Entscheidungstheorie Teil 4: Prognosemodelle Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine...

Entscheidungstheorie

Teil 4: Prognosemodelle

Prof. Dr. Steffen FleßaLst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement

Universität Greifswald1

Gliederung

1 Grundlagen2 Werte- und Zielsystem3 Konzepte der Entscheidungstheorie

4 Prognosemodelle4.1 Statistische Prognosemodelle

4.1.1 Gleitende Durchschnitte4.1.2 Exponentielle Glättung4.1.3 Ökonometrische Modelle4.1.4 Neuronale Netze

4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik4.2.2 Markov-Modelle4.2.3 System Dynamics4.3.4 Simulation

4.3 Expertenprognosen

2

Prognose-Dilemma

• „Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen.“ (zugeschrieben Karl

Valentin, Mark Twain, Winston Churchill u.a.)

3

• „Ein Prognostiker ist ein Mann, der in lichten Momenten düstere Ahnungen hat“. (Tennessee Williams)

4 Prognosemodelle• Einordnung

– Grundproblem: Unsicherheit der Zukunft• Entwicklung von Umweltzuständen• Wirkungszusammenhänge

– Folge: Modelle sind wirkungsdefekt– Gegenmaßnahme: Prognose

• Definition: Modelle zur Ermittlung bzw. Vorhersage von Informationen über unsichere, zukünftige Sachverhalte. Prognosen liefern Planungsinformationen

4

Prognosen: Typologie

• Umweltprognosen: Prognosen über zukünftige Entwicklungen von Problemdaten

• Entwicklungsprognose: Teilmenge der Umweltprognosen: Prognose eines Umweltzustandes, der vom Entscheider nicht beeinflusst werden kann

• Wirkungsprognosen: Prognose von Wirkungszusammenhängen zwischen Parametern und Handlungsalternativen

5

Prognosen: Typologie (Forts.)

• Ergebnisprognosen: Prognose über den Endzustand eines Systems bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative. Oftmals werden für das Ergebnis bestimmte Wahrscheinlichkeiten angegeben.

• Prognosen über zukünftige Handlungsalternativen: Vorhersage der technischen, sozialen, politischen oder kulturellen Entwicklung, die neue Handlungsalternativen entstehen oder alte unmöglich werden lässt

• Prognosen über zukünftig zu verfolgende Ziele: Prognose über Veränderungen des Zielsystems

6

Prognosen: Typologie (Forts.)

• Prognosen im engeren Sinne: Umwelt-, Wirkungs- und Ergebnisprognosen

• Zeithorizont von Prognosen: Kurzfristige, mittelfristige und langfristige Prognosen

7

Wahl der Prognosemethoden

• Grundsätzliche Eignung der Methode für die Vorhersage– z. B. linearer Ansatz bei zyklischen Verläufen

• Prognosefehler– Genauigkeit der Methode

• Prognosekosten– „Ökonomie der Modellbildung“– Grundsatz: So genau wie nötig bei

vertretbarem Aufwand

8

4.1.1 Gleitende Durchschnitte

• Grundproblem: Zeitreihenanalyse– Zeitreihe: Zeitlich geordnete Folge von

Beobachtungswerten y1,..yt, …, yn

– Normalfall: Äquidistante Beobachtungszeitpunkte, d.h. Zeiträume zwischen zwei Beobachtungen sind konstant

– Methoden:• Gleitende Durchschnitte• Glättung• Ökonometrie• Komponentenanalyse,…

9

Beispiel

x y

1 9

2 13

3 17

4 14

5 11

x y

6 16

7 22

8 16

9 15

10 17

x y

11 22

12 20

13 17

14 20

15 26

10

Beispiel

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x [Zeit in Monate]

y

Aufgabe: Wie kann man eine Prognose für den

Zeitpunkt t=16 erstellen?

