P FADINTEGRAL E Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik

PFADINTEGRALE

Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik

INHALTSÜBERSICHT Lagrange Formalismus Überleitung zur Quantenmechanik Idee des Pfadintegrals Berechnung des Pfadintegrals Bsp.: Harmonischer Oszillator Vorteile der Pfadintegralformulierung

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LAGRANGE FORMALISMUS

Man betrachte generalisierte Koordinaten

Wirkung:

Euler Lagrange Gleichung :

in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind

Lagrangefunktion:

Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet

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BEZUG ZUR QUANTENMECHANIK

Klassische Mechanik: Wirkung extrem

→ ein ausgezeichneter Weg QM: Alle möglichen Wege

tragen zur Gesamtamplitude bei

Jeder Weg trägt gleiche Amplitude bei, aber bei unterschiedlicher Phase

Die Phase ist durch die klassische Wirkung S in Einheiten von ħ gegeben

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DIE IDEE DES PFADINTEGRALS

Übergangsamplitude von y nach x : Integral über alle möglichen Wege (Pfade)

mit

noch zu bestimmendes Funktional

noch zu bestimmender Integrationsmaß 5

BESTIMMUNG: FUNKTIONAL & INTEGRATIONSMAß

Übergangsamplitude: Freies Teilchen

Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur ortsabhängigem Potential

Näherung für kleine Zeiten

Erweiterung auf beliebige Zeiten

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FREIES TEILCHEN

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TEILCHEN IM BELIEBIGEN NUR VOM ORT ABHÄNGIGEN POTENTIAL

Näherung für kleine t = ε

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ERWEITERUNG AUF BELIEBIGE ZEITEN

Die Zeit im unendlich viele infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt, analog dem Riemannintegral.

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RÜCKSCHLUSS AUF DIE KLASSISCHE WIRKUNG

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DAS PFADINTEGRAL

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BSP.: HARMONISCHER OSZILLATOR

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NACHTRAG ZUR FUNKTIONALABLEITUNG:

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VOR- UND NACHTEILE DER PFADINTEGRALFORMULIERUNG

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