Kapitel 3 - Kiel · Exponentialfunktion und Logarithmus . ... Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Funktionsbegriff Mathematisch ... Eine

Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 1

Kapitel 3

Kapitel 3:

Aus der Natur und Technik: Funktionen

Der Funktionsbegriff Mathematisch

Polynome

Rationale Funktionen

Trigonometrische Funktionen

Inverse Funktion

Exponentialfunktion und Logarithmus


Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein

Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite

Eigenschaft:

Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung.

Funktionsbegriff Mathematisch

Definition 3.1 einer Funktion (Mengentheoretisch):

Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden

Eigenschaften hat:

• f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b),

wobei a in A und b in B gilt.

• zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das

Paar (a,b) Element von f ist.

Menge A Menge B Definitionsmenge Zielmenge


Alternativ: Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und

definiert: Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R A × B heißt Funktion

von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so

dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der

Menge B bestimmt.


Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein

Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche

heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreib- und Sprechweisen:

statt der Teilmengenschreibweise aus der Mengenlehre: BAf

spricht man “Funktion f von A nach B” und schreibt: BAf :

statt der Elementschreibweise aus der Mengenlehre fyx ),(

schreibt man: f(x) yxfxf oder )(:

Sprechweisen: „x wird abgebildet auf f von x“

„x wird f von x zugeordnet“

„y ist f von x“

„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich oder Domain genannt. Die Elemente von A heißen

Funktionsargumente, salopp auch „x-Werte“ (unabhängige Variable), die Zielmenge B wird auch Codomain

genannt, die Elemente von B heißen salopp auch „y-Werte“. Funktionswerte heißen dagegen nur diejenigen

Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten. (Bild- und Urbildmenge)


Allgemeine Eigenschaften:

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.

Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.

Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.

Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.

Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.

Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.


Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).

Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren

Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt auch Faser von y.

Graphische Darstellung: Alle Punkte: (x,f(x)) werden in ein Koordinatensystem eingetragen

z. B.:

Definition 3.2 in diesem Zusammenhang

heißt die Menge:

A x|f(x))(x,G Graph von f


Polynome

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form:

Polynome in der elementaren Algebra (“Schulmathematik”, reelle Zahlen):

Definition 3.3:

0

1

1

1

1

0

...)( axaxaxaxaxPn

n

n

n

n

i

i

i

wobei als Definitionsbereich für die Variable x jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B. ein Körper oder ein

Restklassenring. Meist werden aber die reellen oder die komplexen Zahlen genommen; man spricht dann auch

kurz von reellen bzw. komplexen Polynomen.

Die ai stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der

höchste Exponent n bezeichnet, für den der Koeffizient des Terms (Monom) anxn nicht null ist. Dieser Koeffizient

heißt Leitkoeffizient. Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert. Der Koeffizient a0 heißt

Absolutglied. a1x wird als lineares Glied bezeichnet, a2x2 als quadratisches Glied und a3x

3 als kubisches.

Polynome des Grades:

• 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P(x) = -1).

• 1 werden lineare Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x + 5).

• 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x² - 4x + 2).

• 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 4x³ - 2x² + 7x - 2).


Polynome

• Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n genau n komplexe

Nullstellen hat; dabei müssen Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise

hat das Polynom (x - 2)2 eine doppelte Nullstelle bei x = 2. Polynome lassen sich mit Hilfe des

Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Vietá: Jedes (normierte) Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als

Produkt von n Linearfaktoren darstellen.

x1, x2, ..., xn sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten a0, a1,... reell sind, können die

Nullstellen komplex sein. Nicht alle xi müssen verschieden sein.

• Gibt es ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten, so sind dies Teiler des

Absolutgliedes.

• Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt

berechnen (z. B. pq-Formel), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen exakt

faktorisieren.

• Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert

P(x) null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung P(x) = 0. Ein Polynom über einem Körper (oder

allgemeiner einem Integritätsbereich) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

n

i

inn

n

n

n

nxxxxxxxxaxaxaxaxP

1

110

1

1

1

1......)(


Interpolation


Rationale Funktionen

Definition 3.4:

Quotienten von Polynomen: m

n

m

m

m

m

n

n

n

n

j

m

j

j

i

n

i

i

Q

P

bxbxbxb

axaxaxa

xb

xa

xq

xpxr

01

1

1

01

1

1

0

0

...

...

)(

)()(

r(x) heißt rationale Funktion

Sie wird auch gebrochen rationale Funktion genannt. Die Nullstellen einer solchen Funktion werden durch die

Nullstellen des Polynoms Pn im Zähler bestimmt. Sie ist nicht definiert, falls der Nenner Qm eine Nullstelle hat.

Für das Verhalten für x gegen Unendlich sind die Grade der Polynome entscheidend:

• Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, geht der Wert der rationalen Funktion gegen Unendlich mit x

gegen Unendlich.

• Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so geht die Funktion gegen Null mit x gegen Unendlich.

• Sind die Grade gleich, so strebt sie asymptotisch gegen einen endlichen Wert

Ist das Nennerpolynom Qm vom Grad 0 , also m = 0, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion.

Ist m > 0 , so handelt es sich um eine gebrochen rationale Funktion.

Ist m > 0 und n < m, so handelt es sich um eine echt gebrochen rationale Funktion.