11

Lösung 1:

• Prinzip: Fortschreibung des letzten Wertes • Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=1• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie heute!“

(In Bayern meistens richtig!)• Anwendung: oftmals bei Budgetierung

tt yy 1ˆ

12

Lösung 1

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [Zeit in Monate]

y

y16=y15=26y17=y16=26

13

Lösung 2: yt+1=0,5*(yt+ yt-1)

• Prinzip: Fortschreibung des Durchschnitts der letzten beiden Werte

• Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=2• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie der

Durchschnitt von gestern und heute!“ • Anwendung: fängt kleine Schwankungen auf

11 5,0ˆ ttt yyy

14

Lösung 2

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [Zeit in Monate]

y

y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)

=24,5=24,5

15

Lösung 3: Gleitender Durchschnitt der Länge h

h

iitht yy

11

11ˆ

Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht

„abgeschwächt“.„abgeschwächt“.Saisonale Schwankungen werden nicht Saisonale Schwankungen werden nicht

berücksichtigtberücksichtigtNur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht Nur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht für die exakte Punktlandung oder für strategische für die exakte Punktlandung oder für strategische

AussagenAussagen16

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [Zeit in Monate]

y

y Glättung

Lösung 3:h=5

Deutlich glatter Verlauf. Aber: Unterschätzung der

Entwicklung bei steigendem Verlauf (Überbetonung der alten, nicht mehr relevanten Werte); Überschätzung

bei fallendem Verlauf!!17

Berechnung in Excel

18

4.1.2 Exponentielle Glättung

• Prognosewert für Periode t+1 ergibt sich als alter Prognosewert, der um den Schätzfehler bereinigt wird.

ttt

ttt

ttt

yyy

yyy

yyy

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1ˆ 1

Glättungsparameter Glättungsparameter λλ (0,1) (0,1) λλ=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t

λλ=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t λλ=0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t =0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des

letzten Wertesletzten Wertes19

Was ist hier „exponentiell“?

iti

iti

tttt

tttt

tttt

ttt

ttt

ttt

yy

yyyy

yyyy

yyyy

yyy

yyy

yyy

ˆ11

...111

...ˆ111

ˆ111

ˆ11

ˆ11

ˆ1ˆ

1

33

22

1

23

22

1

222

1

12

1

11

1

(1-(1-λλ)i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter )i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto

geringer ist das Gewicht des alten Wertes.geringer ist das Gewicht des alten Wertes. 20

Beispiel (λ=0,3)x y Schätzung Schätzfehler 0,3*Fehler1 9 - - -2 13 9,00 4,00 1,203 17 10,20 6,80 2,044 14 12,24 1,76 0,535 11 12,77 -1,77 -0,536 16 12,24 3,76 1,137 22 13,37 8,63 2,598 16 15,96 0,04 0,019 15 15,97 -0,97 -0,29

10 17 15,68 1,32 0,4011 22 16,08 5,92 1,7812 20 17,85 2,15 0,6413 17 18,50 -1,50 -0,4514 20 18,05 1,95 0,5915 26 18,63 7,37 2,2116 21 20,84 0,16 0,0517 21 20,89 0,11 0,03

21

Beispiel (λ=0,3)

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [Zeit in Monate]

y

y Exponentielle Glättung 5 Per. Gleitender Durcschnitt (y)22

4.1.3 Ökonometrische Modelle

• Grundlage: Statistisches Verfahren zur Analyse der Abhängigkeiten von endogenen und exogenen Variablen. Ökonometrische Modelle können für Prognosen verwendet werden (müssen es aber nicht, da die Bestimmung von Einflussfaktoren bereits ein wichtiger Wissenszuwachs jenseits der Prognose ist).

23

Grundmodell

• Gegeben ist eine exogene Variable x und eine endogene Variable y. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen x und y.

• Ansätze– Korrelation– Methode der kleinsten Quadrate– Goal Programming

24

Beispielx y2 34 53 31 32 16 68 53 61 1

11 153 4

11 914 1311 1415 17

25

Beispiel

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x

y

26

Korrelationskoeffizient (ρ)

• Inhalt: Ein Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen

• Hinweis: Oftmals Berechnung mit1/(n-1)

• Berechnungsbeispiel: Regression.xls

• -1≤ρ≤1

yx

n

iiin

x

n

iin

n

iin

yxCovyx

yyxxyxCov

xVar

xxxVar

xx

),(),(

),(

)(

)(

1

1

2

1

1

1

1

27

Beispiele

x

y

keine (geringe) Korrelation

x

y

Positive Korrelation

x

y

Negative Korrelation

28

New evidence for the Theory of the Stork

• Zusammenhang zwischen Zahl der Störche und Geburtenrate beim Menschen?

• Hofer et al. (2004) in: Paediatric and Perinatal Epidemiology 18, S. 88-92.

