Methoden derPsychologie
Multivariate Analysemethoden
Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz
Methoden derPsychologie
Vorlesung
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Verfahrensdarstellung in • Überblick • Grundprinzip• wichtigsten mathematischen Beziehungen• Anwendungsbeispielen• Durchführung mit Excel und Statistica
Übung/Tut Vermittlung von Hintergründen/Voraussetzungen • Grundlagen (Vektoren/Matrizen)• Wiederholung / Durcharbeiten der Beispiele• Aufgaben und Anwendungen auf verwandte
ProblemePrüfung
• Klausur zum Abschluss des Moduls gemeinsam mitTesttheorie
Methoden derPsychologie
Literatur
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
a) b)
c) d)
Methoden derPsychologie
Inhalte imSS 2019
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Multivariate Distanz
Grundlagen
Vektoren / Matrizen
Eigenwertzerlegung
Methoden derPsychologie
Inhalte imSS 2019
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Multiple Regression
Verfahren
MDS
Faktorenanalyse
Diskrimimanzanalyse
Kanonische Korrelation
MultivariateKlassifikation
StatistischesEntscheiden
Methoden derPsychologie
Einteilung
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Latente Variable
• Faktorenanalyse• Diskriminanzanalyse• MDS• Strukturgleichungen• Kanonische Korrelation
Konkrete Variable
• Multiple/LogistischeRegression
• T2 / MANOVA• Conjoint Measurement• Kanonische Korrelation
Multivariate Analysemethoden
Methoden derPsychologie
Mittelwertsprüfung bei mehreren Variablen
Beispiel
X1: GehaltX2: EntscheidungsfreiheitX3: Qualität der Kommunikation
ArbeitX4: EheX5: Freunde/BeziehungenX6: Sexualität
Privatsphäre
X7: LebensansprücheX8: Sinnhaftigkeit
PersonX9: HobbiesX10: Sport/Fitness
Aktivität
1 2 10, , ,x x x
Lebenszufriedenheit
Gesunde Herzinfarktpatienten
10 Variablen
2 Gruppen
Methoden derPsychologie
Multivariate Mittelwertsvergleiche - Einzeltestungen
Teststrategie
Ausweg
Frage Unterscheiden sich Gesunde und Patienten im Variablen-komplex Lebenszufriedenheit?
Wir testen auf jeder der 10 Skalen den Gruppenunterschied mit einem t- Test. Wenn irgend einer der Tests signifikantwird, sehen wir die Gruppen als verschieden an.
Probleme 1. Multiples Testen: Dieselbe Hypothese wird 10 mal geprüft.2. Unterstellte Unabhängigkeit: Man behandelt die einzelnen
Skalen als unabhängig voneinander.3. Fehlendes Konstrukt: Lebenszufriendenheit wird nicht als
Variablenkomplex mit Binnenstruktur behandelt.4. Mangelnde Teststärke: Man nutzt nicht die Korrelations-
struktur der Variablen für einen leistungsfähigen Test.
Verwendung eines multivariaten Tests, der die Information aller 10 Variablen und ihrer Korrelationsstruktur in einestatistische Prüfgrösse einfliessen lässt.
Methoden derPsychologie
Latente Variable
Verfahren Latente Variable
Multidimensionale Skalierung
Problem:
Positionierung von Messobjekten in einem latenten Raum (hier: Wahrnehmungsraum)
Möglichkeiten:
Faktorenanalyse MultidimensionaleSkalierung
Methoden derPsychologie
LatenteVariable
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Faktor / MDS
Demo - Beispiel mit Excel und Statistica
Methoden derPsychologie
Multivariates Testen
Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?
