Teil I - Haushaltstheorie Teil I: Haushaltstheorie Teil II: Unternehmenstheorie Teil III:...

Teil I - Haushaltstheorie

Teil I:Haushaltstheorie

Teil II:Unternehmenstheorie

Teil III:Vollkommene Konkurrenz

und Wohlfahrtstheorie

Teil IV:Marktformenlehre

Teil V:Externe Effekte

Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse

Komparative Statik

Der Einfluss des eigenen Preises Der Einfluss des Preises des anderen

Gutes Der Einfluss des Einkommens Die Slutsky-Gleichungen

Gleichgewichte und komparative Statik

komparative StatikGleichgewichte

Märkte: Preis, der Angebot und

Nachfrage ausgleicht Spieltheorie: Nash-Gleichgewicht

komparativ: Vergleich von Gleichge-

wichten bei alternativenParametern

Statik: keine Dynamik keine Anpassungsprozesse

= Individuen haben keinen An-Lass, ihr Verhalten zu ändern

Haushalte: nutzenmaximierendes Gtbl.

Monopol: gewinnmaximaler Preis

Parameter und Variablen Exogene Parameter: beschreiben die ökonomische Situation

(Input ökonomischer Modelle)z.B. Präferenzen von Haushalten

Endogene Variablen: sind das Ergebnis ökonomischer

Modelle (nach der Anwendung des Gleich- gewichtskonzeptes)

z.B. gewinnmaximale Preise

Komparative Statik in der Haushaltstheorie

Nachfrage nach Gut 1

),,( 2111 mppxx GG Gleichgewicht in Abhängigkeit von Parametern des Modells

Aussagen durch komparative Statik:Wie ändert sich die Nachfrage nach Gut 1 bei Änderung der Parameter

p1 (Nachfragekurve, Preiselastizität der Nachfrage)

p2 (Kreuzpreiselastizität der Nachfrage)

m (Engelkurve, Einkommenselastizität der Nachfrage)

Wir unterscheiden...

...dabei grundsätzlich die Nachfrage beim Budget als

Geldeinkommen (G):

Anfangsausstattung (A):

),,( 2111 mppxx GG

),,,( 212111 ppxx AA

Preis-Konsum-Kurveund Nachfragekurve

x1

x2

p1

x1

m

p h1

m

p m

1

m

p l

1

p h

1

p l

1

p m

1

x h

1x m

1x l

1

Preis-Konsum-Kurve

Nachfrage-kurve

(gewöhnliches Gut)

Nachfragekurven

fallende Nachfragekurvenfür gewöhnliche Güter

steigende Nachfragekurvenfür nicht-gewöhnliche Güter

dx

dp1

1

0

dx

dp1

1

0

x p1 1,0gewöhnlicheGüter

nicht-gewöhnlicheGüter

Ist Gut 1 gewöhnlich?

x2

x1

Anfangsausstattung

B

Preiserhöhung für Gut 1

Elastizitäten

geben an, wie stark die Änderungen zweier Größen miteinander verknüpft sind:

Elastizität =

rel. Änderung d. Wirkung %

rel. Änderung d. Ursache %

Ursachen: Preisänderungen des selben GutesPreisänderungen des anderen Gutes Einkommensänderungen

Wirkung:Nachfrageänderung

Elastizitäten für die Nachfrage

Preiselastizität der Nachfrage

Wenn sich der Preis für Gut 1 um 1% verändert,

um wieviel Prozent ändert sich dann die Nachfrage nach Gut 1?

d x

x1

1

d p

p1

1

x p

dx

xdp

p

dx

dp

p

x1 1

1

1

1

1

1

1

1

1,

Kreuzpreiselastizität der Nachfrage

Wenn sich der Preis für Gut 2 um 1% verändert, um wievielProzent ändert sich dann die Nachfrage nach Gut 1?

für Substitute

für Komplemente

x p

dxx

dpp

dxdp

px1 2

1

1

2

2

1

2

2

1,

dx

dp1

2

0

dx

dp1

2

0

Einkommens-Konsum-Kurve

x1

x1m

p

l

1

m

p

m

1

m

p

h

1

x2

m

mh

mm

ml

x l

1 x m

1 x h

1

Einkommens-Konsum-kurve

Engelkurve(normales Gut)

Engelkurven

steigende Engelkurvefür normale Güter

fallende Engelkurvefür inferiore Güter

dx

dm1 0

dx

dm1 0

Einkommenselastizität der Nachfrage

Wenn sich das Einkommen um 1% verändert, um wievielProzent ändert sich dann die Nachfrage?