• Analyse für Niedersachsen, Berlin undBrandenburg

29

New evidence for the Theory of the Stork

• Ergebnisse:– Korrelation für Niedersachsen:

Reduktion beider Größen 1970-85;Konstanz 1985-95

– Berlin: keine Störche; jedoch Anstieg derGeburten 1990-2000

– Erklärung: Zunahme der Störche in Brandenburg

30

Geburtenrate und Störche in EuropaLand Fläche

(km2)Störche (Paare)

Menschen (106)

Geburtenrate (103/ Jahr)

Albanien 28.750 100 3.2 83

Belgien 30.520 1 9.9 87

Bulgarien 111.000 5.000 9.0 117

Dänemark 43.100 9 5.1 59

Deutschland 357.000 3.300 78 901

Frankreich 544.000 140 56 774

Griechenland 132.000 2.500 10 106

Holland 41.900 4 15 188

Italien 301.280 5 57 551

Österreich 83.860 300 7.6 87

Polen 312.680 30.000 38 610

Portugal 92.390 1.500 10 120

Rumänien 237.500 5.000 23 23

Spanien 504.750 8.000 39 439

Schweiz 41.290 150 6.7 82

Türkei 779.450 25.000 56 1.576

Ungarn 93.000 5.000 11 12431

Korrelation und Kausalität

• Korrelation Kausalität (Ursache-Wirkungs-Beziehung)

• Scheinkorrelation: „dritte Variable“ beeinflusst beide Merkmale systematisch

• Beispiel: Zunehmende Verstädterung vernichtet Nistplätze und fördert Kleinstfamilien

32

Nachteil der Korrelation

• Eine Prognose ist auf Grundlage der Korrelation nicht möglich.

• Zusammenhänge lassen sich nur sehr bedingt darstellen.

33

Methode der Kleinsten Quadrate

• Prinzip: Lege eine Kurve so durch die Punktmenge, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen von dieser Kurve zu den gegebenen Werten minimal ist.

34

Prinzip: Kleinste Quadrate

x

y

u2

(x2, y2)

(x1, y1) (x3, y3)

u3

u1

35

Prinzip: Kleinste Quadrate

x

y

(x2, y2)

(x1, y1) (x3, y3)

36

Alternative Gerade

x

y

(x2, y2)

(x1, y1) (x3, y3)

37

Berechnung der kleinsten Quadratesumme

!ˆˆ

ˆˆˆ

,ˆ

1

2

101

2

10

MinxyuZ

xy

wobeiyyu

n

iii

n

ii

ii

iii

xy

yxCov

x

10

21

ˆˆ

),(ˆ

Lösung:Lösung: Gerade geht Gerade geht immer durch immer durch

den den Mittelwert Mittelwert

von x und yvon x und y

38

Analyse in Excel

• Einfache Regression möglich

• Analyse-Funktion „Regression“ liefert Angaben zur Regressions-Statistik (Interpretation!)- Korrelationskoeffizient- Bestimmtheitsmaß- Koeffizienten- t-Statistik

39

Beispiel y = 1,005x + 0,6352

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x

y

Vorgehen in Excel:Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Trendlinie hinzufügen“ –

„Linear“„Linear“

ΔΔxx

ΔΔy; ßy; ß11= ΔΔy/ y/ ΔΔxx

ßß00

40

Verwendung

2

2ˆ2

y

y

s

sR

• Punktprognose:110

ˆˆˆ xyi

• Bestimmtheitsmaß:

= Anteil der Varianz von y, der durch die Regression erklärt wird

= Maß der Güte der Regression 41

Beispiel y = 1,005x + 0,6352

R2 = 0,864

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x

y

Vorgehen in Excel:Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Trendlinie hinzufügen“ –

„Linear“ „Linear“ - „Bestimmtheitsmaß - „Bestimmtheitsmaß

anzeigen“anzeigen“

42

Erweiterungen

• Mehrere Exogene

• Nichtlineare Funktionen

• Intervallprognosen

• Hypothesentest

43

Mehrere Exogene

• Multiples lineares Regressionsmodell

yXXX

xx

xx

X

y

y

y

Ttxxxy

nTT

n

nn

ntnttt

1

1

111

11

22110

ˆ

1

1

;ˆ

ˆ

ˆ;

..1,ˆ...ˆˆˆˆ

44

Nicht-lineare Regression

• Vorsicht: Viele Anschlussrechnungen sind nicht mehr möglich– z. B.: Bestimmtheitsmaß nur bedingt zu

gebrauchen– z. B. Intervallschätzer nur bedingt möglich

45

Beispiel

y = 4,98Ln(x) - 0,4635

R2 = 0,7525

y = 1,005x + 0,6352

R2 = 0,864

y = 1,8771e0,1577x

R2 = 0,7514

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x

y

46

Intervallprognose

• Prinzip: es wird nicht ein Punkt angegeben, sondern ein bestimmtes Intervall, innerhalb dessen der „wahre“ Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens X % liegt

• Beispiel: für 95 % aller Stichproben erhält man ein Intervall, in dem der wahre Wert liegt.

