5. Fourier-Transformationwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_1/v2_5.pdf · Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 1 2.5-2 5.1 Definition Definition:

Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad Elastodynamik 12.5-1

5. Fourier-Transformation

5.1 Definition

5.2 Eigenschaften

5.3 Transformation reeller Funktionen

5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich


5.1 Definition

● Definition:– Die Fourier-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert

durch

– Die untere und die obere Grenze streben unabhängig voneinander gegen Unendlich.

F =∫−∞

∞

f t e−i tdt


5.1 Definition

tT

1t0 : f t =00≤t≤T : f t =1tT : f t =0

● Beispiel 1: Rechteckimpuls

F =∫−∞

∞

f t e−i t dt

=∫0

T

e−it dt=−1i

e−iT−1 =−1i

cosT−1−i sinT

F =1sinT

i

cosT−1


5.1 Definition

1sinT= 1

T−1

3!T

3=T−

1

3!2T 3

1

cosT−1 =1

1

2!T

2−=

1

2!T 2

F 0=T

– Wert für Ω = 0:

– Aus folgt allgemein:● Der Realteil von F(0) ist gleich der Fläche unter der Funktion

f(t).● Wenn f(t) reell ist, ist der Imaginärteil von F(0) Null.

F 0=∫−∞

∞

f t dt


5.1 Definition

Re F(ω)

Im F(ω)

Ω

T

π/T 2π/T


5.1 Definition

tT

1

-T

t−T : f t =0−T≤t≤0 : f t =1t /T0≤t≤T : f t =1−t /TtT : f t =0

● Beispiel 2: Dreieckimpuls

– aus Formelsammlung:

F =∫−∞

∞

f t e−i tdt=F =∫−T

0

1 tT e−i tdt∫0

T

1− tT e−i tdt

∫ t e−i t dt=

e−i t

2

i t1


5.1 Definition

F =1

2T

2−eiT−e−iT =2

2T

1−cosT

1−cosT=2sin2T2

F =4

2Tsin2T2

– Nach einiger Rechnung folgt:

– Mit

wird daraus


5.1 Definition

Ω

F(Ω

)

2π/T

T


5.1 Definition

● Beobachtungen:– Die Lage des ersten Nulldurchgangs ist umgekehrt pro-

portional zur Impulsdauer T.– Am Aufbau des Impulses sind alle Frequenzen beteiligt.– Die Frequenzen bis zur ersten Nullstelle herrschen jedoch

vor.● Existenz der Fourier-Transformation:

– Eine notwendige Bedingung ist, dass die zu trans-formierende Funktion gegen Null geht, wenn die Zeit gegen Unendlich geht.

– Eine hinreichende Bedingung ist ∫−∞

∞

∣ f t ∣dt∞


5.1 Definition

● Inverse Transformation:– Die inverse Fourier-Transformation ist gegeben durch

– Bei der inversen Transformation müssen die Grenzen in gleicher Weise gegen Unendlich streben.

f t = 12∫−∞

∞

F ei t d


5.1 Definition

● Deutung:– Eine periodische Funktion f(t) kann als unendliche Summe

von harmonischen Schwingungen dargestellt werden (Fourier-Reihe).

– Die Frequenzen sind ein Vielfaches einer Grundfrequenz Ω

0:

– Eine nichtperiodische Funktion ist aus unendlich vielen Schwingungen aller Frequenzen aufgebaut.

f t = ∑n=−∞

∞

cnei n0 t


5.1 Definition

– Jede dieser Schwingungen ist beteiligt mit der infinitesima-len komplexen Amplitude

– Dadurch erhält man das Fourier-Integral

– Die Funktion F(Ω) wird als Spektralfunktion, Spektraldichte oder Frequenzfunktion bezeichnet.

– Die Funktion | F(Ω) | wird als Amplitudendichte bezeichnet.

f t =∫−∞

∞ 12F ei t d

12F d


5.2 Eigenschaften

● Linearität:

– Sei F1(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f

1(t) und

F2(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f

2(t), und

seien c1 und c

2 zwei Konstanten.

– Dann folgt für die Fourier-Transformierte der Funktion f(t) = c

1 f

1(t) + c

2 f

2(t) :

F =c1∫−∞

∞

f 1t e−i t dtc2∫

−∞

∞

f 2t e−i tdt

=c1F 1c2F2


5.2 Eigenschaften

● Maßstabsänderung:– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion g(t) = f(at)

mit reellem, von Null verschiedenem a gilt:

– Die Substitution führt zu

G =∫−∞

∞

f a t e−i t dt

=a t , d =a dt

G =∫−∞

∞

f e−i

a 1ad =

1aF

a


5.2 Eigenschaften

● Zeitverschiebung:– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Funktion

g(t) = f(t-Δt) mit reellem Δt gilt:

– Die Substitution führt zu

G =∫−∞

∞

f t− t e−i t dt

=t−t , d =dt

G =∫−∞

∞

f e−i t d =e−i t F


5.2 Eigenschaften

● Transformation der Ableitung:– Sei F(Ω) die Fourier-Transformierte der Funktion f(t).– Für die Fourier-Transformierte G(Ω) der Ableitung

g(t) = f'(t) gilt:

– Partielle Integration führt auf

– Da f(t) im Unendlichen verschwindet, ist der erste Summand auf der rechten Seite Null. Es bleibt

G =∫−∞

∞

f ' t e−i t dt

∫−∞

∞

f ' t e−i tdt=[ f t e−i t ]−∞

∞

−∫−∞

∞

f t −ie−i t dt

∫−∞

∞

f ' t e−i t dt=i∫−∞

∞

f t e−i tdt=iF


5.2 Eigenschaften

● Beispiel: Schwingungsgleichung– Schwingungsgleichung:

– Fourier-Transformation führt zu

– Dabei ist F(Ω) die Fourier-Transformierte von f(t) und X(Ω) die Fourier-Transformierte von x(t).

m x t d x t c x t = f t

−2midc X =F


5.2 Eigenschaften

– Durch die Fourier-Transformation geht die lineare Diffe-rentialgleichung in eine lineare algebraische Gleichung über.

– Die algebraische Gleichung kann leicht nach X(ω) aufgelöst werden

– Durch inverse Transformation kann die Lösung x(t) be-stimmt werden.


5.2 Eigenschaften

● Faltung:– Seien f(t) und h(t) zwei reelle Funktionen der Zeit t.– Die Funktion

wird als Faltung bezeichnet.– Beispiele: Berechnung der Antwort x(t) mit Hilfe der

Impulsantwort oder der Sprungantwort

g t =∫−∞

∞

f ht−d


5.2 Eigenschaften

– Für die Fourier-Transformation der Faltung gilt:

– Dabei sind F(Ω), G(Ω) und H(Ω) die Fourier-Trans-formierten von f(t), g(t) und h(t).

– Durch die Fourier-Transformation geht das Faltungsintegral in ein Produkt zweier Funktionen über.

G =F H



● Bei technischen Anwendungen ist die Funktion f(t) reell.● Folgerungen für die Fourier-Transformation:

– Allgemein gilt:

– Mit folgt:

– Für reelle Funktionen folgt:

F =∫−∞

∞

f t e−i t dt=∫−∞

∞

f t cos t−i sint dt

=∫−∞

∞

f t cos t dt−i∫−∞

∞

f t sint dt

cos− t =cos t , sin − t =−sin t

F −=∫−∞

∞

f t cost dti∫−∞

∞

f t sin t dt

ℜ F −

ℑ F −

=ℜ F

=−ℑ F



● Folgerungen für die inverse Transformation:– Allgemein gilt:

f t =12 ∫

−∞

∞

F ei t d

=12∫−∞

∞

ℜ F iℑ F cos ti sint d

=12 ∫

−∞

∞

ℜ F cost−ℑ F sin t d

i2 ∫

−∞

∞

ℜ F sin tℑ F cos t d



– Für reelle Funktionen f(t) gilt:

– Daraus folgt:

ℜ F cos t=ℜ F − cos − t ℑ F sin t=ℑ F − sin − t

ℜ F sin t=−ℜ F − sin − t ℑ F cos t=−ℑ F − cos− t

f t =1∫

0

∞

ℜ F cos t−ℑ F sin t d



● Bei technischen Anwendungen kann der Nullpunkt der Zeitachse meist so gewählt werden, dass gilt:

● Dann vereinfacht sich die Fourier-Transformation zu

f t =0, t≤0

F =∫0

∞

f t e−i t dt=∫0

∞

f t cos t dt−i∫0

∞

f t sin t dt



● Fourier-Transformation der Schwingungsgleichung:

● Berechnung der Antwort mit Hilfe der Impuls-Antwort:

● Fourier-Transformation (Faltung):

mit

−m2idc X =F X =

F

−m2idc

x t =∫0

t

F h I t−d

X =F H

H =∫0

∞

h I t e−i tdt



● Für die Fourier-Transformation der Impuls-Antwort gilt also:

H =1

−m2idc



● Überprüfung durch direkte Berechnung:

∫0

∞

h I t e−i t dt=

1md

∫0

∞

e−it sin d t dt

=1md [

e−i t

i 2d

2 −isin d t −d cosd t ]t=0

t=∞

=1md

d

22 i−

2

2−

2=1

−m2idc



Last f(t) Last F(Ω)

Antwort X(Ω)Antwort x(t)

Fourier-Transformation

inverse Transformation

Lösung

● Lösung der Schwingungsgleichung:



– Mit der Fourier-Transformation kann die Lösung der Schwingungsgleichung gefunden werden, ohne dass eine Differentialgleichung gelöst werden muss.

– Die Schwierigkeit liegt dabei in der Regel in der Berechung der inversen Fourier-Transformation.

– In der Praxis werden beide Transformationen numerisch mit Hilfe der FFT (Fast Fourier Transform) durchgeführt.



– Bei impulsartigen Lasten gilt , wenn Ω größer als eine Frequenz Ω

0 ist.

– Gilt für die Kreisfrequenz ω der Schwingung ,so antwortet der Schwinger quasi-statisch.

– Die Frequenz Ω0 kann durch inverse Fourier-Transformati-

on der bei Ω0 abgeschnittenen Spektralfunktion F(Ω) über-

prüft werden.

F ≈0

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