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11. Uber den VerdrCingungswCderstarnd fester E6rper in Gasen und PZiiss.iy7ceiten;

von E. l J Z l e ~ . Erste Mitteilung.

Einleitung.

Fur den erfahrungsmaBig stets vorhandenen Widerstand eines sich bewegenden festen Korpers in einer realen, als Ganzes ruhenden, Flussigkeit kennen wir seit' Coulomb die drei wesentlichen Ursachen, namlich:

a) die Verdrangung der Fliissigkeit durch den Korper (die Flussigkeit widersteht durch ihre Tragheit),

b) die mitreiBenden Eigenschaften der Korperoberflache, c) die Viskositat der E'lussigkeit. Jede Formulierung eines Widerstandsgesetzes schlieSt in

sich Hypothesen ein, welche durch die beiden letzten Ursachen in das Problem hineingetragen werden. Diese erweisen sich indessen als noch unzulanglich allen hisherigen Erfahrungen angepaBt. I n allen Fallen aber, wo die Verdrangungs- und Beschleunigungsarbeit des Korpers grog ist gegeniiber der von den in b) und c) tatigen Kriiften geleisteten, hat sich eine Wider- standsformel als sehr gut, zutreffend erwiesen. Es ist namlich dieser Widerstand, den wir speziell ,,Verdrangungswiderstand" benennen wollen, in jedem Augenblicke proportional dem Qua- drate der Geschwindigkeit eines ausgezeichneten Korperpunktes, als welchen wir meistens den geometrischen Mittelpunkt nehmen durfen. Es liegt schon in der Voraussetzung, daB der Korper einfache, glatte Gestalt und das Medium Leichtflussigkeit be- sitzen muB. Selbstverstandlich ist nuch vorausgesetzt, dnB ein storender EinfluB der Wande und anderer Korper sich nicht geltend machen kann. Der Proportionalitatsfaktor ist abhangig von der Dichte des Mediums - wir nehmen lineare Beziehung an - und der Orientierung des Kijrpers gegen die Richtung der oben genannten Geschwindigkeit. Besitzt seine Oberflache eine Symmetrieachse, wie mir im folgenden voraussetzen, dann

12*

180 K. Uller . ist die Orientierung durch den Winkel w zmischen Achse und Geschwindigkeitsrichtung bestimmt.

Einige Worte uber die experimentellen Unterlagen unserer Formel fur den Verdrangungswiderstand. l) Fur fortschreitende Bemegung in h f t ist sie streng erprobt von 0,2 m/sec (Sche l l - b a c h 1871) bis 55 m/sec (Lochner 1904, R e n a r d 1904) nach verschiedenen Nethoden, bei denen in der Mehrzalil empfindliche Rundlaufapparate zur Verwenduiig kommen , die den Korper bei konstantem w mit konstanter Geschwindigkeit in die Runde treiben. Diese Rewegungsart wurde aus nahe- liegenden Griinden bevorzugt, ist aber nicht eine einfache, denn die Bemegung des KGrpers ist dabei eine rotatorische und die der Luft eine sehr turbulente und zentrifugal be- schleunigte, wie man aus der GroBe der Geschwindigkeit und des Kriimmungsradius bei den einzelnen Versuchen schliefien mu8; eine einfache, geradlinige Bewegung bedingt bisher nur die eigenartige Methode, die v. LSssl ersonnen hat. Trotz der Verschiedenheit der Intensitat der Wirbelbewegungen urid der Nethoden der Druckmessung besteht unter den Methoden eine bedeutungsvolle Ubereinstimrnung hinsichtlich des Ab- hiingigkeitsverhaltnisses von der Geschwindigkeit. Die Unter- schiede in der Gr8Se des Proportionalitatsfaktors liegen Zuni groBen Teil vermutlich in der verschiedenen Intensitat der Wirbelung. - Fur hohere Geschwindigkeiten in Luft liegen SchieBversuche vor. Bei Langgeschossen ist hier die Inkon- stanz von w zu berucksichtigen. Die zahlreichen Versuche bestatigen die quadrstische Formel gut bis zu 250 ni/sec, weniger gut bis in die Niihc der Schallgeschwindigkeit. Die hier zu erwartende und bestatigte Irregularitat zieht der Giiltigkeit der genannten Formel eine bestimmte obere Grenze, wie eine solche auch fiir andere Medien existieren mu8. F u r fortschreifende Beioeyung unter 0,2 mlsec scheinen einwandfreie Versuche nicht vorzuliegen ; f u r hin- und her- ydende Bewegung scheinen Beobachtungen nur von Schwin- gungen kleiner Amplituden und nur solche von diinnen Pendel- liusen in Luft und in Flussigkeiten vorzuliegen. Ihre Resul- tate fuhren auf eine lineare Widerstandsformel. Wir haben

1) Ausfiihrliche Literatur gibt die ,,Mathematische Enzyklopadio".