• Je weiter wir uns vom Durchschnitt der exogenen Variablen entfernen, desto größer wird das anzugebende Konfidenz-(=Vertrauens)intervall.

47

Intervallprognose

x

y

x

y

95% Konfidenz-intervall

yoben

yunten

xi 48

Hyothesentest• Häufig: Hypothese H0: ß1=0 d.h. hat keinen Einfluss

auf y

1̂

)ˆ( 1f

)ˆ( 1E

95 % aller möglichen Werte von 1̂

49

Signifikanzniveau

• Fehler vom Typ 1: eine Nullhypothese wird als falsch abgelehnt, obwohl sie wahr ist

• Fehler vom Typ 2: eine Hypothese wird als wahr angenommen, obwohl sie falsch ist.

• P-Wert:– Für die aktuelle Stichprobe wird H0 ablehnt.– P: Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ 1 zu begehen– je kleiner der p-Wert, desto signifikanter ist der Zusammenhang

• p=0,05: hohes Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,01: mittleres Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,001: geringes Risiko, dass keine Signifikanz besteht

50

Voraussetzungen der OLS-Schätzung

1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)

2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null

3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz

4.Die Residuen sind nicht autokorreliert

5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

51

Erweiterungen des Modells

1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)

2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null

3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz

4.Die Residuen sind nicht autokorreliert

5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

Erweiterungen:Erweiterungen: Mehrere Exogene: Multiple Lineare RegressionMehrere Exogene: Multiple Lineare Regression

Mehrere Endogene: Systeme von RegressionsgleichungenMehrere Endogene: Systeme von RegressionsgleichungenUnabhängige RegressionsgleichungenUnabhängige Regressionsgleichungen

Abhängige RegressionsgleichungenAbhängige Regressionsgleichungen Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0; Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0;

Frau=1):Frau=1): Dummy Variablen Dummy Variablen

Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0;Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0; Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle

52

Erweiterungen des Modells

1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)

2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null

3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz

4.Die Residuen sind nicht autokorreliert

5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewähltProblem:Problem:

Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen WertenWerten

der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten (Heteroskedastizität) (Heteroskedastizität)

Lösung:Lösung: Generalized Least Square (GLS)Generalized Least Square (GLS)

53

Erweiterungen des Modells

1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)

2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null

3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz

4.Die Residuen sind nicht autokorreliert

5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

Problem:Problem: Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang

zwischen den aufeinander folgenden Residuen besteht zwischen den aufeinander folgenden Residuen besteht (Autokorrelation)(Autokorrelation)

LösungLösungGeneralized Least Square (GLS)Generalized Least Square (GLS)

54

Erweiterungen des Modells

1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)

2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null

3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz

4.Die Residuen sind nicht autokorreliert

5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

FehlspezifikationFehlspezifikationz. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und z. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und

Kinderzahl, aber nicht FamilieneinkommenKinderzahl, aber nicht Familieneinkommen

55

Qualitative Endogene

• Normalerweise: Quantitative Endogene, z. B. y= Absatz• Ausnahme: Qualitative Endogene, z. B. „Kunde kauft das

Produkt“• Übertragung der Qualitativen:• Lösung:

– Annahme: Nutzen eines Gutes hängt linear von verschiedenen Exogenen ab

– Die Wahrscheinlichkeit, dass der Nutzen zum Wert „1“ führt, kann durch eine Verteilungsfunktion angegeben werden

• y‘ ist die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert „1“ annimmt (damit zwischen 0 und 1 verteilt)

• Problem: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat y?

1

0i

Kunde kaufty

sonst

56

Lösungen

• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Standardnormalverteilung angegeben: PROBIT-Modell

• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Logistische Funktion angegeben: LOGIT-Modell

• Software: Enthält entsprechende Tools• VORSICHT: Kombination von LOGIT, GLS und

Systeme von Gleichungen ist extrem schwierig, z. B. Full-Information-Maximum-Likelihood Schätzer (FIML)

• Erweiterungen: Multi-nominale Endogene (z. B. y=0, 1,2,3) 57

Goal-Programming• Prinzip: Abstände werden minimiert, nicht

quadrierte Abstände• Lösung: LP• Problem: Anschlussrechnungen schwierig, z. B.

