Praktikum Aerodynamik des Flugzeugs24.11.2011 6 Lehrstuhl für Aerodynamik und Strömungsmechanik...

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des Flugzeugs4. Versuch: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

D. FleischerC. Breitsamter

Lehrstuhl für Aerodynamikund Strömungsmechanik

24.11.2011 2Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel unendlicher Spannweite (2D): Auftrieb und Zirkulation

+x

z

x

z

Translationsströmung Wirbelströmung

∫=ΓC

sdVv

ov

24.11.2011 3Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel unendlicher Spannweite (2D): Auftrieb und Zirkulation

+x

z

x

z

x

z

Translationsströmung Wirbelströmung

∫=ΓC

sdVv

ov

24.11.2011 4Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel unendlicher Spannweite (2D): Auftrieb und Zirkulation

+x

z

x

z

x

z

Translationsströmung Wirbelströmung

Kutta-Joukowski:Γ= ∞∞UA ρ

(Auftrieb pro Einheitstiefe)

Im ebenen Fall gilt:0→⇒∞→ wx α

w: Abwindgeschwindigkeitαw: Abwindwinkel

∫=ΓC

sdVv

ov

wα∞U

wV

(für kleine Winkel!)∞

=Uw

wα

24.11.2011 5Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Entstehung der freien Wirbel

y

z

• Ein auftrieberzeugender Tragflügel besitzt einen Überdruck auf der Unterseite und einen Unterdruck auf der Oberseite

24.11.2011 6Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Entstehung der freien Wirbel

y

z

y

x

• Ein auftrieberzeugender Tragflügel besitzt einen Überdruck auf der Unterseite und einen Unterdruck auf der Oberseite

• Dadurch kommt es zu einem Druckausgleich zwischen Ober- und Unterseite:→ Randumströmung an den Flügelenden→ Ablenkung der Stromfäden nach innen auf der Oberseite→ Ablenkung der Stromfäden nach außen auf der Unterseite

24.11.2011 7Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Entstehung der freien Wirbel

y

z

• es bildet sich eine Trennungsfläche (Wirbelschicht):→ Auswärtsströmung unten→ Einwärtsströmung oben

• diese Trennungsfläche ist allerdings nicht stabil• der energetisch günstigere Zustand sind zwei diskrete Wirbel (Wirbelpaar)• die Wirbelschicht geht über einen Aufrollvorgang in diese beiden Wirbel der Wirbelstärke Γ0 über

y

z

xc < xd < xedirekt hinter dem Flügel (xc)

y

z

xe < xf

24.11.2011 8Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Entstehung der freien Wirbel

• im Gegensatz zum ebenen Fall ergibt sich nun: Für ∞→x 0. ≠→ konstWαgeht

24.11.2011 9Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Modellierung – Hufeisenwirbel

l

b

(tragende Linie)

w

.)( konsty =Γ=ΓdyyUdA )(Γ= ∞∞ρ &

lbUCbUA A ⋅⋅⋅⋅=Γ⋅⋅= ∞∞∞∞22ρρ

lUCA

∞

Γ=

2

• Nachteil des Hufeisenmodells:→ Auftriebsverteilung wird nicht richtig wiedergegeben, weil durch den

Druckausgleich der Auftrieb zu den Flügelenden hin absinkt, was durch das Modell nicht erfasst wird

24.11.2011 10Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel – Gesetz von Biot-Savart

• Beschreibung der Abwindinduktion in einem Punkt P des Raumesdurch eine gerade Wirbellinie endlicher Länge

( )21 coscos4

ϕϕπ

−⋅

Γ=

rw

( )1cos4 1 +⋅Γ

= ϕπ r

wbzw.

für halb-unendliche Wirbellinie(φ2 = 180°)

rw

⋅Γ

=π2

für unendliche Wirbellinie(φ2 = 180°, φ1 = 0°)

∫⋅Γ

=2

1

sin4

ϕ

ϕ

ϕϕπ

dr

w Herleitung siehe: Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik des Flugzeuges,Band 1

24.11.2011 11Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Modellierung – elliptische Zirkulationsverteilung

