Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung
Teilnehmer:Alireza FarmanAuline Rodler
11.04.23
Gliederung:
• Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement
• Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette
• Zusammenfassung und Ausblick
11.04.23
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
mynxnm
Qyxq
oddsmn
sinsin116
,,,
2
Reihenentwicklung von Wärmeverteilung
Matlab programm : Function Reihen_entwicklung
Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);
also,N=100Für jedes n und m (Zwei ineinandergesetzten Schleifen)
Qnm = 1./(n(i)*m(j));Q_fourier(:,:,ind) = (Q*16/pi^2)*(Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y));
(nach den schleifen)Q_fourier = sum(Q_fourier,3);
Temperaturverteilung in einem quadratischen radioaktiven Brennstabelement:
11.04.23 2
Temperaturverteilung:
mynxnmmn
Qyxu
oddsmn
sinsin1116
,,,
222
• Für fehler<0,1 m,n [1:2:7] und für fehler<0,01 m,n[1:2:17]
• Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!!
• Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y)
1,1
,1,1
mn
mnmn
U
UU
Fehler<0,01 Fehler<0,1
11.04.23 3
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
Fehler<0.01für ein 20*20 Gitter
2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10-3 Fehler<0.1 für ein 20*20 Gitter
2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
11.04.23 4
)sin()sin(
1
,
1
²
16
,
),(),(),(),( 11 mynx
nmyxk
Q
yxk
yxqyxuyxukyxq
Die Poisson Gleichung mit k und deren Einbindung in die Temperaturverteilung:
Wärmeleitzahl wird im Rahmen dieser Arbeit als konstante behandelt:
)sin()sin(
11
²
16,
1, 11 mynx
nmk
Qyxq
kyxu
Wärmeleitzahl (‘K’)
Temperaturverteilung: mynxnmmn
Qyxu
oddsmn
sinsin1116
,,,
222
Matlab programm : TemperaturverteilungInitialisierung :
[x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);
Für jeden n und m bis 17 (ungerade Zahl) Qnm = 1./(n(i)*m(j));
Tnm = Qnm./(n(i)^2+m(j)^2); T_fourier(:,:,ind) =(Q*16/pi^2)*(Tnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y));
Endlig (nach den schleifen)T_fourier = sum(T_fourier,3);
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
11.04.235x (m)
y (m
)
Temperatur Verteilung (Q = 5 Km-2)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L], mit L, der Länge und Breite des Brennstabes ausdehnt?
YXqYXu ,,
Y
LmX
Ln
nmmn
QYXu
oddsmn
sinsin11
π
L16,
,,22
2
2 mynx
nmmn
Qyxu
oddsmn
sinsin1116
,,,
222
yxqyxu ,,
,0,0, yx LLYX ,0,0, LxX
LyY
Veränderung der Variable:
Veränderung der Länge von Brennstab:
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
11.04.23 6
Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschritt-Verfahren)
21,,1,
2
2
2,1,,1
2
2
2
2
y
uuu
yu
x
uuu
xu
jijiji
jijiji
hyx 2
,,1,11,1, 4
h
uuuuuu jijijijiji
qu
2,,1,11,1,
,
4
h
uuuuuq jijijijiji
ji
jijijijijiji qhuuuuu ,2
,1,11,1,, 4
1
Matlab programm : Function Iterativ_method
Initialisierung und Rand Bedigungen : U=10*ones(dim_grid);
U(:,end)=0; U(end,:)=0; U(1,:)=0; U(:,1)=0;
while eps>eps_required (Konvergenzbedingung)Für alle Punkte des Temperaturgitters
U(i,j)=1/4*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)+Q(i,j)*(dim_section/(dim_grid-1)).^2);
Mit Hilfe dieses Verfahrens wird der Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der – k-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten Komponenten verwendet.
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
11.04.23 7
Zusammenfassung der simulierten Ergebnisse:
Temperaturfunktion Iterative Methode Matlab PDE Tool
x (m)
y (m
)
Temperatur Verteilung (Q = 5 Km-2)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren
Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung
0)();,0( yLtyu
10)();0,( xBtxu
11.04.23 8
Abkühlen einer Baguette als 2D zeitabhängiges Wärmeleitungsproblem mit Dirichlet RB
0)();,( xTtpixu
0)();,( yRtypiu
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
Verteilung der Temperatur: u(x,y;t)
Randbedingungen (Boundary conditions):
Baguette
Baguettestemperatur= 90 °CUmgebungstemperatur= 20 °CHolzplattentemperatur= 30 °C
Ziel Die Baguette auf 40 °C abzukühlen
11.04.23 9
Reihenentwicklung von
oddsn m
oddsmn
t tmnmnn
mynxmtmn
mn
mynxyxu
12
,2
²²exp1²².
sinsin.80²²exp
.
sinsin1120,
yxut ,
Matlab programm : Function Temperatur_b_v2
Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi);
Schleife zur Berechnung von ’W’ (N ist ungerade und M ist integer Zahl):Tnm =(n(i)^2+m(j)^2);
anm=m(i)/(n(i)*Tnm); W(:,:,ind)=anm*sin(n(i)*x).*sin(m(j)*y)*(1-exp(-*b*Tnm*t));
• Schleife zur Berechnung von ’V ’(N und M sind ungerade Zahlen): ind = ind + 1;
Qnm = 1/(n(i)*m(j));Tnm =(n(i)^2+m(j)^2);
V(:,:,ind) = Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)*exp(-*b*Tnm*t); ….
