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Math. Ann. 244, 185-191 (1979) Mathematische Annalen © by Springcr-Vcrlag 1979
Untere Schranken f'dr Polynome in Werten der p-adischen Exponentialfunktion
Peter Bundschuh ~ und Rolf Wallisser 2
Mathematisches Institut der Universit~t, Weyertal 86-90, D-5000 K61n 41, Federal Republic of Germany
2 Mathematisches Institut der Universit~it, Albertstr. 23b, D-7800 Freiburg i. Br., Federal Republic of Germany
1. Einleitung
Ffir die p-adische Exponentialfunktion Z Z 2 eZ=l+~+~. + . . . .
1 die bekanntlich ftir alle p-adischen Zahlen z mit Izlp <p P-1 existiert, hat Mahler [2] bcreits 1932 gezeigt, dab sie in ihrem Existenzgebiet an jeder algebraischen p-adischen Stelle z 4- 0 eine transzendente p-adische Zahl darstellt. Es fehlt jedoch bis heute ein dem Lindemannschen Satz fiber algebraische Unabh~ingigkeit yon Werten der Exponentialfunktion entsprechendes Resultat im p-adischen.
Hier soll mit einer auf Mahler [1] 1 zuriickgehenden Methode, mit der dieser unter anderem den Lindemannschen Satz quantitativ gefaBt hat, gezeigt werden, dab die Werte der p-adischen Exponentialfunktion an rational linear unabh~in- gigen algebraischen p-adischen Stellen ein gegebenes Polynom nicht zu Null machen k6nnen, falls diese Stellen ,,gentigend" klein sind. Bezeichnet man mit Q die rationalen Zahlen, mit lip die durch IP lp=p-1 normierte p-adische Bewertung von Q, mit ~p die p-adische Vervollst/indigung des algebraischen Abschlusses von Qp und mit & die fiber Q algebraischen Etemente von t12p, so gilt der
Satz. Seien o~ 1 . . . . . ~sE~L'p('hDk und fiber t~ l inear unabhiingig, 1
t ~ I p < p p-1 (t~=l . . . . . s);
sei lK : = Q(~I,---, ~), [IK :Q] = r. Sei P~7£[X1 , . . . ,X~] , 40, yore Gesamtgrad k und der H 6 h e H. Dann gibt es e f fekt iv berechenbare posi t ive K o n s t a n t e n c 1 u n d c 2, die nur yon k, p, s, cq, ...,ct~ abhi~ngen, so dafl f f i r alle
a > max(c l, 6r logH),
die reine Po tenzen yon p sind, gilt
]P(e "~, .... e°~')l p > e - c2a .
1 Im Prinzip sogar auf Hermite
0025-5831/79/0244/0185/$01.40
186 P. Bundschuh und R. Wallisser
2. Die Hilfsfunktionen yon Hermite-Mahler
Wie Mahler in [ t ] gezeigt hat, gibt es zu m nicht negativen ganzen Zahlen a 1 . . . . . % und m paarweise verschiedenen komplexen Zahlen fll . . . . . fl,, m Polyno- me
Ak(Z fl,, "",tim] ( k : l . . . . . m) (1) \ ai, ...,a~]
yore Grad a,, so dab die N~herungsform
(zl 'B-t: \ tal, ..,a,,] k=l .... a,.]
in z = 0 yon der Ordnung m - 1 + ~ ~r~ verschwindet, Die Potenzreihenentwicklun- gen dieser Funkt ionen lassen sich explizit angeben, sie lauten
' ol \ a l , . . , a m ]
~ = 0 27! " r l + . . . + ~ k + . , , + ~ m = e ' k - - ~ v # k
c~ Z v - 1 +m+ ~a~z
mit
~,+...+~,,=~k v, / ' " '
T v -t- O'v) m "~v
( - 1)~+~ 1-1 ~-~ ( / ~ k - / L ) 1 + ,v+~v , (3)
(4)
3. Konstruktion weiterer Approximationsformen Rk(z)
Mit einem t ~ N w~ihlt man (al, ..., a,,) auf m verschiedene Weisen zu ( t - 1 + 6kl,-- ' , t - - 1 + 6k,,) ftir k = 1,..., m, 6 u das Kroneckersymbol , und setzt :
Rk(z ) :=R z t - 1 +Ski, . , t - - t +~$km '
I ..... ) t-- l +~kl, . , t-- l +6k, .