• annähernd realistische Auftriebsverteilung an einemRechteckflügel

( )1

2 2

2

20

2

=+ΓΓ

by :0Γ

:2bKleine HalbachseGroße Halbachse

blUCbUA A ⋅=Γ⋅⋅= ∞∞

∞∞2

0 24ρρπ

221)( 0

2/

2/

bUdyyUAb

bΓ⋅⋅=Γ= ∞∞

+

−∞∞ ∫ πρρ

halbe Ellipsenfläche

lUCA ⋅

Γ⋅=

∞

0

2π

24.11.2011 12Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): induzierter Anstellwinkel bei elliptischer Zirkulationsverteilung

Anwendung des Biot-Savart-Gesetzes auf die freien Wirbel:

∫+

− −Γ

=2/

2/ ''

'41)(

b

bi yy

dydydyw

π &2

021)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−Γ=Γbyy

Für .2

)( 0 konstb

ywi =Γ

=:2by <

.2

)( 0 konstbUU

ywii =

Γ==

∞∞

α

Induzierter Abwind am Ort der tragenden Linie ⇒

Für eine elliptische Zirkulationsverteilung ist derinduzierte Abwind konstant!Spannweite ‚b‘ beachten!

24.11.2011 13Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): induzierter Widerstand bei elliptischer Zirkulationsverteilung

U∞

iii dAdW α⋅= ( )dyywdydA

UW i

b

bi ⋅=⇒ ∫

+

−∞

2/

2/

1⇒⇒ ... 2

2208 bq

AWi ⋅⋅=Γ=

∞∞ π

ρπ

Λ⋅=π

2A

WiCC Λ⋅

=π

α Ai

C

Aerodynamische Beiwerte

24.11.2011 14Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

durch den gebundenen Wirbel induzierter Abwind wgeb in P:y

( )2212/

2/cosbx

b

+=ϕmit:

12 coscos ϕϕ −=

12 180 ϕϕ −°=Symmetrie:

( )21 coscos4

ϕϕπ

−⋅

Γ=

rwBiot-Savart:

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel durch Hufeisenwirbelmodell

24.11.2011 15Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

durch den gebundenen Wirbel induzierter Abwind wgeb in P:

22

2

224

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅⋅Γ

=bx

bx

wgeb π

2bx

=ξ

lb

Fb

==Λ2

211ξξπ +

⋅⋅⋅

Γ=b

wgeb

y

211

2 ξξπ +⋅

⋅⋅Λ⋅⋅

= ∞ Ageb

CUw

(Rechteckflügel)

( )2212/

2/cosbx

b

+=ϕmit:

12 coscos ϕϕ −=

12 180 ϕϕ −°=Symmetrie:

( )21 coscos4

ϕϕπ

−⋅

Γ=

rwBiot-Savart:

lUCA

∞

Γ=

2

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel durch Hufeisenwirbelmodell

24.11.2011 16Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

durch einen freien Wirbel induzierter Abwind wfrei in P:

∞→r

y

1cos0 11 =⇒→⇒ ψψ

( )21 coscos4

ϕϕπ

−⋅

Γ=

rw

( )2222/

cosbx

x

+−=ψmit:

Biot-Savart:

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel durch Hufeisenwirbelmodell

24.11.2011 17Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

durch einen freien Wirbel induzierter Abwind wfrei in P:

∞→r

y

gesfreifrei wbx

xb

w ,22

211

2

24=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅Γ

=π

1cos0 11 =⇒→⇒ ψψ

durch beide freien Wirbel in P induzierter Abwind wfrei,ges in P:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+⋅

⋅Γ

= 112,

ξξ

π bw gesfrei

( )21 coscos4

ϕϕπ

−⋅

Γ=

rw

( )2222/

cosbx

x

+−=ψmit:

2bx

=ξ

Biot-Savart:

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel durch Hufeisenwirbelmodell

24.11.2011 18Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Abwindwinkel durch Hufeisenwirbelmodell

Abwind in P:⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++

⋅Γ

=+=22 1

11

1ξξξ

ξπ b

www freigeb

ΛΓ

=Γ

=∞∞ bUlU

CA22mit: & (für kleine Winkel)