~erdr~ngungs2ci(Ierstand fester liiirper e tc . 181

hier also schon Erscheinungen vor uns, in dencn die durch (b), (c) verursachten Widerstande vorherrschen. B e i n treten diese, die wir zusammenfassend Kohasionswidersthde nennen wollen, bei in ihrer Oberflache schwingenden Rotationskiirper auf, und da ist die lineare Widerstandsformel experimentell verbiirgt und theoretisch gestiitzt. Die Moglichkeit, daB es Korperformen gibt , die auch bei kleinen Schwingungen Ver- drangungswiderstand erfahren , wird natiirlich durch die ge- nannten Beobachtungen nicht bestritten. (So sind vermutlich die Schwingungen der Wagschalen von Hebel- und Feder- wagen gedampft.) Es ist moglich, daB er bei den Minimal- geschwindigkeiten aufgetreten ist , welche die Versuche von Hrn. Frank ' ) aufweisen. Er lieB den Versuchskorper, bei dem Vorder- und Hinterteil gleichgeformt sein miissen, unter der Wirkung der Schwerkraft eine vertikale Pendelbewegung mit groBen Amplituden bei konstantem w ausfiihren. Die Pendellange betrug 12,70 m, und der erste Schwingungsbogen hatte eine Lange von 13 m. Der Korper durchlief in Hun- derten von Schwingungen Tausende von Metern, wobei sich die Widerstandsarbeit fur eine 1)oppelschwingung auf 1/25000

des Anfangswertes verringerte ! Die Lage der Umkehrpunkte konnte auf 1 mm genau abgelesen werden. Von der Annahme nusgehend, da13 der Widerstand des Korpers und der Auf- hangedriihte die quadratische Formel befolge, stellt der Hr. Verf. nach besonderer Ermittelung der Reibungskraft in den Kugel- lagern die Gleichung fur die Dampfung der Pendelschwingungen auf. Nun vergleicht er die beobachteten Lagen mit den er- rechneten. Die Ubereinstimmung ist so vortrefflich, daB mit Rucksicht auf die Eigenart der Methode mit Sicherheit erkannt wird, daB der Widerstand der untersuchten KGrper in jedem Augenblicke dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist, die im Versuche innerhalb 0 und f 9 m/sec schwankte. L)as kann, was den Vorgang bei den periodisch auftretenden Minimalgeschwindigkeiten anbelangt, auch bei diesen zutreffen; es ist aber vielleicht der Einwand berechtigt, daS die ent- sprechende Widerstandsarbeit gegeniiber der gesamten zu klein war, um die Lagen der Umkehrpunkte merklich zu beeinflussen.

1) A. Frank , Ann. d. Pbys. 16. p. 464-489. 1905.

182 K. Uller.

Wir ziehen aber aus seinen Ergebnissen den SchluE, daB wir, wenn Verdrangungswiderstand vorliegt, fur Minimalgeschwindig- keiten die quadratische Formel zum mindesten formal ansetzen diirfen, falls neben diesen im Laufe der Bewegung auch er- heblich grijBere Geschwindigkeiten auftreten. Kriterien zur Entscheidung, welcher von den beiden Widerstanden im Einzel- falle wirklich herrscht, werde ich weiter unten angeben. Exakte Viderstand.~messungen in PlussQkeiten 6ei gropen Orts- veriincterungen scheinen sptirlich zu sein. Fu r den Schiffs- widerstand hat die Technik eine quadratische Widerstands- formel ermittelt.

Entwickelung neuer Methoden der Widerstandsmessung.

Die folgenden Auseinandersetzungen haben zum Zweck, neue Methoden zu entwickeln, nach denen man ermitteln kann, wieweit sich der Giiltigkeitsbereich der quadratischen Wider- standsformel auf dem Gebiete der Gase und Fliissigkeiten er- streckt ; sie fuEen auf der strengen Gultigkeit dieser Formel fiir jede Geschwindigkeit bis zu einer kritischen und invol- vieren fur jede Untersuchung den Nachweis, ob die genannte Voraussetzung erfullt ist. 1st das der Fall, dann gestattet sie absolute und relative Bestimmungen des Widerstandskoeffi- zienten.

Wir suchen nun den Bewegungszustand (v) des Versuchs- korpers von der Masse m in einem Medium von der Dichte k unter dem EinfluB einer raumlich verteilten und von der Zeit unabhkngigen Tangentialkraft K a,uf gegebener Bahn (s). Nennen wir c seinen von o abhangigen Koeffizienten fiir den Tangentialwiderstand, so hat sein tangeniialer Verdrangungs- widerstand JV die GroEe - c k v a in jedem Augenblick. Der Bau dieses Ausdruckes laBt es vorteilhaft erscheinen, von der Arbeitsgleichung auszugehen. Es bezeichne die positive GroBe L seine Lebendige &aft und die positive GroBe w = 3 c klm [cm-l] den ,,Hemmungsfaktor'L seiner Bewegung; er ist das Verhaltnis des Tangentialwiderstandes zur lebendigen Kraft des Korpers. Wir nehmen w als unabhangig von der Geschwindigkeit an, damit schlieBen wir deformierbare Kijrper aas der vorliegcnden Betrachtung aus. Es ist den von uns betrachteten Wider- standserscheinungen als Oberflachenwirkungen eigentumlich, daE

Yerdrangungswirlersland fkster Korper etc. 183

man innerhalb gewisser Grenzen 20, das allein gemessen wird, wiihkn kann durch Variation von m. Die Arbeitsgleichung nimmt nun die Form an:

