IV Infinitesimal ¥ Eudoxos von Knidos (408 - 355) Astronom und Mathematiker Mit 23 Jahren für zwei...

IV

Infinitesimal

Eudoxos von Knidos (408 - 355)

Astronom und Mathematiker

Mit 23 Jahren für zwei Monate Schüler Platons. Auch in Ägypten mit Platon zusammen. Später mit zahlreichen Schülern Aufenthalt in Athen in Platons Akademie.

Exhaustion

Aristophanes (445 - 385): Die Wolken, Vers 1005:

In Akademos' heil'gem Olivenhain wirst du im Schatten lustwandeln,

Lichtgrünes Schilflaub umkränzt dir das Haar, und zur Seite geht sittsam ein Freund dir,

Und es duftet vom Geißblatt und Feiertag und vom Silberlaube der Pappeln,

Wenn sich selig im Frühlingsschimmer vermählt das Flüstern von Ulm' und Platane.

Eudoxos von Knidos (408 - 355)

Astronom und Mathematiker

Mit 23 Jahren für zwei Monate Schüler Platons. Auch in Ägypten mit Platon zusammen. Später mit zahlreichen Schülern Aufenthalt in Athen in Platons Akademie.Würfelverdopplung mit einer Bogenlinie (verlorengegangen)Himmelseinteilung in Sternbilder

Proportionenlehre unter Einbeziehung des Irrationalen

Volumen von Pyramide und Kegel mittels Exhaustion

Exhaustion

Archimedes (287 - 212)Schneckenlinie: Drehung einer Geraden, auf der ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit läuft.Berührungslinie und Fläche mittels Exhaustion.

VZyl = 2r3

VSph = (4/3)r3 Archimedes)

VKon = (2/3)r3 (Demokrit, Eudoxos)

VZyl = 2r3

VSph = (4/3)r3 Archimedes)

VKon = (2/3)r3 (Demokrit, Eudoxos)

Kugeloberfläche = 4 Großkreisfläche r2

Kugeloberfläche = 2/3 Zylinderoberfläche (2r2 + 2r2r)

Kugeloberfläche = 4 Großkreisfläche r2

Kugeloberfläche = 2/3 Zylinderoberfläche (2r2 + 2r2r)

Berechnung der Zahl aus dem 96-eck:

3 + 1/7 > > 3 + 10/71

3,1428... > 3,1415... > 3,1408...

Exhaustion

34

41

-1

1 ...

161

41

1

3

34 a 2A = = a

3 2 3x

x2

a2

A = A/4

A = a3/2

A = A/4

A

a

Eudoxos Archimedes(410 – 355) (287 – 121)

Indivisiblen

Bonaventura Cavalieri Galileo Galilei Johannes Kepler (1598-1647) (1564 - 1642) (1572 - 1630)Nach dem Exhaustionsverfahren wurde die Methode der Indivisiblen von Galilei, Kepler und vor allem von Bonaventura Cavalieri in der ersten Hälfte des 17. Jhd. zur Bestimmung zahlreicher Flächen und Körper entwickelt. gleiche Höhe, gleiche Breiten gleiche FlächeGeometria indivisibilibus continuorum (1635)Cavalieri, Mitglied des Jesuatenordens, schreibt stets sehr respektvoll an Galilei, geht aber weit über Galilei hinaus, ist systematischer.Indivisiblen von Linien sind Linien.Indivisiblen von Flächen sind Flächen.Indivisiblen von Körpern sind Körper.Evangelista Torricelli (1608-1647) dehnt Cavalieris Methode auf die krummen Unteilbaren aus.Weitere Beiträge dazu lieferten: Pascal, Roberval (1602 - 1675), Wallis.

VZyl = VSph +Vkon

Beweis nachBonaventura Cavalieri (1598-1647)

h

2= r2 - h2

r

Indivisiblen

h

2= r2 - h2

h

VZyl = VSph +Vkon

Beweis nachBonaventura Cavalieri (1598-1647)

Indivisiblen

2+ h2 = r2

Exhaustion Indivisiblen

Analogie zur Untersumme der Integralrechnung. Die dort verwendeteten infinitesimalen Größen, die Differentiale "streben" gegen Null.

Annahme von unendlich vielen diskreten Indivisiblen:

"Atome" der Fläche oder des Volumens

Das Kontinuum ist der "Fluxus" der Indivisiblen.

Diese Form der Unendlichkeit wurde vielfach scharf angegriffen.

Bishop George Berkeley (1685 - 1753)

They are neither finite qantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing.

May we not call them the ghosts of departed quantities?

Analogie zur Untersumme der Integralrechnung. Die dort verwendeteten infinitesimalen Größen, die Differentiale "streben" gegen Null.