D a n n gelten die Identitiiten
Rk(Z ) = ~ Pku(z) e t~'~ (k = 1,..., m). (71 , u= l
Fiir die Determinante D(z ) := Det (Pku(Z)) lal3t sich leicht zeigen, dab sie von l <k,,u<=m
der F o r m c . z TM, c+O, ist, so dab die Rk(Z) ftir jedes z4 :0 ein linear unabh~ingiges Linearformensystem in den e ~." bilden.
m 2 Es wird in (3) fiber alle (m- 1)-Tupel (vl ..... Zk-1, ~k + 1,'", z,.) summiert mit ~ z v = a k- z
v=l v4:k
p-adische Exponentialfunktion 187
4. Absch~itzen der Rk(z) und Pk~(z) im p-adischen
Da bei der Kons t ruk t ion der Hilfsfunktionen nur algebraische Hilfsmittel verwen- det werden, gelten diese auch im p-adischen unter der hinreichenden Vorausset- zung
i
Jfl.t~ < p ~- ~, IzI~_<- 1.
Nach (4) gilt
oo v ~ m - I t Rk(z)=t!( t --1 ). z ~ ~ avz
~=o (mt + v)f
und v
]a,lp<p . - I
und daraus
,Rk(Z)lp<,t'(t--1),m-',flz,p t max (p " : ' , z , ; , ( m t l ). • v>=O y ) ! l p
Verwendet m a n noch die Formel fiir den p-adischen Wert der Fakul ta ten
p p-l<lt!lp<=p v~l-~ogp v 1 ,
so gilt schliel31ich
IR,(z)lp < p3mtm ]Zit~t .
Setzt man
6: = max 1
1
so ist 6 > pP-1, da 1
]fl~- fl~[p<__max(lfl,[p, ]fl~]p) < p p-1
gilt, und aus (3) und (6) folgt
~'m~ tP- (z)l -<6 max [zl~ < 6 m' max [zl~
fiir alle k, 1~ mit 1 < k, # < m.
(8)
(9)
5. Struktur des Beweises
Sci
P(X 1 . . . . , Xs) : = ~. P(il . . . . . is)X~'.. Xi~ il +... +i~.~k
188 P. Bundschuh und R. Wallisser
mit p(il, ..., i,)e 7 /und Ip(.--)l --< H ; sei N > k ein Parameter , der sp~iter noch geeignet
gew~ihlt wird, und seien schliel31ich fll = 0, f12 . . . . , fl,, die m = Linearkombi-
nat ionen ~ c@j, wobei die 2j nicht negativ ganzzahlig sind und der Bedingung j = l
21 + ... + 2 s =< N geniigen. Wegen der vorausgesetzten linearen Unabh~ingigkeit der c~j tiber Q sind die fli paarweise verschieden und aus
1 1
to~j[p < p p- 1 ergibt sich l[~j[p < p- b-=-i, j = 1,. . . , m.
(N ;÷,) Ist nun acCp, 0<[alp< 1, so sind die folgenden m I = Linearformen
L o ' = ~ lo, ea~", 0 = 1 . . . . . ml , (10) ¢t=l
die aus den m s Po lynomen
x k ' . . X k ' p ( x ~ . . . . . Xs) mit kl + . . . + k s < N - k
dadurch entstehen, dab X j durch e ~" ersetzt wird, linear unabh~ingig tiber Cp. Dabei sind die lo, entweder Null oder gewisse Koeffizienten des Polynoms P, also alle aus ~ und vom komplexen Betrag h/Schstens H. Nimmt man ferner ftir die flu in (2)-(4) die soeben definierten, so kann man aus den Linearformen (7) m - m s Sttick ausw~ihlen, etwa
Rk~(a)= ~. Pkou(a)e "~' , Q = m I + 1, . . . , m , (11) ,u=l
.... 1~ "~
• . . ~ lml,m
. . . . Pkml +1, m (a)
Pk,,~, l(a), "" ", Pk,,,m(a)
L1 ' I i 2 . . . . . ll m N
Lml, Im~, 2, "" ", tmhm
Rk,,, ' + ~(a), Pk . . . . . 2 . . . . , Pk . . . . . m(a)
Rk..(a), Pk,.,, 2 . . . . . Pk,~,.,(a)
l < k , , , + l < . . . < k , , N m , so dab
r" t11,
lml 1' 6" := Det
ekml +2, l(a),
= Det (12)
nicht verschwindet.
p-adische Exponentialfunktion 189
Seien IK und r wie im Satz, sei [1~, veS~ die Menge aller archimedischen
Bewertungen von IK, sei ferner II~ll := max ]el~ fiir aelK. Die flu sind dann alle aus v~Sco
IK. Ist auBerdem aelK, so liegen die P~u_(a) alle in IK, so dab 8*~IK gilt. Ist a ganz in 8
IK und wird ~e N so gewahlt, dab ~ ganz ist in IK fiir alle (#, v),/~ 4= v, so ist
t ! 6mtPk(a ) ganz in IK und damit wird 6 : = 8*(t ! ~mt)m-,,, ganz in IK und 4= 0. Daher ist 1fly> 11811-~, also
(tt jmt)- ¢(,,-,, 1)I18" I{ -" = [18 II -¢ < 18Iv = r o t m - m l =lS*lvlt!8 ]p • (13)
Um den Beweis des Satzes zu erbringen, hat man nun aus (13) far 18*lp eine obere und untere Abschatzung zu gewinnen.
