Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht? Franz Embacher franz.embacher@univie.ac.at ...

Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht?

Franz Embacher

franz.embacher@univie.ac.at

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Didaktik der Physik und eLearningFakultät für PhysikUniversität Wien

25. November 2008

Das zweite Newtonsche Axiom

„Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“

F maF

am

( )F x

am

( ( ))( )

F x tx t

m

0(0)x xAnfangsdaten

0(0)x v

Bewegungsgleichung„Bewegungs-Differentialgleichung“

( )x x tLösung

Beispiele

• Kräftefreier Fall:Lösung:

• Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung:

• Harmonischer Oszillator: Lösung:

• Mathematisches Pendel:

( Auslenkungswinkel im Bogemaß)Lösung: nicht geschlossen darstellbar

( ) 0F x

0 0( )x t x v t ( )F x mg

20 0( )

2

gx t x v t t

( )F x kx

( ) sin( )x t A t wobei /k m

( ) sinmg

F x xL

x

Problem für den Physikunterricht

Aber:

• Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung.

Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das

• es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können,

• im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das

• SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht,

d. h. ein operationaler Zugang!

Idee zur näherungsweisen Lösung

Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen:

• Geschwindigkeit

• Beschleunigung

xv

t

t

va

t

Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!

t

Näherungsverfahren 1. Schritt

Anfangsort:

0x

0x Anfangsgeschwindigkeit: 0v

0v

xv

t

1 0x x x

0v v ... Näherung!

1 0 0x x v t

nach dem

Zeitintervall ...t

1x

Näherungsverfahren 2. Schritt

0x0v

va

t

1 0v v v

0( )F xa

m ... Näherung!

1x

01 0

( )F xv v t

m

nach dem

Zeitintervall ...t

1v

Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit:

Näherungsverfahren

1 0 0x x v t

01 0

( )F xv v t

m

0 0 1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x v x v x v x v Iterative Anwendung:

Euler-Cauchy-Verfahren

Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil:Es ist ungenau!

Beispiel

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

Verbesserung 1. Schritt

verbessertes Verfahren benötigt!

20 ( )

2

ax v t t

Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit ,dann wird während des Zeitintervalls die Strecke

at

zurückgelegt.

0v

201 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

0( )F xa

m

Näherung

Verbesserung 2. Schritt

01 0

( )F xv v t

m

beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung.Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu

Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2

verbessert werden:

1x

0 11 0

( )1 ( )

2

F x F xv v t

m m

Verbessertes Näherungsverfahren

... Heun- Verfahren

201 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

0 11 0

( )1 ( )

2

F x F xv v t

m m

... quadratische Entwicklung

keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr!

Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist sie exakt.

2( )t

Bezeichnungsweise ...

Anfang 2Ende Anfang Anfang ( )

2

Fx x v t t

m

Anfang EndeEnde Anfang

1

2

F Fv v t

m m

... ist kein Dogma!

Umsetzung mit Tabellenkalkulation

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

t x v

0 1 0

0.1 0.995 0.09975

0.2 0.98005 0.1985025

... ... ...

3.1 0.999188064 0.040238232

3.2 0.998215967 0.05963197

... ... ...

6.3 0.999810998 0.019417108

Visualisierung der ersten beiden Spalten Zeit-Weg-Darstellung

cos(6.3)

0.999859

exakte Lösung:

( ) cos( )x t t

Visualisierung

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

Interaktivität ...

... mit Hilfe von Schiebereglern

Perspektiven

• Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegung

• Spielerisch-experimentelles Erforschen• Interessantere Systeme können besprochen werden als

normalerweise üblich (z. B. Pendel)• Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-

Darstellungen, Übersetzung Bewegung Diagramm• Kombination mit (Real-)Experimenten Wechselspiel

zwischen Beobachtung und Theorie• Grundstock für das spätere Verständnis von

Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme

• Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind vorbereitete interaktive Spreadsheets

Einstiegs-Szenario

1. Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens.

2. Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung.

3. Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.

5. Klasse

Beispiel: Pendel, große Auslenkungen

0 0( ) sin , / 9.81, 0.01, 3.14, 0mg

F x x g L t x vL

2D- und 3D-Verallgemeinerung

0 21 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

����������������������������

0 11 0

1 ( ) ( )

2

F x F xv v t

m m

��������������������������������������������������������

Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse):

3| |( ) GMm

xF x x ��������������

������������������������������������������Bewegung o.B.d.A. in der xy-Ebene

Keplerbewegung

Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!

0 0 0 01, 0.005, 1.3, 0, 0, 0.53x yGM t x y v v

Weitere Verallgemeinerungen

Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung

• Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit• Gedämpfte Schwingungen

Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte

• Erzwungene und gedämpfte Schwingungen• Resonanz und Resonanzkatastrophe

Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v)

• Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung• Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch

Reibung

Phasenraumdiagramm

Gedämpfte Schwingung:

0 01, 0.5, 0.14, 1, 0k m t x v ( )F x kx v

2 21( )

2E p x

beachte:

Ausblick

• Den hier vorgestellten Zugang imPhysikunterricht erproben.

• Die für den hier vorgestelltenZugang nötigen Kompetenzenim Lehramtsstudium vermitteln.

Wunschzettel:

Danke...

... für Ihre Aufmerksamkeit!

Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unter

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/

zur Verfügung.