Simulationsmodelle: Liliputwelten im Computer Peter Fleissner Institut für Gestaltungs- und...

Simulationsmodelle: Liliputwelten im Computer

Peter FleissnerInstitut für Gestaltungs- und Wirkungsforschung

Simulation

• zur Analyse und Rekonstruktion dynamischer Systeme – Simulationsmodell = Abstraktion des zu simulierenden

Systems– Experimente statt an der Wirklichkeit an einem Modell

durchgeführt, um Erkenntnisse über das modellierte System zu gewinnen.

• eine Widerspiegelungstechnik– Abbildung und Konstruktion der Realität zugleich

• ein Dritter Weg wissenschaftlicher Erkenntnis– Beitrag zur Theorienbildung

• neben Induktion• und Deduktion

Einleitung (1 aus 4)

Theoriebildung

• Induktion– im empirischen Prozess wird Datenmaterial erarbeitet, innere

Strukturen und Gesetzmäßigkeiten werden sichtbar. – positiv verlaufende Experimente sollen diese Strukturen bestätigen

und sind Bausteine einer Verifikation (Beweisführung), die letztlich zur „Wahrheit“ führen.

• Deduktion – durch kreative Akte werden Hypothesen über die Realität erzeugt,

deren Übereinstimmung mit dem Datenmaterial anschließend überprüft wird. Experimente werden mit dem Ziel der Falsifikation (Sir Karl Popper) unternommen.

– Nur in dem Ausmaß wie sich Theorien bewähren (der Falsifikation entziehen), kann relative Sicherheit gewonnen werden.

In der Praxis der Wissenschaft mischen sich induktive mit deduktiven Elementen

Einleitung (2 aus 4)

Warum Simulation?

• Untersuchung am realen System wäre zu aufwändig, zu teuer, ethisch nicht vertretbar oder zu gefährlich. Beispiele: – Crashtest (zu gefährlich in der Realität, vor allem in der sozialen) – Simulation von Fertigungsanlagen vor einem Umbau (mehrfacher

Umbau der Anlage in der Realität wäre zu aufwändig und zu teuer) • Das reale System existiert (noch) nicht.

– Beispiel: Windkanalexperimente mit Flugzeugmodellen• Das reale System lässt sich nicht direkt beobachten

– Systembedingt. Beispiel: Einzelne Moleküle in einer Flüssigkeit – System zu schnell/zu langsam (Schaltkreise/geologische Systeme)

• Für Experimente kann ein Simulationsmodell leichter modifiziert werden als das reale System. – Beispiel: Stadtplanung, Volkswirtschaft

• Gefahrlose Ausbildung. – Beispiel: Flugsimulator

• Spiel und Spaß an simulierten Szenarien.

Einleitung (3 aus 4)

Charakteristika von Simulationen

• Verwendet wie Deduktion explizite Annahmen• Im Unterschied zu Deduktion beweist Simulation keine

allgemeinen mathematischen Sätze

• Erzeugt Daten für die Anwendung induktiver Verfahren, • Im Unterschied zur Induktion sind die Daten unter genau

definierten und bekannten Bedingungen erzeugt worden

-> Simulation ist verschieden von Induktion und Deduktion-> erlaubt ein tieferes Verständnis von Systemen

– durch intensive Beschäftigung mit dem Modell – und durch kontrollierte Computerexperimente

Einleitung (4 aus 4)

• Makroebene (Systemdynamik & Ökonometrie)– Erweiterte Reproduktion– Käpt‘n Petri und die Österreichische Volkswirtschaft– World Dynamics

• Mikroebene (Selbstorganisationssysteme & ABS)– The blind and the lame– Predator-prey-models

Übersicht: Simulationsmethoden

Systemdynamik-Modell: Vier Grundelemente

Simulationsmethoden

STOCK VARIABLE

INFLOW VARIABLE OUTFLOW VARIABLE

AUXILIARY VARIABLE

Systemdynamik-Modelle: Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen

Simulationsmethoden

– Abbilder und Entwürfe– Formale Modelle und die Einmaligkeit historischer

Prozesse– Formale Modelle und qualitative Veränderungen– SD und Ökonometrische Modelle

• Grundkonzepte der SD– Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen– Causal Loop Diagramme

• Rückkopplungsprozesse– Positive Rückkopplung– Negative Rückkopplung

Lineare Rückkopplung

• Erweiterte volkswirtschaftliche Reproduktion

• Siehe auch

• http://members.chello.at/gre/fleissner/documents/work/work.pdf

Simulationsmethoden

Erweiterte Reproduktion einer Volkswirtschaft

Arbeitskraft

Investitionsgüter

Kapitalgüter

Intermed. Güter Konsumgüter

Intermed. Güter

Simulationsmethoden

Einfaches Wachstumsmodell in Formeln

• Produktionsfunktion (Erzeugung des BIP)

Y = alfa Lbeta K(1-beta)

• Investitionsfunktion

I = dK/dt = (1-beta)Y = (1-beta) alfa Lbeta K(1-beta)

• Konsumfunktion

C = betaY

• Pro-Kopf Lohn

ProKopfLohn = C/L

Simulationsmethoden

Nicht-lineare Rückkopplung

• Exkurs: Intuitive Lösung von Differentialgleichungen– Das Aussterben der Passagiertaube

Simulationsmethoden

Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

dx/dt = f(x)

x0

x

dx/dt

Differentialgleichung darstellbar im (x, dx/dt) Koordinatensystem

Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

x0

x(t)

tTrajektorie im (t , x) Koordinatensystem

Graphische „Lösung“ von nichtlinearen Differentialgleichungen

als Differenzengleichungen

Δx/Δt = f(x)

x0

Δx

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

x0

Δx

Δx/Δt = f(x)

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

x0

Δx

Δx

Δx/Δt = f(x)

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

x0

Δx

Δx

x1= x0+Δx

Δx/Δt = f(x)X2 = ???