1,1mx

1,1mx

Für normale Güter ( ):0

für Luxusgüter

für notwendige Güter

x m

dxxdmm

dxdm

mx1

1

1 1

1,

Einkommenselastizität

Bei Ausgabenanteilen der Güter

gilt

sp x

m11 1 s

p x

m22 2

s sx x1 21 21 ,m ,m

x1,m0 1

inferioreGüter

normale Güter

notwendigeGüter

Luxus-güter

Aufgabe: Elastizität

Die Nutzenfunktion eines Haushalts ist

Nachfragefunktion, Einkommens- und Preiselastizität für Gut 1 ?

)2,min(),( 2121 xxxxu

Zusammenfassung

Preisvariation Einkommensvar.Güter: Giffengüter

gewöhnliche Güternormale G. (Luxus, notw.)inferiore Güter

Kurven: PreiskonsumkurveNachfragekurve

Einkommenskonsumk.Engelkurve

Elastizi-täten:

Preiselastizität derNachfrage

Einkommenselastizitätder Nachfrage

Güterübersicht

Nachfrage des Gutes nimmt bei Anhebung des . . .

Preises . . . Einkommens . . .

zu: zu:ab: ab:

nicht-gewöhn-liches Gut

gewöhnlichesGut

normalesGut

inferioresGut

überproportional unterproportionalLuxusgut notwendiges Gut

Das alte Haushaltsoptimum

x2

x1

2p

m

1p

m

I1 I2

B

I3

Zum neuen Optimum: Gesamteffekt

x2

x1neup

m

1

I1 I2•neues Substitutionsverhältnis von Gut 1 und Gut 2 ->Substitutionseffekt•neues Nutzenniveau I1

->Einkommenseffekt2p

m

1p

m

B

D

I3

Substitutionseffekt

x2

x1

2p

m

1p

m

Die Preisänderung bewirkt eineandere Steigung der Budgetgerade.Welches Güterbündel wäre in der neuen Preisstruktur optimal, wenn sich der Haushalt das alte Bündel leisten kann?

I1 I2 I3

Sx1

B

C

Der (relative)Substitutionseffekt ist negativ:

x2

x1

2p

m

1p

m

I1 I2 I3

B

C

E

C'

Im alten Preisverhältnis:Der Haushalt wählt B, hätte E wählen können.

Im neuen Preisverhältnis:Der Haushalt kann B wählen und stellt sich durch Wahl von C' nicht besser, aber eventuell durch Wahl von C.

dxdp

s1

1

0

dx S1

Einkommenseffekt

x2

x1

2p

m

1p

m

I1 I2 I3

Sx1

B

CD

x m1

Slutsky-Gleichung für Geldeinkommen

Einkommens-effekt

Substitutions-effekt

Gesamt- (Nach-frage-)Effekt

Der Substitutionseffekt ist stets negativ.Der Einkommenseffekt kann positiv (normales Gut) oder negativ (inferiores Gut) sein.Der Gesamteffekt kann positiv (Einkommenseffekt negativund absolut größer als Substitutionseffekt) oder negativ sein.

BGSG

xm

x

p

x

p

x1

1

1

1

1

1

Slutsky-Gleichung - analytische Herleitung

Die Nachfrage entspr. dem Slutsky-Effekt

ist gleich

der Nachfrage bei demEinkommen, mit dem das alte Güterbündel gekauft werden kann.

BBGBBS xpxppxxxpx 2211112111 ,,,

BGGS

xm

x

p

x

p

x1

1

1

1

1

1

Wir unterscheiden . . .

. . . bei Einkommensvariation

. . . bei Preisvariation

inferiores Gut normales Gut

nicht-gewöhnliches Gut(Giffen-Gut)

gewöhnliches Gut

01 m

xG

01 m

xG

01

1 p

xG

1

111 p

x

m

xx

SG

1

111 p

x

m

xx

SG

01

1 p

xG

Güter-Systematik (Budget als

Geldeinkommen)

inferioreGüter

normaleGüter

gewöhnlicheGüter

Giffen-Güter

Beziehungenuntereinander

das Ein-kommensinkt

p1 sinkt

Variation des

Einkommens

Preises

Die Nachfrage nachGut 1 steigt, wenn

das Ein-kommensteigt

p1 steigtein Giffengutist stets inferior

ein normalesGut ist stetsgewöhnlich

-------

Einkommens

Preises

-------

01 mxG

01 mxG

01

1 pxG

01

1 pxG

Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung

Einkom-menseffekt

Substitu-tionseffekt

Gesamt-effekt

für Nettoanbieter: positivfür Nettonachfrager: negativ

?

