinner der Weihnachtspreisaufgabe 2003
1 Aufgabenstellung Wie üblich, gelten für die in Bild 1 defi-nierten Zustandsgrößen die differentiel-len Beziehungen:
(2)
(3)
(4)
(5)
Aus den Gln. (1) und (5) erhält man dieDifferentialgleichung
(6)
Mit der Abkürzung
(k Konstante) (7)
wird für w folgender Lösungsansatz ge-macht:
(8)
Als vierte Ableitung erhält man:
(9)
Nach Einsetzen in die Differentialgleichungergibt sich:
(10)
3 Lösung der vorliegenden Aufgabe
Für die Lösung wird die linke Hälfte dessymmetrischen Systems betrachtet. Bild 2zeigt das verformte System und die maß-gebenden Randbedingungen in den End-punkten a und c.
k
aEI
4 = �
′′′′ =w k w4
w A B
C D
= + ++ +
cosh cos
sinh sin
� �
� �
� = kx
′′′′ − =w
aEI
w�
0
q Q EIw= − ′ = ′′′′
Q M EIw= ′ = − ′′′
M EI EIw= − ′ = − ′′�
� = ′w
Gegeben:Länge �1, Trägerabstand a (normal zur Systemebene),Wichte des Wassers �.
Gesucht:Mindestbiegesteifigkeit EI, so daß für beliebige Kraglängen �2Regenwasser stets abfließt,maßgebende Länge �2.
Annahmen:Dachhaut (unter Eigengewicht) eben undhorizontal, Wasserabfluß normal zur Systemebenenicht möglich.
Hinweise:– Bei Wasserbelastung kann für die Trä-gerdurchbiegung w(x), gemessen von derWasseroberfläche, als Ansatz eine Linear-kombination von sin(kx), cos(kx), sinh(kx)und cosh(kx) verwendet werden (k Kon-stante).– Für einen geeignet gewählten (dimen-sionslosen) Eigenwert existiert eine ein-zige, sehr einfache (transzendente) Be-stimmungsgleichung.
Bild 1. Definition der Zustandsgrößen desStabs unter Wasserlast
2 Biegefunktion w für einenallgemeinen, horizontalen Stabunter Wasserlast
Bei einem Trägerabstand a, der Wichte �des Wassers und der Durchbiegung w ge-mäß Bild 1 beträgt die Streckenlast desStabes:
(1)q aw= �
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Stahlbau 73 (2004), Heft 3
Für die beiden Stababschnitte s = 1und 2 gilt gemäß Gl. (8) für die Durch-biegung und deren Ableitungen:
(11)
(12)
(13)
(14)
mit
(15)
Abschnitt a–b (Stab 2)Die Randbedingungen wa = 0, Ma = 0und Qa = 0 liefern
(16)
(17)
Mit der Vereinbarung
(18)
erhält man für die Stelle b:
(19)
(20)
(21)′′( ) = −( )w C k2 2 2 2 22l sinh sinε ε
′ ( ) = +( )w C k2 2 2 2 2l cosh cosε ε
w C2 2 2 2 2l( ) = +( )sinh sinε ε
ε2 2= kl
′′′( ) = −( ) =
→ =
w C D k
D C2 2 2
3
2 2
0 0
w A B
w A B k
A B
2 2 2
2 2 22
2 2
0 0
0 0
0
( ) = + =
′′( ) = −( ) =
→ = =
�s skx=
′′′ = + +(+ − )
= −
w A B
C D k
EIQ
s s s s s
s s s s
s
sinh sin
cosh cos
� �
� � 3
1
′′ = − +(+ − )
= −
w A B
C D k
EIM
s s s s s
s s s s
s
cosh cos
sinh sin
� �
� � 2
1
′ = − +(+ + )
=
w A B
C D k
s s s s s
s s s s
s
sinh sin
cosh cos
� �
� �
�
w A B
C Ds s s s s
s s s s
= + ++ +
cosh cos
sinh sin
� �
� �
Abschnitt b–c (Stab 1)Die Randbedingungen �c = 0 und Qc = 0liefern
(22)
Mit der Vereinbarung
(23)
erhält man für die Stelle b:
(24)
(25)
(26)
An der Stelle b ändern sich wb, �b undMb nicht, so daß sich die Übergangsbe-dingungen w2(�2) = w1(–�1), w�2(�2) =w�1(–�1) und w�2(�2) = w�1(–�1) ergeben.Nach Einsetzen erhält man folgendes ho-mogene Gleichungssystem:
(27)
(28)
(29)
Summe von Gln. (27) und (29):
(30)
Differenz von Gl. (27) und (29):
(31)
Einsetzen in Gl. (28) und Kürzen durchC2 ≠ 0 ergibt:
(32)
Nach Umformen:
(33)
oder
(34)cosh cos cos coshε ε ε ε1 1 0+ =
cosh cosh sinh sinh cos
cos cos sin sin cosh
ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 0
+( ) +
+ −( ) =
− +
= +
sinhcosh
sinhsincos
sin
cosh cos
εε
ε εε
ε
ε ε
2
11
2
11
2 2
2 21 1 2 2
12
12
B C
B C
cos sin
sincos
ε εεε
=
→ =
2 21 1 2 2
12
12
A C
A C
cosh sinh
sinhcosh
ε εεε
=
→ =
A B
C1 1 1 1
2 2 2
cosh cos
sinh sin
ε εε ε−
= −( )
− += +( )
A B
C1 1 1 1
2 2 2
sinh sin
cosh cos
ε εε ε
A B
C1 1 1 1
2 2 2
cosh cos
sinh sin
ε εε ε+
= +( )
′′ −( ) = −( )w A B k1 1 1 1 1 12l cosh cosε ε
′ −( ) = − +( )w A B k1 1 1 1 1 1l sinh sinε ε
w A B1 1 1 1 1 1−( ) = +l cosh cosε ε
ε1 1= kl
′ ( ) = +( ) =
′′′( ) = −( ) =
→ = =
w C D k
w C D k
C D
1 1 1
1 1 13
1 1
0 0
0 0
0
mit
(35)
Darin sind ε1 und ε unbekannt. Die zweiteerforderliche Gleichung wird aus der Be-dingung erhalten, daß EI als Funktionvon �2 maximal wird, also k und ε1 mi-nimal werden. Damit gilt
(36)
Die Ableitung von Gl. (35) ergibt:
(37)
Die Ableitung von Gl. (34) nach �2 lie-fert damit:
(38)
oder
(39)
Die beiden Gln. (34) und (39) können alshomogenes Gleichungssystem für die bei-den Unbekannten U1 = cos ε1 und U2 =cosh ε1 angesehen werden. Nullsetzen derDeterminante liefert dann:
(40)
oder
(41)
also die gesuchte Bestimmungsgleichung,die nur noch die eine Unbekannte ε ent-hält.
Die maßgebende Lösung lautet:
Gl. (34) oder (39) liefert dann
Daraus erhält man
Die gesuchte Biegesteifigkeit berechnetsich gemäß Gl. (10) aus:
4 Zusammenfassung der Ergebnisse
Für den dimensionslosen Eigenwert
lautet die gesuchte Bestimmungsgleichung
tanh tanε ε+ = 0
ε = = = +k mit k
aEI
undl l l l�4
1 2
EIa
ka a= =
=�� �
41
1
4
140 34506
ll
ε,
l l l l2 1 10 8126= − = ,
l l l= =εε1
1 11 8126,
ε1 1 3047= ,
ε = 2 3650,
tanh tan ,ε ε+ = 0
sinh cos sin coshε ε ε ε+ = 0
sinh cos sin coshε ε ε ε1 1 0− =
sinh cos sin coshε ε ε ε1 1 0−( ) =k
dd
kεl 2
=
dkd
ddl l2
1
20 0= =,
ε
ε ε ε= + = +( )1 2 1 2k l l
Bild 2. Linke Symmetriehälfte des Systems,Biegelinie und maßgebende Randbedingun-gen
mit der Lösung
Die größte Mindestbiegesteifigkeit EI wirdfür
erhalten. Diese beträgt
Prof. Dr. Helmut Rubin, Wien
Die nächste Weihnachtspreisaufgabe er-scheint in Heft 11 dieses Jahres.