Sie liefert uns I/ und somit auch v - mit Ausnahme des Richtungssinnes, der sich aber in jedem einzelnen Falle leicht angeben laBt - als Funktion des Bahnparameters. Sie liefert uns keine zeitlichen Beziehungen; das hat zur Folge, dab die zu entwickelnden MeBmethoden auf reine Lagenbestimmungen hinauslaufen. Das Bahnelement d s diirfen wir , der physika- lischen Bedeutung des Widerstandes entsprechend, der nnr eine schon existierende Bewegung zu verringern vermag, nus positiv nehmen, selbst wenn der Xijrpermittelpunkt dieselbe Reihe von Raumpunkten spater in umgekehrter Richtung durchlguft; wir habelz uns also die Koordinaten der Kurve und ebenso K und 2u prinzipiell als Funktionen des die Reihe der Bahnpunkte bestimmenden Parameters zu denken. Damit sind im allgemeinen unuberwindliche analytische Schwierig- keiten gegeben, da bei dieser Auffassung gerade in physikalisch wichtigen Fallen K und tu unstetig werden; man denke an den vertikalen Wurf, die Pendelbewegung. Man vermag sie unter Verzicht auf Allgemeinheit der ResuItate zu umgehen, indem man den Zustnnd jedesmal nur zwischen zwei auf- einanderfolgenden Ruhepunkten (I; = 0) betrachtet und im folgenden Interval1 den Sinn des Bahnparameters umkehrt, von dem wir voraussetzen diirfen, dab er sich innerhalb eines solchen Intervalles regular verhalt.

Von den ausgezeichneten Werten, die L im Laufe der Bewegung annehmen kann, interessiert sein a h l u t e s Minimum ( L = 0). Wir miissen dabei unterscheiden zwischen dauernder und momentaner Ruhelage. Eine Ruheluge ( L = 0) ist eine dauernde unter den beiden Bedingungen, da8 in ihr

K = 0, sowie unmittelbar vorher K = ~ < 0

ist. Offenbar geht unmittelbar vorher d L / d s aus negativen Werten in Null uber und dementsprechend nnch Gleichung (I) auch li.

Jede andere Ruhelage ist eine momentane, und in ihr K + 0, In ihrer Umgebung geht K von negativen zu positiven

(1) d L = K ( s ) d s - w L d s .

dL d s

184 K. Uller.

Werten tiber, aber stets sprungtoeise unter Ausschlup des Wertes Null. Das gleiche gilt nach Gleichung (I) auch fiir d J l d s .

Es interessieren die Verhaltnisse bei der dauernden Ruhe- lage. Hier, wo die Beziehungen stetig sind, haben wir die beiden Bedingungen:

d2 L d h' ds8 d s - K = Q ; --- - - - z o o .

Diese Bedingungen sind unabhangig von dem Hemmungs- faktor 10 - sie gelten ebenso fiir die niclitwiderstandige Be- wegung (w = 0) -, sie sind aber abhangig von der benutzten quadratischen Widerstandsformel. Wir konnen also den all- genieinen Satz aussprechen :

(A) Bei guadratischem Tfidtmtande gelten in der Umgehung einer dauernden Rufielage dieselhen Bezizhungen wie 6ei nicht- widerstandiger Bewegung.

Speziell: 1st in gegebenem liraftfelde (h> eine nichtwider- standtqe Uewegzing pendelartig, dann ist es auch eine wider- standige Bewegung in demselben Felde; Aperiodizitut ist d a m aus- geschlossen.

Bekanntlich kann bei linearem Widerstand eine solche Aussage nicht gemacht werden.

Aus der lineasen Differentialgleichung (I) lesen wir die Eigentiimlichkeit ab, daB der von mehreren treibenden Kraften bewirkte Zuwachs an lebendiger Kraft gleich ist der Summe dcr von den einzelnen bewirkten Zuwuchse. Weitere liefert uns die Integration von (I). Wir setzen

wo die unbestimmten Integrale ohne k'onstante genonimen werden sollen. Dnnn kommt

l ; = C e - Q + @ ,

wo C die Integrationskonstante bezeichnet. Gelten in dem durch so bestimmten Bahnpunkte die Werte Q0, Q0, A,, dann kann man diese Gleichung schreiben:

(11) = (Lo - @ J e - c o - Q o ' + @.

9 - 9,, ist eine dimensionslose, positive und nirgends ab- nehmende Funktion; @ ist die Lebendige Kraft des Korpers, wenn der zuruclrgelegte Weg hinreichend lang geworden ist.

~erdraiigungswiderstand feJter Iiiirper etc. 185

Eine Kraft, die darstellbar ist durch das Produkt einer reinen Raumfunktion und eines Intensitatsfaktors, moge yon jetzt ab ,,Einzelkraft" heiBen. Dann ergibt sich aus Gleichung (11) :

(B) Perltipt der Kiirper irgendwo im Pelde einer E i n z e l - kraft den Zustand der Xuhe (An = 0), dann sind seine samtlichen fdqenden Jagen momentaner Ruhe, fulls solche auftreten, f in-

abltangig von der Intensit& der h7raf2. lhistiert ein Kriifte- aggregat, dann beateht eine Abhangigkeit niir con den Intensilats- verhi i l tnissen.