Ausstattungs-einkommens-effekt? <0

m

xx

p

x

p

x GSA

111

1

1

1

1

Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung (2)

Nettonachfrage Nettoangebot 1 1 0 x 1 1 0 x

Gut 1 istnormal . . .

Gut 1 istinferior . . .

. . . und gewöhnlich! . . . und ?

. . . und gewöhnlich!. . . und ?

0)(

11

1 xm

xG

0)(

11

1 xm

xG

0)(

11

1 xm

xG

0)(

11

1 xm

xG

Anfangsausstattungs-Einkommenseffekt

),,(),,,( 221121121211 ppppxppx GA

Wir nennen

den Anfangsausstattungs-Einkommenseffekt.

11

1

1

1

1

1

22111

1

1

1

1 )(

mx

px

px

dpppd

mx

px

px

GGA

GGA

11

mxG

Teil I - Haushaltstheorie

Teil I:Haushaltstheorie

Teil II:Unternehmenstheorie

Teil III:Vollkommene Konkurrenz

und Wohlfahrtstheorie

Teil IV:Marktformenlehre

Teil V:Externe Effekte

Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse

Arbeitsangebot und Sparen

Entscheidung über das Arbeitsangebot

Intertemporaler Konsum

Arbeitsangebot

Das Zeitbudget umfaßt 24 Stunden. Die Zeit kann als Freizeit genutzt werden (F), oder sie kann zur Arbeit genutzt werden (24-F), wobei ein Stundenlohn von w erzielt wird.

Die Budgetgerade lautet

oder .

Hierbei sindp der Preis für eine "Einheit Konsum",C einkommensunabhängiger Konsum.

Die Opportunitätskosten für eine zusätzliche Stunde Freizeit betragen w/p, wobei p das Preisniveau bezeichnet.

Arbeitsangebot (2)

C

F24 hFreizeit F 24 - F

I1 I2 I3

Arbeitsangebot und Lohnänderung

Verwende die Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung:

Gesamt-effekt

?

Substitutions-effekt

negativ

Einkommens-effekt, wobeim = pCu + w 24

positiv(für Freizeit alsnormales Gut)

Arbeitsangebot bei Überstundenlohn

C

F24 h

I1 I2 I3

16h

Für die 8 Stunden überschreitende Arbeitszeit wird ein höherer Lohn gezahlt:

Arbeitsangebot bei progressiver Besteuerung

t1 < t2

• steuerfreier Bereich bis C1

• Steuersatz t1 ab C1

• Steuersatz t2 ab C2

F

C

C2

C1

Das optimale Arbeitsangebot

Conny arbeitet für einen Stundenlohn von 5 €. Sie hat 120 Stunden wöchentlich für Arbeit oder Freizeit zur Verfügung.Ihre Nutzenfunktion ist u(C,F) = CF.Wieviele Stunden arbeitet sie?

1. Transformiere die Nutzenfunktion in !2. Berechne Connys Gesamteinkommen!3. Ermittle Connys Entscheidung!

IntertemporaleKonsumentscheidungen

Betrachtung von Einkommenserzielung und Konsum inmehreren Perioden:

Soll der Konsum vorgezogen werden (Kreditaufnahme),

oder

soll der Konsum später erfolgen (Sparen)?

m1, c1 Einkommen und Konsum in Periode 1m2, c2 Einkommen und Konsum in Periode 2r Zinssatz

Intertemporale Konsumentscheidungen

(ohne Zinsen)

Budgetgerade mit Anfangsausstattung(m1, m2): m1 + m2 = c1 + c2

Anstieg der Budgetgeraden: -1

c1

c2

m1 + m2

m1 + m2m1

m2

c2

c1

(m1, m2)

(c1, c2)

Zins und Budgetgerade

Die Budgetgerade dreht sich umden Punkt der Anfangsausstattung!

