4.1 Grundlagen 4.2 Viskose Dämpfung 4.3 Modale...

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3.4-1

4. Dämpfungsmodelle

4.1 Grundlagen

4.2 Viskose Dämpfung

4.3 Modale Dämpfung

4.4 Rayleigh-Dämpfung

4.5 Strukturdämpfung

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3.4-2

4.1 Grundlagen

● Dämpfung ist ein Prozess, bei dem Energie dissipiert wird.

● Mechanische Energie wird in Wärme umgewandelt.● Dämpfung kann durch makroskopische oder mikrosko-

pische Effekte verursacht werden.

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3.4-3

4.1 Grundlagen

● Makroskopische Effekte:– Reibung– Kontakt– Zähe Strömungen– Schallabstrahlung

● Mikroskopische Effekte:– Innere Reibung– Plastizität

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3.4-4

4.1 Grundlagen

● Dämpfungsmodelle:– Die meisten Vorgänge, die zu Dämpfung führen, sind

nichtlinear.– In der Praxis wird Dämpfung meist näherungsweise mit

linearen Dämpfungsmodellen beschrieben.– Die Parameter der linearen Dämpfungsmodelle werden so

angepasst, dass die während einer Periode dissipierte Energie mit dem beobachteten Wert übereinstimmt.

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3.4-5

4.1 Grundlagen

● Dissipierte Energie pro Periode:

– Die Leistung der Dämpfungskraft FD berechnet sich zu

– Integration über eine Periode ergibt die während einer Periode dissipierte Energie:

– Wenn die Dämpfungskraft und die Verschiebung einen harmonischen Zeitverlauf haben, gilt:

ED=FD u

ED=∫0

T

FD udt

FD t =12

FD0 ei t

FD0 e−i t

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3.4-6

4.1 Grundlagen

– Damit folgt:

ut =12

U ei tU e−i t , ut = i2 U eit−U e−i t

FD u=i4F D0 e

i tFD0 e

−i t U ei t−U e−i t

=i4 FD0U e

2 i tFD0U−FD0 U−F D0 U e

−2 i t

=−i4[F D0 U−FD0 U F D0 U e

−2i t− FD0 U e

−2 i t ]

=12 [ℑ FD0 U ℑ FD U e

−2i t ]

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3.4-7

4.1 Grundlagen

– Die während einer Periode dissipierte Energie berechnet sich also zu

– Dabei wurde

benutzt.

ED=12T ℑ FD0 U =ℑ FD0 U

∫0

T

cos2t dt=0 und ∫0

T

sin 2 t dt=0

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3.4-8

4.2 Viskose Dämpfung

● Viskose Dämpfung im Zeitbereich:– Das einfachste lineare Dämpfungsmodell ist eine Dämp-

fungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist:

– Dieses Dämpfungsmodell wird als viskose Dämpfung be-zeichnet.

– In vielen Fällen hängt die Dämpfungskraft jedoch nicht nur von der augenblicklichen Geschwindigkeit, sondern auch von den Geschwindigkeiten in der Vergangenheit ab.

– Das trifft z.B. bei Flüssigkeitsdämpfern zu.

FD t =d ut

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3.4-9

4.2 Viskose Dämpfung

– Ein allgemeiner linearer Zusammenhang zwischen der Dämpfungskraft und der Geschwindigkeit, der auch die Vergangenheit berücksichtigt, ist gegeben durch

– Die Funktion beschreibt den Einfluss, den die Ge-schwindigkeit zum Zeitpunkt τ auf die Dämpfungskraft zum Zeitpunkt t hat.

– Da die Dämpfungskraft nicht von Geschwindigkeiten in der Zukunft abhängen kann, muss gelten:

– Diese Bedingung wird als Kausalitätsbedingung bezeichnet.

FD t =∫−∞

∞

hd t−ud

hd t−

hd t−=0 für t

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3.4-10

4.2 Viskose Dämpfung

● Viskose Dämpfung im Frequenzbereich:– Der Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich er-

folgt durch eine Fourier-Transformation.– Für die viskose Dämpfung folgt:– Die während einer Periode dissipierte Energie berechnet

sich zu

– Bei viskoser Dämpfung gilt also:

– Die dissipierte Energie ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Verschiebung und zur Erregerfrequenz.

FD0 =idU

ED=ℑ FD0 U =ℑ idU U

ED=d∣U∣2

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3.4-11

4.2 Viskose Dämpfung

– Wenn die Dämpfungskraft durch

gegeben ist, führt die Fourier-Transformation auf

– Dabei ist

die Fourier-Transformierte von .

FD t =∫−∞

∞

hd t−ud

FD0 =iD U

D=∫−∞

∞

hd t e−i tdt

hd t

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3.4-12

4.2 Viskose Dämpfung

– Eine frequenzabhängige Dämpfungskonstante D(Ω) zeigt also an, dass die Dämpfungskraft von den Geschwindigkei-ten in der Vergangenheit abhängt.

– Aus der Kausalitätsbedingung folgt, dass zwischen dem Real- und dem Imaginärteil der Dämpfungskonstante die folgenden Beziehungen bestehen:

ℜ [D ]=1∫

−∞

∞ ℑ [D ]

−d

ℑ [D ]=−1∫

−∞

∞ ℜ [D ]

−d

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3.4-13

4.2 Viskose Dämpfung

– Für eine Berechnung müssen also Real- und Imaginärteil oder Amplitude und Phase der frequenzabhängigen Dämp-fungskonstanten gegeben sein.

– Eine Vernachlässigung des Imaginärteils führt zu physikalisch sinnlosen Ergebnissen.

