W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3

Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation

W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3

(Un-)sicherheiten in der

Ökosystemmodellierung

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Inhalt

Ökosysteme/Modelle

Daten, Fehler, Unsicherheiten

Stochastik

Intervallarithmetik

Fuzzy Set Theorie

Fehlerrechnung

Monte Carlo Verfahren

Parameterschätzung

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Quantifizierung von Unsicherheiten

Top down:Wiederholung von Messungen und deren statistische Auswertung

Bottom up:Berechnung der Fehlerpropagation

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Modellfehler erkennen: Residuenanalyse

Unabhängigkeit der Residuen:

Beispiel: Niederschlags-Abfluss Modellierung - Topmodel

+++ - - - - - ----- - - - - - - - +++++++++ - - -

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Propagation von Unsicherheiten durchs Modell

Input F(i ,j) Output

i - Prozessparameteri - Eingangsgrößen:

Rand- und Anfangsbedingungen

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Propagation von Unsicherheiten

Entscheidend: Das Wissensniveau 1)Nur Werteintervall bekannt, keine Vorstellung über Verteilung innerhalb des Intevalls

Min-Max-Abschätzung (Intervallarithmetik)

2)Werteintervall bekannt, sowie grobe Vorstellung über Verteilung innerhalb des Range („unscharfe Zahl“)

Fuzzy-Number Rechnungen

3)Verteilungsform und –Parameter bekannt Monte Carlo-Verfahren

4)Fehler sind normalverteilt mit bekannter Varianz Gauss‘sche Fehlerfortpflanzung

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Min-Max-Abschätzung: Intervallarithmetik

Def.: Abgeschlossenes Intervall

Beobachtungs-/Messgenauigkeit

Rundungsfehler

bax ,

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10 cm

1=-66 cm

2=-60 cm

K-63cm = 20 cm/d

-60

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Intervallarithmetik

F(x)

x[xu,xo]

y [yu,yo]

0 2 4

0

2

4

6

8

10

Y

X[1,4]

[0.5

,8]

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Zusammenfassung

Elementare Rechenoperationen:

Addition:

Subtraktion:

Multiplikation:

Division:

mit

yx, yyyxxx ,:,:

],[: yxyxyx

],[: yxyxyx

),,,max(,),,,min( yxyxyxyxyxyxyxyxyx

yyxxy

x 1,1

,

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Zusammenfassung

f(x)=x2

))((max)),((min])2,2([ 2222 xfxffy xx

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Fuzzy Set Theorie

Unscharfe Zahlen statt pure Intervalle

x

Zu

geh

öri

gke

itsg

rad

0

0

1

1„Dreieckige“

a1 a2 a3 a1=a2=a3

Sonderfall: “Reelle Zahl“

a1 a2 a3 a4

„Viereckige“

a1=a2 a3=a4

Sonderfall: “Intervall“

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Fehlerrechnung (Gauss)

f(x)

-4 -2 0 2 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

p(x)

x

-x1, x1

x1-4 -2 0 2 4

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

p(x)

x

-x2, x2

x2

-4 -2 0 2 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

p(x)

x

-y, y

y

Eingangsgrößen:- normalverteilt

- unabhängig

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ix

fS

Fehlerrechnung: »Sensitivität«

Sensitivität: »Sensitivität von f(x) auf xi«

x

f(x)

x+x

f(x+x)

f(x)+f‘(x)x

x

ix

f

f

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f

x

x

fS

ixi

Sensitivitätsanalyse: »relative Sensitivität«

Sensitivitäten(normiert):

x

f(x)

x+x

f(x+x)

f(x)+f‘(x)x

x

ix

f

f

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mit: - Varianzen der Eingangsgrößen xi

- Varianz der Zielgröße y

Fehlerrechnung

Fehlerfortpflanzung nach Gauß:

n

ix

i

xn

xxy

i

n

sx

f

sx

fs

x

fs

x

fs

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

21

2

ixs2ys

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Fehlerrechnung

Für unkorrelierten (!) Fehler gilt:

Reduktion durch wiederholtes Messen

Summe oder Differenz:

n

ssx

nx x

x

n

ii

1

1

2221 21 xxy sssxxy !!!

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Fehlerrechnung

mit relativem Fehler:

Produkt oder Quotient:

i

xx x

si

i

22

2

121 21 xxyx

xyxxy ;

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Zusammenfassung

Voraussetzung für Gauß‘sche Fehlerrechnung sind unkorrelierte normalverteilte Fehler der Eingangsgrößen.

Bei offensichtlicher Verletzung der voraussetzungen kann eventuell mit transformierten Daten gerechnet werden

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Datentransformation

Test auf Normalverteilung Beibehaltung der Nullhypothese

»Beweis« für normalverteilt!

Datentransformationen Logarithmieren von Daten! Weitere Transformationen

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Sinnlosigkeit von Unsicherheitsberechnungen

Verletzung von Annahmen Verteilungstyp der Eingangsfehler (-> Datentransformation) Homoskedastizität (-> Datentransformation) Richtigkeit des Modells Richtigkeit der Parametrisierung Autokorrelation von Eingangsdaten Kreuzkorrelation von Eingangsdaten (Bsp.

Temperatureinfluss)

Interpretation statistischer Unsicherheitsmaße bei Modellfehlern

Beispiel B&C-Fit an Retentionsdaten; Parameterunsicherheit Beispiel dynamische Effekte; PI mit Richardsgleichung

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Ende