6. Obere Absch~itzung f'tir [6"[~,
Wegen L~ = eaYk~'~P(e a~l, .... e "'~) gilt
ILol v = IN(e"=, , . . . , e~=s)]p.
Aus (12) finden wir
¢n t
6 * = E LoAo+ ~ Rko(a).Ae, (14) f f = l Q = m l + l
wobei die AQ die Minoren der ersten Spalte von 6" sind. Aus (14) ergibt sich zusammen mit (8) und (9)
]8*Iv =< max (]P(e"~l,..., C~)[J mr("- m'~'p3mtm]al"~ t jmt(,,- ml)),
also
IS*Iv < jm.m-m,)max (ip(e.~,, .... ea~)lp, p3~"t"lal"~' ) . (15)
7. Obere Abschiitzung yon ]]6"]]
Aus (12) gewinnt man
118" II < m !H ml/max IIPk.(a)ll) m-m~ . (16) k,# ]
Mit O : = max 1, max folgt aus der expliziten Formel fiir die Pk(z) nach ."a; [I/~.- (6) und (3)
([Pk,(a)ll < i max(l , liaII) 2t+,._l_~(RO)~t_~ ~=o z!
~ 2m+ t(20)mt exp (max(4~ 9Naj, ) ) . (17)
190 P. Bundschuh und R. WaUisser
8. Schlull des Bewe i se s
Verwendet man (15)-(17) in (13), so m u g gelten
(t !$m~)-,~,,-,,Om!- r H - . . ,
{~,, +, . . . . . , {max(i , llal{)~ - r("-"~) • ~z t z t ~ ) e x p , - ~-O })
< It !1~"-"')8"*" -"1) max ([P(e"% ..., ea~s)lp ,p3mtmlal'~t), (18)
N u n versucht man, a~ N so zu w~ihlen, dab [P(...)[p hier das M a x i m u m ist. Dann m u g gelten
p t [a[p. (19) [P(e"%... , e"=')lp > 3,, ,, ,,,
Setzt man o.B.d,A, a = p b als reine p-Potenz an, so ist wegen la[p=a -1 (19) erf'tillt, falls
a,,t > pZmt-(m , ), H,,, ~ ( 2,, + t( 2 0 )-t eXP ~ o ) rl" - " °
• $ " ( " - " ' ~ l t !l~'-'~(t !3"') "("- "~) (20)
ist. Eine weitere VerscNirfung yon (19) beinhaltet das Bestehen der Ungleichung
r a - - m 1
a t > p2tm'H'(40&~)mm-'~) t! exp (21)
Koppe l t man nun t mit a, indem man
setzt, so gilt (21) wegen
a 2a
loga - - loga
fiir a > e 2, falls die folgende Ungle ichung besteht
a > 2 logp + loga + r logm + r l o g H
+ ~ 2 ( m - ml) r log(4066) + r m-m rnl 3a. (23)
m ~ ... 1 - --,0 far N ~ o e , kann man N > k in N + s
Abhgngigkei t von k, s, r so w~ihlen, dab fiir N > No(k, s, r) gilt
3r m - m 1 < ± (24) m
p-adische Exponentialfunktion
Fix ier t m a n ein N > N o u n d w~ihlt a so, d a b
a > max(12 logp, 10, ( 4065) 1 z(,,-,,,)r, 6r logm)
= c l ( k , r , s , p , ~ 1 . . . . ,c~)
ist, so bes teht (23) sicher, falls zus~itzlich zu (25) noch
5a a > ~ - + r l o g H d.h. a > 6 r l o g H
gew~ihlt wird. Ist a lso schliel31ich
a > max(e 1, 6r l o g H ) ,
so gilt (19) u n d m a n f indet mi t (22)
I P ( e ' L . . . , e'~"gl > a - ,,,7 > e - 2ma
mit m = = re(k, r, s, ~1 . . . . , ~ ) .
D a m i t ist der Satz bewiesen.
191
(25)
Literatur
1. Mahler, K.: Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus, Teil I. J. Reine Angew, Math. 166, 118-136 (1932)
2. Mahler, K. : Ein Beweis der Transzendenz der P-adischen Exponentialfunktion. J. Reine Angew. Math. 149, 61-66 (1932)
Eingegangen am 23. Mai 1977
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