Dieser wichtige Satz, der eine Folge unserer linearen Differentialgleichung (I) ist, hat denselben Wortlaut wie bei der nichtwiderstandigen Bewegung. Er wird aber von keiner anderen Widerstandsformel erfiillt. LaBt er sich in einem vorliegenden Versuche bestatigen, so liefert er einen scharfen Nachweis , da6 dann die quadratische Widerstandsformel zu- trifft. Ferner ergibt sich aus ihm, da6 wir die Intensitit der treibenden Einzelkraft nicht zu messen brauchen, falls wir auf die Bestimmung der momentanen Ruhelagen eine MeBmethode fur den jeweiligen Widerstandskoeffizienten begriinden konnen.

(C) Die f i ir die Zuriicklegung der Strecke d s ver6rauchte Zeit d t ist gleich d s ; 1/2 L Im , also umgekehrt proportional der Wurzel aus der Kraftintensitat, falls wieder die Bewegung aus der Ruhe heraus erfolgt. Also auch diese Eigentumlichkeit der nichtwiderstandigen Bewegung iinden wir bei unserer Be- wegung wieder, aber nicht bei irgend einer anderen Wider- standsformel.

Die Satze (B) und (C) gestatten eine bemerkenswerte Folge- rung. Es kommen in der Physik lntensitatsvergleichungen durch Zeitmessungen \Tor, bei denen Korper und Medium unverandert bleiben (magnetische, elelitrische Nadel; Apparate mit kunst- licher Luftdiimpfung). Angenommen, man habe sich nach (B) vergewissert, daB der Widerstand des Nediums Verdrgngungs- widerstand sei. Nennen wir 2; die von der Ausgangslage (sn) bis zur nten Ruhelage verfiossene Bewegungszeit unter dem Einflu6 der Intensitat J1, dann ist

__-

1 T = 7.. f (sn, w), li' 4 1

186 K. Uller.

wo die Funktion f nach (13) frei von J1 ist. sitat Jz haben wir bis zur nten Ruhelage

Fiir eine Inten-

wenn wir von derselben Auslage (so) die Bewegung ohne An- stoB vor sich gehen lassen. Es ist also Tlz1T,2 = JalJl in Strenge.

(D) Die Existenz des Felel.drangungswiderstandes ist yleich- giiZt<q f u r solche Intensitatsvergleicfhagen.

Um Korrektionen infolge von Widerstand eines Mediums zu vermeiden, ist es sonach notig, Ursache (b) und (c) - vgl. oben - moglichst herabzudrucken. - Die charakteristische und scharf kontrollierbare Folgerung (D) kann umgekehrt als Kriterium uber die Art des Widerstandes dienen.

Es kann vorkommen, da8 A. = U0 ist, falls (Do positiv ist. Dann haben wir es mit einer Bewegung zu tun, die ich eine ,,partikularelL nennen will. Sie kann physikalisch dadurch ausgezeichnet sein, daB sie einer gewissen nichtwiderstandigen Bewegung unter dem EinfluB gewisser Krafte aquivalent ist. Dieser interessante Fall ist unter einfachen physikalischen Bedingungen realisiert, wenn (I, frei ist von den e-Funktionen. Weiter unten dafiir ein Beispiel. I m iibrigen nlihert sich jede Bewegung nach hinreichend langer Bahn der partikularen 1; = @.

Es sei von jetzt ab der Hemmungsfaktor w unabhangig vom Bahnparameter. Das trifft zu, wenn die Bewegung iu einem Medium konstanter Dichte und mit konstantem w vor sich geht. Dann wird

@ = e - w s e + W 8 h r d S , s ein Ausdruck, der von der Lage, Form und Richtungssinn der Bahn abhangt, aber invariant ist gegeniiber einer Verschiebung des Nullpunktes der Bahnlange.

Wir gehen nun zu den Anwendungen uber und beginnen mit dem trivialen Falle, da8 K konstant = KO ist. Dann haben wir

@=K0/2u = (1) und L = (Ao -Ko/w)e-qU(S-Su) 4- h ' , / l U .

~erdran3un~swi~ers tand fester KGrper etc. 187

Die partikulare Bewegung (A, = hT0/w 5 L) ist eine solche mit konstanter Geschwindigkeit; sie ist aquivalent einer nichtwider- standigen Bewegung unter dem EinfluB einer normal zur Bahn gerichteten Kraft, sie ist aber nur miiglich, wenn KO positiv, also mit der Anfangsgeschwindigkeit gleichgerichtet ist. Ein Korper kann sonach bei konstanter Neigung der Bahn zum Horizont sich unter der Wirkung der Schwere mit konstanter Geschwindigkeit abwarts bewegen, aber nicht aufwarts. Diese Folgerung laBt sich aus jeder plausiblen Widerstandsformel ziehen, aber eine fur die unserige charakteristische liefert die

Pendelbewegung in einer Pertikalebene. Der Bahnparameter sei hier die Elongation cp, die wir

vom Kulminationspunkte aus zahlen. R sei die in bezug auf die Dim,ensionen des Versuchskorpers groBe Lange des sehr diinnen, aber starren Stabes, der die Mitte des Korpers mit der Achse der Drehung verbinde. Die treibende Kraft ist hier Asincp, giiltig fiir die Hinbewegung; die darauf folgende Herbewegung mussen wir als eine erneute Hinbewegung auf- fassen. B ist die Differenz aus Schwere und Auftrieb des Korpers. ct, lautet hier

A R e - w R q [ e f c R p sin cp dgo = - A . cos S , R. cos ( y + S), wenn wir w R = tg S setzen (0 5 S 5 n /2). Gleichung (11) nsch einigen Umstellungen:

(1)

Damit wird nun

J = Joe-WR(p-Vo) + ~ . c o s j . ~ . e - m ~ ( 1 + 6 )

1 x f e w R ( p 0 + 8) cos (yo + S) - eWR(p + 6) C O S ( y + a)]. (E) Nach (A) Rann die Bewegung niemals eine aperiodische

sein, wie auch w, yo, A, beschaffen sein mcgen. E s scheint mir, dab dieser Satz neben (B) und (C) als

Kriterium verwendet werden kann in der Frage nach der Widerstandsformel in einem konkreten Falle. Bei der linearen tritt bekanntlich bei relativ grogem Widerstande Aperiodizitat in die Erscheinung. Vorl’aufige Versuche, die ich dieserhalb in Luft anstellte, lieferten keine aperiodische Bewegung, ob- gleich ich mit dem sehr groBen Widerstande einer leichten Pappscheibe von 60 cm Durchmesser operierte, sowie sehr groBe und sehr kleine Amplituden wahlte.

Wir setzen jetzt roraus, dal3 die Eemegung von der Ruhe aus beginnt (Lo = 0) und yo nicht 0 oder n sei. Dann sind, wie wir bereits wissen, die Lageii der Umkehrpunkte unabhanyi.q von A , d. h. der Schwere und dem duftrieb. Wenn wir d variieren, 80 miissen wir von einer Anderung des Auftriebes absehen, da KGrper und Flussigkeit gegeben sind. Wir konnen aber die Wirkung der Schwere herabsetzen, indem wir die Masse des Korpers verkleinern oder zwei Pendel, die die gleichen Korperforrnen tragen , gegeneinander versetzt starr verbinden, naturlich so, dai3 6 unverandert bleibt. Haben wir z. B. zwei um 7t gegeneinander versetzte, dann hat die treihende Kraft den Wert (A , -A2) sin y , und es laBt sich zeigen, daB (22: + R,3)/(m, 3; + m2 Ri) unverandert gehalten werden rnuW, sol1 3 konstant bleiben.

Und nun die letzte Merkwurdigkeit: die partikulare Be- wegung. Gehen wir von der Ruhe aus und wahlen wir die Anfangslage yo so, dal3 yo + 6 = n/2, dann befolgt die Lebendige Kraft C die Gleichung

(1 a) - A . cos s . R . cos (cp + 3).

Die nachste Eulllage F~ liegt dann bei y1 + 6 = 3 m / 2 ; das Interval1 betragt also gerade 7t. In ihm schwingt das Pendel genau wie in einem wirler.:tand.vfi*eien Jleditim, in dem die Intensitat der Schwere und des Auftriebes im konstanten Perhaltnis cos 6 : 1 geschwacht und in ihrer Bichtung von der Tertikalen um den ,, R'iderstandswinkel" S g e g e ~ die Busgangslaye der Be- weyung iiin verschoben erscheiiit!

Man wird daran denken, die durch Gleichung (1 a) und (1) gegebenen Beziehungen zur Ermittelung des Widerstands- koeffizienten c zu benutzen, nachdem man sich, wie angegeben, iiberzeugt hat, daB ihre Voraussetzungen erfullt sind, und zmar geben sie ahsolute Bestimmungen. Aus einem Satz von Winkel- messnngen qo und 4p1 = y o + n gewinnt man S = 7t/2 - yo durch graphische Interpolation und somit auch c.

Diese Methode hat den Vorzug, dal3 der Korper ein ruhendes Medium durchquert und daK er am Hinter- und Yorderteile nicht gleichgeformt zu sein braucht. Die Aufhangung mu8 der von Hrn. F r a n k angegebenen gleichen: zweifache Aufhangung an zwei Kugellagern, damit seitliche Driicke aufgehoben werden

Tirdriingungswiderstand fkster Korper etc. 189

litinnen, die bei schief gestellten Korpern bei unserer Methode stark in die Erscheinung treten werden. Lagerreibung und Stangenwiderstande miissen und kijnnen in Rechnung gestellt werden.

Eine durch ein Ubergewicht aus dem Gleichgewicht gebrachte reibungsfreie Prazisionswage vollfiihrt Pendel- schwingungen, die ahnlich wie die vorigen zu behandeln sind, jedoch wirkt hier ein Xrgfteaggregat: Ubergewicht und Eigen- gewicht, deren Hebelarme urn n/2 gegeneinander versetzt sind. Da das Verhaltnis beider Intensitaten bei Variation des Uber- gewichtes nicht konstant bleibt, so treffen die SBtze (B) und (D) nicht zu. Es so11 hier nicht naher darauf eingegnngen werden, auch nicht anf andere pnrtikulare Bewegungen, die unter der Einwirkung von einfachen und bekannten Kraften vor sich gehen konnen, z. B. Bewegung auf zykloidischer Bahn nnter der Wirkung der Schwere.

