Physik 03 - Vektoren - ei.hs-duesseldorf.de · • Der Vektor stellt zwei Bewegungsgleichungen gleichzeitig dar: eine für die x-Richtung, eine für die y-Richtung

Physik

Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2016 / 2017

HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 27. Oktober 2016

VektorenBewegung in drei Dimensionen

HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences


27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

~x

Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php

http://www.andreasilliger.com/index.php



27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

~x

a

b

Koordinatensystem

Betrag

Pythagoras|~x| =p

a

2 + b

2

Richtung

a Einheiten in Richtung x, b Einheiten in Richtung y~x =

✓a

b

◆



27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

~x


a = 92b = 543

a

b

Richtung

92 Einheiten in Richtung x, 543 Einheiten in Richtung y

Betrag

~x =

✓92543

◆

|~x| =p922 + 5432

= 550.7




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

~x


Spezialfall Ortsvektor




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

Allgemein: Ohne Ort



27. Oktober 2016

Rechenregeln

• Addition• Subtraktion• Multiplikation mit Skalar



27. Oktober 2016

~a~b

~b

~c = ~a+~b~a

~c

Addition

• Addition zweier Vektoren gibt wieder einen Vektor.

• Anschaulich: Die beiden Vektoren werden aneinander ,gehängt‘.

• Der Summenvektor zeigt von der Basis von zur Spitze von .



27. Oktober 2016

~a

~b

~c = ~a+~b

ax

ay

by

bx

Addition


• Formal: die Komponenten der Vektoren werden addiert.



27. Oktober 2016

~a

~b

~c = ~a+~b

ax

ay

by

bx

cx

= ax

+ bx

cy = ay + by

Addition


• Formal: die Komponenten der Vektoren werden addiert.



27. Oktober 2016

~b

~a

�~b

~c = ~a�~b

~c

cx

= ax

� bx

cy

= ay

� by

Subtraktion

• Anschaulich: b wird umgedreht, dann werden die beiden Vektoren aneinander ,gehängt‘

• Formal: die Komponenten werden subtrahiert.



27. Oktober 2016

~b

~a

~c = ~a�~b

~c

cx

= ax

� bx

cy

= ay

� by

~b~a

~c

�~b

Subtraktion• Alternativ: a und b werden

am gleichen Startpunkt abgetragen.

• Der Differenzvektor zeigt dann von der Spitze von zur Spitze von .

• Diese Darstellung spielt bei Bewegungen eine Rolle.



27. Oktober 2016

~a ~a ~a ~a

~c = 4 · ~a

cx

= s · ax

cy

= s · ay

~c = s · ~a

Multiplikation mit einem Skalar

• Ein Vektor multipliziert mit einem Skalar ist wieder ein Vektor.

• Anschaulich: ein Vektor wird mehrfach an sich selber gehängt.

• Formal: die Komponenten werden mit dem Skalar multipliziert.



27. Oktober 2016

~a = c1 · ~x1 + c2 · ~x2 + c3 · ~x3 + . . .

Linearkombination

• Eine Linearkombination ist die Summe mehrere Vektoren• Die einzelnen Vektoren können durch skalare Multiplikation

verlängert oder verkürzt sein.



27. Oktober 2016

~ez

Kartesische Koordinaten

René Descartes1596 - 1650

~ex

~ey

Einheitsvektoren• Für jede Raumrichtung gibt

es einen Einheitsvektor.• Er hat die Richtung der

jeweiligen Achse.• Sein Betrag ist Eins.



27. Oktober 2016

Kartesische Koordinaten

~ex

~ey

~ey =

✓01

◆~ex

=

✓10

◆

Einheitsvektoren



27. Oktober 2016

~a =

✓ax

ay

◆

~a = ax

· ~ex

+ ay

· ~ey

Einheitsvektoren

• Jeder Vektor kann als Linearkombination der Einheitsvektoren dargestellt werden.

• Die skalaren Vorfaktoren entsprechend grade den Komponenten des Vektors.



27. Oktober 2016

~b =

✓bx

by

◆

~a =

✓ax

ay

◆

~c =

✓cx

cy

◆

~c = ~a+~b

=

✓ax

ay

◆+

✓bx

by

◆

=

✓ax

+ bx

ay

+ by

◆=

✓cx

cy

◆

~c = ~a�~b =

✓ax

� bx

ay

� by

◆=

✓cx

cy

◆

~c = s · ~a = s ·✓

ax

ay

◆=

✓s · a

x

s · ay

◆

Addition

Subtraktion

Multiplikationmit Skalar

Vektoren

Rechenregeln - Zusammenfassung



27. Oktober 2016

~a = c1 · ~x1 + c2 · ~x2 + c3 · ~x3 + . . .

Linearkombination

Einheitsvektoren

~a = ax

· ~ex

+ ay

· ~ey

~ey =

✓01

◆~ex

=

✓10

◆

Rechenregeln - Zusammenfassung



27. Oktober 2016

v(t) =�x

�t

= x(t)

a(t) =�v

�t

= v(t) = x

x(t)Teilchenbahn

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Experimente: beschleunigte Luftkissenbahn, fallende Kugel

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung



27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)

Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php

~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)~x(t4)

~x(t5)

~x(t6)~x(t7)

~x(t8)

~x(t9)

~x(t)




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)


~x(t1) ~x(t2)

�~x = ~x(t2)� ~x(t1)�t = t2 � t1

~v(t)

~v =�~x

�t

= ~x




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)


~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)~x(t4)

~x(t5)

~x(t6)~x(t7)

~x(t8)

~x(t9)

~a(t)




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)


~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)

~a(t)




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)


~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)

~a(t)




27. Oktober 2016

x (px)

y (p

x)


~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)

~a(t)

�~v = ~v(t2)� ~v(t1)�t = t2 � t1

~a =�~v

�t= ~v




27. Oktober 2016

~v =�~x

�t

=~x(t2)� ~x(t1)

t2 � t1

=1

t2 � t1·✓

x(t2)� x(t1)y(t2)� y(t1)

◆

~x(t) =

✓x(t)y(t)

◆

~v(t) = ~x(t) =

✓x(t)y(t)

◆

Geschwindigkeit

• Die Komponenten können unabhängig voneinander betrachtet werden.

• Der Vektor stellt zwei Bewegungsgleichungen gleichzeitig dar: eine für die x-Richtung, eine für die y-Richtung.

• Die Gleichungen sind die selben wir für den eindimensionalen Fall.



27. Oktober 2016

s. Skript S. 3-8

~vB

~vA

Relativgeschwindigkeit Addition von Geschwindigkeits-Vektoren



27. Oktober 2016


~vB

~vA



27. Oktober 2016


~vB ~vA

~v = ~vA + ~vB



27. Oktober 2016

http://www.fotocommunity.de/pc/pc/display/29289223

Funken

http://www.fotocommunity.de/pc/pc/display/29289223



27. Oktober 2016

Turmwurf



27. Oktober 2016

Turmwurf

~x =

✓x(t)y(t)

◆

=

✓12a

x

0t2 + v

x

0 t+ x012a

y

0t2 + v

y

0 t+ y0

◆

x0 = 0

v

x

0 = 10m/s

a

x

0 = 0

y0 = 30m

v

y

0 = 0

a

y

0 = g = �9.81m/s2.

~x =

✓v

x

0 t12gt

2 + y0

◆

Allgemeine Lösung:

Konkrete Lösung:

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