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Hauptseminar Diskrete Dynamische Systeme
Die Hufeisenabbildung
Lidia Wensel
03.07.2008
2
Inhalt1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
3
1. Kanonisches Beispiel
Ablauf einer Iteration in der Hufeisenabbildung
Q
S Stadium"" das
4
1. Kanonisches Beispiel
Die Hufeisenabbildung wird
(a) zwei mal
(b) drei mal
(c) vier mal angewendet.
)(a )(b )(c
5
1. Kanonisches Beispiel
Die Urbilder , von , sind vertikale Streifen0Q 1Q1P0P
0P 1P
1Q
0Q
6
1. Kanonisches Beispiel
Wir definieren induktiv
(1)
mit .
Man sieht, dass
aus vier horizontalen Streifen besteht, die innerhalb von
liegen.
Aufgrund der Konstruktion ist
.
QQfQ nn )(: )()1(
10)1( , QQQNn
QQQfQ )( 10)2(
10 QQ
...... )()2()1( nQQQ
7
1. Kanonisches Beispiel
Darstellung von für n = 1, 2, 3. besteht aus disjunkten horizontalen Streifen mit der Dicke , schnell abnehmend mit wachsendem n.
)(nQ
10)1( QQQ
)(nQ n2n/2
)2(Q)3(Q
8
1. Kanonisches Beispiel
Wir nehmen
(2)
und definieren
(3)
für .
)( )1(110
)0( QfPPQ
))(()( ))1((1)1())1((1)( QfQfQQfQ nnn
0Nn
1. Kanonisches Beispiel
9
Darstellung von . wirkt nur auf .
10)1(1)0( )( PPQfQ 1f
10)1( QQQ
1f
) ,/(),( yxyx
) ,/(),( yxyx
0Q
1Q0P 1P
setzen Q auf
setzen Q auf
0A0B0C 0D
'0D
'0C
'0B
'0A
"0A
"0B
"0C
"0D
1A1B1C 1D
'1A
'1B
'1C
'1D
"1D
"1C
"1B
"1A
1. Kanonisches Beispiel
Darstellung von . Die gefärbten
Quadrate stellen dar. besteht aus gefärbten
Streifen im doppelt gestrichenen Teil des Diagramms.
10
)( )1()0(1)1( QQfQ
)1()0( QQ )1(Q
c c c1f
0A0B
0C 0D
'0D
'0C
'0B
'0A
"0A
"0B
"0C
"0D
1A1B
1C 1D'
1D'
1C
'1B
'1A
"1A
"1B
"1C
"1D
) ,/(),( yxyx
) ,/(),( yxyx
setzen Q auf
setzen Q auf
11
1. Kanonisches Beispiel
Gezeigt sind die vertikalen Streifen , definiert durch (3). Man beachte . Die Menge besteht aus disjunkten Streifen der Breite .
)2()1()0( , , QQQ)2()1()0( QQQ
12 n )1(/2 n
10)0( PPQ
)1(Q)2(Q
12
1. Kanonisches Beispiel
Definieren wir nun
(4)
so ist das kartesische Produkt zweier Cantor-Mengen,
welches selber eine Cantor-Menge ist.
0
)()()(:Nn
n
Nn
n
Zn
n QQQ
13
1. Kanonisches Beispiel
Satz 1.1
Die Menge ist invariant unter und .
Beweis
Zn
nQ
)( f 1f
14
Inhalt1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
15
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Sei die Menge aller doppelt - unendlichen Sequenzen
der binären Symbole , d.h.
.
1 ,0
1 ,0:
Die Elemente von nennt man Symbolsequenzen, sie
werden durch für alle definiert. Wir
schreiben
.
1,0n Zn
...... 321012
nn
Unser Ziel ist die Betrachtung der Dynamik der Abbildung
, die durch
, (5)
definiert wird, .
:1)( nn
Zn
16
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.1
Der Links - Shift besitzt periodische Bahnen aller
Perioden sowie aperiodische Bahnen.
:
17
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.2
Es existiert eine Topologie, in welcher die periodischen
Punkte von dicht in sind.
18
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
Satz 2.3
Der Links - Shift besitzt eine dichte Bahn auf
. :
19
Inhalt1. Kanonisches Beispiel
2. Dynamik auf Symbolsequenzen
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
20
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Zur Erinnerung:
,
wobei , , die disjunkte Vereinigung von
horizontalen Streifen des Quadtrates Q ist, während ,
, die Vereinigung von ähnlichen vertikalen
Streifen ist. Wie man in den Abbildungen sieht, gilt
und .
Daher ist
die disjunkte Vereinigung von Quadraten der
Seitenlänge .