Intervallschätzung nur über Monte-Carlo-Simulation

1..ni y, Exogene :Konstante : y

1..ni x,Exogene :Konstante : x

0 Residuums; des lNegativtei :

0 Residuums; des lPositivtei :

hränkteichenbescnicht vorz Residuum; :

arameterSteigungsp :

eterHöhenparam :

i

i

ii

ii

uu

uu

u

b

a

i

!

1..nifür 0

1..nifür

1..nifür

1

MinuuZ

uu

uuu

-a-bxyu

n

iii

ii

iii

iii

58

4.1.4 Neuronale Netze

• Analogie zum menschlichen Gehirn:– Neuronen (Knoten)– Netze: Verbindungen zwischen Knoten– Neuronen haben üblicherweise mehrere

Eingangsverbindungen sowie eine Ausgangsverbindung.

• Aktionspotential: Wenn die Summe der Eingangsreize einen gewissen Schwellenwert überschreitet, sendet das Neuron ein Ausgangssignal

59

Neuronales Netz

ReizReiz

NeuronNeuron

AusgangssignAusgangssignalal 60

Neuronales Lernen

• Eigenschaft neuronaler Netze: Erlernen („Trainieren“) von komplexen Mustern ohne vorherige Festlegung der Regeln; Neue Verknüpfungen und Reizschwellenwerte entstehen.– Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B

aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren ("what fires together, wires together").

– Verbindungen bauen sich selbständig auf, ohne dass dies ein bewusster Programmierschritt wäre

61

Künstliches neuronales Netz

• Forschungsgegenstand der Neuroinformatik, Künstliche Intelligenz

• Versuch der Nachkonstruktion des Lernverhaltens von Neuronalen Netzen

• Beispiele: Vorhersage der Aktienkursentwicklung• Vorteile:

– Lernfähigkeit, wenn Kausalzusammenhänge nicht bekannt sind– Toleranz gegenüber fehlerhaften, ja sogar unbekannten Inputs

• Nachteile– Intensives Training, zeitintensiv– Neuronales Netz ist „Black Box“– kein „optimales“ Ergebnis

62

4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik

• Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht

• Arten– Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph– Stochastische und deterministische NPT

• Teilprobleme– Strukturplanung– Zeitplanung– Kostenplanung– Ressourcenplanung

63

Praxis der NPT

• wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist „versteckt“ in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project)

• Arten:– CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie– MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis– PERT (Program Evaluation and Review Technique,

1956): Theorie

64

Strukturplanung• Strukturliste

Nr. Tätigkeit Vorgänger Nachfolger

A Vorbereiten des Grundstückes - B

B Aushub der Fundamente A C

C Rohbau B D, F

D Innenausbau C E

E Inbetriebnahme D, F, G -

F Außenanlagen/Zuwege Bereiten C E

G Mitarbeiterschulung - E

65

Tätigkeitsgraph• Inhalt:

– Knoten = Tätigkeit– Kante = Anordnungsbeziehung– Metra-Potential-Methode (MPM)

BEGINN A B C D E END

G

F

ENDENDEE

66

Ereignisgraph• Inhalt:

– Knoten = Ereignis (z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit)

– Kante = Tätigkeit– Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and

Review Technique (PERT)

A B C D E

G

SF

67

Zeitplanung im Ganttdiagramm

Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger

A Vorbereiten des Grundstücks 20 B

B Aushub der Fundamente 60 C

C Rohbau 150 D, F

D Innenausbau 120 E

E Inbetriebnahme 10 -

F Außenanlagen/Zuwege Bereiten 20 E

G Mitarbeiterschulung 30 E

68

Zeitplanung im Ganttdiagramm

G

A

Zeit

Tätigkeit

B

C

D

E

F

100 200 300

Ende: 360

69

F

G

A

Zeit

Tätigkeit

B

C

D

E

100 200 300

Ende: 360

Puffer

Erweiterung: Puffer

Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“ 70

Zeitplanung im MPM

Knotennummer

Name der Tätigkeit i

Nr.

Zu.

Zuständigkeit

Di FZi.

SZi.

FEi.

SEi.

Vorgangsdauer

Spätester Endzeitpunkt

Frühester Endzeitpunkt

Spätester Anfangszeitpunkt

Frühester Anfangszeitpunkt

71

Zeitplanung im MPM

Name der Tätigkeit i

i Zu.

Di FZi.

SZi.

