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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-1
3. Erzwungene Schwingungen
3.1 Aufgabenstellung
3.2 Lösung
3.3 Beispiel: Einzelkraft
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-2
3.1 Aufgabenstellung
● Die Platte wird durch eine harmonische Last
angeregt.● Gesucht ist die Verschiebung an ausgewählten
Punkten der Platte als Funktion der Erreger-kreisfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zustand.
p x , y , t = ps sin t pc cos t
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-3
3.1 Aufgabenstellung
● Komplexe Darstellung der Anregung:– Wegen
gilt:
sin t =12 i
exp i t −exp−i t
cos t =12
expi t exp−i t
p x , y , t =ps x , y
2 iexp i t −exp −i t
pc x , y
2exp i t exp−i t
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-4
3.1 Aufgabenstellung
– Daraus folgt:
– Dabei ist
p=pc−i ps2
exp i t pci ps2
exp−i t
= p expi t p exp −i t
p=12
pc−i ps und p=12
pci ps
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-5
3.2 Lösung
● Lösungsansatz:– Es wird angenommen, dass sich die Lösung im
eingeschwungenen Zustand als harmonische Funktion mit der Erregerkreisfrequenz darstellen lässt:
– In komplexer Form lautet der Lösungsansatz
mit
w x , y , t =ws x , y sin twc x , y cos t
w x , y , t = w x , yexpi t w x , yexp−i t
w=12
wc−i w s und w=12
wci ws
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-6
3.2 Lösung
– Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewe-gungsgleichung führt auf
∂4w
∂ x 42
∂4w
∂ x2∂ y2∂4w
∂ y4−
2 hB expi t
∂4 w
∂ x 42
∂4 w
∂ x2∂ x2
∂ w
∂ y4−
2 hB exp−i t
=pBexpi t
pBexp−i t
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-7
3.2 Lösung
– Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten muss, folgen daraus die beiden Gleichungen
und
∂4w
∂ x42 ∂
4w
∂ x2∂ y2∂4w
∂ y4−
2 hB
w=pB
∂4 w∂ x 4
2 ∂4 w
∂ x2∂ y2∂4 w
∂ y4−
2 hB
w=pB
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-8
3.2 Lösung
– Ist
Lösung der ersten Gleichung, so ist
Lösung der zweiten Gleichung.– Es genügt also, nur die erste Gleichung zu lösen.
w=12
w s−i wc
w=12
w si wc
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-9
3.2 Lösung
● Modale Superposition:– Jede Funktion, die die wesentlichen Randbe-
dingungen erfüllt, lässt sich als Überlagerung von Eigenfunktionen darstellen.
– Daher lässt sich die Lösung darstellen in der Form
w x , y=∑=1
∞
∑=1
∞
qW
x , y
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-10
3.2 Lösung
– Einsetzen führt auf
Mit
folgt:
∑=1
∞
∑=1
∞
q ∂4W
∂ x42
∂4W
∂ x2∂ y2∂4W
∂ y4−
2 hBW = p
B
∂4W
∂ x 42
∂4W
∂ x2∂ y2∂4W
∂ y4=
4 W
∑=1
∞
∑=1
∞
q
4−
2 hB W =
pB
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-11
3.2 Lösung
– Mit
folgt schließlich:
4=hB
2
∑=1
∞
∑=1
∞
qh
2−
2 W = p
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-12
3.2 Lösung
– Wird die Gleichung mit einer beliebigen Eigen-funktion W
mn multipliziert und über das Plattenge-
biet integriert, so folgt wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen:
– Mit der Plattenmasse gilt:
14a bh
2−
2 q=∫0
b
∫0
a
pW dx dy=R
m=ab h
q=4 R
m1
2−
2
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-13
3.2 Lösung
● Modale Dämpfung:– Dämpfung kann näherungsweise als modale
Dämpfung berücksichtigt werden.
– Mit den Lehrschen Dämpfungsmaßen Dμν
gilt:
22 iD−
2 q=4R
m
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4. Plattenschwingungen 4.3-14
3.2 Lösung
– Mit den modalen Übertragungsfunktionen
folgt:
H =4m
1
2−
22 iD
=4m
2−
2−2 iD
2−
224
22D
2
q=H R
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-15
3.2 Lösung
– Die Übertragungsfunktionen Hμν
hängen von der Er-
regerfrequenz und den Eigenfrequenzen ab.
– Die modalen Lasten Rμν
hängen von der komplexen
Lastamplitude und den Eigenfunktionen ab.– Bei gedämpften Systemen sind die modalen Koeffi-
zienten qμν
komplex.
– Die komplexen Beiträge der einzelnen Eigen-funktionen summieren sich zur komplexen Ver-schiebungsamplitude .w
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-16
3.2 Lösung
– Aus der komplexen Amplitude können die Funktionen und und daraus die reelle Amplitude und die Phase bestimmt werden:
wws wc
ws=−2ℑ w , wc=2ℜ w
w0=ws2wc
2 , tan=wcws
w=ws sin twccos t=w0sin t
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-17
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Einzelkraft:– Eine Einzelkraft ist eine Idealisierung für eine ver-
teilte Last, die außerhalb einer kleinen Umgebung des Angriffspunktes verschwindet.
– Die Eigenfunktionen, deren Wellenlänge groß im Vergleich zu den Abmessungen des belasteten Gebiets ist, können daher in dieser Umgebung als konstant angenommen werden.
