Floquet-Theorie Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten · 2011. 12. 19. · Floquet – Matrix (2) 7.12.2011 | Institut für Angewandte Physik | Seminar Nichtlineare

Floquet-Theorie –

Differentialgleichungen mit

periodischen Koeffizienten

Januar 2011 | Institut für Angewandte Physik | Nichtlineare Optik/Quantenoptik | Friederike Fassnacht | 1

[1]

Motivation

7.12.2011 | Institut für Angewandte Physik | Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik | Friederike Fassnacht | 2

Grundgleichung der Quantenmechanik:

• Wie sieht aus?

• Welche Energieeigenwerte hat das System?

• Wie ist die Zeitentwicklung?

Sonderfälle:

Fourier-Entwicklung


Entwicklung in eine periodische Reihe

Für jede periodische Funktion

f(t)=f(t+T) gilt:

[2]

Differentialgleichungssystem


Homogenes, lineares,

Differentialgleichungssystem:

Mit:

Floquet, 1883; [3]

Form der Lösungen


Nach Floquet mindestens eine Lösung der Form:

Fourier – Entwicklung:

: Floquet-Exponenten

Satz von Floquet


Satz von Floquet:

sind die charakteristischen Exponenten,

maximal N verschiedene

[5]


Atom im Lichtfeld - Anwendung

Entwicklung der Schrödingergleichung


Periodische Hamiltonian :

Entwicklung der Wellenfunktion :

: Basiszustände


b: Index der Basiszustände

n: Index der Fourier-Reihe von H

Einsetzen in die Schrödingergleichung und

Multiplizieren mit :

Ausgangssituation – vereinfacht


Zwei-Niveau-System,

Periodische Wechselwirkung

von außen (Lichtfeld) mit ω

Zwei-Niveau-Atom – Hamiltonian


Dipoloperator


Das elektrische Feld:

mit


Externe, sinusförmige Anregung:

Vereinfachung der Notation:

Koeffizientenbestimmung


Bestimmungsgleichungen für

Zwei Gleichungssysteme: für gerade und ungerade m

Drehwellennäherung: geschlossenes System

Floquet –Matrix (1)


Differentialgleichungssystem,

F ist die Floquet-Matrix

Floquet – Matrix (2)


Eigenschaften:

Gekoppeltes Differentialgleichungssystem

Unendlichdimensional

Eigenwerte von F heißen Floquet-Exponenten Z

Quasienergien

sind die Komponenten der Eigenzustände

Generalisierung der Dressed States der

Drehwellennäherung

Ziel: Lösung

Lösungsansatz Zwei-Niveau-System


Explizite Zeitabhängigkeit der Koeffizienten (gerade m):

Eigenwertgleichung:

Eigenwertgleichung


Nichttriviale Lösungen

Drehwellennäherung im Floquet-Bild


Drehwellennäherung: Schnell oszillierende Terme vernachlässigt

A0 und B-1 dominieren die Eigenwerte

Sind bestimmende Komponenten der Eigenvektoren

innere 2x2-Matrix wird betrachtet

Drehwellennäherung


Grenzbetrachtung :

Wechselwirkungsbild, deswegen

Energieeigenwerte:

1. Korrektur zu Energieeigenwerten


Annährung durch Hinzunahme weiterer Terme:

weg Zwei-Niveau-Näherung


Größe der Korrekturen?

Bloch-Siegert-Verschiebung


Änderung der Energieeigenwerte in Abhängigkeit

von der Größe der betrachteten Matrix:

Drehwellennäherung im optischen Bereich:

Vollständige Energieeingenwerte


Höheren harmonischen Seitenbänder,

Sehr unwahrscheinlich

Eigenwerte ohne Kopplung


Energieeigenwerte in Abhängigkeit

des Energieabstandes

zwischen den beiden Zuständen

Entwicklung der Eigenwerte


Abhängigkeit der Eigenwerte vom Energieabstand zwischen

den Niveaus

Rabi-Aufspaltung

1 3 5 2 4

Multiphotonresonanz


Koeffizienten mit große m

können nicht generell

Vernachlässigt werden

ungerade m

weitereTerme

in Floquet-Matrix

Übergangswahrscheinlichkeiten


Übergangswahrscheinlichkeiten im Zwei-Niveau-System:


Floquet-Lösungen im Festkörper:

Bloch – Wellen

Bandstruktur


E

k

verboten

Zustände der Elektronen im Festkörper:

Energiebänder

Festkörper - Beispiel


Näherung:

Ein Elektron im periodischen Gitter, eindimensional

x

V(x)

V(x)=V(x+a)

[6]

Lösungscharakteristika


Differentialgleichung 2. Ordnung

zwei unabhängige Lösungen

Immer gilt:

Hamiltonian und Translationsmatrix kommutieren

gleiche Eigenbasis

Aus der Diagonalform:

Floquet-Lösung!

Bandstruktur


Matrix nur in Jordanform:

nur eine Floquetlösung, zweite Basislösung:

x

V(x)

Wellenfunktionen, die exponentiell im Kristall abfallen

Stetigkeitsbedingungen müssen erfüllt sein

Instabile Lösungen an Grenzflächen (2)


Mögliche Elektronenzustände im endlichen Kristall:

alle Lösungen suchen (stabil, instabil, Grenzfläche)

Grenzbedingungen müssen erfüllt sein

Reflexion wenn Energie aus dem verbotenen Bereich

E

x

diskretes Spektrum von Energieniveaus

Zyklische Grenzbedingungen


Endlich großer Kristall der Länge

Blochs Theorem:

Alle nichttrivialen Lösungen sind eine Linearkombination

zweier stabiler Floquet-Lösungen

V

Zusammenfassung


periodisch

Bestimmte Form

Atom im Lichtfeld: Bloch-Siegert-Verschiebung

Multiphotonresonanz

Blochgleichungen: Energiebänder

Transmissions- & Reflexionsanwendungen

Floquet: endliches, zeitabhängiges Problem

Unendliches, zeitunabhängiges Problem

Quellenangaben


Bildquellen: [1] http://strangephaenomena.wordpress.com/2008/07/12/der-indische-seiltrick/

4.12.2011

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_Series.svg, 30.11.2011

[3] http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1883_2_12_/

ASENS_1883_2_12__47_0/ASENS_1883_2_12__47_0.pdf,

3.12.2011

[4] http://www.informationsbuero-nicaragua.org/freihandel/materialien/

daten/arbblaetter.html, 3.12.2011

Literatur: [5] J. Shirley: “Solution of the Schrödinger Equation with

a Hamiltonian Periodic in Time”,

Phys. Rev. 138, B979–B987 (1965)

[6] A. A. Cottey: “Floquets’s Theorem and Band Theory in

One Dimension”,

AJP Volume 39, 1235-1244 (1971)

[7] J. C. Garrison: “Quantum mechanics of periodic systems”

AJP Volume 67, 196-203 (1999)

[8] B.W. Shore Wiley: “The Theory of coherent atomic

excitation”, Volume 1 (1999)


Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit

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