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Hydraulik I
PotentialströmungReale Fluide
Navier-Stokes Gleichung
W. Kinzelbach
Venturi Rohr
d
Gemessen: p1, p2, D, d
Gesucht: Q
1 2
Lösung: Kontinuität und Bernoulli
Rohr horizontal T=20o
gVzp
gVzp
22
22
22
21
11
2211 AVAV
Geschwindigkeitsmessung
Hydrometrischer Flügel
Tracer Methodent1
t2
L
)L/(tv 12 t
)tL/(tv 12
Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode
• PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln
• Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung
Andere Methoden
+
-
t1 t2
Andere Methoden
• Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen.
• MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert
• Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit
Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei =0
deformationsfrei
y
x
Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss
Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=f(y): rotationsbehaftet 0
deformationsbehaftet
Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand
Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsbehaftet 0
Ohne Deformation
Beispiel: Festkörperwirbel
rv
Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsfrei 0
deformationsbehaftet
Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r,Kernströmung rotationsbehaftet
r1v
Potentialströmung 1
• Strömung in der gilt:
• Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes , des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen
0v
v
Potentialströmung 2
• Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung
• Ebene Strömung in x-y-Ebene
022
2
2
2
2
2
zyx
v
02
2
2
2
yx
Ebene Potentialströmung 1
• Linien gleichen Werts heissen Potentiallinien• Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale
Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien • Stromlinien sind Linien gleichen Werts der
Stromfunktion • Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die
Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen
Ebene Potentialströmung 2
• Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
xyyx
Ebene Potentialströmung 3
• Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)
Ebene Potentialströmung 4
• Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten 1 und 2
• Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit
21
2
1
2
1
v
dyy
dyq x
Ebene Potentialströmung 5
• Undurchlässige Ränder sind Stromlinien• Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal• In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten
tangieren
Anwendungskriterien für Potentialnetze
• Inkompressibles Fluid• Zweidimensionale Strömung• Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte
wirksam)• Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein
bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite)• Geringe Zähigkeit des Fluids• Strömung ablösungsfrei
1
2
1
2
2
1
vv
ss
nn
constant2v2
gg
pzH
Reale Fluide 1
• Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)• Turbulente Strömung (Trägheit dominiert)• Umschlag laminar-turbulent• Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung
d
dkraftZähigkeitsraftTrägheitsk v
/vvRe
2
Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300
Reale Fluide 2
• Euler Zahl
• Froude Zahl
p/2v
v2v2
DruckkraftraftTrägheitskEu
ghvv2
ghtSchwerkraf
raftTrägheitskFr
Reibungskräfte
Reibungskräfte 2)(, xxyxzxR dzdydxdzdxdyF
dy
ydxdzdz
zdxdy xy
xyxz
xz
dx
xdzdy x
x
xyzdxdydz xxxyxz
Reibungskräfte 3
)vv(abba
ab
Unter Verwendung von
v
)vvv( 2x
2
2x
2
2x
2
,
dxdydzxyz
dxdydzF xR
Navier-Stokes Gleichung 1
v)v(vv
tDt
DReibungtSchwerkrafDruck fff
+A.B +R.B.0v
v1v
zgpDtD
Navier-Stokes Gleichung 2
****2
***
*
uu
UL
zUgLp
DtD
Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T
t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = U2p* 2*2
2 1
L
Zwei Invarianten
Re = UL/ Fr2 = U2/(gL)
Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung
Nur für einfache Konfigurationen und laminare Strömung möglich
Beispiel: Strömung zwischen zwei festen Platten
dvx(z)
x
z
Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (2)
)(v)0(v:ungenRandbedingaus,21)(vv0
GleichungStokesNavierderKomponentex
0v,constründenSymmetriegaus
,0vv),(v0,tv
21
212
2
2
dcc
czczazz
a
xa
xp
zf
xx
xx
x
zyx
Parabolisches Profil
Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3)
Beispiel: Laminare Rohrströmung
Lösung: Mit Navier-Gleichung und Kontinuitätsgleichungin Zylinderkoordinaten:
Kontinuitätsgleichung:
0vv1vvv zrrr
div zrr
r
z
vz(r)
Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3)
radial:
tangential:
vt
v vr
vr
v v vz
vr
ghr
vr r
vr
vr r
v vz r
v
vt
vvr
v vr
vr
vv
v
rr
r rz
r p
r r r r r
rr
z
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
1 1 2 0
zgr
h
vr r
vr
vr r
v vz r
v
vt
v vr
vr
v v vz
ghz
vr r
vr r
v
p
r
zr
z zz
z p
z z z
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
1 1 2 0
1 1
z - Richtung:
2
2
2 0
vz
z Selber aus-probieren!!