FEi.

SEi.

Name der Tätigkeit j

j Zu.

Dj FZj SZj FEj SEj

.

dij = Zeitlicher Mindestabstand zwischen Beginn von Tätigkeit i und Beginn von Tätigkeit j

72

Vorbereiten des Grundstücks

A .

20 .

Aufhub der Fundamente

B .

60

Rohbau

C .

150 . . . .

Innenausbau

D .

120

Außenanlagen u. Zuwege Bereiten

F .

20 . .

Mitarbeiterschulung

G .

.

30

20 120

150

60

150

20

0

Inbetriebnahme

E .

10 .

Zeitplanung im MPM

73

Vorbereiten des Grundstücks

A .

20 0 .

Aufhub der Fundamente

B .

60 20.

Rohbau

C .

150 80.

Innenausbau

D .

120 230.

. .

Außenanlagen u. Zuwege Bereiten

F .

20 230.

Mitarbeiterschulung

G .

30 0

30

20 120

150

60

150

20

0

Inbetriebnahme

E .

10 350.

FZj = Max{FZi+dij} für alle Vorgängerknoten FZ1=0 für den Beginnknoten

Hinrechnung

74

Vorbereiten des Grundstücks

A .

20 0 0. . .

Aufhub der Fundamente

B .

60 20. 20.

Rohbau

C .

150 80. 80.

Innenausbau

D .

120 230.

230.

.

Außenanlagen u. Zuwege Bereiten

F .

20 230.

330.

Mitarbeiterschulung

G .

30 0 320.

30

20 120

150

60

150

20

0

Inbetriebnahme

E .

10 350.

350.

SZi = Min{SZj-dij} für alle Nachfolgerknoten SZn=FZn für den Endknoten

Rückrechnung

75

Vorbereiten des Grundstücks

A .

20 0 0. 20. 20.

Aufhub der Fundamente

B .

60 20. 20. 80. 80

Rohbau

C .

150 80. 80. 230.

230.

Innenausbau

D .

120 230.

230.

350.

350.

Außenanlagen u. Zuwege Bereiten

F .

20 230.

330.

250.

350.

Mitarbeiterschulung

G .

30 0 320.

30. 350.

30

20 120

150

60

150

20

0

Inbetriebnahme

E .

10 350.

350.

360.

360.

FEi = FZi+Di SEi=SZi+Di

Endzeitpunkte

76

Puffer

• Puffer I: Gesamtpuffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle

Nachfolger spätest möglich– P_Ii=SZi-FZi

• Puffer II: freier Puffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle

Nachfolger frühest möglich– P_IIi=Min{FZj-FZi-dij}, wobei P_IIi≥0

• Puffer III: unabhängiger Puffer– Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle

Nachfolger frühest möglich77

Vorbereiten des Grundstücks

A .

20 0 0. 20. 20.

Aufhub der Fundamente

B .

60 20. 20. 80. 80

Rohbau

C .

150 80. 80. 230.

230.

Innenausbau

D .

120 230.

230.

350.

350.

Außenanlagen u. Zuwege Bereiten

F .

20 230.

330.

250.

350.

Mitarbeiterschulung

G .

30 0 320.

30. 350.

30

20 120

150

60

150

20

0

Inbetriebnahme

E .

10 350.

350.

360.

360.

P_I(G) = 320-0=320 P_II(G) = 350-0-30 = 320 P_I(F) = 330-230 = 100

P_II(F) = 350-230-20 = 100

Puffer

78

Kostenplanung

Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag

A Vorbereiten des Grundstückes

20 100

B Aushub der Fundamente 60 100

C Rohbau 150 200

D Innenausbau 120 200

E Inbetriebnahme 10 100

F Außenanlagen/Zuwege Bereiten

20 200

G Mitarbeiterschulung 30 50079

Kostenverlauf bei frühestem Beginn

0-20 20-30 30-80 80-230 230-250 250-350 350-360

A 100

B 100 100

C 200

D 200 200

E 100

F 200

G 500 500

Kosten/ Tag

600 600 100 200 400 200 100

Tage 20 10 50 150 20 100 10

Sum-me 12000 6000 5000 30000 8000 20000 1000 80

Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Zeit [Tage]

Ko

sten

Szi Fzi

81

PERT-COST

• Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen

• Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.

