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5/17/2018 Ortskurve - slidepdf.com
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SDRT I - Übungsblock 8Frequenzkennlinien II / Nyquist-OrtskurveDipl.-Ing. Markus Grün
WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 1
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveMotivation
Die Ortskurve ist (wie das Bode-Diagramm) eine graphische Darstellung desFrequenzganges G (jω).
Im Gegensatz zum Bode-Diagramm wird aber nicht Betrag und Phase
aufgetragen, sondern Real- und Imaginärteil. Anwendung:
Mit Hilfe des Nyquistkriteriums lassen sich anhand der Ortskurve des offenenRegelkreises Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Regelkreisesmachen.
In dieser ÜbungSkizzierung von Ortskurven, Anwendung des Nyquistkriteriums.
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 1: FMD-System
Übertragungsfunktion
G (s ) =0,1
s 2 + 52s + 100Frequenzgang
G (jω) = 10− 0,1ω2
(100− ω2)2 + (52ω)2
Realteil
+j −5,2ω
(100− ω2)2 + (52ω)2
Imaginärteil
Ortskurve berechenbar für alle Frequenzen ω, bsp. :
ω = 0 ⇒ G (j0) = 10−3
,ω = 10 ⇒ G (j10) = 0 + j1,92 · 10−4 usw.
oder Berechnung charakteristischer Werte:
Im (G (jω)) = 0 ⇒ ω = 0 ∨ ω →∞
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 1: FMD-System
-2 0 2 4 6 8 10x 10
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
x 10-4
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
ω = 0
ω = 10
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 1: FMD-System
Bode-Diagramm
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
P h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
-150
-100
-50
0
V e r s t ä r k u n g
( d B )
Ortskurve
-2 0 2 4 6 8 10x 10
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
x 10-4
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
Übertragungsfunktion
G α(s ) =0,001
( 12s + 1)( 1
50s + 1)
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 2: FMD-System
Bode-Diagramm
-100
-80
-60-40
-20
0
20
V e r s t ä r k u n g
( d B )
100 101 102-180
-135
-90
-45
0
P h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
Übertragungsfunktion
G β(s ) =0,001
1100s
2 + 150s + 1
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 2: FMD-System
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x 10-3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x 10-3
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 3: RLC-Glied
Bode-Diagramm
-100
-50
0
50
V e r s t ä r k u n g
( d B )
100
101
102
103
104
105
-180
-90
0
90
P
h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
Übertragungsfunktion
G (s ) =10−4s
10−6s 2 + 1,2 · 10−3s + 1
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 3: RLC-Glied
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 4: GSM
Bode-Diagramm
-200
-150
-100
-50
0
50
V e r s t ä
r k u n g
( d B )
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
P h
a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
Übertragungsfunktion
G ϕ(s ) =0,2421
( 118,12s + 1)( 1
1,883s + 1)s
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 4: GSM
-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 4: GSM
Teilvergrößerung
-25 -20 -15 -10 -5 0 5
x 10
-3
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
Reelle Achse
I m
a g i n ä r e A c h s e
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 5: Heizlüfter
Bode-Diagramm
-40
-20
0
20
40
V e r s t ä r
k u n g
( d B )
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
P h
a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
Übertragungsfunktion
G 2(s ) = 201
40s + 11
20s + 1
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 5: Heizlüfter
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Relle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveStabilität des geschlossenen Regelkreises
Strukturbild eines Regelkreises
G (s)R
G (s)S
U(s) Y(s)W(s)
Strukturbildvereinfachungen:
G ges(s ) =Y (s )
W (s )
=G R(s ) · G S(s )
1 + G R(s ) · G S(s )
=F O(s )
1 + F O(s )
−→ Für die Stabilitätsanalyse des geschlossenen Regelkreises muss dieÜbertragungsfunktion des offenen Regelkreises F O(s ) = G R(s ) · G S(s )untersucht werden.
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveSpezielle Form des Nyquistkriteriums
Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt keine Pole in der rechtens -Halbebene.