Anstieg der Budgetgeraden: - (1 + r)

c1

c2

m1 + m2

m1 + m2m1

m2(m1, m2)

Zinswirkung

Durch den Zins verkleinert sich der Barwert des mehr-periodigen Budgets (Abzinsung):

Dafür vergrößert sich der Zukunftswert des mehr-periodigen Budgets:

Theorie

Modellierung einer ökonomischen Situation unter Verwendung von Annahmen über

exogene Größen. Aufgrund eines Lösungskonzeptes Bestimmung der endogenen Größen. Abhängigkeit:

» komparative Statik (keine reale Zeit vergeht)» ceteris-paribus-Annahme (reale Zeit vergeht)

Aufgaben

Sie fühlen sich wie der Ochs vorm Berg? Tipps:

» Gehen Sie den Berg ein Stück weit hinauf. » Gehen Sie um den Berg herum und suchen Sie

nach einem leichteren Aufgang.» Diskutieren Sie Lösungsansätze mit Freunden.» Schauen Sie in den powerpoint-Folien und/oder im

Lehrbuch nach, wie dort ähnliche Aufgaben gelöst wurden.

Teil I - Haushaltstheorie

Teil I:Haushaltstheorie

Teil II:Unternehmenstheorie

Teil III:Vollkommene Konkurrenz

und Wohlfahrtstheorie

Teil IV:Marktformenlehre

Teil V:Externe Effekte

Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse

Unsicherheit

Ausgangssituation Entscheidung bei Ungewissheit Entscheidung bei Risiko Begründung des Bernoulli-Prinzips Risikoaversion, -freude und -neutralität Nachfrage nach Versicherung Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie

Entscheidungen bei Unsicherheit

! Sicherheit:

Vollkommene Information über entscheidungsrelevante Parameter.

! Unsicherheit:

Das Ergebnis hängt auch von einem Umweltzustand ab.» Risiko (W.-Verteilung bekannt)» Ungewißheit (W.-Verteilung unbekannt)

Das Grundmodell der Entscheidungstheorie

! Aktionsraum Z = {z1, z2, ..., zn}

! Zustandsraum S = {s1, s2, ..., sm}

! Ergebnisfunktion (zi, sj)

s1 s2 ... sm

z1

z2

...

zn

Ergebnismatrix

(z1, s1)

(z2, s1)

(zn, s1)

(z1, s2)

(z2, s2)

(zn, s2)

(z1, sm)

(z2, sm)

(zn, sm)

... ...

...

...

...

...

...

Ergebnismatrix (Beispiel)

Ein Produzent erwägt die Produktion von Regenschirmen

oder Sonnenschirmen.

100

64

81

121

schlechteWitterung

guteWitterung

Regenschirme

Sonnenschirme

Entscheidungskriterien für Ungewißheitssituationen

Maximin-Regel Maximax-Regel Hurwicz-Regel Regel des minimalen Bedauerns Laplace-Regel

Maximin-Regel

Bestimme für jede Alternative das schlechteste Ergebnis (= Zeilenminimum).

Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenmin.

100

64

81

121

schlechteWitterung

guteWitterung

Regenschirme

Sonnenschirme

Maximax-Regel

Bestimme für jede Alternative das beste Ergebnis

(= Zeilenmaximum). Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenmax.

100

64

81

121

schlechteWitterung

guteWitterung

Regenschirme

Sonnenschirme

Hurwicz-Regel

Zeilenmaximum und -minimum werden mit einem

Faktor mit 0 gewichtet. Es wird die Alternative mit dem höchsten gewogenen

Durchschnitt gewählt. Zeilen-minimum

81

64

Zeilen-maximum

100

121

gewichtet

95,25

106,75

Regenschirme

Sonnenschirme

Extremfälle der Hurwicz-Regel

Für = 1 geht die Hurwicz-Regel in die

-Regel

und für = 0 in die

-Regel über.

Regel des minimalen Bedauerns

Die Ergebnismatrix wird in die Bedauernsmatrix

überführt.

Die Elemente der Bedauernsmatrix messen den

Nachteil, der aus einer Fehleinschätzung des

Umweltzustandes resultiert.

Wähle die Alternative, die das maximale Bedauern

minimiert.

Regel des minimalen Bedauerns(Beispiel)

0

36

40

0

Bedauernsmatrix

100

64

81

121

schlechteWitterung

guteWitterung

Reg.

Sonn.

Ergebnismatrix

schlechteWitterung

guteWitterung

Laplace-Regel

Die Ungewißheitssituation wird wie eine Risiko-situation behandelt; alle Umweltzustände werden als gleichwahrscheinlich erachtet.

Wähle die Alternative mit dem max. Erwartungswert.

100

64

81

121

schlechteWitterung

guteWitterung

Regenschirme

Sonnenschirme

Erwartungs- wert

90,5

92,5

Zusammenfassung

Maximin-Regel

Maximax-Regel

Hurwicz-Regel (Regel des min. Bed.