Bei Widerstandsmessungen, besonders solchen in Flussig- keiten, ist es wiinschenswert, dab die Bewegung in einer hori- zoritalen Ebene vor sich geht. Das fiihrt uns zu der bufgabe, die

Bezueyung aif horizontaler Kreisbahn zu studieren. Als treibende Kraft setzen wir an h'= - ( D / R ) . 0, wo 0 die Drehung aus der Ruhelage heraus bezeichne. Eine solche znrficktreibende Eiraft liefert z. B. ein vollkommen elastischer Draht oder eine Feder, vertikal aufgehangt. Es gibt aber anch nndere Anordnungen, wovon spater die Rede sein soll. Wir denken uns zwei gleiche, um TC versetzte Arme angebracht, die an ihren Enden den zu untersuchenden Korper in zwei gleichen Exemplaren tragen. B hat dieselbe Bedeutung wie oben, B bezeichne das Direktionsmoment. Setzen wir zur Abkiirzung zu R @ = 6, so lautet jetzt

D @ = - - W2R2 (6 - 'I und demnach nach einigen Uinstellungen

(2) L = . & e - - ( ~ - ~ J + giiltig fur positive Drehung bis zum nachsten Umkehrpunkte ; die darauf erfolgende Herbewegung miissen wir wieder als eine ernente Hinbewegung auffassen.

D w R e-b{e€n(& - 1) - e * ( 6 - I)],

190 k: Uller.

(F) Nach (A) ist auch hier die Bewegung unter allen Um- standen oszillatorisch; auch hier sind natiirlich, falls die Re- wegung aus der Ruhe (Lo = 0) vor sich geht, die Lagen der Umkehrpunkte unabhangij von der Intensitat der treibenden Kraft. Dies dient wieder zur Prufung, ob im vorliegenden Falle unsere Widerstandsformel erfiillt ist. Dabei kommt uns zu- gnte, daB hier keine Lagerreibung die Ergebnisse triibt. Bei der VergroBerung oder Verkleinerung der Intensitat ohne Storung der Kraftform ist darauf zu achten, daS die Masse des bewegten Systems unverandert bleibt, weil ja sonst w einen anderen Wert annahme. Ebenso \vie nach Gleichung (1 a) konnen wir nach Gleichung (2) durch Beobachtung der Um- kehrpunkte w ermitteln. Allerdings ist die rechnerische Ar- beit groB , da Nullstellen transzendenter Gleichungen be- stimmt werden mussen. - Die durch Gleichung (2) reprasen- tierte Bewegung unterscheidet sich allgemein von der oben dargestellten Vertikalpendelbewegung durch folgende Eigen- tiimlichkeit: falls die Bewegung aus der Ruhe heraus beginnt, sind die konsekutiven Nullstellen von &, also die Aagen der Umkehrpunkte, nur abhangig von E o , dem Produkte (w R O,)! Wir griinden hierauf eine Methode der Widerstandsvergleichung. Es seien Ito\ Ill\ . . . /&J die n + 1 konsekutiven, beobachtbaren Nullstellen von L. Dann ist fur zwei Wertesysteme der w, R, O,, falls j e zwei entsprechende einander gleich sind,

1g"l = w R pol = W ' R ' lO0'l

IRI = 2 0 R lO,l = W ' X p,", folglich dann

Wir wahlen im ungestrichenen Wertesystem eine Ausgangs- lage 0, links von der Qleichgewichtslage und beobachten die nte Umkehrstelle 0,; sodann suchen wir im gestrichenen Werte- system eine Ausgangslage a,', ebenfalls links von der Gleich- gewichtslage, die so beschaffen ist, daB

(3)

7erdranyungswiderstand fester K o r p r etc. 191

Dann sind die entsprechenden g in beiden Wertesystemen - *' auch einander gleich, folglich das Verhaltnis - __ 63''

bekannt. Fur die betrachtete Anordnung ist die angenolnmene

streng lineare Beziehung zwischen Kraft und Drehungswinkel keine notwendige Bedingung.

w J Iz'

Wir setzen jetzt allgemeiner

wo der Exponent. m, damit, wir eine antisymmetrische Kraft in bezug auf die Gleichgewichtslage bekommen, das Verhaltnis zweier ungeraden positiven Zahlen bedeute. Es ist zu be- achten, daB umer Ansntz die Foigerung nach sich zieht, daD in der Gleichgewichtslage d K/d 0 unendlich grog, endlich oder null ist, je nachdem m grofier, gleich oder kleiner als 1 ist. Bei einer elastischen Kraft ist dort d K / d 0 sicher endlich, andererseits aber auch fur groBe Verdrehungen, die ja hier in Frage kommen, die Abhangigkeit K = f ( @ ) sicher von para- bolischer Art (mit m kleiner als 1). Man muB daher m etwas kleiner als 1 annehmen, wenn auch dadurch K in der unmittel- baren Umgebung der Gleichgewichtslage, mo seine (kleinen) Werte ohnedies nicht ins Gewicht fallen, nicht ganz sachgemaS dargestellt ist. Der im VersuchsfalIe wirklich existierende Zahlenwert von m spielt im folgenden keine Rolle. haben wir nun den Ausdruck

Fiir

der fur jedes positive oder negative 5: sicher einen endlichen Wert besitzt. Anstelle von (2) erhalten wir nun

(4) = L o e - ( a - W - e-ffeEo a, - eP a]. Also auch jet.zt sind fur Lo = 0 die Umkehrpunkte nur von dem Produkte ( w I Z 0,) = E , abhangig. Dies trifft aber nicht mehr zu, wenn man eine Summe verschiedener Potenzen von 0 fur K einsetzt; damit ist unter anderem Hysteresis aus- geschlossen.