Dann gilt:
Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O(jω) für 0 ≤ ω ≤ +∞ den Punkt (−1,0) derkomplexen z -Ebene links liegen lässt.
Beispiel (P-Regler mit Verstärkung 1)
G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveSpezielle Form des Nyquistkriteriums
Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt keine Pole in der rechtens -Halbebene.
Dann gilt:
Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O(jω) für 0 ≤ ω ≤ +∞ den Punkt (−1,0) derkomplexen z -Ebene links liegen lässt.
Beispiel (P-Regler mit Verstärkung 1)
G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )
−→ Die Ortskurven von Strecke und offenen RK sind gleich.
−→ Da bei allen Beispielsystemen der Punkt (-1,0) links der Ortskurven liegt, sinddie geschlossenen RK stabil!
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveAllgemeine Form des Nyquistkriteriums
Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt n p Pole in der rechtens -Halbebene.
Dann gilt:
Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O (jω) für −∞ ≤ ω ≤ +∞, den Punkt (−1,0)der komplexen z -Ebene genau n p mal entgegen dem Uhrzeigersinnumschließt.
Beispiel (P-Regler mit Verstärkung 1)
G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveAllgemeine Form des Nyquistkriteriums
Voraussetzung:Die Üfkt des offenen Regelkreises F O (s ) besitzt n p Pole in der rechtens -Halbebene.
Dann gilt:
Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurvedes offenen Regelkreises F O (jω) für −∞ ≤ ω ≤ +∞, den Punkt (−1,0)der komplexen z -Ebene genau n p mal entgegen dem Uhrzeigersinnumschließt.
Beispiel (P-Regler mit Verstärkung 1)
G R(s ) = 1 ⇒ F O(s ) = G S(s )
−→ Die Ortskurven von Strecke und offenen RK sind gleich.
−→ Da n p = 0 für alle Beispielsysteme ist, sind die geschlossenen RK stabil!
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber
αM R
M G
M S
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber
Übertragungsfunktion
G 0,25π(s ) =10965,57
(s + 3,1 · 104) · (s + 1,64) · (s + 0,7)
G a(s )
·1
(s − 0,31)
G b(s )
Bode-Diagramm
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
V e r s t ä r k u n g
( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-360
-270
-180
-90
0
P h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
G (s)
G (s)
a
a
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber
Bode-Diagramm
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
V e r s t ä r k u
n g
( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-360
-270
-180
-90
0
P h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
G (s)
G (s)
b
b
Übertragungsfunktion
G b(s ) =1
(s − 0,31)
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber
Bode-Diagramm des offenen RK (P-Regler mit Verst. K = 1)
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
V e r s t ä
r k u n g
( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-360
-270
-180
-90
0
P h a s e
( ˚ )
Frequenz (rad/s)
G (s)
G (s)
G(s)
G (s)
G (s)
G(s)
a
a
b
b
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber
Ortskurve
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
ω = 0
ω = +∞
ω = −∞
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveBeispiel 6: Pendelschrauber (Ortskurven,Sprungantworten)
P - R e g l e r m i t K
= 1
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
ω = 0
ω = +∞
ω = −∞
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Zeit (s)
h ( t )
P
- R e g l e r m i t K =
2
-2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Reelle Achse
I m a g i n ä r e A c h s e
ω = 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Zeit (s)
h ( t )
WS 10/11 | IAT-rtm | M. Grün | 23
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Frequenzgang II / Nyquist-OrtskurveFazit
Alternative Darstellung zum Bode-Diagramm des Frequenzgangs. Das prinzipielle Verhalten ist in einer Ortskurve ablesbar;
Frequenzinformationen gehen verloren.
Die Ortskurve eines Systems läßt sich eindeutig aus einem Bode-Diagrammbestimmen, die Umkehrung gilt nicht.
Die Ortskurve des offenen Regelkreises (egal ob stabil oder instabil!) erlaubteine Aussage über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises.
Im nächsten Übungsblock
Reglerentwurf mittels Frequenzkennlinienverfahren
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