Laplace-Regel

Die Kriterien können zu unterschiedlichen Entscheidungen führen.

Grund: Unterschiedliche Annahmen über die Risikoeinstellung des Entscheidenden.

Regensch. Sonnensch.

X

X

X

X

X

Entscheidungskriterien für Risikosituationen

Der Entscheidende kann den möglichen Umweltzuständen und damit den möglichen Ergebniswerten Wahrscheinlichkeiten zuordnen.

Das Entscheidungsproblem besteht dann in der Auswahl unter Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wie soll sich ein rationaler Entscheidender verhalten?

Wahrscheinlichkeits-verteilungen

Eine Verteilung L ordnet jedem Ergebnis xi eine

Wahrscheinlichkeit pi zu.

Dabei soll pi 0 und p1 + ... + pn = 1 gelten.

In Symbolen: L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].

Graphisch:...

p1

p2

L

pn

x1

x2

xn

ZusammengesetzteVerteilungen

L3

L1

0,5

0,5

0,5

0,5

0

10

L2

0,25

0,75

5

10

L1 = [0, 10 ; 0.5 , 0.5]

L2 = [5, 10 ; 0.25 , 0.75]

L3 = [L1, L2 ; 0.5 , 0.5]

Durchmultiplizieren derWahrscheinlichkeiten: L3 = [0, 5, 10 ; 0.25 , 0.125 , 0.625]

Erwartungswert undErwartungsnutzen

Gegeben L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].

Erwartungswert:

EL = x1 p1 +...+ xn pn .

Erwartungsnutzen:

EL(u) = u(x1) p1 +...+ u(xn) pn .

Entscheidungskriterienfür Risikosituationen

Bayes-Regel:

Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungswert.

Bernoulli-Prinzip:

Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungsnutzen.

Bayes-Regel/Bernoulli-PrinzipBeispiel

100

64

81

121

schlechteWitterung p = 0.25

guteWitterung p = 0.75

Regen-schirme

Sonnen-schirme

Erwartungs- wert

85,75

106,75

Erwartungs- nutzen

9,25

10,25

z. B. 85,75 = 0.75 * 81 + 0.25 * 100 9,25 = 0.75 * 9 + 0.25 * 10

u(x) = x

Wahrscheinlichkeits-verteilungen

Eine Verteilung L ordnet jedem Ergebnis xi eine

Wahrscheinlichkeit pi zu.

Dabei soll pi 0 und p1 + ... + pn = 1 gelten.

In Symbolen: L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].

Graphisch:...

p1

p2

L

pn

x1

x2

xn

ZusammengesetzteVerteilungen

L3

L1

0,5

0,5

0,5

0,5

0

10

L2

0,25

0,75

5

10

L1 = [0, 10 ; 0.5 , 0.5]

L2 = [5, 10 ; 0.25 , 0.75]

L3 = [L1, L2 ; 0.5 , 0.5]

Durchmultiplizieren derWahrscheinlichkeiten: L3 = [0, 5, 10 ; 0.25 , 0.125 , 0.625]

Erwartungswert undErwartungsnutzen

Gegeben L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].

Erwartungswert:

EL = x1 p1 +...+ xn pn .

Erwartungsnutzen:

EL(u) = u(x1) p1 +...+ u(xn) pn .

Entscheidungskriterienfür Risikosituationen

Bayes-Regel:

Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungswert.

Bernoulli-Prinzip:

Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungsnutzen.

Bayes-Regel/Bernoulli-PrinzipBeispiel

100

64

81

121

schlechteWitterung p = 0.25

guteWitterung p = 0.75

Unt. A

Unt. B

Erwartungs- wert

85,75

106,75

Erwartungs- nutzen

9,25

10,25

z. B. 85,75 = 0.75 * 81 + 0.25 * 100 9,25 = 0.75 * 9 + 0.25 * 10

u(x) = x

Begründung des Bernoulli-Prinzips

Grundannahme: Das Individuum verfügt über eine Präferenzrelation für Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Es steht L1 L2 für:

Die Verteilung L1 wird L2 schwach vorgezogen.

Im folgenden werden die Präferenzen durch gewisse Axiome beschränkt und daraus das Bernoulli-Prinzip gefolgert.

Vollständigkeit/Transitivität

Axiom der Vollständigkeit:

Zwei Verteilungen lassen sich stets in der einen oder anderen Richtung mit der schwachen Präferenz-relation in Beziehung setzen.

Axiom der Transitivität:

Für je drei Verteilungen L1, L2 und L3 folgt aus L1 L2 und L2 L3 die Gültigkeit von L1 L3.

