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Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht? Franz Embacher franz. embacher @ univie . ac .at http:// homepage . univie . ac .at/franz. embacher / Didaktik der Physik und eLearning Fakultät für Physik Universität Wien 25. November 2008

Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht? Franz Embacher [email protected] Didaktik der Physik

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Das zweite Newtonsche Axiom

„Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“

F maF

am

( )F x

am

( ( ))( )

F x tx t

m

0(0)x xAnfangsdaten

0(0)x v

Bewegungsgleichung„Bewegungs-Differentialgleichung“

( )x x tLösung

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Beispiele

• Kräftefreier Fall:Lösung:

• Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung:

• Harmonischer Oszillator: Lösung:

• Mathematisches Pendel:

( Auslenkungswinkel im Bogemaß)Lösung: nicht geschlossen darstellbar

( ) 0F x

0 0( )x t x v t ( )F x mg

20 0( )

2

gx t x v t t

( )F x kx

( ) sin( )x t A t wobei /k m

( ) sinmg

F x xL

x

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Problem für den Physikunterricht

Aber:

• Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung.

Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das

• es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können,

• im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das

• SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht,

d. h. ein operationaler Zugang!

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Idee zur näherungsweisen Lösung

Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen:

• Geschwindigkeit

• Beschleunigung

xv

t

t

va

t

Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!

t

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Näherungsverfahren 1. Schritt

Anfangsort:

0x

0x Anfangsgeschwindigkeit: 0v

0v

xv

t

1 0x x x

0v v ... Näherung!

1 0 0x x v t

nach dem

Zeitintervall ...t

1x

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Näherungsverfahren 2. Schritt

0x0v

va

t

1 0v v v

0( )F xa

m ... Näherung!

1x

01 0

( )F xv v t

m

nach dem

Zeitintervall ...t

1v

Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit:

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Näherungsverfahren

1 0 0x x v t

01 0

( )F xv v t

m

0 0 1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x v x v x v x v Iterative Anwendung:

Euler-Cauchy-Verfahren

Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil:Es ist ungenau!

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Beispiel

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

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Verbesserung 1. Schritt

verbessertes Verfahren benötigt!

20 ( )

2

ax v t t

Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit ,dann wird während des Zeitintervalls die Strecke

at

zurückgelegt.

0v

201 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

0( )F xa

m

Näherung

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Verbesserung 2. Schritt

01 0

( )F xv v t

m

beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung.Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu

Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2

verbessert werden:

1x

0 11 0

( )1 ( )

2

F x F xv v t

m m

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Verbessertes Näherungsverfahren

... Heun- Verfahren

201 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

0 11 0

( )1 ( )

2

F x F xv v t

m m

... quadratische Entwicklung

keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr!

Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist sie exakt.

2( )t

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Bezeichnungsweise ...

Anfang 2Ende Anfang Anfang ( )

2

Fx x v t t

m

Anfang EndeEnde Anfang

1

2

F Fv v t

m m

... ist kein Dogma!

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Umsetzung mit Tabellenkalkulation

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

t x v

0 1 0

0.1 0.995 0.09975

0.2 0.98005 0.1985025

... ... ...

3.1 0.999188064 0.040238232

3.2 0.998215967 0.05963197

... ... ...

6.3 0.999810998 0.019417108

Visualisierung der ersten beiden Spalten Zeit-Weg-Darstellung

cos(6.3)

0.999859

exakte Lösung:

( ) cos( )x t t

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Visualisierung

Harmonischer Oszillator:

0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v

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Interaktivität ...

... mit Hilfe von Schiebereglern

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Perspektiven

• Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegung

• Spielerisch-experimentelles Erforschen• Interessantere Systeme können besprochen werden als

normalerweise üblich (z. B. Pendel)• Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-

Darstellungen, Übersetzung Bewegung Diagramm• Kombination mit (Real-)Experimenten Wechselspiel

zwischen Beobachtung und Theorie• Grundstock für das spätere Verständnis von

Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme

• Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind vorbereitete interaktive Spreadsheets

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Einstiegs-Szenario

1. Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens.

2. Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung.

3. Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.

5. Klasse

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Beispiel: Pendel, große Auslenkungen

0 0( ) sin , / 9.81, 0.01, 3.14, 0mg

F x x g L t x vL

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2D- und 3D-Verallgemeinerung

0 21 0 0

( )( )

2

F xx x v t t

m

����������������������������

0 11 0

1 ( ) ( )

2

F x F xv v t

m m

��������������������������������������������������������

Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse):

3| |( ) GMm

xF x x ��������������

������������������������������������������Bewegung o.B.d.A. in der xy-Ebene

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Keplerbewegung

Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!

0 0 0 01, 0.005, 1.3, 0, 0, 0.53x yGM t x y v v

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Weitere Verallgemeinerungen

Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung

• Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit• Gedämpfte Schwingungen

Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte

• Erzwungene und gedämpfte Schwingungen• Resonanz und Resonanzkatastrophe

Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v)

• Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung• Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch

Reibung

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Phasenraumdiagramm

Gedämpfte Schwingung:

0 01, 0.5, 0.14, 1, 0k m t x v ( )F x kx v

2 21( )

2E p x

beachte:

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Ausblick

• Den hier vorgestellten Zugang imPhysikunterricht erproben.

• Die für den hier vorgestelltenZugang nötigen Kompetenzenim Lehramtsstudium vermitteln.

Wunschzettel:

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Danke...

... für Ihre Aufmerksamkeit!

Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unter

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/

zur Verfügung.