3. Erzwungene Schwingungen - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik_2/v4_3.pdf · Elastodynamik 2 SS 2007 4. Plattenschwingungen 4.3-2 3.1 Aufgabenstellung

Elastodynamik 2SS 2007

4. Plattenschwingungen 4.3-1

3. Erzwungene Schwingungen

3.1 Aufgabenstellung

3.2 Lösung

3.3 Beispiel: Einzelkraft

3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs




● Die Platte wird durch eine harmonische Last

angeregt.● Gesucht ist die Verschiebung an ausgewählten

Punkten der Platte als Funktion der Erreger-kreisfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zustand.

p x , y , t = ps sin t pc cos t




● Komplexe Darstellung der Anregung:– Wegen

gilt:

sin t =12 i

exp i t −exp−i t

cos t =12

expi t exp−i t

p x , y , t =ps x , y

2 iexp i t −exp −i t

pc x , y

2exp i t exp−i t




– Daraus folgt:

– Dabei ist

p=pc−i ps2

exp i t pci ps2

exp−i t

= p expi t p exp −i t

p=12

pc−i ps und p=12

pci ps



3.2 Lösung

● Lösungsansatz:– Es wird angenommen, dass sich die Lösung im

eingeschwungenen Zustand als harmonische Funktion mit der Erregerkreisfrequenz darstellen lässt:

– In komplexer Form lautet der Lösungsansatz

mit

w x , y , t =ws x , y sin twc x , y cos t

w x , y , t = w x , yexpi t w x , yexp−i t

w=12

wc−i w s und w=12

wci ws



3.2 Lösung

– Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewe-gungsgleichung führt auf

∂4w

∂ x 42

∂4w

∂ x2∂ y2∂4w

∂ y4−

2 hB expi t

∂4 w

∂ x 42

∂4 w

∂ x2∂ x2

∂ w

∂ y4−

2 hB exp−i t

=pBexpi t

pBexp−i t



3.2 Lösung

– Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten muss, folgen daraus die beiden Gleichungen

und

∂4w

∂ x42 ∂

4w

∂ x2∂ y2∂4w

∂ y4−

2 hB

w=pB

∂4 w∂ x 4

2 ∂4 w

∂ x2∂ y2∂4 w

∂ y4−

2 hB

w=pB



3.2 Lösung

– Ist

Lösung der ersten Gleichung, so ist

Lösung der zweiten Gleichung.– Es genügt also, nur die erste Gleichung zu lösen.

w=12

w s−i wc

w=12

w si wc



3.2 Lösung

● Modale Superposition:– Jede Funktion, die die wesentlichen Randbe-

dingungen erfüllt, lässt sich als Überlagerung von Eigenfunktionen darstellen.

– Daher lässt sich die Lösung darstellen in der Form

w x , y=∑=1

∞

∑=1

∞

qW

x , y



3.2 Lösung

– Einsetzen führt auf

Mit

folgt:

∑=1

∞

∑=1

∞

q ∂4W

∂ x42

∂4W

∂ x2∂ y2∂4W

∂ y4−

2 hBW = p

B

∂4W

∂ x 42

∂4W

∂ x2∂ y2∂4W

∂ y4=

4 W

∑=1

∞

∑=1

∞

q

4−

2 hB W =

pB



3.2 Lösung

– Mit

folgt schließlich:

4=hB

2

∑=1

∞

∑=1

∞

qh

2−

2 W = p



3.2 Lösung

– Wird die Gleichung mit einer beliebigen Eigen-funktion W

mn multipliziert und über das Plattenge-

biet integriert, so folgt wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen:

– Mit der Plattenmasse gilt:

14a bh

2−

2 q=∫0

b

∫0

a

pW dx dy=R

m=ab h

q=4 R

m1

2−

2



3.2 Lösung

● Modale Dämpfung:– Dämpfung kann näherungsweise als modale

Dämpfung berücksichtigt werden.

– Mit den Lehrschen Dämpfungsmaßen Dμν

gilt:

22 iD−

2 q=4R

m



3.2 Lösung

– Mit den modalen Übertragungsfunktionen

folgt:

H =4m

1

2−

22 iD

=4m

2−

2−2 iD

2−

224

22D

2

q=H R



3.2 Lösung

– Die Übertragungsfunktionen Hμν

hängen von der Er-

regerfrequenz und den Eigenfrequenzen ab.

– Die modalen Lasten Rμν

hängen von der komplexen

Lastamplitude und den Eigenfunktionen ab.– Bei gedämpften Systemen sind die modalen Koeffi-

zienten qμν

komplex.

– Die komplexen Beiträge der einzelnen Eigen-funktionen summieren sich zur komplexen Ver-schiebungsamplitude .w



3.2 Lösung

– Aus der komplexen Amplitude können die Funktionen und und daraus die reelle Amplitude und die Phase bestimmt werden:

wws wc

ws=−2ℑ w , wc=2ℜ w

w0=ws2wc

2 , tan=wcws

w=ws sin twccos t=w0sin t




● Einzelkraft:– Eine Einzelkraft ist eine Idealisierung für eine ver-

teilte Last, die außerhalb einer kleinen Umgebung des Angriffspunktes verschwindet.

– Die Eigenfunktionen, deren Wellenlänge groß im Vergleich zu den Abmessungen des belasteten Gebiets ist, können daher in dieser Umgebung als konstant angenommen werden.