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3.4-14

4.2 Viskose Dämpfung

● Beispiel:– Der Dämpfer wird durch die Abklingfunktion

beschrieben.

– Dabei sind c0 und t

0 Konstanten.

hd t ={0 für t0

c0e−t / t0 für t≥0

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3.4-15

4.2 Viskose Dämpfung

hd t

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3.4-16

4.2 Viskose Dämpfung

– Fourier-Transformation:

– Die Dämpfungskraft berechnet sich zu

D=∫−∞

∞

hd t e−i tdt=c0∫

0

∞

e−t / t0−it dt

=−c0

1/t0i[e−t / t 0−i t ]0

∞

=c0

1/t0i=c0 t0

1−it01 t0

2

FD0 =iD U =c0 t0i

2 t01 t0

2 U

=[K iℜ D ]U

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3.4-17

4.2 Viskose Dämpfung

– Dabei ist

– Der Realteil der Dämpfungskonstanten definiert eine Dämp-fung.

– Der Imaginärteil der Dämpfungskonstanten definiert eine Steifigkeit.

K =c0 t0

2

1t0 2=−ℑ D

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3.4-18

4.2 Viskose Dämpfung

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3.4-19

4.3 Modale Dämpfung

● Der modalen Dämpfung liegt die Annahme zugrunde, dass jede Eigenschwingung für sich gedämpft wird.

● Die Kopplung zwischen den Eigenschwingungen infolge der Dämpfung wird vernachlässigt.

● Jede Eigenschwingung wird durch eine modale Dämp-fungskraft gedämpft, die proportional zur modalen Ge-schwindigkeit ist.

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3.4-20

4.3 Modale Dämpfung

● Für die modale Dämpfungskraft gilt:

– Dν ist das Lehrsche Dämpfungsmaß der ν-ten Eigen-

schwingung.

– ων ist die Eigenkreisfrequenz der ν-ten Eigenschwingung.

● Lehrsches Dämpfungsmaß:– Das Lehrsche Dämpfungsmaß ist eine Funktion der Eigen-

schwingung, nicht der Erregerfrequenz.– Es beschreibt die dissipierte Energie einer Eigen-

schwingung infolge aller physikalischen Effekte.

FDt =2D qt

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3.4-21

4.4 Rayleigh-Dämpfung

● Die Rayleigh-Dämpfung wird hauptsächlich bei diskreten Systemen mit mehreren Freiheitsgraden verwendet, wie sie z.B. bei Analysen mit der Methode der Finiten Elemente auftreten.

● Die Dämpfungsmatrix ist definiert durch

● Das ist ein rein mathematischer Ansatz, dem keinerlei physikalische Überlegungen zugrunde liegen.

● Die so definierte Dämpfungsmatrix wird durch die Modaltransformation auf eine Diagonalmatrix trans-formiert.

D=1K2M

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3.4-22

4.4 Rayleigh-Dämpfung

● Die Modaltransformation zeigt, dass die Rayleigh-Dämp-fung äquivalent ist zu einer modalen Dämpfung mit

● Im Gegensatz zur modalen Dämpfung kann die Rayleigh-Dämpfung verwendet werden, ohne dass die Eigen-schwingungen berechnet werden.

D=12 1

2

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3.4-23

4.5 Strukturdämpfung

● Motivation:– Bei der viskosen Dämpfung ist die dissipierte Energie pro-

portional zum Quadrat der Amplitude der Verschiebung und zur Erregerfrequenz.

– In vielen Fällen wird beobachtet, dass die dissipierte Energie zwar proportional zum Quadrat der Amplitude der Verschiebung ist, aber kaum von der Erregerfrequenz abhängt.

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3.4-24

4.5 Strukturdämpfung

● Definition:– Für einen diskreten Dämpfer wird die Dämpfungskonstante

definiert durch

– Dabei ist c die Steifigkeitskonstante des Dämpfers.– Für die dissipierte Energie gilt dann:

D=gc

ED=gc∣U∣2

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3.4-25

4.5 Strukturdämpfung

– Entsprechend kann für ein dämpfendes Material ein kom-plexer Elastizitätsmodul definiert werden:

– Bei diskreten Systemen wird eine Dämpfungsmatrix

definiert.– Der Faktor g heißt Verlustfaktor.

E=E 1i g

D=gK

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3.4-26

4.5 Strukturdämpfung

● Äquivalente viskose Dämpfung:– Für einen viskos gedämpften Schwinger gilt:

– Für einen mit Strukturdämpfung gedämpften Schwinger gilt:

– Beide Gleichungen sind identisch für .– Diese Gleichung lässt sich nur für eine Erregerfrequenz Ω

exakt erfüllen.

−22i0D0

2 U=F 0m

−2i g0

20

2 U=F 0m

g0=2D

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3.4-27

4.5 Strukturdämpfung

– Da die Dämpfung den größten Einfluss für Ω = ω0 hat, wird

die äquivalente viskose Dämpfung so bestimmt, dass die Dämpfungen gleich sind, wenn die Erregerfrequenz mit der Resonanzfrequenz übereinstimmt.

– Dann gilt für die äquivalente viskose Dämpfung:

D=g2

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4.5 Strukturdämpfung

● Grenzen:– Es lässt sich zeigen, dass eine Strukturdämpfung mit einem

frequenzunabhängigen Verlustfaktor die Kausalitätsbe-dingung verletzt.

– Bei einer Berechnung im Zeitbereich kann die Struktur-dämpfung daher zu physikalisch sinnlosen Ergebnissen führen.

– Strukturdämpfung darf nicht verwendet werden, wenn ge-dämpfte Eigenschwingungen ermittelt werden sollen.