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

Stationäre Punkte??

Δx/Δt = f(x)

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

Stationäre Punkte x*: dx/dt = f(x)=0

Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen

Sind die stationären Punkte stabil?

Was bedeutet Stabilität?

Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird

x*

Was bedeutet Stabilität?

Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird

x*

stabilinstabil

Ein Anwendungsbeispiel

Die nordamerikanische Passagiertaube:

ausgestorben 1914

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben

xSchwarmgröße

dx/dt

http://www.loe.org/series/gap_in_nature/

x

dx/dt

In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er?

Wo sind die stationären Punkte?

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben

x

dx/dt

In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er?

Wo sind die stationären Punkte?

Hier wächst der Schwarm

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben

x

dx/dt

Stabilität der stationären Punkte?

Hier wächst der Schwarm

Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben

stabilinstabil

x

dx/dt

Abschussrate

Die Jagd auf die nordamerikanischen Passagiertauben

Reproduktionsrate minus Abschussrate der Passagiertauben

x

dx/dt

x

dx/dt

Reproduktionsrate minus Abschussrate = Nettoreproduktionsrate

x

dx/dt

Erhöhte Abschussrate

x

dx/dt

Erhöhte Abschussrate

x

dx/dt

Erhöhte Abschussrate

x

dx/dt

Erhöhte Abschussrate

Ein einziger weiterer Schussführt (unerwartet) zur Katastrophe:

zum Aussterben des Schwarms

Resultat

Beispiel: Ein Modell der Österreichischen Wirtschaft

• Kombiniertes ökonometrisch-systemdynamisches Simulationsmodell zum Studium der Auswirkungen politischer Massnahmen und technischer Veränderungen

• Datenbasis 1964 – 1987, etwa 350 Gleichungen• Das Gesamtmodell enthält die komplette

Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung auf hochaggregierter Ebene und umfasst die Sektoren:– Produktion (Kapazität, Kapital, Arbeit und ihre Remuneration)– Binnennachfrage (Konsum, Investitionen)– Außenhandel (Waren- und Dienste)– Staat (Einnahmen, Ausgaben, Schulden) – Arbeitsmarkt

Simulationsmethoden

System dynamik-

Modell

Beispiel: Produkt-

ions-sektor

FIXED ASSETS

GROSS INVESTMENT SCRAPPINGS

DEMAND FOR LABOUR

INCREASE OF JOBS DECREASE OF JOBS

POTENTIAL OUTPUT

CAPACITY INFLOW CAPACITY OUTFLOW

MARGINAL CAPITAL OUTPUT RATIO

MARGINAL LABOUR INTENSITY

AVERAGE LABOUR INTENSITY

AVERAGE CAPITAL OUTPUT RATIO

UTILIZATION RATE GDP

Simulationsmethoden

„Am Steuerrad der Wirtschaft“

Simulationsmethoden

Forrester‘s World Dynamics (1971): Dynamo-Diagramm

Forrester‘s World Dynamics: Causal Loops Diagram

Forrester‘s World Dynamics: Stella Diagram

Beispiele auf der Mikroebene

• Selbstorganisierende Systeme(Beispiel: „the blind and the lame“)

http://members.chello.at/gre/springer/

• Agentenbasierte Simulationen(Einführende Literatur:

http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/abmread.htm)

ANYLOGIC: http://www.xjtek.com/

Simulationsmethoden Teil 2

„The blind and the lame“

Zwei interagierende Welten …

• Welt A: die physische Welt

(klassische Mechanik)

• Welt B: die Welt der Symbole

(Alphabet ohne Bedeutung)

Simulationsmethoden

…und zwei interagierende Akteure

Akteur 1: Der Blinde• kann

– springen– hören– die Töne, die er hört, interpretieren– und danach handeln (springen)

Akteur 2: Der Lahme• kann

– Die Länge des Hindernisses sehen– Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete)– die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen– Und die Töne mit Bedeutung versehen

http://members.chello.at/gre/springer/

Simulationsmethoden

Agentenbasierte Simulationen

• Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab

• Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden,

• das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann

Simulationsmethoden

Vier Arten von Verständnis durch ABS• Empirisch

– Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)?

• Normativ– Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal?

• Heuristisch– Können Einsichten über die grundlegenden

Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden?

• Methodisch– Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und

verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?

Simulationsmethoden

Agentenbasierte SimulationenAgentenbasierte Simulationen

• Das Softwarepaket ANYLOGIC

Simulationsmethoden

SD-Modelle und ABSSD-Modelle und ABS

• Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren

• SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden

• Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen

• Was sind die Entscheidungskriterien?

Simulationsmethoden im Vergleich

• SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden.

• Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen• Positive und negative Rückkopplungsschleifen

bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems• Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl

von Clustern (compartments) integriert.• Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, • Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur • Übergänge zwischen den compartments beruhen auf

Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört)

• Einfacher Vergleich mit Realität

Simulationsmethoden im Vergleich

• Beispiele für SD Modelle– Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung

beschrieben; – Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra

Differentialgleichung– Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben)

• ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren

• ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden

• Grosse Zahl von Parametern nötig• Hoher Rechenaufwand für die Simulation und

erschwerte Sensitivitätsanalyse• Erschwerter Vergleich mit der Realität

Simulationsmethoden im Vergleich

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Seminar an der TU-Wien im Wintersemester 06

Mathematische Modellierung und Simulation (187.234)

Website mit Skripten, Terminen, News:http://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/MathMod

e-mail: fleissner@arrakis.es