PFADINTEGRALE

Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik

INHALTSÜBERSICHT Lagrange Formalismus Überleitung zur Quantenmechanik Idee des Pfadintegrals Berechnung des Pfadintegrals Bsp.: Harmonischer Oszillator Vorteile der Pfadintegralformulierung

2

LAGRANGE FORMALISMUS

Man betrachte generalisierte Koordinaten

Wirkung:

Euler Lagrange Gleichung :

in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind

Lagrangefunktion:

Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet

3

BEZUG ZUR QUANTENMECHANIK

Klassische Mechanik: Wirkung extrem

→ ein ausgezeichneter Weg QM: Alle möglichen Wege

tragen zur Gesamtamplitude bei

Jeder Weg trägt gleiche Amplitude bei, aber bei unterschiedlicher Phase

Die Phase ist durch die klassische Wirkung S in Einheiten von ħ gegeben

4

DIE IDEE DES PFADINTEGRALS

Übergangsamplitude von y nach x : Integral über alle möglichen Wege (Pfade)

mit

noch zu bestimmendes Funktional

noch zu bestimmender Integrationsmaß 5

BESTIMMUNG: FUNKTIONAL & INTEGRATIONSMAß

Übergangsamplitude: Freies Teilchen

Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur ortsabhängigem Potential

Näherung für kleine Zeiten

Erweiterung auf beliebige Zeiten

6

FREIES TEILCHEN

7

TEILCHEN IM BELIEBIGEN NUR VOM ORT ABHÄNGIGEN POTENTIAL

Näherung für kleine t = ε

8

ERWEITERUNG AUF BELIEBIGE ZEITEN

Die Zeit im unendlich viele infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt, analog dem Riemannintegral.

9

RÜCKSCHLUSS AUF DIE KLASSISCHE WIRKUNG

10

DAS PFADINTEGRAL

11

BSP.: HARMONISCHER OSZILLATOR

12

NACHTRAG ZUR FUNKTIONALABLEITUNG:

13

14

15

16

VOR- UND NACHTEILE DER PFADINTEGRALFORMULIERUNG

17

18