Die besprochene Methode der Vergleichung von Wider- standen setzt voraus, daB der Versuchskorper in bezug auf

Vorder- und Hinterteil gleich geformt ist. Ihre Feinheit be- steht darin, da8 groBe und viele Schwingungsbogen genau beobachtet werden konnen, wobei man aber die Bogen nicht zu klein werden lassen darf, weil sonst die unvermeidlichen Strijmungen im Gase ocler in der Flussigkeit das Resultat frilschen.

Es ist bezeichnend, da8 wir uns speziellerer Voraus- setzungen uber die Form der treibenden Einzelkraft auf der Kreisbahn entledigen konnen. Allerdings tritt dann ein neuer Ubelstand auf, der aber zuweilen unbedeutend werden kann. 1st li(0) eine eindentige, stetige Funktion der Elongation 0 mit der Bedingung, da6 sie fur k-7 0 von positiren zu negativen Werten iibergeht, wodurch Schwingungen gewahrleistet sind [vgl. oben unter (A)], so ist (5) = e-~R@Ie+~~llOl{(@)d@

eine Funktion, die 20 nur in der Verbindung mit R enthalt, es sind also unter denselben Voraussetzungen wie vorhin die Lagen der Umkehrpunkte nur von 0, und dem Produkte (w R) abhangig. Wenn wir also w und R so variieren, daB diese Lagen dieselben bleiben, dann ist das genannte Produkt kon- stant geblieben, womit wieder eiie Methode der Widerstands- vergleichung gegeben ist. Wahrend wir aber vorhin die bei manchen Korperformen unsichere Gro6e R konstant halten durften, miissen wir jetzt R variieren. Andererseits haben wir den Vorteil erlangt, daB wir yon der treibenden Kraf't weiter nichts zu wissen brauchen, als da8 sie hysteresisfrei ist. Sie braucht also z. B. nicht antisymmetrisch zur Gleichgewichts- lage zu sein.

Bewegungsvorggnge mit ausschlieplich minimalen Ge- schwindigkeiten (vgl. oben in der Einleitung) machen cine be- sondere Betrachtung notig. Bei ihnen werden im allgemeinen alle drei der eingangs erwahnten Ursachen beteiligt sein, so daB der Widerstand von der Form - (a v + b d) sein wird. Fur die beiden extremen Fiille, da8 reiner Verdrangungswiderstand (- b vz) bez. reiner Kohasionswirlerstand (- a v) vorliegt, lassen sich Kriterien aufstellen, von denen jetzt noch ein besonderes fur hin- und hergehende Bewegung entwickelt werden m6ge. Wir betrachten also Schwingungen, bei denen &, klein ist

YeTdran~ungs~cidelet.sland fks!er il'iirper etc. 193

gegen 1 ; dabei braucht die Auslage 0, nicht klein zu sein. Die Bewegung beginne mieder aus der Ruhe heraus. Dann liefert unsere Gleichung (2) - oder auch (1) - durch Reihen- entwickelung und Beschriinkung auf die ersten Glieder den Ausdruck

Erst wenn die kleinen GroBen dritter Ordnung von go merk- lich sind, werden die Verschiebungen der Umkehrpunkte gegen die Gleichgewichtslage hin merklich. Urn zu finden, in welchem Verhaltnis zmei aufeinander folgende Exkursionen zueinander stehen, fiihren wir den absoluten Betra,g a, der linksseitigen ,,reduzierten" Exkursion to = - a, und al den der rechts- seitigen = + al ein und bilden E = al/a,,, eine GroBe, die naho gleich 1 sein mu5. Gleichung (6) liefert fur E die Be- stimmungsgleichung

hieraus €"ao. E + $-) + a, - + = 0

(7) also E - 1 - f a o .

(G) Die Schioingungen naherta sicfi mi5 abnehmenden Ex- kursionen unyedampften Schioingungen , woyegen die lineare Widerstandsformel zu einem konstanten Bampfunysverhaltnis seE6st bei den kleinsten Schwingungen fiihrt.

Man konnte noch daran denken, in der GraBe der Schwingungsdauern bei beiden Widerstandsarten eine wesent- liche Verschiedenheit zu finden. Das ist aber nicht der Fall. Die Zeit fiir die Zuriicklegung des reduzierten Weges a, + a,, also die halbe Schwingungsdauer, ergibt sich aus Gleichung (6) fur E - 1 zu

sie ist, wie bei der linearen Formel, etmas grolier als im Vakuum, selbst wenn der Unterschied der Exkursionen un- merklich ist.

Es mogen nun fur kleine Schzoingun_gsbezue~ungen die Kriterien zusammengestellt werden.

Annalen der Pbysik. IV. Folge. 23. 13

194 K. Uller.

Linearer Widerstand. Quadratischer Widerstand. (A) Aperiodizitat mtiglich. Aperiodizitat unmtiglich. (G) Dekrement dcr periodischen Be- Dekrement nimmt mit abnehmenden

(B) Lagen der Umkehrpunkte von Lagen der Umkehrpunkte yon der der Intensitat der treibendeu Intensitst der Einzelkraft un- Kraft abhhgig. abhangig.

(D) Rei Variation nur der IntensitPt der Einzelkraft ist T,/T,, das Ver- hiiltnis entsprechcnder Schmingungszeiten, vom Widerstand des Mediums

wegung konstant. Erkursionen bestandig ab.

abhangig unabhangig.