– Wenn die Erregerfrequenz so niedrig ist, dass für alle zu berücksichtigenden Eigenschwingungen die Abmessungen des belasteten Gebietes klein gegenüber der Wellenlänge sind, gilt für die moda-len Lasten:

– Dabei ist F0 die Amplitude der Last und (x

0, y

0 ) der

Angriffspunkt.

R=F 0W x0 , y0




● Aufgabenstellung:– Eine rechteckige Stahlplatte wird durch eine Einzel-

kraft angeregt.– Abmessungen der Platte:

● a = 0,70m ● b = 0,50m ● h = 0,005m

x

y

F1

F2

a

b




– Materialkennwerte der Platte:● E = 2,11∙1011N/m2

● ρ = 7850kg/m3

● ν = 0,3– Dämpfung:

● Es wird modale Dämpfung mit einem Lehrschen Dämp-fungsmaß von 2% angenommen.

– Ort der Anregung:● Fall 1: x

1 = 0,35m, y

1 = 0,25m

● Fall 2: x2 = 0,2m, y

2 = 0,1m




– Gesucht sind für beide Lasten die Übertragungs-funktionen für die Verschiebungen an den Punkten

● P1 mit den Koordinaten x

1 = 0,35m, y

1 = 0,25m

● P2 mit den Koordinaten x

2 = 0,2m, y

2 = 0,1m

– Frequenzbereich:● von 0Hz bis 1000Hz




● Lösung:– Die Übertragungsfunktionen sind definiert durch

– Dabei ist die komplexe Amplitude der Last.– Die Übertragungsfunktionen entsprechen also den

Verschiebungen für eine Anregung mit einer Einheitslast.

T w x , y ,=w x , y ,

FF




– Fall 1:● Modale Lasten:

● Modale Koeffizienten:

R=W x1 , y1=sin x1a sin

y1b

q=H R=H sin x1a sin

y1b




● Übertragungsfunktionen:

T w1x 1 , y1 ,=∑=1

∞

∑=1

∞

qW x1 , y1

=∑=1

∞

∑=1

∞

H sin2

x1a sin2

y1b

T w1x 2 , y2 ,=∑=1

∞

∑=1

∞

qW x2 , y2

=∑=1

∞

∑=1

∞

H sin x 1a sin

x 2a sin

y1b sin

y2b




– Fall 2:● Modale Lasten:

● Modale Koeffizienten:

R=W x 2 , y2=sin x 2a sin

y2b

q=H R=H sin x 2a sin

y2b




● Übertragungsfunktionen:

T w2 x 2 , y2 ,=∑=1

∞

∑=1

∞

qW x2 , y2

=∑=1

∞

∑=1

∞

H sin2

x 2a sin2

y2b

T w2 x 1 , y1 ,=∑=1

∞

∑=1

∞

qW x 2 , y2

=∑=1

∞

∑=1

∞

H sin x 2a sin

x 1a sin

y2b sin

y1b



Beispiel: Einzelkraft

– Die modalen Übertragungsfunktionen

sind für beide Fälle gleich.

H =4m

2−

2−2 iD

2−

2 24

22D

2




– Reziprozität:● Die Übertragungsfunktionen T

w1(x

2 , y

2 ) und T

w2(x

1 , y

1 )

sind gleich.

F

w

F

w




● Ergebnis:– Das Diagramm auf der nächsten Seite zeigt die

Amplituden der Übertragungsfunktionen.– Die Minima zwischen den einzelnen Resonanzen

werden als Antiresonanzen bezeichnet.– Bei außermittigem Lastangriff werden deutlich mehr

Eigenschwingungen angeregt.







● Fragestellung:– Bei realen Bauteilen streuen Abmessungen, Mate-

rialkennwerte und Dämpfungswerte.– Welchen Einfluss hat diese Streuung auf den

Frequenzgang?




● Beispiel:– Berechnet wird die Übertragungsfunktion zwischen

einer Last am Punkt P1 und der Geschwindigkeit

am Punkt P2 für eine dünne Platte.

– Daten:● a = 0,6m , b = 1,67m, h = 0,001m● E = 2,10∙1011N/m2, ν = 0,3, ρ = 7850kg/m3

● Dämpfung: D = 0,03




– Streuung:● Die Eigenfrequenzen streuen um 2%.● Die Dämpfung streut um 20%.● Die Koordinaten der beiden Punkte sind auf ± 2mm ge-

nau.● Berechnet werden die Ergebnisse für 20 verschiedene

Proben, deren Daten innerhalb der angegebenen Gren-zen streuen.




– Ergebnisse:● Die folgenden beiden Diagramme zeigen den Pegel der

Geschwindigkeit an den Punkten P1 und P

2 für eine

Anregung durch eine Einheitslast am Punkt P1.

● Der Pegel ist definiert durch

● Als Referenzgeschwindigkeit wurdegewählt.

Ldb v =20 log vvref

vref=1m / s




Ldb v P1




Ldb v P2




● Beobachtungen:

– Die Geschwindigkeit am Erregerpunkt P1 verläuft

für hohe Frequenzen zunehmend glatter. Die Streuung hält sich in Grenzen.

– Die Streuung der Geschwindigkeit am Punkt P2

nimmt mit zunehmender Frequenz stark zu.




● Erklärung:– Bei höheren Frequenzen sind viele Eigen-

schwingungen etwa gleich stark an der Antwort be-teiligt.

– Die Phasen der Beiträge streuen stark, je nachdem, ob die Erregerfrequenz oberhalb oder unterhalb der Resonanzfrequenz liegt.

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