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-18
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Wenn die Erregerfrequenz so niedrig ist, dass für alle zu berücksichtigenden Eigenschwingungen die Abmessungen des belasteten Gebietes klein gegenüber der Wellenlänge sind, gilt für die moda-len Lasten:
– Dabei ist F0 die Amplitude der Last und (x
0, y
0 ) der
Angriffspunkt.
R=F 0W x0 , y0
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-19
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Aufgabenstellung:– Eine rechteckige Stahlplatte wird durch eine Einzel-
kraft angeregt.– Abmessungen der Platte:
● a = 0,70m ● b = 0,50m ● h = 0,005m
x
y
F1
F2
a
b
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4. Plattenschwingungen 4.3-20
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Materialkennwerte der Platte:● E = 2,11∙1011N/m2
● ρ = 7850kg/m3
● ν = 0,3– Dämpfung:
● Es wird modale Dämpfung mit einem Lehrschen Dämp-fungsmaß von 2% angenommen.
– Ort der Anregung:● Fall 1: x
1 = 0,35m, y
1 = 0,25m
● Fall 2: x2 = 0,2m, y
2 = 0,1m
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-21
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Gesucht sind für beide Lasten die Übertragungs-funktionen für die Verschiebungen an den Punkten
● P1 mit den Koordinaten x
1 = 0,35m, y
1 = 0,25m
● P2 mit den Koordinaten x
2 = 0,2m, y
2 = 0,1m
– Frequenzbereich:● von 0Hz bis 1000Hz
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-22
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Lösung:– Die Übertragungsfunktionen sind definiert durch
– Dabei ist die komplexe Amplitude der Last.– Die Übertragungsfunktionen entsprechen also den
Verschiebungen für eine Anregung mit einer Einheitslast.
T w x , y ,=w x , y ,
FF
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-23
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Fall 1:● Modale Lasten:
● Modale Koeffizienten:
R=W x1 , y1=sin x1a sin
y1b
q=H R=H sin x1a sin
y1b
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4. Plattenschwingungen 4.3-24
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Übertragungsfunktionen:
T w1x 1 , y1 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x1 , y1
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin2
x1a sin2
y1b
T w1x 2 , y2 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin x 1a sin
x 2a sin
y1b sin
y2b
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4. Plattenschwingungen 4.3-25
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Fall 2:● Modale Lasten:
● Modale Koeffizienten:
R=W x 2 , y2=sin x 2a sin
y2b
q=H R=H sin x 2a sin
y2b
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-26
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Übertragungsfunktionen:
T w2 x 2 , y2 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin2
x 2a sin2
y2b
T w2 x 1 , y1 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x 2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin x 2a sin
x 1a sin
y2b sin
y1b
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-27
Beispiel: Einzelkraft
– Die modalen Übertragungsfunktionen
sind für beide Fälle gleich.
H =4m
2−
2−2 iD
2−
2 24
22D
2
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4. Plattenschwingungen 4.3-28
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Reziprozität:● Die Übertragungsfunktionen T
w1(x
2 , y
2 ) und T
w2(x
1 , y
1 )
sind gleich.
F
w
F
w
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4. Plattenschwingungen 4.3-29
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Ergebnis:– Das Diagramm auf der nächsten Seite zeigt die
Amplituden der Übertragungsfunktionen.– Die Minima zwischen den einzelnen Resonanzen
werden als Antiresonanzen bezeichnet.– Bei außermittigem Lastangriff werden deutlich mehr
Eigenschwingungen angeregt.
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-30
3.3 Beispiel: Einzelkraft
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-31
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Fragestellung:– Bei realen Bauteilen streuen Abmessungen, Mate-
rialkennwerte und Dämpfungswerte.– Welchen Einfluss hat diese Streuung auf den
Frequenzgang?
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-32
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Beispiel:– Berechnet wird die Übertragungsfunktion zwischen
einer Last am Punkt P1 und der Geschwindigkeit
am Punkt P2 für eine dünne Platte.
– Daten:● a = 0,6m , b = 1,67m, h = 0,001m● E = 2,10∙1011N/m2, ν = 0,3, ρ = 7850kg/m3
● Dämpfung: D = 0,03
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-33
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
– Streuung:● Die Eigenfrequenzen streuen um 2%.● Die Dämpfung streut um 20%.● Die Koordinaten der beiden Punkte sind auf ± 2mm ge-
nau.● Berechnet werden die Ergebnisse für 20 verschiedene
Proben, deren Daten innerhalb der angegebenen Gren-zen streuen.
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4. Plattenschwingungen 4.3-34
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
– Ergebnisse:● Die folgenden beiden Diagramme zeigen den Pegel der
Geschwindigkeit an den Punkten P1 und P
2 für eine
Anregung durch eine Einheitslast am Punkt P1.
● Der Pegel ist definiert durch
● Als Referenzgeschwindigkeit wurdegewählt.
Ldb v =20 log vvref
vref=1m / s
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4. Plattenschwingungen 4.3-35
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
Ldb v P1
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4. Plattenschwingungen 4.3-36
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
Ldb v P2
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-37
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Beobachtungen:
– Die Geschwindigkeit am Erregerpunkt P1 verläuft
für hohe Frequenzen zunehmend glatter. Die Streuung hält sich in Grenzen.
– Die Streuung der Geschwindigkeit am Punkt P2
nimmt mit zunehmender Frequenz stark zu.
Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-38
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Erklärung:– Bei höheren Frequenzen sind viele Eigen-
schwingungen etwa gleich stark an der Antwort be-teiligt.
– Die Phasen der Beiträge streuen stark, je nachdem, ob die Erregerfrequenz oberhalb oder unterhalb der Resonanzfrequenz liegt.
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