W_tot =(80/pi^2)*sum(W,3); V_tot = (1120/pi^2)*sum(V,3);
T_fourier_temporelle(:,:,page_t) = W_tot+V_tot;
yxV , yxW ,
Für ein Intervall [0,pi] x [0,pi]
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
• Für fehler<0,1 m,n [1:2:15]
• Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!!
• Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y)
1,1
,1,1
mn
mnmn
U
UU
Fehler<0,1
11.04.23 3
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
Fehler<0.1 für 40 Grad und ein 20*20 Gitter
2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
11.04.23 10
Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L] der Länge und Breite der Baguette ausdehnt? Wo käme ‚a‘ in die Formel rein?
yxut
yxut
t ,,
,0,0, yx LLYX ,0,0, LxX
LyY
Veränderung der Variable:
Veränderung der länge als variable:
oddsn m
oddsmn
t
tmnmnn
mynxm
tmnmn
mynxyxu
12
,2
²²exp1²².
sinsin.80
²²exp.
sinsin1120,
oddsn m
oddsmn
t
tmnL
pia
mnn
mynxm
tmnL
pia
mn
mynxyxu
1
2
2
,
2
2
²²exp1²².
sinsin.80
²²exp.
sinsin1120,
YXuat
YXut
t ,,
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
11.04.23 11
Für m=n=1 bis 15, erreicht die Stange nach 26 min 20 °C in der mitte.
Breite der Baguette(m)
Höh
e de
r B
ague
tte(
m)
Temperatur der Baguette nach 22min für m und n=50
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40[°C]
Temperatur der baguette nach 26 min für m und n bis 15
70[°C]
Es dauert ca. 2 Stunden bis das Baguette komplett abkühlt.
Nach welcher Zeit erreicht die Baguette in der mitte 40 °C?
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
11.04.23 12
Darstellung des Temperaturverlaufs für Gitter [20,20]
[°C]
T=56 min Temperatur =16 °C
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
Breite der Baguette(m)
Höh
e de
r B
ague
tte(
m)
Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=50
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
2
4
6
8
10
12
14
16
Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=15.
Breite der Baguette(m)
Höh
e de
r B
ague
tte
(m)
Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=50
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
5
10
15
20
25
30
35
40 [°C]
T=26 min Temperatur =40 °C
Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=15.
[°C]
Ebenso kann die Verschiebung der Isolinien und Abkühlung der Baguette betrachtet werden!
pCa
70
pC
Dichte
Spezifische Wärmekapazität
Notwendige Parameter
a= 0.33 E-6 m²/s (feuchter Sandboden )
Temperaturleitfähigkeit: [m²/s]
Wärmeleitfähigkeit
Abhängig Eigenschaften von Baguette
11.04.23 13
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
11.04.23 14
2
,,1,11,1,,1
, 4
h
TTTTTa
t
TT tji
tji
tji
tji
tji
tji
tji
Tat
T
tji
tji
tji
tji
tji
tji
tji TTTTTT
h
taT ,,,1,11,1,2
1, 4
2,,1,11,1, 4
h
TTTTTT
tji
tji
tji
tji
tji
t
TT
t
Ttji
tji
,1
,
Matlab programm : Function Iterativ_method_b
Auswertung der Temperaturverteilung anhand der expliziten Methode:
Initialisierung,Randbedingungen und Anfangsbedingungen:
[x,y] = meshgrid(linspace(0,dim_section,dim_grid));U = 70*ones(dim_grid);
U(:,end) = 0;U(end,:) = 0;
U(:,1) = 0;U(1,:) = 10;
Stabilitätskriterium definiert: alpha = (a*dt)/(dh^2);
if alpha > 0.25 U_tot = NaN;
('!!! Stabilitätskriterium nicht erfüllt !!!!')Else
Schleifen jeweils für die Zeit und i und j und dann wird die Temperatur gerechnet:
U(i,j) = alpha*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)-4*U(i,j))+U(i,j);
Bei einer expliziten methode wird zur Berechnung der Näherungswerte , nur Werte berücksichtigt die zeitlich vor dem zu berechnenden liegen.
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
11.04.23 15
Breite(m)
Höhe
(m)
Explizite Methode: nach 5min erreicht das Baguette schon 40°C!!
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Für ein 10cm viereckiges Baguette, mit a=0.33e-6m²/s, ein Zeit Schritt von 15 sec, erreicht das Baguette nach 5 min in der mitte 40°C!
[°C]
!!!!Problem!!!!
Wenn wir das Gitter verfeinern kommen wir zu falschem Ergebniss. Baguette kühlt sich schneller ab.
Breite(m)
Höhe
(m)
Isolinien der Temperatur (Explizite Methode nach 5 min)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
5
10
15
20
25
30
35
40
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
11.04.23 16
Mit dem PDE-Tool von Matlab braucht man genauso lang, wie bei dem entwickelten Programm.
Reihen Entwicklung Explizite methode Matlab PDE Tool
Zusammenfassung
Breite(m)
Höh
e(m
)
Explizite Methode: nach 5min erreicht das Baguette schon 40°C!!
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Breite(m)
Höhe
(m)
Temperatur der Baguette nach 26 min
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung
Zusammenfassung und Fazit• Die Auswertung für unterschiedliche Längen klappt anhand
der entwickelten Programme ganz gut.• Übereinstimmung der Ergebnisse aus dem iterativen und
dem numerischen Verfahren.• Ergebnisse aus dem Matlab PDE-TOOL übereinstimmen mit
den Ergebnissen aus der Simulation.• Auswertung der Wärmeleitungsgleichung durch explizite
Methode soll evtl. noch verbessert und korrigiert werden.
11.04.23 17
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
11.04.23 20