Ist m > 0 und n >= m, so handelt es sich um eine unecht gebrochen rationale Funktion. Sie kann über

Polynomdivision in ein Polynom und eine echt gebrochen rationale Funktion aufgeteilt werden.


Rationale Funktionen, Eigenschaften

Y

x


Generell gilt:

Nullstellen von P -> Nullstellen von f

Nullstellen von Q -> Polstellen von f

Ausnahme: Nullstellen die sowohl zu P als auch zu Q gehören.

Rationale Funktionen: Nullstellen, Polstellen

Zugehöriger Linearfaktor kommt im Nenner öfter vor als im Zähler => an der Stelle ist eine Polstelle

Zugehöriger Linearfaktor im Nenner nicht öfter als im Zähler => an der Stelle ist eine Definitionslücke

Hebbare Singularität:

)1(

)()(

2

x

xxxr

Singularitäten mit und ohne Vorzeichenwechsel: z.B. : )(

1)(

42xx

xr

)8(

1)(

3x

xr

Singularitäten vom Typ “0/0” ?


Singularitäten allgemein: L’Hospital


Rationale Funktionen: Asymptote


Trigonometrische Funktionen

Ursprünglich sind die Winkelfunktionen als

Seitenverhältnisse in rechtwinkligen

Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis

90 Grad definiert:

also:

inβ αcosβcosαsinβ)αsin(

inβ αsinβcosαcosβ)αcos(

)θ(in- )θsin( ),θcos()θcos(

1)θ(cos)θ(sin22

s

s

s

Definition 3.5 der trigonometrischen Funktionen am

Einheitskreis:

Beweis z.B.: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung38/

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung38/





θsinθcos2θ2sin

θsin-θcosθ2cos

)θcos()2

πθ(in ),θsin()

2

πθcos(

)θsin()πθ(in ),θcos()πθcos(

22

s

s

Weitere Beziehungen

Spezielle Punkte: Nullstellen Polstellen:

definiertnicht ,π/2)(n πtan ; 0 ) tan

0π/2)cos(n π ) sin n

(n π

(n π

Analytische Definition über Taylerreihe!


Umkehrfunktion, Inverse Funktion

Bei der Weg-Zeit Darstellung wird typischerweise der Ort als Funktion der Zeit angegeben x(t). Oft ist jedoch auch

die umgekehrte Frage wichtig: Wann war er/sie/es an einem bestimmten Ort, t(x)?

Definition 3.6:

(siehe unten)

Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion


Umkehrfunktion, Inverse Funktion


Der Begriff Komposition bedeutet in der Mathematik meist die Hintereinanderschaltung von Funktionen, auch

als Verkettung oder Hintereinanderausführung bezeichnet.

Der Begriff Komposition kann von Funktionen auf Relationen und partielle Funktionen verallgemeinert werden.

Die Darstellung einer Funktion als Verkettung zweier oder mehrerer, im allgemeinen einfacherer Funktionen

ist zum Beispiel in der Differential- und Integralrechnung wichtig, wenn es darum geht Ableitungen mit der

Kettenregel oder Integrale mit der Substitutionsregel zu berechnen.

Komposition, Verkettung


Unter dem Logarithmus (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) versteht man in der Mathematik das

Ergebnis der Auflösung der Gleichung

y = ax

nach der Unbekannten x, geschrieben als

x = loga(y).

Logarithmus

Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also

derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a

potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten.

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der

Exponentialfunktion; sie kann zum Auffinden der Werte zur

Auflösung obiger Gleichung herangezogen werden. Für

jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl) a>0, ergibt sich

dabei eine andere Logarithmusfunktion loga.

Den Funktionswert loga(y) nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt

Logarithmand, gelegentlich auch Numerus.

Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.


Rechnenregeln

Basisumrechnung: Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu

berechnen, verwendet man den Zusammenhang:

Produkte: yxxyaaa

logloglog

Quotienten: yxy

xaaa

logloglog

Potenzen: xrxa

r

aloglog

Wurzeln: xn

xxa

n

a

n

alog

1loglog

1

Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem

Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit

abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade durch den Pol schneidet die logarithmische

Spirale stets unter dem gleichen Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer

gleichwinkligen Spirale. Die sogenannte Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale...

Nautilus: logarithmische Spirale


Excurs: Schwingungen

Schwingungen, Gedämpfte Schwingungen, erzwungene Schwingungen


Exponentialfunktion

Mathematische Definition 3.7 der Exponentialfunktion zur Basis e von . Sie

kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weise definiert werden. Zwei

Möglichkeiten sind:

Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe:

Definition als Grenzwert einer Folge mit :

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

lässt sich für alle x mit dem Quotientenkriterium zeigen:

Sei eine unendliche Reihe mit den Summanden an gegeben. Ist nun

, dann konvergiert die Reihe S absolut. Existiert ein Grenzwert, so

(supremum=“sup” ist definiert als die kleinste obere Schranke einer Menge) wird eine Folge als konvergent bezeichnet, ansonsten als divergent.

101

lim

!

)!1(limlim;

!

1

1

n

x

n

x

n

x

a

a

n

xa

nn

n

nn

n

n

n

nErweiterung:

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