Gewinner:Folgende Personen erhalten für ihre rich-tige Lösung als Prämie ein Buch nachWahl aus dem Programm des VerlagesErnst & Sohn:
– Prof. Jukka Aalto, Structural Mecha-nics, Helsinki University of Technology,P.O.Box 2100, FIN – 02015 Hut, Finn-land– Thomas Benz, Heugärtenweg 5, 72108Rottenburg
EI a= 0 34506 14, � l
l l2 10 8126= ,
ε = 2 3650,
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Stahlbau 73 (2004), Heft 3
– Horst Dennulat, Kirchstraße 18, 51702Bergneustadt– Dr.-Ing. Rudolf Findeiß*, Sailer Ste-pan & Partner GmbH, Simmernstr. 10,80804 München– Prof. Dr.-Ing. Udo Fischer*, Stieglitz-weg 9, 39110 Magdeburg– Dr. Theo Geidner, Parkstraße 71, 87439Kempten– Dipl.-Ing. Georg Geldmacher, Techni-sche Universität Darmstadt, Institut fürStahlbau u. Werkstoffmechanik, Alexan-derstraße 7, 64283 Darmstadt– Per Haaland, c/o Dr. techn. Olav Ol-sen a.s, Dicks vei 10, N – 1324 Lysaker,Norwegen– Dipl.-Ing. Bruno Kaschke*, Clausewitz-straße 3, 10629 Berlin– Dr.-Ing. Jürgen Kühn*, KronthalerWeg 26, 61476 Kronberg i. Ts.– Dr.-Ing. Lutz Nasdala, Universität Han-nover, Institut für Statik, Appelstraße 9A,30167 Hannover– Juha Paavola, Ristiniementie 6 C 2,FIN – 02320 Espoo, Finnland– Dipl.-Ing. Dr. techn. Wilhelm Pilgram*,Fünkhgasse 6/14, A-1140 Wien, Öster-reich– Dr. Günter Ramberger*, Ferrogasse 6,A – 1180 Wien, Österreich
– Tim Rutkowski, Lilienstraße 10, 30167Hannover– Prof. Dr.-Ing. Richard Schardt, Tech-nische Hochschule Darmstadt, Institut fürStatik, FB 13, Alexanderstraße 7, 64283Darmstadt– Dr.-Ing. Ulrich Schmidt, KipsdorferStraße 187, 01279 Dresden– Dr.-Ing. Knut Schwarze, Am Stoß 9,57234 Wilnsdorf– Eero-Matti Salonen, Emeritus profes-sor in mechanics, Sibeliuksenkatu 3 B 25,FIN – 00250 Helsinki, Finnland– Dr. techn. Erwin Volke, Karlsforster-straße 37, 41564 Kaarst– Dipl.-Ing. Jörn Weichert*, Brandenbur-gische Technische Universität Cottbus,Lehrstuhl Statik und Dynamik, Univer-sitätsplatz 3–4, 03044 Cottbus
Die mit * gekennzeichneten Teilnehmerhaben die Bestimmungsgleichung (41) ge-funden und erhalten zusätzlich vom Auf-gabensteller die Vollversion des Stabwerk-programms IQ 100 des Instituts für Bau-statik der Technischen Universität Wien.
Die Redaktion dankt für die regeBeteiligung und gratuliert allen Gewin-nern.