Grundüberlegungen zum Unterschied des Testens mit einer AV und mehreren AVs
Grundprinzip und Beispiel anhand einer 2 Vars – 2 Groups Diskriminanzanalyse
Methoden derPsychologie
Multivariate Mittelwertsvergleiche - Verfahren
MultivariatesTestkonstrukt
Variablen-komplex
Verfahren
1 2 10, , ,x x x
Multivariate Distanz(Mahalanobisdistanz)
Multivariate Quadratsummen(SSCP-Matrizen-Zerlegung)
Optimale Linearkombination(Linear Discriminant Function)
Hotelling‘s T2 MANOVA Diskriminanz-Analyse
Alle Verfahren entscheiden über den Gruppenunterschied imgesamten Variablenkomplex mit einem statistischen Test
Methoden derPsychologie
Grundprinzip(2 Gruppen)
Multivariates Testen - Diskriminanzanalyse
1 2, , , mx x x
Für die m Variablen
finde eine Linearkombination zu einer neuen Variable
0 1 1 2 2 m my b b x b x b x
so dass diese die Gruppen c1 und c2 optimal trennt.
Das Optimierungskriterium für die Wahl der bj lautet
erklärte Variation maxnicht erklärte Variation
Between
Within
QSQS
= =
Die der bj sind so zu wählen, dass auf der neuen Variable y die Streuung zwischen den Gruppen zu der Streuung innerhalb der Gruppen ein maximales Verhältnis hat.
Kriterium derOptimierung
Methoden derPsychologie
2D-Beispiel Man möchte trennen
anhand von
Anforderung
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
Stechmückenc1
Blindmückenc2
Fühlerlängex1
2 Gruppen
2 Variablen Flügellängex2
• Maximale Gruppentrennung (Mittelwerte)• Minimale Klassifikationsfehler (Fall-Klassifikation)
Methoden derPsychologie
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
(Fühlerlänge)
Blindmücke
Stechmücke
Variablenraum
• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2)möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).
• In beiden Gruppen existiert eine Korrelation der Variablen Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2).
Ausgangslage
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
x1
(Flügelänge)x2
Regression Stechmücke
Regression Blindmücke
Methoden derPsychologie
Bestes Kriterium auf x1
Blindmücke
Stechmücke
• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2)möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).
• Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X1und X2 offenbar nicht.
Problem
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
x1
x2
Bestes Kriterium auf x2
Variablenraum
Methoden derPsychologie
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
(Fühlerlänge)
Blindmücke
Stechmücke
Variablenraum
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
x1
(Flügelänge)x2
Kriteriumsfunktion
Lösung Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c1), unterhalb Blindmücke (c2).
Somit folgt die Klassifikationsfunktion
( ) 1 2 11 2
2 2 1
, wenn ,
, wenn c x ax b
g x xc x ax b
− >= − ≤
2 1x b ax= +
2 1x b ax= +
Methoden derPsychologie
Einfache Lösung
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel α drehen !
x1
1x′
2x′x2
α
α
Zentrierung&
Rotation !
Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x‘1maximiert, und x‘2 steht senkrecht x‘1. Eine Parallele zu x‘2 liefert das optimale Trennkriterium.
Methoden derPsychologie
z-Standard
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
standardisiert
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
z1
z2
Methoden derPsychologie
z-Standard
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
Diskriminanz-funktion
• Die neue x- Achse z1‘ ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßtsich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden.
1 1 1 2 2z b z b z′ = +
• Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten:
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
z‘1
z‘2
Koordinaten rotiert um α = 46° (clockwise)
Methoden derPsychologie
y: Linear-kombination
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
Koeffizientenvon y
Das Auffinden der Koeffizienten b1 und b2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel α zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems.
y (Diskriminanzfunktion)
Kriterium y0
1 1
2 2
cos sinsin cos
z zz z
α αα α
′− = ′
1 2 1
1 2 2
cos sinsin cos
z z zz z z
α αα α
′− =′+ =
Da 1y z′= gilt
1 1 2 2y b z b z= +
mit 1 cosb α= und 2 sinb α= −
[Excel-Beispiel]
Methoden derPsychologie
Rotation zury - Funktion
2D Beispiel Diskriminanzanalyse
y (Diskriminanzfunktion)
z1
z2
Klassifikation • Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y0.
• Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y.
y (Diskriminanzfunktion)
Kriterium y0