Laminare Rohrströmung(1) (auf andere Art)
Kräftegleichgewicht an Zylinder mit Radius r in Achsenrichtung:Komponente des Gewichts +Kraft aus Druckdifferenz-Kraft aus Reibung = 0(Impulskräfte heben sich auf, wegen Kontinuität v1=v2)
Laminare Rohrströmung (2)
Komponente des Gewichts
Kraft aus Druckdifferenz
Kraft über Zylindermantel
sinsin 2 xrgG
212 )( rppF
xrF 2
mit xdxdppp
dxdz
12undsin
dxdh
grr p21)(
Laminare Rohrströmung (3) Mit Newton‘schem Gesetz
ergibt sich daraus:
drvd
rdxdhg
drd p
2
v
Crdxdhgr p
22)(v
2
und nach Integration:
C folgt aus Haft-bedingung v(r0)=0
Laminare Rohrströmung (4) Damit folgt das Gesetz:
)0()(4
)(v 022
0 rrrrdxdhgr p
Die Geschwindigkeitsverteilung ist ein Rotationsparaboloid.
2max 16
v ddxdhg p
mit Rohrdurchmesser d
Da vm=vmax/2 gilt damit das Hagen-Poiseuille‘sche Gesetz:
2p v32
dxdh
-Igd
m
Lineares Energieverlustgesetzin der laminaren Strömung
Laminare Rohrströmung (5) Verallgemeinerung
2/v4 2
m
0
Für die Wandschubspannung (r=d/2) im Rohr gilt
dxdhgd p
40
wird ein dimensionsloserReibungsbeiwert definiert
Mitdxdh
gd p
2/v2m
Für ein Rohr der Länge L und mit Durchmesser d gilt dann:
2gv2
m
dLhp Darcy-Weisbach-Gesetz
Laminare Rohrströmung (6) Verallgemeinerung
Vergleicht man das Darcy-Weisbach Gesetz
Re64
v64
m
d
mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz2gv2
m
dLhp
2gv
v64 2
m
ddLh
mp
so folgt ein Reibungsbeiwert:
Bei konstantemQ folgt:
4
1d
hp
Wichtig für Blut-Hochdruck bei Arterienverkalkung!!
Rohrströmung allgemein Darcy-Weisbach Gesetz wird als universal gültig angenommen
mit einem Reibungsbeiwert, der allgemein eine Funktion der Reynoldszahl und der Rohreigenschaften ist.
2gv2
m
dLhp
Bei laminarer Strömung
Bei stark turbulenter Strömung und rauhem Rohr
mvundv1
hm
2mvundconstant h
Widerstandskoeffizient
2
2o
p
DD
VA
FC
Bei grossen Re: CD konstant, FD prop. zu V2
Bei kleinen Re: CD=24/Re, FD prop. zu V
Analog!
Reynoldsgleichungen 1
Reynoldszerlegung: p'pp'vvv
Mittlere Schwankung
Turbulenzintensität
n)vv( 2
MittelwertSchwankung Mittlere
Reynoldsgleichungen 2
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'
'v'v
v)'v'v(- Wirbel
Dabei ist
Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen
mit Wirbelzähigkeit Wirbel
)'v'v(-v1v
zgpDtD
Turbulente Schubspannungen (1)
Turbulenter Impulstransport durch Fläche A im Abstand y von Wand
'v''v'v uAAdAudAudtId
AA
Turbulente Schubspannungen (2)Gesamtschubspannung: 'v'u
dyud
tot
Definition der Schubspannungsgeschwindigkeit 0* u
Prandtl‘sche Mischwegtheorie: Weg L über den Wirbel sein Identität verliert
1,'v'yuaLau'v','
auyuLu
Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil
dyud
yuL2
Gesetz der Wand: L=y Karmankonstante =0.4
yu
yuu
dyyudy
**
2
22 und)( 2
Durch Integration folgt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Wandströmung
)ln()(*
w
yuyu
wobei w die Dicke der viskosen Unterschicht ist.
In der viskosen Unterschicht ist das Geschwindigkeitsprofil linear: /yu
Grenzschichtströmung
Grenzschichtdicke=Wandabstand bei dem 99% von
u
u erreicht.
Wandrauheit
Äquivalente Sandrauheit k
u
Rohrmaterial Rauheit k (mm)Gusseisen mitBitumenanstrich
0.12
Betonrohre roh 1.0 bis 3.0
Gezogene Glasrohre
glatt
Gezogene Stahlrohre
0.03 bis 0.1
Geschwindigkeitsprofile (1)
u
LaminarA=
Geschwindigkeitsprofile (2)
u
Übergangsbereich: 5<ku*/<70
Hydraulisch glatt: ku*/<5
Hydraulisch rauh: ku*/<5
Geschwindigkeitsprofile (3)
u
2gv2m
gpzH dA
A Am 3)v/v(1
Korrektur für Profil in Impulssatz
Korrektur für Profil in Energiesatz
mQI v dAA A
m 2)v/v(11<<
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