82

PERT-COST (Beispiel)

Zeit „jetzt“

Plankosten zur Planzeit

Plankosten zur Istzeit

Istkosten zur Istzeit

Kosten

Plankosten zur Istzeit - Plankosten zur Planzeit= Zeitliche Überschreitung

83

PERT-COST (Beispiel)

Zeit „jetzt“

Plankosten zur Planzeit

Plankosten zur Istzeit

Istkosten zur Istzeit

Kosten

Kosten-abweichung

84

Ressourcenplanung

• Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden

• Varianten– Verschiebung innerhalb der Puffer– Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes

• Verfahren von Fehler• Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für

Zusatzaggregate

• Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4

85

4.2.2 Markov-Modelle

• Prozess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im Zeitablauf

• Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten

• Markov-Prozess: Die Übergangswahr-scheinlichkeit aij von Zustand wi nach wj hängt allein von Zustand wi zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand wk zum Zeitpunkt t-1 ab („Beschränktes Gedächtnis“).

86

Zustände und Übergänge im Markov-Graph

w1

w2

w4

w3

13a31a

24a

42a

14a

41a

12a

21a

43a34a

23a

32a

87

11a

22a

33a

44a

Beschreibung von Prozessen

• anhand von Ereignissen– z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt)

• anhand von Übergängen– z. B. Zwischenankunftszeiten ‚

(Negativ-Exponentiell-Verteilt)

• Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)

88

Markov-Modell

Aww tt 1

Aww tt 1

tt Aww 0

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

;...

1

n

t

w

w

w

89

Prognose mit Markov-Modellen

• Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t

• Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.

tt Aww 0

90

Spezialfälle

• Absorbierende Markovketten– es gibt einen Zustand, der nicht mehr

verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod

• Inhomogene Markovketten– Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht

konstant

91

Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten

Greifswald Berlin

Hamburg

Schrott

92

Übergangsmatrix

Greifswald Berlin Hamburg Schrott

Greifswald 0,7 0,2 0,05 0,05

Berlin 0,05 0,8 0,1 0,05

Hamburg 0,1 0,1 0,7 0,1

Schrott 0 0 0 1

93

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung

Zugang Anfangsbe-stand t=0

t=1 t=50

Greifswald 1 50 60 19

Berlin 2 100 112 43

Hamburg 2 200 155 25

Schrott 0 0 28 513

94

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung

Zugang Anfangsbe-stand t=0

t=1 t=50

Greifswald 1 50 61 19

Berlin 2 100 112 43

Hamburg 2 200 155 25

Schrott 0 0 28 513

Zugang zu Zugang zu gering, um die gering, um die Zahl der Autos Zahl der Autos

zu halten: zu halten: Simulation – Simulation –

wie viele wie viele Zugänge Zugänge

brauche ich brauche ich wo, um wo, um

Konstanz zu Konstanz zu gewährleistengewährleisten

?? 95

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung

Zugang Anfangsbe-stand t=0

t=1 t=50

Greifswald 3 50 63 77

Berlin 4 100 114 158

Hamburg 17 200 170 122

Schrott 0 0 28 1193

96

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung

Zugang Anfangsbe-stand t=0

t=1 t=50

Greifswald 3 50 63 77

Berlin 4 100 114 158

Hamburg 17 200 170 122

Schrott 0 0 28 1193

357357

Pro Periode Pro Periode zusätzlicher zusätzlicher

Transport von Transport von Greifswald (22/50 Greifswald (22/50

Fahrzeuge) und von Fahrzeuge) und von Berlin (58/50 Berlin (58/50

Fahrzeuge) nach Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Hamburg nötig, um Konstanz zu halten.Konstanz zu halten.

97

4.2.3 System Dynamics

• Problem der Prognose mit Markov-Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten

• Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population

98

Wachstum (Rate = 0,05)

t Anfangsbestand Zuwachs Endbestand

0 100.000.000

1 100.000.000 5.000.000 105.000.000

2 105.000.000 5.250.000 110.250.000

3 110.250.000 5.512.500 115.762.500

4 115.762.500 5.788.125 121.550.625

5 121.550.625 6.077.531 127.628.156

6 127.628.156 6.381.407 134.009.564

7 … … …

99

Wachstum

0,0E+00

2,0E+08

4,0E+08

6,0E+08

8,0E+08

1,0E+09

1,2E+09

1,4E+09

1,6E+09

1,8E+09

2,0E+09

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Zeit [Jahre]