Stetigkeitsaxiom

Gegeben Verteilungen L1, L2 und L3 mit L1 L2 L3.

Dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, so daß:

L2

p

1-p

ist indifferent zu

L1

L3

Ist das Stetigkeitsaxiom plausibel?

Gegeben sind drei Verteilungen:L1 Sichere Auszahlung von 10,L2 Sichere Auszahlung von 0,L3 Sicherer Tod.

Angenommen sei eine Präferenzordnung L1 L2 L3.

Welche Wahrscheinlichkeit p führt zu Indifferenz zwischen L2 und [ L1, L3, p, 1 - p ]?

Ist das Stetigkeitsaxiom plausibel?

Unabhängigkeitsaxiom

Für alle Verteilungen L1, L2 und L3 ist

p

1-p

L1

L3

p

1-p

L2

L3

L1 ist indifferent zu L2.

ist indifferent zu

gleichbedeutend mit

Darstellungssatzv. Neumann / Morgenstern

Die Relation sei vollständig und transitiv und genüge dem Stetigkeits- und Unabhängigkeitsaxiom.

Dann gibt es eine Nutzenfunktion u, so daß:» Indifferente Verteilungen haben den gleichen

Erwartungsnutzen;» Bei starker Präferenz hat die präferierte Verteilung

einen höheren Erwartungsnutzen.

Insb. gilt: L1 L2 E L1(u) E L2

(u)

Äquivalente Risikonutzenfunktionen

Repräsentiert u(x) die Präferenzen für Wahrscheinlich-keitsverteilungen, so auch

v(x) = a u(x) + b mit a > 0.

Auf diese Weise erhält man alle Nutzenfunktionen, die die Präferenzen repräsentieren.

Zwei Nutzenfunktionen sind äquivalent, wenn sie durch eine streng monoton steigende und lineare Transforma-tion ineinander überführt werden können.

Risikoaversion

Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.

Ein Individuum heißt risikoavers, wenn ihm ein sicherer Gewinn der Höhe EL lieber ist als die Verteilung L selbst:

[EL ; 1] L Ein Individuum ist genau dann risikoavers, wenn der

Nutzen des Erwartungswertes höher als der erwartete Nutzen ist:

u(EL) EL(u).

Risikoaversion Konkave Nutzenfunktion

Nutzen

Ergebnis95 EL 105

u(EL)

EL(u)

u(95)

u(105)

L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100

EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)

Risikofreude

Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.

Ein Individuum heißt risikofreudig, wenn ihm die Verteilung L lieber ist als ein sicherer Gewinn der Höhe EL :

L [EL ; 1]. Ein Individuum ist genau dann risikofreudig, wenn der

Nutzen des Erwartungswertes kleiner als der erwartete Nutzen ist:

EL(u) u(EL).

Risikofreude Konvexe Nutzenfunktion

Nutzen

Ergebnis95 EL 105

u(EL)

EL(u)

u(105)

u(95)

L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100

EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)

Risikoneutralität

Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.

Ein Individuum heißt risikoneutral, wenn es indifferent ist zwischen der Verteilung L und einem sicheren Gewinn der Höhe EL:

L ~ [EL ; 1].

Ein Individuum ist genau dann risikoneutral, wenn der Nutzen des Erwartungswertes gleich dem erwarteten Nutzen ist:

u(EL) = EL(u) .

Risikoneutralität Lineare Nutzenfunktion

L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100

EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)Nutzen

Ergebnis95 EL 105

EL(u) = u(EL)

u(105)

u(95)

Aufgabe

Untersuchen Sie, ob die folgenden Nutzenfunktionen auf risikoaverses, risikofreudiges oder risikoneutrales Verhalten hinweisen:

u1(x) = 2x + 3

u2(x) = x2 (x 0)

u3(x) = ln(x) (x > 0)

u4(x) = - e -x

u5(x) = (x 0)

Hinweis: Berechnen Sie die 2. Ableitung!

x

Risikoverhalten

Die Präferenz einer Person für Geld (Menge x) wird repräsentiert durch

u(x) = xa.

Was bedeutet• a < 0,• a = 0,• a > 0 ?

Wann ist die Person• risikoavers• risikofreudig ?

Anwendung:Die Nachfrage nach

Versicherung Ein Haushalt verfügt über ein Anfangsvermögen von A.

Mit der Wahrscheinlichkeit p kann der Haushalt einen Betrag L (mit L A) verlieren.