∞

=Uw

wα

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

Λ=

ξξ

πα

112

2A

wC

24.11.2011 19Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): verschiedene Näherungsformeln für den Abwindwinkel

⇒∞→ξBiot-Savart: 1* →α( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

Λ⋅=

ξξ

παα

1121*

2

A

w

C

Konstante Zirkulationsverteilung

24.11.2011 20Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): verschiedene Näherungsformeln für den Abwindwinkel

⇒∞→ξBiot-Savart: 1* →α

2* →α

2* →α

⇒∞→ξ

⇒∞→ξ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

Λ⋅=

ξξ

παα

1121*

2

A

w

C

Helmbold (Glauert): ( )( )( )( )ξπ

ξππαα

212

1*2 +

+=Λ⋅

=A

w

C

( ) 2412*ξπ

αα +=Λ⋅

=A

w

CTruckenbrodt:

Konstante Zirkulationsverteilung

Elliptische Zirkulationsverteilung

24.11.2011 21Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): verschiedene Näherungsformeln für den Abwindwinkel

⇒∞→ξBiot-Savart: 1* →α

2* →α

2* →α

⇒∞→ξ

⇒∞→ξ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

Λ⋅=

ξξ

παα

1121*

2

A

w

C

Helmbold (Glauert): ( )( )( )( )ξπ

ξππαα

212

1*2 +

+=Λ⋅

=A

w

C

( ) 2412*ξπ

αα +=Λ⋅

=A

w

CTruckenbrodt:

Konstante Zirkulationsverteilung

Elliptische Zirkulationsverteilung

Allgemeine Zirkulationsverteilung

0412 2 >∀

Λ⋅+= ξ

πξαα Aiw

CTruckenbrodt:

24.11.2011 22Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Versuchsdurchführung

Messung des Abwindwinkels mit Hilfe einer 3-Loch-Keilsonde (ebene Messungen):

∞U

wwα

tp

2p

1p

V

1. Möglichkeit der Winkelmessung: Kompensationsmethode

→ Differenzdruck

Winkel der Sonde zur freien Anströmung liefert den Abwindwinkel

Pa0.021 =−=Δ ppp

24.11.2011 23Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Versuchsdurchführung

Messung des Abwindwinkels mit Hilfe einer 3-Loch-Keilsonde (ebene Messungen):

∞U

1. Möglichkeit der Winkelmessung: Kompensationsmethode

→ Differenzdruck

Winkel der Sonde zur freien Anströmung liefert den Abwindwinkel

Pa0.021 =−=Δ ppp

wwα

tp2p

1p

wα

V

24.11.2011 24Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Versuchsdurchführung

Messung des Abwindwinkels mit Hilfe einer 3-Loch-Keilsonde (ebene Messungen):

∞U

wwα

tp

2p

1p

V

2. Möglichkeit der Winkelmessung: Methode der Eichkurve

Sonde parallel zur freien Anströmung

Kalibrierfunktion liefert Winkel nach ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=

qpfW

12α

Pa0.012 ≠Δp

24.11.2011 25Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Versuchsdurchführung

Messung des Abwinds für:

°= 0gα °= 4gα&mm400mm10 ≤≤ HKx

0=y

0=HKz

2 Messreihen

Anstellwinkel

αg: Anstellwinkel bez. Profilbitangente

0.734°

0.460°

cAαg

Abmessungen in [m]

24.11.2011 26Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Flügel endlicher Spannweite (3D): Versuchsdurchführung

Messung des Abwinds für:

°= 0gα °= 4gα&mm400mm10 ≤≤ HKx

0=y

0=HKz

°= 0gα °= 4gα&mm260mm10 ≤≤ y

mm205=HKx

0=HKz

( )7.0≈ξ

2 Messreihen

2 Messreihen

Anstellwinkel

Anstellwinkel

αg: Anstellwinkel bez. Profilbitangente

0.734°

0.460°

cAαg

Abmessungen in [m]

24.11.2011 27Lehrstuhl fürAerodynamikund Strömungsmechanik

Technische Universität München

Praktikum Aerodynamik des FlugzeugsVersuch 4: Induzierter Abwind hinter einem Tragflügel

Ende