Zn
nQ
)(
)(nQ Zn n2)( nQ
Nn 12 n
...... )()2()1( nQQQ ...... )()1()0( nQQQ
N
Nn
NNnN QQQ)1(
)())1(()()(
N22N/2
21
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Darstellung von für N=1.N
Nn
nQ)1(
)(
)0(Q)1(Q)1()0( QQ
22
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Darstellung von für N=2.N
Nn
nQ)1(
)(
2
1
)(
n
nQ
)1(Q)2(Q
23
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Jedes Quadrat von kann eindeutig durch einen
Symbolblock
,
, der Länge 2N repräsentiert werden.
Es gilt
, (12)
wobei ist.
N
NNN ...... 10)1(
)(
1,0n
1010)1( )()( QQPfPfQ
10 QQ
24
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Weiter ist
(13)
mit .
)()( 12
02)2( PfPfQ
)()( 12
02 PfPf
)()( 002 QfPf )()( 11
2 QfPf
25
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Allgemein gilt also für
(14)
und .
Nn)()( 10
)( PfPfQ nnn )()( 10 PfPf nn
26
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 1. Die eindeutige
Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige
Code der Streifen rechts.
(n)Q
)( 0Pf
)( 1Pf
0 0
1 1
27
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 2. Die eindeutige Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige Code der Streifen rechts.
(n)Q
)()( 12
1 PfPf
)()( 02
1 PfPf
)()( 02
0 PfPf
)()( 12
0 PfPf 1 0
0 0
0 1
1 1
1
1
0
0
28
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Codierung der Streifen in für n = 3. Die eindeutige Symbole für jeden Streifen stehen links, der eindeutige Code der Streifen rechts.
(n)Q
)()()( 13
12
0 PfPfPf 1 1 00 1 0
1 0 0
1 0 1
0 0 10 1 11 1 1
)()()( 13
02
1 PfPfPf
00
00
1
1
1
1
0 0 0
29
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von . Die eindeutigen
Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die
zugewiesenen Symbole unten.
(0)Q
0P
1P
0
0
1
1
30
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von . Die eindeutigen Kennzeichnungen für die Streifen stehen oben, die zugewiesenen Symbole unten.
1 1 1 0 0 0 0 1 01
1 )( PPf 00
1 )( PPf 10
1 )( PPf
111 )( PPf
1 1 0 0
(-1)Q
31
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Streifencodierung von .
0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1
011
12 )()( PPfPf
101
12 )()( PPfPf
(-2)Q
0 0 0 0 1 1 1 1
32
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Konstruktion des Symbolblocks, der die in
erscheinenden Quadrate repräsentiert:
Die Kennzeichnung für den vertikalen Streifen:
.
Die Kennzeichnung für den horizontalen Streifen:
.
Dann hat der Symbolblock, der das Quadrat kennzeichnet,
die Gestalt
.
)(N
01)1( ,,..., N
N ,...,1
NNN ,...,,,..., 101)1(
)(
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Die Quadratische Regionen, die mit gegeben durch
und , definiert werden, sind hervorgehoben.
33
(2) 0111 1110
0111 : )()()( 2)(1
2011
1 PfPfPPf
1110 : )()()( 2)(1
2101
1 PfPfPPf
(2)Q
(-1)Q
2
-1n
(n)Q
34
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Das Quadrat, welches durch den Symbolblock
repräsentiert wird, ist durch
(15)
gegeben.
)(N
QPfN
Nnn
n
)1(
35
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Satz 3.1
Die Bijektion ist ein Homomorphismus, der die
topologische Konjugation von und
zeigt.
Beweis
: h:f :
36
3. Symbolische Dynamik für die Hufeisenabbildung
Sei und
. (16)
QPfhxZn
n
n
QPffxfhfZn
n
n
QPfZn
n
n
1
QPfZn
n
n
1
h
Dann ist
(17)
37
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Inhalt• 1. Kanonisches Beispiel• 2. Dynamik auf Symbolsequenzen• 3. Symbolische Dynamik für die
Hufeisenabbildung• 4. Hufeisenabbildung für die Hénon-
Abbildung
38
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Sei . Die Hénon-Abbildung wird gegeben durch
und
.
22: RRf
xbyayyxf 21 ,,
x
b
xayyxf ,
1,
21
39
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
(a) Erstes Bild zeigt die drei Phasen der Konstruktion von
aus .
(b) Das Bild eines Rechtecks kann in gleicher Weise
konstruiert werden.
f
yx,
)(a )(b
40
4. Hufeisenabbildung für die Hénon-Abbildung
Jede Hénon – Abbildung besitzt zwei
Fixpunkte: a
abby
2
411 2
xbyayyxf 21 ,,
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