Der Haushalt kann eine Versicherung abschließen, die im Schadensfall einen Betrag der Höhe K (K L) ausbezahlt.

Die Versicherungsprämie beträgt P = K mit 0 < < 1.

Welchen Versicherungsbetrag K soll der Haushalt wählen?

Die Verteilung des Endvermögens

p

1-p

Der Schadentritt ein

Der Schadentritt nicht ein

Das Endvermögen xi beträgt

x1 = A - L + K - P = A - L + (1-) K

x2 = A - P = A - K

Die Budgetgerade

x2

x1

45°

A

A-L A - L

dx2

dx1

1

A - L

KeineVers.

Voll-vers.

x1 = A - L + (1-) K x2 = A - K

Indifferenzkurven

x1

x2

p u(x1) + (1-p) u(x2) = const.

MRSdx

2dx

1

p1 p

u (x

u (x )1

2

)

Bei Risikoaversion sind die In-differenzkurven zum Ursprunghin gekrümmt!

Das Versicherungsoptimum

x2

x1

45°

A

A-L

p1 p

u (x

u (x )1

2

) 1Im Optimum gilt:

(Schaden eingetreten)

(KeinSchaden)

Aufgabe

Herr Weber besitzt als einzigen Vermögensgegen-stand eine Yacht im Wert von 100 000,- ( = A). Mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,01 kann die Yacht infolge einer Havarie sinken (somit ist L = 100 000,-). Eine Versicherung kostet = 0,02 DM je DM Ver-sicherungssumme. Welche Versicherungssumme K wählt Herr Weber, wenn u(x) = ln(x) seine Nutzenfunktion ist?

Hinweis: Im Optimum gilt:

)(xu

(xu

p1p

2

1

)

1

x1 = A - L + (1-) Kmitx2 = A - K

Kurven konstanten Erwartungswertes

x1

x2

A

B

Ax2

Bx2

Ax1Bx1

45°

px1 + (1 - p) x2 = const. Die Steigung der Kurve

beträgt

BBB

BBB

AAA

xxppx

Exppx

xppxE

111

21

21

1

1

1

Definition: Faire Versicherung

Eine Versicherung ist dann fair, wenn der Erwartungswert des Versicherers aus der Versicherung 0 ist:

Steigung der Indifferenzkurve

bei Vollversicherung

x1

x2

45°

Vollversicherung bei Risikoaversion und fairer

VersicherungBei einer fairen Versicherung ist das erwartete Endvermögen unabhängig von der vereinbarten Versicherungssumme.Durch Vollversicherung kann der Haushalt eine risikolose Situation erreichen, die er bei Risikoaversion einer risikobehafteten vorzieht.

x1

x2

45°

Sicherheitsäquivalent der Lotterie L

sicheres Vermögen CE(L), das dem Haushalt genauso lieb ist wie die Lotterie L, d.h.

L ~ [CE(L), 1] falls die Präferenzen des Entscheiders eine

Darstellung durch eine vNM-Nutzenfunktion u besitzen EL(u) = u(CE(L))

Risikoprämie der Lotterie L

Differenz von Erwartungswert EL und Sicherheitsäquivalent CE(L)

RP(L) = EL - CE(L) Zahlungsbereitschaft für eine faire

Vollversicherung (p = , d.h. Budgetgerade ist die Kurve gleichen Erwartungswertes)

Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie, graphisch

Vermögen im Schadensfall, x1

Vermögen ohneSchaden, x2

ELCE(L)

RP(L)p

p

1

ppxxL 1,;, 21

Vermögen x10 100

u(x)

u(x)

3

2,

3

1;100,10L

Aufgabe: Ermitteln Sie für die unten stehende Lotterie L unddie skizzierte vNM-Nutzenfunktion u graphisch Erwartungs-wert, Sicherheitsäquivalent, Risikoprämie, den erwartetenNutzen und den Nutzen des Erwartungswertes!

Aufgabe: Wert der Information

Sarah steht vor der Entscheidung entweder Kinderärztin zu werdenoder aber Angestellte der Rentenversicherung. Als Angestelltekann sie mit einem sicheren Einkommen in Höhe von 40.000 Europro Jahr rechnen. Ihr Einkommen als Kinderärztin hingegen hängtdavon ab, ob es einen Babyboom gibt oder nicht. Im Falle einesBabybooms könnte sie ein Einkommen von jährlich 100.000 Euroerzielen, andernfalls nur eines von 20.000 Euro. Die Wahrschein-lichkeit eines Babybooms liegt bei 1/2, und Sarahs vNM-Nutzen-funktion ist durch u(x) = x gegeben.

a) Wie sollte sich Sarah entscheiden?b) Das Institut für angewandte Demographie (IAD) kann dasEintreten oder Nichteintreten eines Babybooms präzise vorhersagen.Wieviel ist Sarah jährlich maximal für diese Information zu zahlen bereit?c) Veranschaulichen Sie die Sachverhalte aus (a) und (b) graphisch!