Annahme von unendlich vielen diskreten Indivisiblen:

"Atome" der Fläche oder des Volumens

Das Kontinuum ist der "Fluxus" der Indivisiblen.

x

f(x)Berhard Riemann

(1826 – 1866)

x

f(x)

Obersumme

Untersumme

Henri Lebesgue(1875 – 1941)

Pierre de Fermat 1601 - 1665)

Dichtete in Latein, Griechisch, Italienisch, Spanisch Studium der Rechte, vermutlich in Bordeauxleitender Richter in ToulouseBegründer der modernen Zahlentheorie1652 an Pest erkrankt, totgesagt, wieder genesenGrabsteininschrift (Castres): Starb im Alter von 57 Jahren

MathematischesReihensummierung, Binomialkoeffizienten, Wahrscheinlichkeitstheorie, Vollständige Induktion,Extremwertaufgaben, Zahlentheorie: Primzahlen, vollkommene ZahlenLöste virtuos Aufgaben wie:Gibt es eine vollkommene Zahl zwischen 1020 und 1022 ?

Anfänge der Differentialrechnung

Extremwertaufgaben (1629)

B ist in zwei Teile zu zerlegen, welche das größte Produkt ergeben:

A und B - A

A + E und B - A - E

A(B - A) = (A + E)(B - A - E)

0 = E(B - 2A -E)

0 = B - 2A - E (E 0)

0 = B - 2A

Im Ergebnis: [{F(A+E) - F(A)} / E]E=0 = 0 oder dF(A)/dA = 0

Erfindung der Differentialrechnung 35 Jahre vor Newton.

Infinitesimalrechnung

(Calculus)

Sir Isaac Newton (1642 - 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

x

xfxxff

x

)()(' lim

0

)]()([)( limlim00

xfxxFxxFxx

Sir Isaac Newton (1642 - 1727)

1669 - 1696 Prof. für Mathematik in Cambridge

sehr wenige Studenten mit noch weniger Verständnis

nicht kleinste Teilchen dx angenommen, sondern Wachstum wie in der Natur.

Differentiation / Integration von axm/n, area xp = xp+1/(p+1),

Newton-Verfahren

Krümmung sehr vieler Kurven berechnet

Wendepunkte

keine Produktregel

keine Quotientenregel

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

Vater: Leibnütz, Notar und Professor der Moral,

Familie aus Polen eingewandert

in Druckschriften: Leibnuzius, Leibnitius,

Unterschrift: Leibniz, selten Leibnitz

Geschwür am Hinterkopf zwingt zur Perücke.

Studium (mit 15 Jahren begonnen): Rechte, Philosophie, Logik, Mathematik (höchst elementar) in Leipzig und Jena

1664 Magister phil.

1665 Baccalaureus jur.

1667, Altdorf bei Nürnberg: Doktor beider Rechte

sofort ergangenes Professurangebot abgelehnt.

1672 Kurmainzischer Gesandter in Paris (Zentrum der Wissenschaft), wollte Ludwig XIV. zur Eroberung Ägyptens anstiften, um Druck vom Reich abzuwenden.

(1 + -3)1/2 + (1 - -3)1/2 = 6

Erstes Modell seiner Rechenmaschine (+,-,,:). Immer wieder daran gearbeitet. 24000 Taler ausgegeben. (Problem: Zehnerübertragung)

1673 der Royal Soc. London vorgeführt: dafür Mitglied geworden.

Keine Stelle bei der Académie Royale des Science, obwohl schon der 25-jährige nach eigenen Worten größte Erfindungen gemacht hat, u.a.

U-Boot (gut gegen Sturm und Seeräuber)

verbesserte Linse

Rechenmaschine

Universalsprache: "das Importanteste, was der Menschengeist zur

Beförderung der Wissenschaften unternehmen kann"

Erdbewegung streng bewiesen

1676 Hannover: Hofrat und Bibliothekar

Binäres Zahlensystem (Dyadik) entwickelt und für Rechenmaschinen empfohlen

Symbole der Logik entwickelt

1684 Veröffentlichung des Calculus samt Einführung des Divisionszeichens :

Im Briefwechsel mit Johann Bernoulli erstmals: dy/dx, ydx

1686 Krümmungskreis, Integralzeichen im Druck

1695 d(xn) = nxn-1dx d(ax) = ax lna dx

Gebrauch des unendlich Kleinen (Infinitesimalrechnung)

und auch des unendlich Großen (Summe der harmonischen Reihe)

Guillaume de l'Hospital (1661 - 1704)

Analyse des infinement petits (1696)

erstes Lehrbuch der Analysis

f = x2

xx2x

xxx2x

x)xx(xf 222

)x1

x2(limx2/1x/1

limxx2

lim0x0x0x

)x('g)x('f

lim)x(g)x(f

limaxax

00

)x(g)x(f

limax

212

limxx2

lim0x0x

11

xcoslim

xxsin

lim0x0x

falls

Leonhard Euler (1707 - 1783)

n! für alle reellen Zahlen verallgemeinert: Zweites Eulersches Integral

(n+1) = n(n) = n! =

(x+1) = x(x) =

Leonhard Euler (1707 - 1783)

n! für alle reellen Zahlen verallgemeinert: Zweites Eulersches Integral

Dort auch (eingeführt von Jones) verwandt.

