Algebraische Kurven Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Reisen in ein vergessenes...

Algebraische Kurven

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y

Reisen in ein vergessenes und

unerforschtes Land

Algebraische Kurven

Reisen in ein vergessenes und

unerforschtes Land

Wer reist?

Vergessen?

Unerforscht?

Womit?Antworten bei den

Beispielen

Algebraische Kurven, vergessenes, unerforschtes Land

Erste Forschungsreise

zur Hundekurveund anderen Konchoiden

Nikomedes lässt grüßen

Einführungsbeispiel: Die Hundekurve

Handeln

Beobachten

Geometrisch

erfassenProf. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes

Realisierenim DGS

Ortskurve erzeugen

Zeichnen

Handeln, sehen, systematisieren

Euklid pur

Euklid Hundekurve

Die Hundekurve, Parameter verändern

Die Hundekurve gibt es

in drei Typen. Die Form hängt von der Leinenlänge im

Vergleich zur

Baumentfernung ab.

Einflussgrößen

verändern

Algebraische Kurven ab Kl. 9, Sek II oder Studium

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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

• Aus Strahlensatz

• und Pythagoras-Satz

• folgt in zwei Schritten

• die Gleichung der Hundekurve

Algebraische Kurven 8. Klasse bis 8. Semester

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

• Jedenfalls:

•Einbau eines Koordinaten-Systems

• Was macht man aber bei den „Kleinen“ ?!?!

• Beschaffung der Gleichung „irgendwoher“

Algebraische Kurven, St. Andrews, t.w. erforschtes Land

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y • Beschaffung der Gleichung aus „Internet u.a.“

Passen Geometrie und Gleichung zueinander?

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

2 20k ay a Einsetzen, ergibt:

Bei „vernünftigen“ Hundekurven nicht erfüllbar. y aAsymptote kann also die Gerade sein:

Was bedeuten

a und k in der

Gleichung ??????

Wie zeichnet man Kurven nach impliziten Gleichungen?

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y • Beschaffung der Gleichung aus „Internet u.a.“

Derive

•Zeichnen impliziter Gleichungen•Alle Computer-Algebra-Systeme, CAS

•Derive•MuPAD•Mathematica•Maple…

•Bis zum 2. Grad (Kegelschnitte)•GeoGebra•Cabri-Geomètre•Z.u.L •Cinderella 2

GeoGebraHundekurve

Sagen ihre Gleichungen mehr als ihre Geometrie?

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

Wo kommt eigentlich der obere Ast her?

Warum ist der in der Konstruktion nicht gekommen?

Was wusste Nikomedes von der Konchoide?

Konchoiden-Zirkel Nikomedes (200 v. Chr.)

Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.

Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Zweiter Ast der Hundekurve

Der Leinen-Kreis schneidet zweimal

die Gerade BQ.

Der furchtsame

Fiffi hat auch seinen Weg.

Pluto strebt zum Baum,

Fiffi ist furchtsam.

Allgemeine Kreis-Konchoiden

ErsteVerallgemeinerung

Die Straße, auf der Quo Vadis geht,

kann ein Kreis sein.

….weitere

Pascalsche Schnecken

Kardioide

….und andere

Exoten

Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes

Realisierenim DGS

Ortskurve erzeugen

Zeichnen

Handeln, sehen,systematisieren

Euklid pur

Euklid Hundekurve

Allgemeine Konchoiden

Kosinus-Straße

Die Straße, auf der Quo Vadis geht,

kann jede beliebige Kurve sein.

Zweite Verallgemeinerung

( ) ( ) Straßer r k Polardarstellung aller

Konchoiden

Erkundungen, Parametervariation, „Termsensibilisierung“

Unterrichtsgang

AusführlichIm

Internet

Algebraische 3D-Flächen

Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen

2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y

Strophoiden ( , ) 0F x y

Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.

Derive

Forschung

Algebraische 3D-Flächen

2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y

Strophoiden ( , ) 0F x y

Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.

Forschung

Produkte aus algebraischen Kurven

Produkte ( , ) ( , ) 0F x y G x y

Durch Produktbildung öffnet sich ein ganzes Reich weiterer algebraischer Kurven.

(Felix Klein, ohne Visualisierung)

Evaluation aus Schülersicht

• Bemerkungen eines Schülers Klasse 8:

Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.

....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..

4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.

.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]

Evaluation aus Sicht der Studierenden (anonym)

Gute Reise!

2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Algebraische Kurven, vergessenes, unerforschtes Land

…und alles steht im Internet

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