Teil I - Haushaltstheorie

Teil I:Haushaltstheorie

Teil II:Unternehmenstheorie

Teil III:Vollkommene Konkurrenz

und Wohlfahrtstheorie

Teil IV:Marktformenlehre

Teil V:Externe Effekte

Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse

Marktnachfrage und Erlöse

Aggregation individueller Nachfrage-funktionen zur Marktnachfragefunktion

Nachfragefunktion und inverse Nachfragefkt. Preiselastizität der Nachfrage Grenzerlös bezügl. des Preises Amoroso-Robinson-Relation

Marktnachfrage

Wie wirken sich die Nachfragen der Haushalte auf die Marktnachfrage aus?

Welcher Erlös wird am Markt erzielt?

Wie hängen Preis, Marktnachfrage und Erlöse zusammen?

Die Aggregation der individuellen Nachfragen zur

Marktnachfrage

Konsument A Konsument B Marktnachfrage

p p p

xA xB q

Die aggregierteMenge bezeich-nen wir mit q!

Lineare Nachfragefunktion

Wenn wir den Preis gleich Null setzen,erhalten wir die Sättigungsmenge:

Wenn wir die Menge gleich Null setzen,erhalten wir den Prohibitivpreis:

Preiselastizität der Nachfrage:

Berechnung der Preiselastizität d. N.

Nachfrage reagiertüberhaupt nicht

Nachfrage rea- giert bedingt

Nachfrage wirdbeliebig hoch

Preiselastizität der Nachfrage

Preiselastizität der linearen Nachfragefunktion

p

qaa/2

Der Erlös

Der Erlös ist das Produkt ausPreis und Menge bei dem Preis.

Erlös r

p

q

Prohibi-tivpreis

Sättigungs-menge

Der Grenzerlös bzgl. d. Preises - grafisch

p

q

Um wieviel verändert sich der Erlös, wenn der Preis um eine kleine Einheit steigt?

Grenzerlös bezüglich des Preises

steigt der Erlös um q (für jede verkaufte Einheit erhält des Unternehmen einen Euro),

sinkt aber um p dq/dp (die Preiserhöhung senkt Nachfrage und Erlös).

Wird der Preis um eine Einheit erhöht,

Der Grenzerlös bzgl. des Preises ist 0,wenn die relative Preiserhöhung durcheinen relativen Mengenrückgang in selbemUmfange ausgeglichen wird.

Grenzerlös bezüglich des Preises und Preiselastizität

der Nachfrage

Nachfragefunktion undinverse Nachfragefunktion

(2)p

q

inverse Nachfragefkt.

Nachfragefunktion

Nachfragefunktion und inverse Nachfragefunktion

Fragt der Konsument zu einem bestimmten Preis einedazugehörige Menge nach, so ergibt sich die nachge-fragte Menge als Funktion des Preises:

Die inverse Nachfragefunktion beschreibt, welcher maximale Preis erzielbar ist, wenn die Menge q abgesetzt werden soll:

Inverse lineare Nachfragefunktion

Wenn wir die Menge gleich Null setzen,erhalten wir den Prohibitivpreis:

Wenn wir den Preis gleich Null setzen,erhalten wir die Sättigungsmenge:

Grenzerlös bezüglich der Menge

steigt der Erlös um p (für die zusätzl. abge- setzte Einheit),

sinkt aber um q dp/dq (um die zusätzl.Einheit absetzen zu können, sinkt der Preis um dp/dq; diese Preissenkung gilt für alle bisher abge- setzten Einheiten).

Wird eine zusätzliche Menge abgesetzt,

Maximaler Erlös

p

q

p(q)=c-dq

MR=c-2dq

c/d

c

Maximaler Erlös (2)

q

p(q)

MR

c/d

cp r

p=c/2

q=c/2d

!

Amoroso-Robinson-Relationen

1. Grenzerlös bezüglich der Menge:

2. Grenzerlös bzgl. des Preises:

...und Preiselastizität

Wie hoch ist die Preiselastizität bei Erlösmaximum?

11

-1p=MR