Po

pu

lati

on

100

System Dynamics Modell

Imaginäre Quelle

Zuwachs in t

101

System Dynamics Modell

Immaginäre Quelle

Population

Zuwachs in t

102

System Dynamics Modell

Immaginäre Quelle

Population

Zuwachst in t

Rate

103

Gleichungen

Zeitraumproiten Zeiteinhe: T

Zeitraumpro ate Wachstumr:r

t Zeitpunktzum Population :

,1

t

ttt

P

wobeiPT

rPP

trtt

T

ePPT

rPLim

0

1,1

TwobeiPrP

PPP

tt

ttt

DifferentialgleichungDifferentialgleichung

DifferenzengleichungDifferenzengleichung

104

System Dynamics einer PopulationJahr Bevölkerung

Exponential-gleichung

Differenzen-gleichungt = 1 Tag

Differenzen-gleichungt = 1 Monat

0 100.000 100.000 100.000

1 105.127 105.126 105.116

2 110.517 110.516 110.494

3 116.183 116.182 116.147

4 122.140 122.138 122.089

5 128.402 128.400 128.336

6 134.985 134.983 134.901

7 141.906 141.903 141.803

8 149.182 149.178 149.058

9 156.931 156.826 156.684

10 164.872 164.866 164.701 105

Umsetzung

• World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums)

• Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman)

• Disease Dynamics

• Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.

106

Industrial Dynamics

• EDV-gestütztes dynamisches Modell der Unternehmung

• Technischer Wandel induzierte neues Management-Verständnis

• Neue Anforderungen an Methoden der Entscheidungsfindung

• Erfassung und Simulation von Informationen zwischen– Abteilungen eines Unternehmens– Unternehmen einer Wertschöpfungskette

107

Beispiel 1

• Bedeutung von Werbung und Konsumentenverhalten• Konsequenzen für Unternehmen einer

Wertschöpfungskette(Produktion und Verteilung)

• Abstimmungsprobleme als Peitscheneffekt (Bullwhip Effect)

Beispiel 1• Ineffizienz isolierter Prozesse zwischen Hersteller, Groß- und Einzelhandel• Hohe Produktionsschwankungen bei relativ geringen Nachfrage- schwankungen aufgrund zeitlicher Verzögerungen zwischen Kundennachfrage, Bestellung und Lieferung• Lösung durch Supply Chain Management: integrative Planung der Aktivitäten innerhalb der Kette zur Minimierung von Informations- und Anpassungsproblemen

Beispiel 2• Darstellung und Analyse von

Bestandsveränderungen

4.3.4 Simulation

• Prinzip: Experimentiermodell, d.h. „Durchspielen“ unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen

• Perspektiven– „What-If“?– „How-to-achieve“?

111

Arten

• Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher

• Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit

• Monte-Carlo-Simulation: – Analyse statischer Probleme mit bekannten

Wahrscheinlichkeiten– Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes

Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter

– Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

112

Arten (Forts.)• Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation,

DES)– Modellierung von dynamischen Systemen– Erzeugen von Objekten mit bestimmten

Eigenschaften– Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu

bestimmten Zeitpunkten– Subarten:

• Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt („Ereignisliste“)

• Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt

• Kontinuierliche Simulation– z. B. Chemie 113

Zufallszahlen

• Notwendigkeit: stochastische Simulation• Aufgaben

– Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen– Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen

• Normalverteilt• Logarithmisch-Normalverteilt• Logistischverteilt• Poissonverteilt• Dreiecksverteilt• Betaverteilt

114

Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl

• Schritt 1: Erzeuge 12 0-1-gleichverteilte Zufallszahl– Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5– Varianz je Zufallszahl: 1/12

• Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab– Erwartungswert: 0,5*12-6=0– Varianz: 12*1/12 = 1– Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ

115

Beispiele für Simulation

• Simulation der Produktionsprozesse

• Flugsimulator

• Numerische Integration

• Prognose epidemiologischer Prozesse

116

Anforderungen an Simulationsprogramme

• Generierung von Zufallszahlen

• Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation („Simulationsuhr“)

• Sammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse

• Aufbereitung und Präsentation

117

Simulationssprachen

• Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)

• Simulationssprachen– GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA

• Anwendungssoftware– SimFactory; ProModel

118

4.3 Expertenprognosen

• Direkte Befragung– verschiedene Techniken, um diskrete oder

kontinuierliche Variablen zu erfragen

• Delphi-Methode

119

Delphi-Methode

1.Definition des Prognoseproblems2.Auswahl der Experten, Separierung3.Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen4.Zusammenstellung der Prognosen5.Rückführung der Ergebnisse an Experten6.Erneute schriftliche Befragung der Experten7.Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die

Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle

120