Die Tangentialbeschleunigung.

Die Grundgleichung (11) liefert uns direkt die Gr8Be des tangentialgerichteten Widerstandes; wir brauchen sie nur mit w zu multiplizieren, vgl. Gleichung (I). Wir erbalten nach Ausfiihrung einer partiellen Integration

Da nuu aber d L l d s identisch ist mit m d v / d t , so erhalten wir aus Gleichung (I) auch folgende, merkwiirdige Beziehung

(IV) m - - = = w C e - Q + t o e - Q dz s l e +Q-- (") - ds , d f 2 d 3 W

giiltig bis zur nachsten Nullstelle der Lebendigen Kraft. .Die Tangentialbeschleuniyung des K'iipers (m) setzt sich

also im allgemeinen aus rwei Teilen additiv zusammen: Die eine ist eine rnit der Lan9e des zuruckgelegten Keyes infolye des Widerstandes bestandig abnehmende Beschleunigung; sie ist von der treibenden Kraf'f wnabhangig. Die andere ist von dem T'er- haltnis der ki.aft zu dem Henimunpfaktor abliangQ, aber nur sofkrn dies Ferhaltnis langs der B a h variiert.

Diese Aussagen gelten, wie klein auch der Widerstand des Mediums sein mag. Der Ubergang zu w = 0 ist in der Gleichung stetig; der Wortlaut wird aber d a m ein anderer, und zwar der bekannte.

Einige einfache Falle mogen als Erlauterung erwahnt werden.

1. Ein starrer Korper von ferschwindend kleinem Ge- michte bewege sich unter dem EinfluB des Auftriebes (6)

~erdrangungs~~iderstand fester Korper etc. 195

vertikal in einem Medium, dessen Dichte langs der Vertikalen beliebig in stetiger Weise variiere, doch so, daB sie in un- mittelbarer Umgebung des Korpers als kaum veranderlich angesehen werden darf (Blase in einer Flussigkeit ; Luftballon).

2. Ein starrer, schwerer Korper bewege sich unter dem EinfluB der konstanten Schwerkraft ( K ) in vertikaler Richtung in einem Medium konstanter Dichte mit verschwindend kleinem Auftriebe (vertikaler Wurf; rertikaler Fall).

3. Ein starrer Korper bewege sich horizontal in einem Medium konstanter Dichte unter dem EinfluB einer konstanten, oder gar keiner Horizontalkraft ( K ) , die er in Richtung der Bahn erleidet oder entwickelt (Bewegung eines Schiffes, eines Fahrzeuges).

In diesen drei verschiedenen Fiillen vollzieht sich die Bewegung des Korpers, wie klein tu auch sein mag, nach dem- selben Gesetze

d2 s (9) d t?

Die Beschleunigung ist unabhangig von der treibenden Kraft; letztere lronnte auch fehlen, ohne daB dadurch die Bewegungs- form eine andere wurde. Aber die Konstante C = (Lo - @Je- Qo,

die Vorzeichen und Intensitat der Beschleunigung bestimmt, hat in den verschiedenen Fallen verschiedene Vorzeichen und Werte. Fur ?u = 0 hat man m (d2.v/dtz) = KO, wie es sein soll.

m- = - w C e - 0 .

Verdrangungswiderstand in einem schwerflussigen Medium.

Angenommen, der Verdrangungswiderstand in einem schwer- Piissigen Medium sei im Zustand der Bewegung, wie klein sie auch sei, darstellbar durch die Formel - r - 10 L, wo die gegebene positive GroBe r ebenso wie w im allgemeinen von s abhangig gedacht werden mu8. Dieser allgemeinere Fall laRt sich nach derselben Methode wie der besondere (r = 0) behandeln, wenn wir voraussetzen, daB k' in jedem Punkte der Bahn dem absoluten Betrage nach groBer als r ist; denn i m anderen Falle konnte es vorkommen, daR der Widerstand - r rechnerisch eine Bewegung erzeugte, was ja seinem Wesen nach unmoglich ist. Wir konnen d a m - r rechnerisch zu der treibenden Kraft R schlagen, so daB in den bisher ent-

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196 K. Uller. Verdrangungswiderstand fester li'crper etc.

wickelten Beziehungen K - r an die Stelle von K zu setzen ist. Man sieht, da6 van den allgemeinen Satzen (A) bestehen bleibt.

Vermutlich steht r in einem bonstanten Verhaltnis zu w. D a m erhalten wir fur den tangentialen Widerstand ent- sprechend Gleichung (111) den Ausdruck

(IIIa) - r - w w L : = - K - r - w C ' e - Q + w e - +Q-(K/w)ds

und analog Gleichung ( I V )

d d s

Gleichung (IVa) unterscheidet sich also von Oieichung (LV) nur durch eine andere Konstante C'. Unter den gemachten Voraussetzungen uber k' und r wurden sich demnach die oben angefuhrten drei Beispiele auch in einem schwerfliissigen Medium nach der gleichen Bewegungsform (9) abspielen.

Es sind Versuche in Vorbereitung, die die Brauchbarkeit

Giessen , Pbysik. Inst. cler Univ., am 24. Marz 1907.

(Eingegangen 24. Mar2 1907.)

der entwickelten Mefirnethoden erproben sollen.