Unendlich, zunächst mit i oder dem liegenden S abgekürzt, später mit :

Größe, zu der man durch ohne Ende angehäufte Zuwächse gelangt

2, (+1)/2, log

(n+1) = n(n) = n! =

(x+1) = x(x) =

Institutiones calculi differentialis (1755)

behandelt Rechnen mit endlichen Differenzen x.

Differentialrechnung ist Spezialfall für unendlich kleines x = dx.

arithmetische Gleichheit: a-b = 0

geometrische Gleichheit: a/b = 1

dx, dy sind arithmetisch gleich. dx = dy = 0,

aber geometrisch meistens ungleich: dy/dx 1

a/dx2 quantitas infinita infinities maior quam a/dx

1

2

2

dx

adx

a

dx

a

Zenon von Elea (490 - 430)

Das wahre Sein entzieht sich dem messenden Erfassen.

Es gibt keine Bewegung: Der fliegende Pfeil Die halbe Strecke Achilles und die Schildkröte

Es gibt kein Geräusch: Der Sack voll Hirse.

1) Es müssen notwendig gerade so viele Dinge sein, als eben wirklich sind, weder mehr noch weniger. Wenn aber so viele Dinge sind, als eben sind, dann sind sie der Zahl nach begrenzt.2) Es gibt stets andere Dinge zwischen diesen Dingen und wieder andere zwischen jenen. Und damit sind die seienden Dinge der Zahl nach unbegrenzt.Raum, Vielheit und Teilbarkeit sind nicht widerspruchsfrei in Begriffe zu fassen.

ts

limv0t

Aristoteles (384 - 322)mit seinem Schüler Alexander

Kontinuumslehre führt zu Problemen bei Bewegung: Im Anfangspunkt müßte Ruhe und beginnende Bewegung zugleich sein. Widerspruch, da ein und dasselbe ist und nicht ist.Mit Eudoxos von Knidos (408 - 355) und Parmenides von Elea (515 - 445) lehnt Aristoteles die Zusammensetzung des Kontinuums aus Unteilbaren ab. Die Grenzen benachbarter Teilstücke müssen zusammenfallen. Die Unteilbaren haben aber keine Enden und Teile. Somit kann auch nichts zu einem Kontinuum zusammenwachsen.Das Kontinuum kann nur in stets wieder teilbare Stücke geteilt werden (potentielle Unendlichkeit). Hier folgt Aristoteles Anaxagoras (ca. 500 - 428). Nicht jedoch bei der konkreten Materie.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770 - 1831)

1. Die einzelnen Einheiten, aus denen sich die Vielheit zusammensetzt, dürfen keine Größe haben.2. Wenn sie keine Größe haben, existieren sie nicht.3. Da aber ihre Existenz angenommen wird, müssen sie eine Größe haben. Die Vorderseite muß einen Abstand von der Rückseite haben. Dies gilt aber auch für die Vorder- bzw. Rückseite selbst, also gibt es weiter nach vorn bzw. hinten liegende Teile - ad infinitum.4. Akzeptiert man die Annahme von Vielheiten, so folgt daraus, daß die Einheiten einerseits so klein sind, daß sie keine Größe haben, andererseits so groß, daß sie unbegrenzt sind.

Robert Grosseteste (1168 - 1253)Prof. und Kanzler in OxfordBishop of LincolnLehrer von Roger BaconGeometrie, Optik, Astronomie

Das aktual Unendliche ist eine definite Zahl. Es gibt mehr Momente in einem großen Zeitintervall als in einem kleinen, mehr Punkte in einer großen Strecke als in einer kleinen.

The number of points in a segment one ell long is its true measure.

Galileo Galilei (1564 - 1642)Discorsi e dimonstrationi mathematiche intorno a duenuove scienze (Mechanik und Fallgesetze betreffend)

Das Kontinuum besteht aktual aus unendlich vielen Unteilbaren (non quanti), neben denen der Geometrie (z. B. die Punkte) und der Materie (Atome) auch solchen des Vakuums. Das Kontinuum besteht aus "non vacui" und "vacui".

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647)Die Unteilbaren bilden eine (echte oder unechte?) Untermenge des Kontinuums.

Das Kontinuum wird durch Bewegung seiner Unteilbaren erzeugt.Diese fluentistische Auffassung geht nach Aristoteles auf die Pythagoreer zurück; sie wurde auch von Descartes, Torricelli, Roberval, und insbesondere von Newton vertreten.

Immanuel Kant (1724 - 1804)

größter deutscher PhilosophKritik der reinen VernunftDie Eigenschaft der Größen, nach welcher an ihnen kein Theil der kleinstmögliche ist, heißt Continuität derselben. Raum und Zeit sind quanta continua ...

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

Es gibt zwei berühmte Labyrinthe, in denen sich die menschliche Vernunft oft verwirrt. Das eine betrifft die große Frage der Freiheit und Notwendigkeit, das andere besteht in der Erörterung der Kontinuität, womit auch das Problem des Unendlichen eng zusammenhängt.